广东惠州某中学2024-2025学年高二（下）3月月考数学试题+答案

数学

审题人:高二数学备课组考试时长：120分钟满分：150分

一、单选题（本小题共8小题,每小题5分，共40分）

1.已知数列｛QJ的前几项之和5九=稼+1,则。1+。3=（）

A.6B.7C.8D.9

2.已知椭圆祭+4=1的左焦点是双曲线考■-4=1的左顶点,则双曲线的渐近线为（）

20yay

A.y=±-^xB.y=±^xC.y=±-^-xD.y=±-^-x

»5»5»4»3

3.已知平面a的一个法向量为n=（V2,l,-1）,点A（-l,2,0）在平面a内，点F（-1,2,V3）在平面a

外，则直线融与平面a所成角的大小为（）

4.若&=51£,仁学吟,0=一《，则()

A.cVbVaB.aVcVbC.cVaVbD.b<a<c

5.如图,正三棱台ABC-A5G的下底面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6,则棱台的高为

A.-B.3V3

C.2V6D.2V3

6.已知函数/（£）=亨—2,有两个极值点，则实数小的取值范围是（）

A.(-00,0]B.(-oo,l)C.(l,+oo)D.(0,1)

7.已知菱形ABCD的边长为2通，ABAD=60°,对角线AC与BD相交于O,以BD为折痕把

△ABD折起，使点A到达点4的位置，使120°.若点4,C,。都在同一球面上，

则该球的表面积为（）

A.20兀B.24兀C.28兀D.36兀

8.函数/（劣）=—+Inx+b（aER.bER）的两个极值点如电满足为2cl，贝!J2x+x的最小

e。r2

值为（）

A.41n2B.4C.31n2D.61n2

二、多选题（本小题共3小题,每小题6分，错选多选不给分，满分18分）

9.下列命题正确的有

A.（e~xy=­e~x

B.已知函数/（,）在A上可导，若广⑴=2,则lim"l+2f）-/⑴=2

△iT）LXX

C.已知函数/（6）=ln（2/+1），若/（g）=1,则/0=\~

D.［（劣2+2）simr］'=2Nsin/+（〃+2）cos/

10.数列｛册｝的前几项和为Sn，则下列说法正确的是（）

A.已知a=5+2V6,c=5—2西,则使得a,b,c成等比数列的充要条件为b=1

B.若｛QJ为等差数列,且a101i<0,a1011+阳色>0，贝U当5九V0时，n的最大值为2022

C.若%=—2九+11,则数列｛Q/前5项的和最大

D.设S”是等差数列｛册｝的前几项和，若言=《，则祟=焉

63316"

11.已知函数/（力）=ex（x—aex）,aE则下列说法正确的是（）

A.当Q=—1时，/（力）有唯一零点

B.当a>/时，/㈤是减函数

C.若/（2）只有一个极值点，则a40或a=；

D.当a=1时，对任意实数t,总存在实数X1,x2,使得广⑴=汽-2）

三、填空题（本小题共3小题,每小题5分，共15分）

12.直线/:/—g—4=0与圆C:x2+g2-6力+10y+25=0相交于/,B两点，则弦4B长为

13.若直线y=一力+馆是曲线g=2/+3/+4与曲线y=-ex+n的公切线，则n=.

14,设函数/（①）=等，若存在［a,6］c使得了3）在值切上的值域为［如,阮］，则实数％的

取值范围是.

四、解答题（本小题共5小题，共77分）

15.（本题13分）设正项等差数列｛斯｝的前几项和为S”,且2S”=成+an-2.

⑴求｛a“｝的通项公式；

（2）数列｛&„｝满足log2第=%-1.设在数列｛%｝中且不在数列｛bn｝中的项按从小到大的顺序构

成数列｛品｝,记数列｛c„｝的前n项和为北,求Ti0.

16.（本题15分）已知函数/（力）=111力+。力2—3/（。€/?）.

（1）若函数/Q）在点（1,/（1））处的切线方程为y=-2，求函数/（⑼的极值；

（2）若Q=l,对于任意力1,62^[1,10],当力1〈r2时,不等式/（力1）—/（62）＞竺3——恒成立，求

61/2

实数力的取值范围.

17.（本题15分）如图，在四面体P4BC中，乙4PC=/BAC=90°,平面平面ABC,47=

（1）证明：

（2）若二面角P-BC-A的余弦值为弯]，求48的长.

18.（本题17分）已知函数，（宓）=«e

⑴当a=l时，讨论/（2）的单调性；

⑵当0时，a=卷，证明:f（x）<—1；

（3）设nCN*,证明：H—/5H1--/1>ln（n+1）.

VF+1V2H2

19.（本题17分）在平面直角坐标系xoy中,过点F（LO）的直线I与抛物线C：y2=4x交于跖N两点

（河在第一象限）.

（1）当\MF\=3|JVF|时,求直线I的方程；

（2）若三角形OMN的外接圆与曲线。交于点。（异于点O,M,N）,

⑴证明:AMND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；

（w）求凸四边形。加N的面积的取值范围.

惠州一中2026届高二（下）3月阶段考试数学答案

一、单选题（本小题共8小题,每小题5分，共40分）

1.B【解析】已知数列｛cm｝的前几项之和5n=疗+1,所以51=。1=2,所以52=。1+。2=5,・・.

a2=3,

所以S3=Ql+。2+Q3=10,；・。3=5,所以Qi+。3=7.故选：B

2.。【解析】由已知得a2=16渐近线为y

n-PA

D【解析】直线PA与平面a所成角的大小的正弦sin。=1A一匹

3.RWl2〃一6

4.C【解析】构造函数/（力）=/In力，根据单调性c<a<b

5.。【解析】补成后为正四面体，根据几何性质求正四面体的高的一半。

D【解析】易知广（2）=x+—-2=炉—2二+",

6.XX

因为/Q）有两个极值点，故r（劣）有两个变号零点,

m>0,

故炉一26+m=0在（0,+co）上有两个不同的解,故所以0VmVI.故选:

A=4—4m>0,

D.

7.C【解析】三角形4B。、三角形BCD均是边长为2V3的等边三角形，两

三角形中心分别是E,F,分别过E,F做相应面的垂线,两垂线相交于球心,

根据几何关系求得球的半径为V7

8.A【解析】由函数/（比）=—+Inx+b（aER,bGR）,f'（x）=-—

exe。

a

+—，f'(x)=0,则ax=+,因为函数/(%)+In力+b(aER,bER)两个极值点g,劣2,则

xex

X1

e=ax1®,e*2=ag②，得=%■③，设&■=£,则土e(1,2］且力2=力电，代入③得力1—

/1/1

Initint.c121nt(tint(t+2)lnt

口，g=口，・♦2电+g=-+—=一

2

fzpx—31nx——+1

设gQ)=(1V/42),则g'(x)=---------------------(142),

o

设h{x}—x—Sinrc------F1(1V/&2),则

x

（力一1）（力一2）

〃㈤=1-？+亳V0,••.九㈤在(1,2］单调递减，h(x)<h(X)=0,从

X2

r

而g(x)V0,・・.g3)在(1,2］单调递减，，g(x)>g⑵=41n2,2g+x2=g(t)>41n2故2g

+x2的最小值为41n2.

故答案为：41n2

二、多选题（本小题共3小题,每小题6分，错选多选不给分，满分18分）

9.ACD【解析】对于A,（ef）'=-eF,故A正确；

/(1+2A/)—/⑴/(1+2ZM—/⑴

对于B,lim21im=2:(1)=4,故石错误.

!\xAx-»O2Ac

对于c,r(2)=2J+1(2必+1)'=2.；i，若广(g)=L则2j+i=i即g=B，故

c正确.

对于_D,由导数四则运算有[(力2+2)simc]'=2力sine+(力2+2)cose,故。正确.

10.CD【解析】对于4,6=±1；对于B,S2022>0

对于。，若册=—2n+11,则，九=一"+10n,所以前5项的和最大

对于。，设Sn是等差数列｛为｝的前八项和，S4,S「SA,S12—S8，S16—S12成等差数列，若祟

=里，则竺=—

5人」&622

11.【解析】对于4当a=-1时,/(力)=e，(力+e，),令/(力)=0,得c+e，=0,

令g(力)=.+e3得g'Q)=1+e*>0,即gQ)在7?上单调递增，

又g(—1)=—1+6-1VO,g(l)=1+e>0,由零点存在定理可得g(c)=x+e。在R上有

唯一零点，即/(力)有唯一零点，人正确；

对于8：/'(力)=ex(x—aex)+ex(l—aex)=ex(x+l—2aex),

令①+1—2ae，<0,得2a>生也，设伏力)二①士^，则方(2)=二

梦ex(eT)

一/

ex，

当力VO时，h，(x)>0,h(x)单调递增，当力>0时，h/(x)V0,h(x)单调递减，

1/r-L11

所以无(力)max=〃0)=1，又当时,2a>l,所以2a>-----恒成立，即当0>方~

时,/0)是减函数，石正确；

]T-I—1

对于。:当。=工时，由8知-----W1,即力+1We%所以:(力)=ex(x+l—ex)W0,即

f3)在R上单调递减,无极值，。错误；

对于。：当口=1时,/(力)=e*(w—e*)，r(c)=ex(x+l—2ex),

令k(c)=ex(x+l—2ex)，得k'(力)=ex(x+l—2ex)+ex(l—2ex)-e*(力+2—4e%),

令q(力)=x+2—4e，,贝！Jqr(x)=1—4e*,

当/(力)>0,即力〈1111时，q(力)单调递增，当力)V0,即方>ln｝时，q(力)单调递

减，

所以q(c)max=q(lng))=lnQ)+2_4e3)=lng)+1<0,

即E(x)=e*(/+2—4e*)V0恒成立，所以/'(力)=e)(/+l—2e”)单调递减，又力+1<

xx

e<2ef

所以r(乃vo,所以/(力)在R上单调递减，

且当N-—8时，/(力)-0,当/一+8时,/(力)一—8,可得/(力)的大致图象如下:

由图可知对任意实数t，总存在实数X1,X2,使得f'（t）=:⑹二加2），。正确.斗

三、填空题（本小题共3小题,每小题5分，共15分）;亍树厂

12.2【解析】圆心（3,-5）半径3,d=2其弦长为2停二②哥=2.\

13.—3【解析】直线夕=—2+小与曲线g=2炉+3，+4联立,解得机=2,（%2,/（T2）V

设夕=—2+2与曲线y=—e"+"相切于（%,—6的+"）,—e。计"=—1与直线联立得n=—3

14.［卷,5）【解析】1（工）=1^>（）在定义域［!，6］上恒成立,函数递增，

（f（a）=-^^-=ka11「11、

Ib_i；b_kb即=用在定义域［卷，e］有两解。比较极值与端点值得ke［专,泰）。

四、解答题（本小题共5小题，共77分）

15.（1）设正项等差数列｛®｝的前几项和为S“，"=l,ai=2,（2分）

2Sn=*+（1n-2,则2Sn+i=a"i+fln+1-2.（3分）

两式相减可得（册+1+诙）（册+1—%—1）=0,an>0,an+1-an=l（5分）

（«„）首相为2,公差为1,斯=n+1；（7分）

（2）由an=n+l,log2b„=a„—1,得0=2".（9分）

设数列｛幻｝的前几项和为4,在数列｛«„｝中且不在数列｛6„｝中的项按从小到大的顺序构成数列

｛cn｝的前100项和鸳。=S45—％=（45X2+BX45X44X1）—［=1018.（13分）

16•【解析】⑴由题意得函数/㈤的定义域为(0,+8),『(x)=-+2ax-3

X

由函数/(⑼在点(1,/(1))处的切线方程为y=-2，得/(1)=1+2a—3=0,解得a=1(2

分)

2

止匕时/(a?)=Inx+x—3x,f<x)=—+2a?—3=-阮+1.

令广（2）=0,得2=1或2=J.（4分）

X0)_1X=1(1,+8)

(1)x~^2(T4)

f'⑸+0—0+

f⑻递增—In2一片递减-2递增

（6分）

则当力=1时，函数/Q）取得极小值，为，（1）=1111+1—3=—2,（7分）

当力=[时,函数/（劣）取得极大值，为/（=ln-^-+3----1-=—ln2—T-.（8分）

⑵由a=1得/（力）=Inx+x2—3x.

不等式/（g）—/（22）＞叱＞可变形为/（g）—/（.）＞箸一箸，

即/（g）——＞/（x2）——因为电，22e[1,10]，且①1v±2，

力1/2

所以函数沙=/3）—也在上单调递减.（io分）

X

令从2）=/（rc）—等=Inx+x2—3x—*,xe[1,10],则h'{x）=：+22一3+-＜0

在2e[1,10]上恒成立，即mW—2砂+3炉一工在工e[1,10]上恒成立（12分）

设尸（①）=—2炉+3炉一土,贝ijF'{x）=-6x2+6x—1=—6（①一-+-1-.

因为当①e[1,10]时，尸Q）＜0,

所以函数尸㈤在[1,10]上单调递减，所以FQ）min=斤（10）=-2X1O3+3X102-10=

-1710,（14分）

所以mW—1710,即实数小的取值范围为（-8,-1710].（15分）

17.【详解】（1）因为平面_R4C_L平面ABC,AB_LAC,

平面PACn平面ABC=A。，ABu平面ABC,

所以平面B4C,（2分）

因为PCU平面_R4C,所以ABLPC,（3分）

又因为PC_LP4,_R4n4B=A,24,ABU平面Q4B,

所以PC,平面_R4B,（5分）

PBU平面_R4B,从而PBLPC.（6分）

（2）在平面PAC内，过点P作PO，AC交AC于。，

因为平面Q4C_L平面ABC,平面PACC平面ABC=AC,

PD_LA。,PDu平面PAC,

.•.PD，平面ABC,（8分）

因为AC=2〃=4,弘_LPC,

所以PC='402—242=2遍,可得PD=PA;詈.=遍,

A。

AD=y/P^-PD2^l,GD=AC-AD=3,（10分）

因为AB，AC,所以DP,DA,4B两两垂直，

以点。为坐标原点，前，反，说的方向分别为c、沙、z轴的正方向，

建立如下图所示的空间直角坐标系，设人3=力（力＞0）,（11分）

则P（0,0,通），B（t,-1,0）,C（0,3,0）,BC^（-4,4,0）,PC=（0,3,-A/3）,（12分）

设平面PB。的一个法向量为元=（c，V，z）,

则风至=一树+旬=°,取2=后

[n-PC=3y—V3z=Q

则日=q,l,V^),(14分)

易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),

由cosm,n=告：।=--/彳=-^P-，

BH司lxJ碧+1+3)

解得±=4,所以AB=4.(15分)

18.【答案】⑴/（工）的减区间为（―oo,0）,增区间为（0,+oo）.（2）略（3）见解析

【详解】⑴当a=1时，/（a:）=（/—l）e",则（（c）=xex,（1分）

当cVO时,/（2）<0,当①>0时,/（,）>0,（3分）

故/（0的减区间为（一8,0）,增区间为（0,+8）.（5分）

⑵要证xe^x-ex+l<0成立,

令力则t>l,1^=ex,x=21n±,

故需证2tlnt<t2-l成立，即21nt<f-y对任意的力>1恒成立.（7分）

设h（t）=2lnt—t+-Y，h/（t）二3—1—■y=—'~-<0恒成立，（8分）

tttt

所以力>1时h（t）=2lnt—力+［单调递减，即h（t）—21n力一力+十V无⑴=0（10分）

即证得/（/）<—1。（11分）

（3）21nt<^-y对任意的力>1恒成立.

所以对任意的hEN*,有2111^<^n~n^~Vn+l,"3分）

整理得到：ln（n+l）—Inn</1,（15分）

Vn2+n

故/1H—/1H-----1--/1>ln2—Ini+ln3—ln2H-----Fln（n+1）—Inn

Vl2+1V22+2Vn2+n

=ln（n+l）,故不等式成立.（17分）

19.【答案】⑴g=⑵⑴证明见解析;纵坐标为0；⑻（当2,+8）.

【解析】【小问1详解】

解:设直线7WN：力=7720+1,M（X1,Ui）,N（X2,?2）

联立?21?"+1，消去力，得42一如冲一4=0,所以m+纺=4772,%・仇=一4,（2分）

ly—4力

\MF\=3即1,则yi=-3仍.•・卜什2"学，则加=（,（4分）

1%・42=一542=-4J

又由题意小>0,工??2=挈^，直线的方程是y—V3x—V3；（5分）

【小问2详解】（1）方法1：设河（如如,"（狈物）,。（如％）

因为O,M,_D,N四点共圆，设该圆的方程为x2+y2+dx+=

联乂{2A，消去力,得婿+（4d+16）姨+16eg=0,（7分）

[y—4：x

即g（y+（4d+16）g+16e）=0,所以%,"2,沙3即为关于V的方程姨+（4d+16）g+16e=0的3个根，

则0+（4d+16）T/+16e=@一如@一纺）（"一例），（8分）

因为（4一%）（。一纺）（沙一。3）=吸一（%+纺+%）量+（%改+仍仍+%43）。一切统沙3，（9分）

由42的系数对应相等得，%+纺+防=0,所以△M7V。的重心的纵坐标为0.（10分）

⑵记AOMNAMND的