函数的图象及零点问题（10题型+高分技法+限时提升练）解析版-2025年高考数学复习专练（新高考）

热点2-4函数的图象及零点问题

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

近三年高考数学持续考查函数图象的识别，要求函数图象：将继续重点考查图象识别，以选择题或填

考生根据函数表达式判断其在给定区间内的大空题的形式出现，难度不大.

致形状.同时，函数零点问题也是重点，包括零函数零点：依然是高考热点，主要结合函数图象研究

点存在性判断、零点个数以及参数范围的求解函数的零点.可能会考查利用单调性和函数零点存在

等.2023年还涉及根据函数部分图象判断解析式定理确定零点个数、根据函数零点的个数或位置、求

的内容.整体来看，这部分内容难度适中，注重解参数的取值范围.

对基础知识和基本技能的考查，同时也体现了对综合应用：可能会将函数零点问题与导数、不等式等

数形结合思想的运用.知识综合考查，如利用导数研究函数的单调性、极值、

最值，进而判断零点的存在性和个数.

热点题型解读

题型1函数图象画去及图象型奂j-、yo题型6确定函数零点的个数

题型2根据函数蹒式选择整j题型7根据零点个数求参数范围

题型函数零点四问题

题型3根据函数图象选择解析式o-—函数6勺囱象及零点问题——>8

题型4根据实际问题作函数图象题型9函数零点和积范围问题

题型5函数零点所在区间问题5^

题型10嵌套函数的零点问题

题型1函数图象画法及图象变换

00混

i作函数图象的方法

1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时,就可根据这些函数或曲线

的特征直接作出.

2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.I

3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换;

作出，但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换

单位及解析式的影响.

i

1.(1)利用函数/(%)=2%的图象，作出下列各函数的图象.

①y=f(-x);②y=f(国);③y=f(x)—1；④y=\f(x)—1|；⑤y=~f(x)；⑥y=f(尤―1).

(2)作出下列函数的图象.

①y=1)W；

②y=|log2(x+1)I；

【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析

【解析】(1)①把f(x)的图象关于y轴对称得到y=f(—X)的图象，如图.

②保留f(x)图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，

并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y=f(|x|)的图象，如图.

③把f(x)图象向下平移一个单位长度得到y=f(x)—1的图象，如图.

④结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y=|f(x)—1|的图象，如

图.

⑤把f(X)图象关于x轴对称得到y=—f(x)的图象，如图.

⑥把f(x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x—l)的图象，如图.

再将y=(J)x(x>0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y=(J)|x|的图象,

如图①中实线部分.

②将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，

即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图②中实线部分.

③因为丫=殳1=2+一!一，故函数图象可由y=l的图象向右平移1个单位长度，

Y—1Y一।丫

2.(24-25高三上・江苏扬州•期中)已知图①对应的函数为y=f(x),则图②对应的函数是()

A.y=/(-H)B.y=-f(-\x\)

c.y=f[-x）D.y=-f{-x)

【答案】B

【解析】由图②可知，将y=f（x）在xwo的图象沿着y轴对称得到＞=/（-国）,

然后再沿着x轴翻折，即可得到＞=-/（-闵）.故选：B

产3—+1X,G"F-—1二11）以，+动向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（）

3.将函数y=＜

【解析】

4.将函数〃x）的图像沿龙轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g（x）的图像，则可能是下列函数中

的（）

A.y-B.y=e、i-eJ

x+1

2

C.y=x+—D.y=log2（x+l）+l

【答案】B

【解析】对A：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数了=工的图像，

函数>的定义域为龙2,不关于原点对称，所以函数y=」二不是奇函数，故A错误；

x+2x+2

对B：将函数图像沿X轴向左平移1个单位长度，得到函数〉=6,-e-x的图像

e'-er=-（eT-e。，所以函数y=为奇函数，满足条件，故B正确；

2

对C：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数）=九+1+—；的图像，

x+1

2

函数y=%+l+——；的定义域为无w-l,不关于原点对称，

X+1

2

所以函数y=x+l+—；不是奇函数，故C错误；

对D：将函数图像沿x轴向左平移1个单位长度，得到函数y=log2（x+2）+l的图像，

定义域为x>-2,不关于原点对称，所以函数y=log2（x+2）+l不是奇函数，故D错误.故选：B

题型2根据函数解析式选择图象

图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”

1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；

2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；

3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值

（必要时可取极限判断符号）；

4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.

1.（24-25高三上•福建泉州•月考）函数"x）=cosxJn（7ZZ-x）的图象大致为（）

【答案】B

【解析】因为函数“力的定义域为R,

(-X)In[J(r)2+1-(-x)J

且〃一无）=cos=cosx-In(Jf+i+x二cosxIn/---

y/x2+l-x

=cos%.hi（42+i一%）=-cosxln（「%2+1-%）=-/（%）.

所以函数八％）为奇函数，图象关于原点成中心对称，故AD错误;

又/（兀）=cos7iIn（，兀?+1_兀）=_m+]_兀）,

而J兀2+1〈兀+i，即0<而[1一兀<1，所以In（，兀2+i—兀）<0,所以/（兀）>。，故C错误.

B符合函数/（%）的性质.故选：B

2

2.（24-25高三上•安徽阜・月考）函数y=；—^的部分图象大致为（

1-x

【答案】D

【解析】当0<x<l时,>0,故AC不正确;

当0<%<1时，y=1-%4>0,且y=l—/为减函数,

2

所以y=；一^为增函数，故B不正确.故选：D.

L-X

3.（24-25高三上•还你长沙•月考）函数y=的部分图象大致为（）

【答案】A

【解析】/（刈=\—定义域为区，且/（-刈=、^=-/（无），则原函数为奇函数.排除B.

e1__1i

再取特殊值/⑴=J^e-=l-3<1,且为正数.排除D.

ee

当x>0时，y（x）==r=i-，7V1,尤越大函数值越接近1,排除C.故选：A.

ee

4.（23-24高三上•陕西安康・月考）函数〃%）=/log4^一的大致图象是（）

2-x

7+r

【解析】因为二〉°，BP（X+2）.（X-2）<0,所以-2<XV2,

所以函数“xh/log”炉的定义域为（-2,2）,关于原点对称，

2-x

又〃-尤）=（-无）21吗2|=-/（可，所以函数〃力是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；

当xe（O,2）时，—>1,即log4*〉。，因此/'（x）>0,故排除A.故选：D.

2—x2—x

题型3根据函数图象选择解析式

（1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值.

（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性.

（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

1.（24-25高三上•辽宁・月考）函数在区间（-，书上的大致图象如图所示，则〃尤）的解析式可能是（）

A./(x)=tan(|sinx|)B./(x)=tan(cosx)

C./(x)=ln(|sinx|)D./(x)=ln(cosx)

【答案】D

jrsin巴=1，/"）=tan走>0,与图象矛盾，故A错误;

【解析】对于A,当X）时,

4242

对于B,当％=0时，cosO=l,则/（0）=tanl>0,与图象矛盾，故B错误;

对于C,当％=0时，sin0=0,ln（|sin0|）无意义，故c错误；

对于D,因/(x)=ln(cosx),xe(—plijcosx>0,

由/(—%)=ln[cos(-x)]=ln(cosx)=f(x)知函数/(%)=In(cosx)为偶函数，图象关于>轴对称；

且当x=±]时，cosx=0,In(cosx)无意义；

当xe(0,9时，:(司=二—=-tan无<0,即函数〃x)=ln(co2在(0,9上单调递减,

/COSJCN

故在（-京0）上单调递增，该图象均符合，即D正确.故选：D.

2.（24-25高三上•天津・月考）已知函数〃x）的图象如图所示，则函数〃尤）的解析式可能是（）

Y-J;

A.〃x)=(4,一4TMB./(x)=(4-4)log2|x|

xx

C.f(x)=(4+4-)\x\D./(x)=(4^+4-)log2H

【答案】D

【解析】对于A,〃x）=（4=4T）|x|,其定义域为R,有〃-»=（4-，-4，）n=-〃%）,

则函数/（X）为奇函数，不符合题意，故A错误；

r

对于B,/（x）=（4-4-^log2H，其定义域为例"0},

有〃-尤）=（47-4，）02国=-〃耳，则函数〃尤）为奇函数，不符合题意，故B错误;

对于C,〃外=（4"+『）凡在区间（0,1）上，/（x）＞0,不符合题意，故C错误.

对于D,/（-%）=（二+平）log2|-x|=（4,+4-、）log2|x|=/（%）,则为偶函数，

且在区间（0,1）上，/（尤）＜0,符合题意，故D正确.故选：D.

3.（24-25高三上・江西萍乡・月考）已知函数了（无）的部分图象如下图所示，则/（尤）可能的解析式是（）

InIYI

A./(x)=eFn|%|B.=

e

C./(x)=ex+In|x|D./(x)=ex-ln\x\

【答案】c

【解析】对于A,因为〃x)=eFnk|,

所以/(T)=eT-lnT=0,f(-e)=e-e-ln|-e|=4)/(-e2)=e^2-ln|-e2|=^,

ee

___2ee2221

而2ee<e<e——=一，

ee2eeee

即一e2<_e<T,/(-e2)</(-e),所以/(x)在(一8,-!)上并不单调递减，故A错误；

对于B,因为〃x)=叩，所以〃1)=叩=。，/(e)=^=1,f(e2)=^H=4>

eeeeee

显然l<e<e2,/(e)>/(e2),所以在(L+s)上并不单调递增，故B错误；

对于D,因为〃x)=e，_ln|x|,所以/(-l)=—1川一1|=：,f(-e)=e-e-ln|-e|=-^-1,

显然/(-e)</(-l),所以/(x)在(3,0)上并不单调递减，故D错误；

对于C,因为〃x)=e，+lnW定义域为{x|x#0},

当尤>0时，〃x)=e*+lnx,由复合函数的单调性易知〃力在(0,+s)上单调递增；

当x<0时，〃x)=e*+ln(—x),y=e*在(Y»,0)上单调递增且0<e"<1,

y=In(f)在(YO,0)上单调递减，

当X--8时〃X).口，当x30时-00,符合题意，

结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确.故选：C.

4.(24-25高三上•江西南昌・月考)已知函数/(x)=sinx,g(x)=f+i,则图象为下图的函数可能是()

A.y=/(x)+g(x)-lB.y=/(x)_g(x)+l

/(X)

C.y=/(x)g(x)D.y=~r^

【答案】D

【解析】由题意函数/(x)=sinx,g(尤)=d+i,根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数,

对于A中，函数y=，a)+g(x)T=x2+sinx不是奇函数，所以A不符合题意；

对于B中，函数y=/(x)-g(x)+l=sinx-d不是奇函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数y=/(x)g(x)=(x2+l卜inx此时函数为奇函数，

又由y'=cosx-(x2+l)+sinx-2x,当弓］时，/>0,此时函数在区间xe单调递增，

而图象中先增后减，所以C不符合题意.故选：D.

题型4根据实际问题作函数图象

返

根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

（1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）.

（2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）.

1.（23-24高三下•安徽•模拟预测）如图，直线/在初始位置与等边VABC的底边重合，之后/开始在平面上

按逆时针方向绕点A匀速转动（转动角度不超过60。），它扫过的三角形内阴影部分的面积S是时间。的函

数.这个函数的图象大致是（）

C

AB

【答案】C

【解析】如图所示，取2C的中点E,连接AE,因为VABC为等边三角形，可得NE43=30。,

设等边VABC的边长为2,且=其中0。（々460。,

可得|£）同=剧tan（30。一e）|=A/3|tan（30c-a）|,

E

又由VABC的面积为1ABe=6,可得S旗=立，

△/iDC△Aon,2

1Q

且々APE=—x^3x^3|tan(30°-^z)|=—|tan(3O°-6Z)|,

则△脑。的面积为5=5ABE—SA=---tan(30°-«)=—+-tan(a-30),

△ADC22、'

令S（x）=¥+Ttan（x-30。），其中0。4尤460。，

31

可得s'（X）=彳X>0,所以S（尤）为单调递增函数，

又由余弦函数的性质得，当x=30。时，函数S（x）取得最小值，

所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快,

结合选项，可得选项C符合题意.故选：C.

2.（23-24高三下•山东•二模）如图所示，动点尸在边长为1的正方形ABCD的边上沿AfCfO运动,

x表示动点P由A点出发所经过的路程，了表示△加的面积，则函数y=/（%）的大致图像是（）

【答案】A

【解析】当时，y=|,是一条过原点的线段；

当xe［l,2］时，y=|,是一段平行于x轴的线段；

当xw［2,3］时，丫=寸，图象为一条线段.故选：A.

3.（24-25高三上・北京・月考）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度V（x）（单位：米/分

钟）与时间X（单位：分钟）的关系.若定义“速度差函数”v（x）为无人机在时间段［0,司内的最大速度与最

小速度的差，则v（x）的图像为（）

【解析】由题意可得，当相［0,6］时，无人机做匀加速运动，V（尤）=60+可无，“速度差函数“心）=可了；

当xe［6,10］时，无人机做匀速运动，7（%）=140,“速度差函数"丫（无）=80；

当xe［10,12］时，无人机做匀加速运动，V«=40+10%,“速度差函数”心）=-20+10尤；

当xe［12,15］时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”心）=100,

结合选项C满足“速度差函数”解析式，故选：C.

4.（23-24高三上•湖南衡阳・月考）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，

他从点A处出发，沿箭头方向经过点8、C、。返回到点A,共用时80秒，他的同桌小陈在固定点。位置

观察小李跑步的过程,设小李跑步的时间为〃单位:秒），他与同桌小陈间的距离为，（单位:米），若y=f（t）,

则/«）的图象大致为（）

【答案】D

【解析】由题图知，小李从点A到点3的过程中，y的值先增后减，

从点8到点C的过程中，y的值先减后增，

从点c到点。的过程中，y的值先增后减，从点。到点A的过程中，，的值先减后增,

所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离(即y的值)的增减性为：

增、减、增、减、增，D选项合乎题意，故选：D.

题型5函数零点所在区间问题

确定;'(X)的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=/(x)在区间切上的图象是否连续，再看是否有

/(a)-/(^)<0,若有，则函数y=/(x)在区间(a,b)内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与％轴在给定区间上是否有交点来判断.

7

1.(24-25高三上・安徽亳州・月考)函数/(x)=ln尤-:的零点所在的大致区间是()

A.B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)

【答案】C

【解析】/(2)=ln2-l<0,/(e)=l-->0,

e

由无)=lnx-(可知，函数在。+8)内单调递增，

根据零点存在定理，函数/(x)=lnx-2的零点所在的大致区是(2,e).故选：C

2.⑵-25高三上・甘肃武威・期末)函数/⑴三一鸣、」的零点所在区间为()

A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）

【答案】A

【解析】函数/（X）定义域为（0,+8）,

因为L在区间（0,+8）上单调递减，log?X在区间（0,+8）上单调递增,

X

所以/（X）在（0,包）上单调递减，

因为『（1）=1>0,〃2）=；-1-：<0,

所以Ax）的零点所在区间为（1,2）.故选：A

3.（24-25高三上•湖北•期中）已知函数=-那么在下列区间中含有函数/（尤）零点的是（）

A.］。,：B,gjCD.（L4）

【答案】B

【解析】因为y=_=-衰在（。,+巧上均单调递减，则〃尤）=（j-/在（0,+e）上单调递减,

对A,可得/（0）=［；）-0?=1-0=1>0.

因为基函数y=/在（0,+8）上单调递增，所以公）=（；）'（¥>0,

且函数〃力在（。,+"）上连续不间断，则〃力在，,g）上无零点，故A错误；

对B,因为>=在（0,+8）上单调递减，

则/（：）=（9一（y<0,则/',）/■（；）<0,且函数仆）在（0,+动上连续不间断，

故/（X）在上存在零点，故B正确；

13

对C,因为/⑴=］-1=-工<0,且函数“X）在（0,+8）上连续不间断，

则〃无）在心，1］上无零点，故C错误；

对D,计算/（4）=（：）4-4：=（1）4-（^P<0，

且函数〃x）在（0,+向上连续不间断，则在。,4）上无零点，故C错误；故选：B.

4.（24-25高三上.四川德阳•月考）设函数/（x）=ln国+国-2的零点都在区间&句（a,6eZ,a<b）内,则匕一a

的最小值为.

【答案】4

【解析】/(x)=ln|x|+|x|-2,

当尤>0时，/(x)=lnr+x-2,/'(x)=，+1>0,f(x)在(0,+8)上递增，

而〃1)=-1<0,/(2)=ln2>0,.”>0时，在(1,2)内存在唯一零点，

•・"(X)是偶函数，.•"(>)在(-8,0)上递减，

TO/(-l)=-l<0,/(-2)=ln2>0,.”<0时,在(-2,-1)存在唯一零点,

零点都在(-2⑵内.

故当］=-2/=2时，Z?-々取最小值，且最小值为4.

题型6确定函数零点的个数

I00混

：零点个数的判断方法

ii

1、直接法：直接求零点，令/(司=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

ii

，2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间［a,可上是连续不断的曲线，且/■(«)•/■(b)<0,结j

ii

;合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

3、图象法：

(1)单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数/(x)的图象，函数/(x)的图象与x轴交点的个数：

ii

;就是函数/(x)的零点个数.

(2)两个函数图象：将函数/(X)拆成两个函数刈同和g(无)的差，根据/a)=0oMx)=g(x),

则函数/(X)的零点个数就是函数y=及(无)和y=g(x)的图象的交点个数.

4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函

数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

ii

1.(24-25高三上•福建平和•月考)函数=“VO；的零点个数为()

［log4X+A：-3,X>0

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】当工40时，令13+8=0,解得元=一2,

当尤>0时，/(2)=log42+2-3=1-l<0,/(3)=log43+3-3=log43>0,

“X）在（2,3）连续，所以〃元）在（2,3）上存在零点，

又因为〃"=1呜%+尸3单调递增，所以函数丫=/（久）在（0,+8）上有唯一零点,

综上，“X）的零点个数为2.故选：C

2.（24-25高三上•浙江•月考）函数y=co&x与y=|l阂的图象的交点个数是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

3.（24-25高三上•四川攀枝花・月考）函数2（x）=21gx-xlg2,则函数〃无）的零点个数是（）

A.2B.3C.1D.0

【答案】A

【解析】由题意可得尤＞0,

令/（元）=21gx-尤lg2=。，所以彳=41=log2X,

21g2

令＞=；,y=log?x,贝=y=log2尤在（0,+e）上都为增函数，

Y

且易得当％=2或%=4时，—=log2x,

当xe（O,2）时，易得y=logzX在y=］的下方，

当xe（2,4）时，易得y=logzX在y=5的上方，

当xe（4,+8）时，对数函数的增长速度小于一次函数，故此时/log?》在y=］的下方.

综上：函数/（尤）有两个零点分别为2,4.故选：A.

2，%＜0,13,、1

4.（24-25高三上•北京•月考）已知函数1小-2）心。当广“7时,方程/⑴一小加的根的

个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】当x20时，/（x）=/（x—2）,即〃x+2）=/（x）,则/（x）的周期为2.

画出函数的图像,

由图可知方程〃尤）=-：工+机的根的个数即为两个函数图像交点的个数,

O

由图像可知，当了＜0时，存在一个零点，因为％=0时，2°=l＞m,

当工=一1时，一！%+根=’+机＞2一1.则在（一1,0）两函数存在一个零点，

88

当x=2时，:＜相-：＜：＜2°则在（0,2）两函数存在一个零点，

当x=4时，则在（2,4）两函数存在一个零点，

当尤＞4时，一:X+根＜2（i）恒成立，则两函数无零点.

O

综上所述，两函数有三个零点.故选：D.

题型7根据零点个数求参数范围

-W

已知零点个数求参数范围的方法

1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个

熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围.

3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解.

1.（24-25高三上•河北承德・月考）若函数〃尤）=1口1-%有零点，则实数机的取值范围是（）

A.(0,1]B.[0,1)C.(-8』D,

【答案】A

【解析】因为函数=】机有零点，即租।有解，

<1

故实数加的取值范围就是求的值域.

.小*"的,'。,

，1、kT

故函数y=；的值域为(0』，则m的范围为(0』，故选：A

2.*25高三上・海南・月考)已知函数仆)=[二：：=【：°'若方程小j有3个实数解，则实数%的

取值范围为()

A.[-3,0)B.(-4,0)C.H，-3]D.(T-3]

【答案】D

【解析】因为方程/'(£)=上有3个实数解，所以y=/Q)与、=后的图像有三个交点,

x2+2x—3,x<0,

因为/(x)=<

-2+lnx,x>0,

所以做出y=f(x)与>=上的大致图像，如图,

由图可知T〈左W—3,故选：D.

l,x<0

3.(24-25高三上•广东普宁•期中)已知函数/'(对=1△，则使方程x+〃x)=机有解的实数机的取值范

围是()

A.(1,2)B.(-co,—2)C.(―oo,l)U(2,+oo)D.(―CO,1]D[2,+OO)

【答案】D

x+l,x<0

【解析】设g(x)=^+/(x),则g(x)=1n.

XH---,X>0

、X

因为方程无+〃x)=M有解，

所以y=g(x)的图象与y=%的图象有解.

当尤>0时，g(x\=x+—,

X

根据对勾函数的性质可得g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且g(x%n=g(l)=2.

作出函数y=g(x)的图象如图所示：

由图可得，y=g(x)的图象与丫=机的图象有解,

则we(-oo,l]u[2,+oo).故选:D.

4.(24-25高三上•江西宜春•月考)设函数/(x)=[9一"+1乂：+1)/<1,若恰有2个零点，则。的取

[lgx-o,xNl

值范围是.

【答案】(-O),0]U[2,4W)

(无一a+l)(x+l),x<l

【解析】因为〃x)=

lgx-a,x>l

令/(x)=0,可得:

当x<l时，(x-a+l)(x+l)=0,所以x=-l或x=a-l,

当a=0或aN2时，方程(x-a+l)(x+l)=0在(-8,1)上有唯一解x=-l,

当a<0或0<a<2时，方程(x-a+l)(x+l)=0在(fl)上有两解为x=T或x=a-1,

当xNl时，lgx-a=0,

所以当时，元=10"21,即方程lgx-o=0有一个解，

当a<0时，x=10"<l,即方程lgx-a=。在[L+00)上无解，

综上，当。<0时，函数/(x)有两个零点

当。=0时,函数有两个零点-1,1,

当0<a<2时，函数有三个零点-1,4-1,10",

当a22时，函数/（无）有两个零点-1,10".

因为/（元）恰有2个零点，所以。22或aVO,

所以。的取值范围是（Y°,0]U[2,+OO）.

故答案为：（=»,。]口[2,小）

题型8函数零点求和问题

；在解决“函数零点求和问题”时，首先需要确定函数的零点，即求解方程/'（x）=0的根.对于多项式函

i

数，可利用韦达定理直接求得零点之和，而对非多项式函数，则需通过分析其性质（如对称性、周期

I

性等）来简化求解过程.最终将所有零点相加得到结果，并进行验证以确保准确性.

3

1.（24-25高三上•贵州六盘水•模拟预测）己知函数/（x）=2"+尤,g。）=log2尤+x,h（x）=x+x的零点分别为。,

b,c,贝U“+Z?+c=（）

A.0B.2C.4D.6

【答案】A

3

【解析】由题设，2"=-a,log2b=-b,c=-c,

所以问题可转化为y=-x与y=2"、y=logzx、y=V的交点问题，函数图象如下：

因为y=2*与y=log2X关于y=x对称，而丁=一无与丁=了互相垂直,

所以a+6=0,c=0,贝！Ja+b+c=0.故选：A

2.（24-25高三上•陕西汉中•期中）函数y=4sin7Lr+而，所有零点的和为（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【解析】如图，绘制函数y=4sin;*与函数>=_氐二2的图象，

可知y=4sin7tx与丫=-yjsx-jr的图象恰有6个公共点，

且它们的图象均关于直线x=|对称，所以y=4sin⑪+而二7所有零点的和为15.故选：C

3.(24-25高三上•山东•月考)已知函数/(x)=lnQTi予—x)+V,®lk^U)^^VxeR,g(x-4)+g(-x)=0,

若函数/@)=/(x+2)-g(x)恰有2025个零点，则所有零点之和为()

A.-4050B.-4048C.-2026D.-2024

【答案】A

【解析】由7m-x>|x|-xN0,得函数/(x)的定义域为R，

又/(-x)+f(x)=ln(71+x2+x)-x3+ln(71+x2-x)+V=0,即函数/(尤)是奇函数，

函数fM的图象关于点(0,0)对称，则函数/(x+2)的图象关于点(-2,0)对称，

由VxeR,g(x-4)+g(-x)=0,得函数g(x)的图象关于点(一2,0)对称，

因此函数取龙)的图象关于点(-2,0)对称，由函数依尤)恰有2025个零点，

得函数万(无)有一个零点为无=-2,其余零点关于-2对称，

所以所有零点之和为1012x(-4)+(-2)=-4050.故选：A

4.(24-25高三上•广西・月考)偶函数〃x)满足/'a)=〃2_x),当xe［0,l］时，/(x)=x2,则方程=g

在［T7］上所有的实数根之和为()

A.20B.22C.24D.26

【答案】C

【解析】当为«0』时,f(x)=x2,当xe［T,0］时,-xe［0,l］,则〃T)=(—X了，

又〃尤)是偶函数，则/(r)=/(x),所以xe［T,0］时,f(x)=x2,

又〃x)=/(2-x),所以的周期7=2,其在区间［T7］上的图象如图所示，

2

T\1y=f(x)

A

-1O1234567x

不妨设y=/'（x）与y=1•在区间［-L7］上的交点分别为w,3,毛,与尤5，天,当，演，

由图可知，（玉+9）+（毛+%）+（毛+*6）+（勺+/）=。+4+8+12=24,

则方程“X）=g在上所有的实数根之和为24,故选：C.

题型9函数零点和积范围问题

bc

1、巧用韦达定理：%+%=---，玉，入2=—；

aa

2、巧用对数运算法则：如log|x|=m＞0,一定有

3、同一变量，构造函数求和积范围.

|lg%|,x>0

1.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨•期中）（多选）已知函数/（力=若/(x)=〃x)乂有四

x2+2尤+l,xV0'

个不同的零点X］,无2，%，甚且无1＜工3＜%,则下列说法正确的是（）

A.0＜左＜1B.xi+x2=-2C.退，％4=1D.x3+x4<10

【答案】BC

【解析】左函数草图如下：

对A：由图可知，若尸（x）=〃x）-上有四个不同的零点，则0＜左41,故A错误；

对B：因为再＜%＜。，且再,马关于直线x=-l对称，所以占+%=-2,故B正确;

对C：因为、＜尤3＜1＜匕＜10,所以〃w）=—lgw，"xjTgZ，

由〃毛）="*4）n坨忍+坨匕=0=＞坨仿％）=°=T，故C正确；

对D：因为阳彳4=1，所以鼻+%=%