函数的4大基本性质解题技巧（单调性奇偶性周期性对称性）（原卷版）

题型02函数的4大基本性质解题技方

（单调性、奇偶性、周期性、对称性）

「技法01函数单调性的应用及解题技巧

|技法02函数奇偶性的应用及解题技巧

|技法03函数周期性的应用及解题技巧

|技法04函数对称性的应用及解题技巧

|技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧

技法01函数单调性的应用及解题技巧

喟3・常见题型解读

在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复

合函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查.

知识迁移

1.同一定义域内

①增函数（/）+增函数（/）=增函数/②减函数（\）+减函数（\）=减函数、

③/（x）为/,则一/（%）为、，嗯工为、

④增函数（/）—减函数（\）=增函数/

/（X）

⑤减函数（\）—增函数（/）=减函数、⑥增函数（/）+减函数（\）=未知（导数）

2.复合函数的单调性

函数f（x）=Mg（x））,设"=g（x）,叫做内函数，贝/（X）=叫做外函数,

'内函数T,外函数复合函数T

内函数J,外函数复合函数T任、人闩+的日什

'内函数T,外函数复合函数右结论：町曾升减

、内函数外函数复合函数J

02

跟我学•解题思维剖析

例1.（2020•全国•统考高考真题）设函数/（彳）=炉一3,则“X）（）

A.是奇函数，且在（0,+s）单调递增B.是奇函数，且在（0,+8）单调递减

C.是偶函数，且在（0,+8）单调递增D.是偶函数，且在（0,+8）单调递减

解题

技巧点拨

Mx）=必在定义域内（0,+8）是增函数，g（x）=]在定义域内（0,+8）是减函数,

X

所以/（X）=三在（0,+⑹单调递增

【答案】A

唁4人知识迁移强化

2

1.（2023•宁夏银川•统考模拟预测）已知函数/（x）=l--，则（）

A.f（x）是偶函数且是增函数B./（尤）是偶函数且是减函数

C.f（x）是奇函数且是增函数D.f（x）是奇函数且是减函数

2.（2021•内蒙古包头・统考一模）设函数〃x）=ln|3x+l|+ln|3x-],则〃尤）（）

A.是偶函数，且在,肛-j单调递增B.是奇函数，且在单调递减

C.是偶函数，且在单调递增D.是奇函数，且在卜巴-「单调递减

3.（2023•全国•模拟预测）函数〃尤）=1°81（一尤2+%+6）的单调递减区间为（）

技法02函数奇偶性的应用及解题技巧

哨高年•常见题型解读

纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算,

则可提升解题速度，做到快速求解.

知识迁移

①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称(大前提)

②奇偶性的定义：

奇函数：/(-X)=-/(%),图象关于原点对称，偶函数：/(—x)=/(x),图象关于y轴对称

③奇偶性的运算

f(x)g(z)/O)+g(.T)/(])—g(x)

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

02k.

跟我学•解题思维剖析

1.(2023•全国•统考高考真题)若/(x)=(x-l)2+ax+sin]x+

例:为偶函数，则"=______

1技巧点拨o

由题知/=+ax+sin[x+g]=+or+cosx=/+(。-2)*+1+8$了为偶函数，定义域为R,

【法一】奇偶性的运算

〃元)=炉+(a-2)x+l+cosx

只需a—2=0即可

【法二】寻找必要条件(特值法)

7171

所以/—a+cosa+cos一，

22

睛条练•知识迁移强化

1.（2023•全国•统考高考真题）若〃尤）=（x+“）ln1|］为偶函数，则。=（）.

A.-1B.0C.yD.1

2.（2023•全国•统考高考真题）已知了（乃=资］是偶函数，则。=（）

A.-2B,-1C.1D.2

3.（2021•全国•高考真题）设了⑺是定义域为R的奇函数，且〃l+x）=〃-x）.若,_£|=g,则/

4.（2020・山东•统考高考真题）若定义在R的奇函数/（x）在（-应。）单调递减，且/（2）=0,则满足对■（尤-1）20

的x的取值范围是（）

A.[-1,1][3,+8）B.[-3,-1][0,1]

C.[7,0]31,+8）D.[-l,0]o[l,3]

5.（2022•全国•统考高考真题）若尤）=ln〃+1*-+匕是奇函数，则。=____,b=____

1—X

技法03函数周期性的应用及解题技巧

《鲁考・常见题型解读

纵观历年考题，函数周期性是函数及高考的重要考点，要熟悉周期性的定义，若能熟悉周期性的运算,

则可提升解题速度，做到快速求解.

知识迁移

①若/(x+a)=/(x),则/(x)的周期为：T=|«|

②若/(x+a)=/(x+b),则/(x)的周期为：T=\a-k\

③若/(x+a)=—/(x),则/(x)的周期为：T=\2a\(周期扩倍问题)

④若/(x+a)=±则/(x)的周期为：T=|2a|(周期扩倍问题)

02

跟我学•解题思维剖析

例3.(全国•高考真题)已知/。)是定义域为(-8,+8)的奇函数,满足尸(1-幻=f(1+X).若/⑴=2,则

/(1)+/(2)+/(3)+-+/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

解题

技巧点拨o

因为/(X)是定义域为(3,+8)的奇函数，所以/(1—x)=—/(X—1),即/(x+l)=—/(x—1),所以周期为4

【答案】C

睛条练•知识迁移强化

1.(2023上•海南省•高三校联考)已知函数是定义在R上的奇函数，且"1)=3,/(5-x)=-/(l-x),

贝厅(2024)+“2023)=()

A.-3B.0C.3D.6

2.(2022•全国•统考高考真题)已知函数〃%)的定义域为R,>/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,则

22

£f(k)=()

左=i

技法04函数对称性的应用及解题技巧

需高・常见题型解读

纵观历年考题，函数对称性是函数及高考的重要考点，要熟悉对称性的定义，若能熟悉对称性的运算,

则可提升解题速度，做到快速求解.

知识迁移

轴对称

①若f(x+a)=/(-x),则/(x)的对称轴为x=m

②若f(x+a)=f(-x+b),贝U/(x)的对称轴为x

点对称

①若/(x+4)=—/(—x),则/(x)的对称中心为o]

②若/(x+a)+f(-x+b)=c,贝U/(x)的对称中心为

02

跟我学•解题思维剖析

例4-1.(全国•高考真题)下列函数中，其图像与函数y=lnx的图像关于直线％=1对称的是

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2一％)C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

解题

技巧点拨o

【法一】函数y=lnx过定点(I,0),(1,0)关于x=l对称的点还是(1,0),只有y=ln(2-x)过此点.

故选项B正确

【法二】关于x=l对称即/(I—x)=/(l+x),即F(x)=F(2-X)

【答案】B

例4-2.(2016•全国•高考真题)已知函数/QXxwR)满足/(f)=2-/(x),若函数〉=匚Y+］与y=〃尤)图

X

m

像的交点为。，%)，(无2，…,每，％)，则»%+%)=

i=\

A.0B.mC.2mD.4m

技巧点拨o

【详解】［方法一］:直接法.

由/(㈤=2—/(x)得关于(0,1)对称,

而y=±二=1+!也关于(0,1)对称，

XX

团对于每一组对称点％+%/=。x+yr=2,

mmtn

团2(%+%)=2为+2%=0+2.彳=m，故选B.

i=li=li=l'

［方法二］:特值法.

由〃-x)=2—〃x)得〃-x)V(x)=2

r_)_11

不妨设因为〃X)=X+1,与函数了=—1=1+［的交点为。,2),(-1,0)

回当m=2时，xx+yl+x2+y2=2=m,故选B.

［方法三］:构造法.

设s(x)=/(x)—1,贝i］s(-x)=/(—x)-l=l-/(x)=—s(x),故S(x)为奇函数.

设《无)=y-l=：,贝！］/(-x)=T(x),故《X)为奇函数.

团对于每一组对称点为+%'=oS］+4'=0.

将¥=%-1,代入，即得斗+%'=。％+%'=2

mmm

团2(%+%)=2>,+2%=0+23=机，故选B.

z=］i=li=l'

［方法四］:

由题意得，函数7(x)(尤eR)和/(-%)=2-/(x)的图象都关于(0,1)对称，

所以两函数的交点也关于(0,1)对称，

对于每一组对称点(X”％)和(％,y.),都有玉+X：=0,%+y.=2.

从而W/占+%)=弓,2=机.故选B.

i=l2

【答案】B

例4-3.(2022・全国•统考高考真题)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且

22

/(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线尤=2对称，g(2)=4,则£/(%)=(

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

解题

技巧点拨o

因为y=g。)的图像关于直线x=2对称，

所以g(2-x)=g(x+2),

因为g(无)一/(尤一4)=7,所以g(x+2)-"x-2)=7,即g(尤+2)=7+/(无一2),

因为f(x)+g(2-x)=5,所以因x)+g(x+2)=5,

代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(尤)+f(x-2)=-2,

所以〃3)+〃5)++/(21)=(-2)x5=-10,

/(4)+/(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因为f(x)+g(2-尤)=5,所以f(0)+g(2)=5,即/1(0)=1,所以八2)=-2-〃0)=-3.

因为g(x)-f(尤-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因为/(x)+g(2-元)=5,

联立得，g(2-x)+g(x+4)=12,

所以V=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,

所以g⑶=6

因为/Xx)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g(3)=T.

22

所以=/⑴+〃2)+[/(3)+/(5)+…+/(21)]+[/(4)+/(6)+.+/(22)]=-l-3-10-10=-24.

k=l

【答案】D

你来练•知识迁移强化

1-?r

1.（2023上•江苏南通•高三统考阶段练习）已知曲线y=-d_3/+9x+9与曲线y=一交于点

x+1

n

4（%，%），&（孙力），…，4（%，%），则2（%+%）=（）

Z=1

A.-16B,-12C.-9D.-6

2.（2023•全国•模拟预测）已知定义在R上的函数/（元）满足对任意实数尤有了（x+2）=/（x+l）-/（x）,若

123

y=f（2x）的图象关于直线尤=；对称，/'⑴=2,则\＞（左）=（）

2k=i

A.2B.1C.-1D.-2

3.（2023・湖南・湖南师大附中校联考一模）（多选）已知函数〃尤）=cosx+」1，则（）

COSZX

A.的图象关于直线了=兀轴对称

B.的图象关于点二,。］中心对称

C.的所有零点为（2k+1）私左eZ

D./（x）是以兀为周期的函数

4.（2023•全国,模拟预测）（多选）已知函数/（力=型立+a立，则下列判断正确的是（）

A.函数〃x）的图象关于原点对称B.兀是函数的一个周期

C.函数的图象关于直线x对称D.当母时，的最小值为1

技法05函数4大性质的综合应用及解题技巧

叫曾考•常见题型解读

纵观历年考题，函数奇偶性是函数及高考的重要考点，要熟悉奇偶性的定义，若能熟悉奇偶性的运算,

则可提升解题速度，做到快速求解.

知识迁移

1.周期性对称性综合问题

①若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=f(b-x),其中aM,则/(x)的周期为：T=2|a-Z?|

②若/(a+x)=—/(a—x),/0+x)=——x),其中则/(x)的周期为：

T=2|a-Z?|

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)^-f(b-x),其中则/(x)的周期为：

T=4|a-Z?|

2.奇偶性对称性综合问题

①已知/(x)为偶函数，/(x+为奇函数，则目(无)的周期为:T=4|a|

②已知/(x)为奇函数，/(x+a)为偶函数，则目(%)的周期为:T=4同

02

跟我学•解题思维剖析

例5.(2021•全国•统考高考真题)已知函数外”的定义域为R,“X+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数,

贝U()

A.=0B./(-1)=0C