函数的概念与性质（8题型+高分技法+限时提升练）学生版-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点03函数的概念与性质

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年分段函数、函数的奇偶性

2023年函数的值域，函数奇偶性的判断、函数与方函数的性质应用、函数与方程的应用

程的应用

2022年抽象函数的性质应用、函数的定义域及其求

法

热点题型解读

堂5函教奇偶性的性质与判断题型1函雌定义域法

题型6单调性与胡禺峥合题年函数碑域

函数的概念与性质

理7抽象函数及其应用题型3函数单调性的性质与判断

题型8函数恒成立问题题型4函数的最值及其几何意义

题型1函数的定义域及其求法

!求函数的定义域应关注三点

；①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：（i）分式的分母不为0；（ii）偶

次根式的被开方数非负；（iii）y=x。要求xWO.

i②不对解析式化简变形，以免定义域变化.

!③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的

公共部分的集合.

I_____________________________________________________________________

1.（2022•上海）下列函数定义域为R的是（）

_i_

A.y=x^B.y=x~{C.y=x^D.y=x^

2.(2024•松江区校级模拟)若函数/(无)=犷/+2加+3(加eZ)的定义域为R,S.f(x+V)=f(-x-V),则实数a

的值为—.

3.(2021•上海)已知函数/(x)=J|x+a|-a-x.

(1)若°=1,求函数的定义域；

(2)若若/(ax)=a有2个不同实数根，求。的取值范围；

(3)是否存在实数a,使得函数/'(尤)在定义域内具有单调性？若存在，求出。的取值范围.

题型2函数的值域

一区T

求函数值域的方法

⑴观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.

(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方j

法.

(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域.

(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.

(5)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±6士Jcx±力,通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数：

求值域的方法，间接地求解原函数的值域.

1.(2023•上海)已知函数/(幻=11'运°，,则函数/〈X)的值域为_______.

[2%,x>0

4r2

2.(2024•嘉定区校级模拟)已知函数〃幻=々_,则对任意实数》,函数的值域是()

2x+1

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

3.(2024•嘉定区二模)函数>=|1-1|+|%-4|的值域为.

4.(2024•松江区校级模拟)函数/(x)=|x-a|+cosx在[0,6]上的值域为[-1,包],则2的值为_______.

2a

5.(2024•浦东新区校级模拟)设函数/(%)的定义域为。，若函数/(x)满足条件：存在[a,6]=。，使/(%)

在[a,可上的值域为专，刍，则称/(x)为“倍缩函数”，若函数”幻=1喝(2*+，)为“倍缩函数”，贝卜的

范围为.

6.(2022•上海)设函数/(x)满足〃x)=/(」一)对任意xe[0,+8)都成立，其值域是人,已知对任何满

足上述条件的/(x)都有｛yIy=/(x),0«(研=Af,贝ua的取值范围为.

题型3函数单调性的性质与判断

一④

1.求函数的单调区间

(1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函

数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间.

(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用

”分开.

2.由函数单调性求参数范围的处理方法

(1)由函数解析式求参数

若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件.

若为一次函数---由一次项系数的正负决定单调性.

若为分段函数——数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小.探求参数满足的条|

件.

(2)当函数危)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号去掉，列

出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.

3.利用定义证明函数单调性的步骤

⑴取值并规定大小：设修，切是该区间内的任意两个值，且Xi<X2.

(2)作差变形：作差八Xi)-/(X2)(或次X2)-/(Xi)),并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判

断正负的关系式.

(3)定号：确定於1)一於2)(或加2)—/1))的符号，当符号不确定时，进行分类讨论.

(4)结论：根据定义确定单调性.

1.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数〃x)=历上，则/^2)+/(工)<0的解集是________________.

2-x

2.(2024•闵行区校级三模)设f>0,函数>=〃x)的定义域为R.若对满足超-西〉f的任意网、“均

有〃龙2)-〃再)>一则称函数y=〃x)具有“尸⑺性质

(1)在下述条件下，分别判断函数y=〃x)是否具有尸(2)性质，并说明理由；

①；

②/W=10sin2x；

(2)已知/(%)="3,且函数y=/(x)具有P(1)性质，求实数a的取值范围;

(3)证明："函数y=/(x)-x为增函数”是“对任意,>0,函数y=/(x)均具有尸⑺性质”的充要条件.

3.(2024•宝山区校级四模)已知/、8为实数集尺的非空子集，若存在函数了=/(无)且满足如下条件：①

y=/(%)定义域为A时，值域为B；②对任意再、x,e/,玉片％，均有八%)一/区)>o.则称/(x)是集

项-x2

合N到集合8的一个“完美对应”.

(1)用初等函数构造区间［0,1)到区间［0,+8)的一个完美对应/(x);

(2)求证：整数集Z到有理数集。之间不存在完美对应；

(3)^f(x)=x3-kx2+l,keR,且〃x)是某区间/到区间［-3,2］的一个完美对应，求左的取值范围.

题型4函数的最值及其几何意义

1.图象法求函数取值的一般步骤

2.利用单调性求最值的一般步骤

①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值.

(2)函数的最值与单调性的关系

*①若函数在闭区间［a,切上单调递减，则八x)在［a,6］上的最大值为/(a),最小值为{6).

!②若函数在闭区间［。，6］上单调递增，则人x)在［a,6］上的最大值为人多，最小值为Ha).

II

；③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值.

1.(2024•静安区二模)已知实数ae(0,6),记=.若函数>=/(x)在区间［0,2］上的最小值

为-2,贝Ua的值为—.

2.(2024•青浦区校级模拟)已知七，七是实数，满足x；+知-4占％=8,当|x"取得最大值时，

\x{+x2\=.

3.(2024•松江区二模)已知函数/(x)=|logM，若/(再)=/(9)(再/修),则4占十3的最小值为.

4.(2024•松江区二模)已知0<a<2,函数了=1(°\2"+4"+1，2,若该函数存在最小值，则实数°的

12aI,x>2-

取值范围是.

5.(2024•金山区二模)已知函数了=/(无)与了=8(幻有相同的定义域。.若存在常数a(aeR),使得对于

任意的花€。，都存在马©。，满足/(xj+g(x2)=a，则称函数了=g(x)是函数y=/(x)关于a的"S函

数”.

(1)若"x)=/〃x,g(x)=",试判断函数y=g(x)是否是y=/(x)关于0的“S函数”，并说明理由；

(2)若函数y=/(x)与y=g(x)均存在最大值与最小值，且函数y=g(x)是y=/(x)关于。的“S函数”，

7=/(x)又是y=g(x)关于。的"S函数"，证明：［/(x)］加“+［g(x)］max=a；

(3)已知,g(x)=&,其定义域均为［0,1］.给定正实数t,若存在唯一的a,使得y=g(x)

是y=/(x)关于0的“S函数”，求r的所有可能值.

题型5函数奇偶性的性质与判断

i.判断函数奇偶性的方法

（1）定义法：

既是奇函数

.又是偶函数,

（2）图象法:

危关于原点对称）~d/x）为奇函数）

的

图

象

-（关于y轴对称）——为偶函数）

2.巧用奇、偶函数的图象求解问题

（1）依据：奇函数o图象关于原点对称，偶函数=图象关于了轴对称.

（2）求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题.

3.利用奇偶性求值的常见类型

（1）求参数值：若解析式含参数，则根据人一》）=一心）或人一天）=/3）列式，比较系数利用待定系数法求解;

若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.

（2）求函数值：利用八一X）=—/）或y（—x）=/（x）求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.

4.用奇偶性求解析式的步骤：

如果已知函数的奇偶性和一个区间［a,6］上的解析式，求关于原点的对称区间［—6,—0上的解析式，其

解决思路为

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.

（2）利用已知区间的解析式进行代入.

（3）利用.HX）的奇偶性写出一八一x）或八一x）,从而解出段）.

1.（2023•上海）下列函数是偶函数的是（）

A.j=sinxB.y=cosxC.y-x3D.y-2A

2.（2024•浦东新区三模）已知g（x）」Y+2'-LG。为偶函数，若/（a）=11）则.=

3.（2024•闵行区校级二模）已知函数”外=心2，+占是定义域为R的偶函数.

（1）求实数a的值;

3斤2]

（2）若对任意都有成立，求实数上的取值范围.

k

4.（2023•上海）已知a,ceR,函数y（x）=x-+（3"+l）x+c.

x+a

（1）若a=0,求函数的定义域，并判断是否存在c使得〃x）是奇函数，说明理由；

（2）若函数过点（1,3）,且函数/（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和。的取值范围.

题型6单调性与奇偶性综合

!0000!

1.比较大小的求解策略

（D若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；

（2）若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单

调性比较大小.

II

!2.利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类

（1）利用图象解不等式.

（2）转化为简单不等式求解.

i①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或加1）的2）的形式.

i②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的转

II

!化为简单不等式（组）求解.

特别提醒：列不等式（组）时不要忘掉函数的定义域.

i.（2024•上海）一巨风雷薮7G屈蓬芟题贰至爻藁吝高={/京彘7;/能;，在

使得1]的所有/（X）中，下列成立的是（）

A.存在/（X）是偶函数

B.存在〃x)在x=2处取最大值

c.存在〃x)为严格增函数

D.存在/(X)在X=-1处取到极小值

2.(2024•黄浦区校级模拟)已知/(x)是定义在R上的偶函数，若\/再、x2e[0,+>»)且毛/3时，

)(再)一/(%)>2a+%)恒成立，且/(2)=8,则满足/(川+〃*2(/+加)2的实数机的取值范围为()

再f

A.[-2,1]B.[0,1]C.[0,2]D.[-2,2]

3.(2024•长宁区二模)已知函数夕=/(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，/(x)=log2x,若f(a)

>1,则实数a的取值范围为.

题型7抽象函数及其应用

7：7亚f•蒲家'新应接级模板：百好函数/(；)i一:援艾域为且/(x)g(y)-7^氤B=f(x-y),

g(x)g(y)-/(x)/(y)=g(x-y),g(0)w0，则下列结论正确的是()

①若/(1)+g(1)=1,则/(2024)-g(2024)=l；

②若f(1)-g(1)=1,则〃2024)+g(2024)=l.

A.②B.①C.①②D.都不正确

2.(2024•宝山区校级四模)已知函数y=/(x)具有以下的性质：对于任意实数。和6,都有

f(a+b)+f(a-b)=2f(a)-f(b),则以下选项中，不可能是7(1)值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.(2024•黄浦区校级模拟)已知函数/(x)的定义域为R,f(xy)=y1f(x)+x2f(7),则下列说法正确的

有.

①/(0)=0；

②f(1)=0；

③/(x)是偶函数；

④x=0为/(x)的极小值点

4.(2020•上海)已知非空集合函数y=/(x)的定义域为。，若对任意feN且xe。，不等式

(X+。恒成立，则称函数/(X)具有力性质.

(1)当/={-1},判断〃x)=-x、g(x)=2x是否具有/性质；

(2)当/=(0,1),f(x)=x+-,xe[a,+00),若〃x)具有/性质，求0的取值范围；

(3)当/={-2,m},meZ,若。为整数集且具有/性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的切的

值.

题型8函数恒成立问题

0O日W

1.分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

(2)a力(X)恒成立芸/(X)max；

a恒成立Qag/(x)min；

a能成立=a》7(x)min；

aq/(x)能成立=aq(X)max.

2.根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解.

3.“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价

变换有

对于某一区间/

(l)Vxi,X2^I,Hxi)>g(x2)u：/(x)min>g(x)max.

(2)Vxie71,mX2G/2,y(xi)>g(x2)<^/(x)min>g(x)min.

>

(3)3%1£/1,Vx2e/2,Xxi)>g(X2)<^A^)maxg(^)max.

1.(2024•黄浦区二模)设函数〃x)=[一]+G+20,-4Vx<0,若>0恒成立，则实数。的取值范围是

[ax1234-2x+3,0<x<4.

()

A.(l,+8)B.(0,1)c.(^,1)D.(1,1)

2.(2024•闵行区二模)对于任意的项、x2G7?,且％2>0，不等式-西|+|历々1>〃恒成立，则实数

q的取值范围为.

3.(2024•杨浦区校级三模)设/wR,若在区间(1,2)上，关于x的不等式2,>」一有意义且能恒成立，贝卜

x+t

的取值范围为.

4.(2024•浦东新区校级模拟)若存在实数t,对任意的xe[0,s],不等式(2x-f7刀一一工区0恒成

立.则正数s的取值范围是.

5.（2024•浦东新区校级模拟）已知函数+若对Vxe[-1,+8）,恒成立,

—+2x—a,x20,

则实数4的取值范围为.

6.（2024•虹口区模拟）若不等式（办-4），-6）》0对任意的xe（0,+oo）恒成立，则°+振的最小值

为.

7.（2024•宝山区三模）如果y=/（x）（xG[0,1]）同时满足以下三个条件：

勤⑴=1;

②对任意xe[0,1],/（%）20成立；

③当X12O,X220,X[+X2（l时，总有f（XI）+f（X2）W/（X1+X2）成立，则称>=/（X）为"理想函

数”.

有下列两个命题：

命题a：若（X）为"理想函数”，则存在X1，X2€[0,1]且X1<X2，使/"（X1）>/（X2）成立；

命题依若y=/（x）为“理想函数”，则对任意在[0,1],都有f（x）W2x成立.

则下列说法正确的是（）

A.命题a为假命题，命题0为真命题

B.命题a为真命题，命题P为假命题

C.命题a、命题p都是真命题

D.命题a、命题0都是假命题

xx

8.（2024•浦东新区校级模拟）已知函数了=/（无）,x&D,如果存在常数/,对任意满足网',<,,-\<n

的实数再，々,…，x„_1,x„,其中%,x2,•••,,xn&D,都有不等式恒成

z=2

立，则称函数y=/（x）,是“绝对差有界函数”

（1）函数〃x）=蛆,X》!是“绝对差有界函数”，求常数/的取值范围；

xe

（2）对于函数（=/（%）,x^[a,b"存在常数左，对任意的项，x2e[a,有"（石）一/（迎）IW无I再一9I

恒成立，求证：函数y=/（x）,X£[Q,切为“绝对差有界函数”；

71

（3）判断函数/（x）=xc°s不，°<运1是不是“绝对差有界函数”？说明理由.

0,x=0

9.（2021•上海）已知西，X2ER,若对任意的％-再£3,/（9）-/（XJGS,则有定义：/（x）是在S关联

的.

（1）判断和证明/1（x）=2x-l是否在[0,+GO）关联？是否有[0,1]关联？

（2）若/'（X）是在｛3｝关联的，“X）在xe[0,3）时，f（x）=x2-2x,求解不等式：2g（x）W3.

（3）证明：/（x）是｛1｝关联的，且是在［0,+oo）关联的，当且仅当“/（x）在［1,2］是关联的”.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、填空题

/、/、「lnx,x>0/、

1.（2024•上海徐汇•一模）已知函数>=/（x）,其中/（x）='则/。）=________.

I—1,XSU

2.（2024•上海杨浦•一模）已知函数丁=/+办+1是偶函数，则实数。的值为.

3.（25-26高三上•上海•单元测试）己知函数>=/（x）,其中〃x）=x（x+左）（x+2后）（x-3左），且/（0）=6,

贝1」斤=.

4.（2024•上海徐汇•一模）设。*€1</（力=》3+35加+6.若函数了=/3是定义在［-0,2"1］上的奇函数,

则Q+6=.

5.（2024•上海宝山•一模）已知见6为实数，且函数》=X2+办+1,%£也4］是偶函数，贝.

2\x>0,

6.（2024•上海・三模）若加eR,/（x）=）,则满足/（加-2”+3）的加的最大值为_____.

—,x<0

［2X

7.（2024•上海・三模）设teR,若在区间（1,2）上，关于x的不等式2,>」一有意义且能恒成立，则/的取

x+t

值范围为.

Q•e"—+x—1x〉0

27I'八为奇函数，则〃+b+c=_____.

｛x+bx+c-l,x<0

9.（2024•上海静安•一模）记〃》）=/+（/+62一1卜+/+2仍一/.若函数丫=/（尤）是偶函数，则该函数图

象与y轴交点的纵坐标的最大值为.

10.（2024・上海青浦•一模）已知函数>=/（x）的定义域为｛-2,-1,1,2｝,值域为｛-2,2｝,则满足条件的函数

y=/（x）最多有个.

11.（2024・上海嘉定•一模）E^D/（x）=ln（x+l）,g（x）=<j//、,贝Ug（x）>x+2-e的解集为_____.

一可,X<U

12.（2024・上海•模拟预测）若存在实数/,对任意的xe［0,s］,不等式（2天--t）（1--x）40恒成立.则正数

S的取值范围是.

二、单选题

13.(2024・上海崇明•一模)下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是()

A.y=x3B.y=QxC.y=lgxD.y=sinx

—+/7Y+20—4<x<0

2、i二，若〃X)>0恒成立，则实数。的取值范

{6ZX-2x+3,0<x<4

围是()

15.(2024・上海•模拟预测)定义集合屈='|%6氏》€(-8,%),/(幻</伉)},在使得初=[-1,1]的所有

/'(x)中，下列成立的是()

A.存在“X)是偶函数

B.存在〃x)在x=2处取最大值

C.存在“X)严格增

D.存在“X)在x=­l处取到极小值

16.(2024・上海青浦•一模)已知函数>=/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时,

/(x)=(x-l)(x-3)+0.01,则关于函数>=在R上的零点的说法正确的是().

A.有4个零点，其中只有一个零点在区间(-3,-1)上

B.有4个零点，其中两个零点在区间(