函数的应用（4大题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习提升

热点07函数的应用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2024年分段函数的应用，函数与方程的关系，函数分段函数的应用、函数与方程的综合运用

与方程的综合运用

2023年函数的零点与方程根的关系，根据实际问题

选择合适的函数模型

2022年分段函数的应用、函数与方程的综合运用

热点题型解读

逊1函数的零点与方程根的关系

辘2函数与方程的综合g用

函数的应用

题型3分段函数的应用

整4根据翅「诵选触数理

题型1函数的零点与方程根的关系

1.求解函数零点个数的基本方法

(1)直接法：令人x)=0,方程有多少个不同的实数根，则人x)有多少个零点.

(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.

(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.

2.根据函数零点的情况求参数的三种常用方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围.

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.

1.(2023•上海)己知函数/。)=2-工+1,且g(x)=]乎(：+D'X对，则方程g(x)=2的解为.

【分析】分x20和x<0分别求解即可.

【解答】解：当尤》0时，g(x)=2log2(x+1)=2,解得x=3；

当x<0时，g(x)=f(-x)=2'+1=2,解得尤=0(舍)；

所以g(x)=2的解为：x=3.

故答案为：x=3.

【点评】本题考查了分段函数的性质、对数的基本运算、指数的基本运算，属于基础题.

2.(2024•闵行区校级三模)已知函数y=sin尤+sin2x在(-“,°)上恰有5个零点，则实数a的最大值

为.

【分析】根据正弦的二倍角公式可得sinx=0或cosx=-g,进而可得y=sin尤+sin2尤的零点情况，结合区

间(-a,a)即可确定。的最大值.

[解答]解：由y=sinx+sin2x=2sinxcosx+sinx,令2sinxcosx+sinx=0,可得

sinx(2cosx+1)=0,角军得sinx=0或cosx=-；,

127r_27r

当sinx=0,x=k7r,keZ,当cosx=——时，x=-----^2左1或、=----卜2k九，keZ,

233

所以当2%,2TT],>=sinx+sin2x的零点按从小到大排列有：-2冗,一?，一兀，,0,,

4%。

71，----，2兀，

3

故>=sinx+sin2x在(一见。)上恰有5个零点，则这5个零点为-»，--—,0,—,兀、

故。的最大值为9.

3

故答案为：—.

3

【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，涉及二倍角公式及三角函数的性质，考查运算求解能

力，属于中档题.

mx,x<0

3.(2024•闵行区校级三模)已知函数/(》)=产，若函数〃(、)=/(%)+/(f)的零点一共有3个，则

—,x>0

、x

实数7"的取值为.

【分析】函数双尤)的零点，即f(x)=-f(-x)的零点，由于〃0)=0,则〃(外零点一共有3个，即可转化为x>0

时，/(%)=-/(-x)有一个根即可，整理成方程以J=M在x>0时有一个根，令〃(%)=三■，工>0,求/(X),

XX

判断函数〃(X)的单调性及取值情况，即可得冽的取值.

【解答】解：久幻=/(%)+/(-X)的零点满足〃(x)=/(%)+/(-x)=0，

即/(%)=-/(-X)的根，

mx,x<0

由于/00=,，八，

—,x〉0

所以/(0)=0,

则x=0是/(x)=-/(-x)的一个根；

所以/(%)=-/(-%)的根三个，则满足当x>0时，/(幻=-/(-幻有一个根即可，

又%>0时，一x<0,所以/(一工)=-mx,

所以J=在％>0时有一个根，即彳=加在x>0时有一个根，

XX

令〃(%)=彳/>0，

x

所以〃(x)=e"(xj2),

X

令"(x)=0,得％=2,

所以XE(0,2)时，h\x)<0,〃(%)在XE(0,2)上单调递减；

xe(2,+oo)时，h\x)>0,/z(x)在X£(2,+8)上单调递增；

又x趋于0,〃(%)趋于+8；，比炉增长的快，

所以X趋于+oo,h(x)趋于+00.

22

所以4(2)=卞=?=%.

2

故答案为：—e.

4

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题.

4.(2024•普陀区模拟)已知aw及，若关于x的不等式a(x-2)"'-x>0的解集中有且仅有一个负整数，则

a的取值范围是.

【分析】原式可化为。(x-2)>xe*,然后研究函数〃尤)=xe”的图象，只需当x<0时，y=a(x-2)在/(x)

下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解.

【解答】解：原不等式可化为：a(x-2)>xex,

令/(x)=xe*,f\x)-(x+l)ex,显然尤<-1时，f\x)<0,/(x)递减；x>-l时，f'(x)>0,/(x)递增，

1y

所以/(x)欣,=/(-l)=一一，且x->-co时，xe*==­()-,

ee

【点评】本题考查函数零点个数的判断方法，数形结合思想的应用，属于中档题.

(x-1)3,0令<2,

5.(2024•青浦区二模)对于函数>=/(x),其中/(x)=，若关于的方程/(%)=去有两个

一2,龙》2

不同的零点，则实数左的取值范围是.

【分析】结合函数的性质分析函数的特征，作出函数的图象，关于龙的方程/(X)区有两个不同的零点转

化为y=/(x)与了=履有两个交点，结合函数图象即可求解.

【解答】解：①当年2时，函数/(x)=4单调递减可得：0<〃x)=4(；

xx

②当0<x<2时，由函数〃x)=(x-l)3单调递增可得:-1<f(x)<l,

作出函数/(x)的图象，

由图象可知：由0<2左<1,可得0<左<!，

2

故当0〈人时，函数y=与y=/(x)的图象有且只有两个交点，

.•.满足关于x的方程/(幻=船有两个不同的实根的实数4的取值范围是(0,；).

故答案为：(0,1).

【点评】本题主要考查了由方程根的个数求解参数范围，体现了数形结合思想的应用，属于中档题.

题型2函数与方程的综合运用

1.对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手

I

(1)开口方向；

(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；

I

(4)区间端点值.

2.对于复合函数歹=&(x))的零点个数问题，求解思路如下：

I

⑴确定内层函数〃=g(x)和外层函数

(2)确定外层函数＞=/(〃)的零点〃=〃G=1,2,3,…，〃)；

(3)确定直线〃=%G=1,2,3,,,,,")与内层函数〃=g(x)图象的交点个数分别为如的，…，a,则函数I

n1

y=/(g(x))的零点个数为a|+a2+a3^------

1.(2024・£海『现定义如下：当尤e+词(〃wN),若/(x+1)=,则称/(x)为延展函数.现看,

当xe(O,l)时，g(x)=，与力(x)=P均为延展函数，则以下结论()

(1)存在y=fcr+6(左，bcR；k,6w0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=fcr+6(左，beR；k,6w0)与y=〃(x)有无穷个交点

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

【分析】根据题意，对于①，由“延展函数”的定义，分析可得g(x)是周期为1的周期函数，结合一次函

数的性质可得①错误，对于②，举出例子，可得②正确，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，当xw(O,l)时，8仁)=1与力(》)=产均为延展函数,

对于①，对于g(x)=e"g(x+1)=g'(x)=ex,

则g(x)是周期为1的周期函数，其值域为(l,e),

因为4片0,夕=依+6与y=g(x)不会有无穷个交点，所以(1)错；

对于②，当后=10!时，存在6使得直线》=履+6可以与双幻在区间(9,10)的函数部分重合，因而有无穷个

交点，所以(2)正确.

故选：D.

【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及函数的图象，关键理解“延展函数”的定义，属于基础题.

2.(2025,上海•模拟预测)关于x的方程住-1|+|无-苫|=兀-1的解集为.

【答案】［1,句

【分析】根据x的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可.

X-l+X-7t,X>7t2x-1-兀/27i

【详解】|X-I|+|K-n-l,l<x<n

\—X+Tt—X,X<\l+7t-2x,x<l

当X、兀时,令2x-l—7l=Tl-1得X=兀；

当1<%<兀时，|'一1|+|兀一、|=兀一1恒成立；

当时，令1+兀一21=兀一1得x=l.

综上所述，方程+|兀7|=兀-1的解集为［1,句.

故答案为：［1,句.

3.(2024•上海普陀•模拟预测)对于正整数力，设x”是关于x的方程"/+2》-〃=0的实数根，记

a„=［(〃+1)X„］(77>2),其中卜］表示不超过实数X的最大整数，贝Ij+。3+…+«2026)=.

【答案】2025

【分析】根据导数广(%)>0可得“X)为单调递增函数，根据零点存在性定理找到方程内3+2x-〃=0的实数

根%的取值范围，代入%=［(〃+1)苞/(〃22),即可得出通项公式，由等差数列求和公式即可求出答案.

【详解】令/(x)=^+2x-",则/'(》)=3加+2>0,函数/(x)单调递增，

因为/(0)=-«<0,/(1)=2>0,故方程内3+2x-〃=0存在唯一的实数根%e(0,1),

又〃22时，-/A+〃+1=-(〃-口+—<0,

+2x-----n=------7-〃2+〃+1)<0,

H+1(〃+1)3

YI

因此可得：——-<xn<1,所以"<("+l)x"<"+1,

因为=[(»+l)x„](«>2),其中[x]表示不超过实数x的最大整数，

所以，

结合等差数列求和公式可得：*(2+/+•••+。2期)=七x(2+202；>2°25=2025.

故答案为：2025.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据零点存在性定理找到方程"3+2》-〃=0的实数根取值范围，得到

-^-<xn<l,再由题意得到

n+l

4.(2022•上海)已知函数/(x)的定义域为R,现有两种对〃x)变换的操作：夕变换：。

变换：+其中/为大于0的常数.

(1)设/'(x)=2:t=\,g(x)为/(x)做/变换后的结果，解方程：g(x)=2；

(2)设〃x)=f,〃(x)为〃x)做。变换后的结果，解不等式：f(x)^h(x)；

(3)设/(x)在(-oo,0)上单调递增，/(x)先做夕变换后得到"(x),"(x)再做。变换后得到似x)；“X)先

做0变换后得到v(x),V(x)再做夕变换后得到阳无).若/式x)=〃2(x)恒成立，证明：函数/(X)在R上单调

递增.

【分析】(1)推导出g(x)=/(x)-/(x-l)=2'-2i=2i=2,由此能求出x.

(2)推导出X，|(x+-x?|=|2tr+『|,当xW-；时，(无)恒成立；当x>-g时，+由

此能求出的解集.

(3)先求出M(X)=f(x)-f(x-t),从而\(x)=|f(x+/)-/(x)-[/(x)-f(x-/)]|,先求出

v(x)=|/(x+Z)-/(x)|,从而h2(x)=|f(x+/)-/(x)|-1/(x)-/(x-f)I>由％(x)=〃2(x)，得

\f{x+0-〃x)-[〃X)-T)]|="(x+1)-〃x)I-"(x)--(I,再由〃x)在(-8,0)上单调递增，能

证明函数〃x)在尺上单调递增.

【解答】解:⑴•・•〃x)=2"仁1,g(x)为做0变换后的结果，g(x)=2,

g(x)=/(x)-/(x-1)=2:=2-=2,

解得x=2.

(2)v/(x)=x2,〃(x)为/(x)做。变换后的结果，f(x)^h(x),

x2?j(x+f)~—|-12tx+产],

当xW-g时，/(无)》〃(x)恒成立；

当x>--时，2tx+，

2

解得+或在(1-血》,

综上，不等式：的解集为(-8,(1-拒加IJK1+后)乙+◎•

(3)证明：/(x)先做夕变换后得到"(x),w(x)再做。变换后得到4(x),

U(x)=f(x)-f(x-t),%(x)=|f(x+0-/(x)-[/(X)-f(x-Z)]|,

/(x)先做(D变换后得到v(x),v(x)再做<p变换后得到h2(x),

v(x)=|f(x+t)-f(x)\,%(x)=|f(x+/)-/(x)

%(x)=生(X),/(x)在(-oo,0)上单调递增，

••.If(x+0-7(x)-[/(x)-f(xT)]1=1f(x+0-f(x)\-\f(x)-f(x-t)\,

'f(x+t)-/(x)>/(X)-f(x-t)

</(x+/)-/(x)>0对/>0恒成立，

J(x)>f(x-t)

函数y(x)在灭上单调递增.

【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数

性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5.(2024•上海)记Af(a)={t\t=f{x)-f(a),x^a},L(a)={t\t=f{x}~f(a),x^a].

(1)若〃x)=/+l,求M(1)和/(1)；

(2)/(x)=x3-3x2,求证：对于任意aeR,都有V(a)c[-4,+co),且存在a,使得-4eM(a).

(3)已知定义在及上/(x)有最小值，求证"/(x)是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c,均有

M(-c)=L(c)”.

【分析】(1)根据条件，直接求出〃(1)和4(1)即可；

(2)由题意知，M(a)-{t\t=x3-3x2-a3+3a2,无》a},记g(x)=丁-3x?+3/,判断g(x)的单调

性，求出极值，再对。分类讨论，进一步证明结论成立即可；

(3)必要性：若/(x)为偶函数，贝！IM(-c)="I/=/(x)-/(-c),x》-c},L(c)/(x)-/(c),

x«}，结合条件，得到M(-c)=£(c)即可；充分性：若对于任意正实数c,均有“(-c)=£(c),其中

M(-c)={t\t=/(x)-/(-c),x2-c},L(c)={t\t=f(x)-f(c),x《c},由7(x)有最小值，不妨设了

(a)=fmin=m,进一步证明/(x)是偶函数即可.

【解答】解：(1)由题意，得M(1)={t\t=x2+1-2,x?l}=[0,+oo)；

L(X)—t-x1+1—2,xW“=[—1,+℃).

(2)证明：由题意知，M(a)={/1=x3-3x2-a3+3a2,x^a},

t己g(x)-x3-3x2-a3+3a2,贝!Jg，(x)=3x2-6x=0nx=0或2.

X(-8,0)0(0,2)2(2,+s)

g'(x)正0负0正

g(x)/极大值极小值/

现对Q分类讨论，当磋2,有£=工3_3工2一〃3+3〃2,%》。为严格增函数,

因为g(a)=0,所以此时M(a)=[0,+co)o[-4,+8)符合条件；

2

当<2时,t—X1—3%2—/+3an,x^d先增后减，tmin=g(2)=—ci+3tz—4,

231

因为—/+3/=6Z(3—Q)20(Q=0取等号)，所以tmin—g(2)=—a+3a—42—4,

则此时M(a)=[-/+3Q2—4,+oo)o[-4,+8)也符合条件；

当a<0时，t=x3-3x2-a3+3a2,x^a,在[Q,0)严格增，在[0,2]严格减，在[2,+oo)严格增,

32

tmin=mm{g(tz),g(2)}=min^0,-a+3a-4j,

因为〃(a)=一〃3+3〃2-4,当〃<0时，h'(a)=-3tz2+6tz>0,贝(a)>/z(0)=-4,

则此时Af(a)=[tmin,+oo)o[-4,+8)成立；

综上可知，对于任意都有〃(a)o[-4,+oo],且存在Q=0,使得(a).

(3)证明：必要性：若/(%)为偶函数，

则Af(-c)={力=/(%)—/(-c),x^-c},L(c)={t\t=f(x)-f(c),x^c},

当x2—c,t=f(x)-f(-c)=f(-x)-f(c),因为—x《c,故M(—c)=£(c)；

充分性：若对于任意正实数c,均有M(-c)=£(c),

其中Af(-c)={力£=/(%)-/(-c),x^-c},L(c)={t\t=(c),x^c}9

因为/(x)有最小值，不妨设/(a)=fmin=m,

由于。任意，令。?则aw[-c,c],所以Af(-c)最小元素为/(a)-f(-c)=m-f(-c).

L(c)中最小元素为机-/(c),又M(-c)=L(c)=>/(c)=/(一0)对任意。)|〃|成立，

所以/(a)=f(-a)=m,

若Q=0,则/(c)=/(-c)对任意c20成立=>/(x)是偶函数；

M(-c)最小元素是/'(同)-/(-研\

若Qw0,此后取cw(-1qaI)

“-C)最小元素乏(T4)-/(c)J

综上，任意c20,f(c)=/(—c),即/(x)是偶函数.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的

关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题.

6.(2024•长宁区校级三模)设函数y=/(x)的定义域为。，对于区间/=[a,b](IcD),若满足以下两个

性质之一，则称区间/是＞=/(%)的一个“好区间”.

性质①：对于任意x()e/,都有/(%o)e/；性质②：对于任意x()e/,都有/每)青/.

(1)已知函数/(x)=-x2+2x,xeR.分别判断区间[0,2],区间[1,3]是杳为y=〃x)的“好区间”,

并说明理由；

(2)已知加>0,若区间[0,词是函数/口)=；/一/-3》+12,xw及的一个''好区间”，求实数机的取

值范围；

(3)已知函数了=/(无)的定义域为R,其图像是一条连续的曲线，且对于任意a<6,都有/(a)-f

(b)>b-a,求证：y=/(x)存在“好区间”，且存在x°eR,m为不属于y=〃x)的任意一个“好区

间”.

【分析】(1)由“好区间”的定义判断即可；

(2)利用导数求出函数的单调区间及极值，根据“好区间”的定义可判断出y=/(x)上满足性质②，再由

[0,m]p|[/(m),12]=0,求解即可；

(3)由题意可得y=/(x)在任意区间[a,6]上对应的函数值区间长度必大于从而可得在任意区间

I=[a,可上都不满足性质①，且在R上单调递减，即有即存在了(%),分/(%)>/，f(x0)<x0,证

明即可.

【解答】解：(1)/(X)=-/+2X=-(X-1)2+1,

当xe[0,2]时，/(x)e[0,2],满足性质①，

所以[0,2]是y=/(x)的“好区间”；

当xe[l,3]时，/(x)e[-3,2],

既不满足性质①，也不满足性质②，

所以[1,3]不是〉=/(x)的“好区间”；

(2)f'(x)=X2^2X-3=(X-3)(X+1),

X0(0,3)3(3,+与

f\x)-0+

“X)12单调递减极小值3单调递增

若y=/(x)在区间[0,"“上满足性质①，则〃0)=12e[0,m],加212,

[fij-m=———m2-4m+\2--(zn-3)(/H2-12)>0,f(m)g[0,m],

所以y=/(x)在区间[0,m]上不满足性质①

若〉=/(x)在区间y=f(x)上满足性质②，

当机<3时，/(x)M'(w)>f(3)=3,

所以[0,[/(;«),12]=0,

当加23时，因为y(3)=3,所以不符合；

综上所述，实数小的取值范围是(0,3)；

(3)证明：因为任意.<6,都有/(a)-f(b)>b-a.

所以了=/(x)在任意区间[a,可上对应的函数值区间长度必大于8-a,

即y=/(x)在任意区间/=[a,b]上都不满足性质①，

因为对于任意。<6,都有f(a)-f(b)>b-a>0,

所以y=/(x)在五上单调递减，

所以y(x)=x不恒成立，即存在了(/)HX。，

若/(%)>%，

取a<b<Xo，则[(a)>f(b)>/(x0)>x0>b>a,

y=/(x)在区间[a,可上对应函数值的区间(b),/(a)],

[/(b),f(a)]Q[«,b]=0,

所以[a,6]是一个“好区间”；

若/(%)</，

取6>Q〉X。，

则/(b)<f(a)</(x0)<x0<a<b,

y=/(x)在区间[a,切上对应函数值的区间[/(b),/(a)],

[/(b)，f(a)]p|[«,b]=0,

[a,6]是一个“好区间”；

所以y=/(X)存在“好区间”；

记g(x)=/(x)-x,

因为y=/(X)在R上单调递减，所以y=g(x)在尺上单调递减；

又了=/(x)图像是一条连续的曲线，

所以y=g(x)图像也是一条连续的曲线，

先证明y=g(x)有零点，

设g(0)=/(0)=t,

若:0,贝廿=g(x)有零点为x=0,

若/>0,则/(/)</(0)w0,g(t)=f(t)-t<0,g(0)=t>0,y=g(x)在区间(0J)上有零点;

若t<0,贝U/(7)>/(0)#0,g(Z)=/(Z)-?>0,g(0)=t<0,y=g(x)在区间亿0)上有零点;

所以y=g(x)必有零点，记为端，

即/(x；)=x0>=f(x)的“好区间”/都满足性质②，

所以/，不属于任意一个“好区间”.

【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合应用、分类讨论思想，理解定义是关键，属于中档题.

7.(2024•杨浦区校级三模)设函数y=/(x)定义域为Z.若整数s、I满足,则称s与/“相

关”于7•

(1)设“x)=|x+l|-2,xwZ,写出所有与2“相关”于/•的整数；

(2)设y=/(x)满足：任取不同的整数s、?e[l,10],s与/均“相关”于求证：存在整数加e[l,

8],使得m、〃?+1、m+2都与2024“相关”于/；

(3)是否存在实数0,使得函数〃x)=(l+ax)e*+(a+l)x-l,xeZ满足：存在^eZ,能使所有与天

“相关”于/的非零整数组成一个非空有限集？若这样的。存在，指出/(%)和0的大小关系(无需证明),

并求出“的取值范围；若这样的。不存在，说明理由.

【分析】(1)直接根据定义解不等式即可；

(2)根据定义可以确定/(1),f(2),/(10)中至多有两个非零数，再直接推知结论；

(3)对命题进行等价转化，然后使用分类讨论方法即可确定a的取值范围，并得到/(x0)<0.

【解答】解：(1)若要整数x与2“相关”于/,即(2)W0，

由于/(2)=1,故这等价于/(x)，0,即|x+l《2,

得到满足条件的全部x为-3,-2,-1,0,1.

(2)由题意知，f(1),f(2),/(10)这十个数中，任取其中两个，其乘积都不为正数，

这意味着，这十个数中至多有一个正数，也至多有一个负数，

所以这十个数中至多有两个数不等于零.

假设/(1),f(2),f(3)不全为零，

f(4),f(5),f(6)不全为零，

f(7),f(8),f(9)也不全为零.

那么这十个数中已经出现了三个不为零的数，矛盾.

所以必定存在整数加w{l,4,7}c[1,8],使得/(小)=/(加+1)=/(加+2)=0,

此时/(m)/(2024)=f(m+1)/(2024)=f[m+2)/(2024)=0,

所以加，m+\,m+2都与2024"相关”于f.

(3)原条件等价于下列两个命题之一成立：

①存在％eZ使得/(x0)>0且集合4={xeZ|/(x)W0，尤*0}是非空有限集；

②存在x°eZ使得〃/)<0,且集合&={xeZ"(x)》0,x#0}是非空有限集.

设(p{x}=(1-x)ex-1,贝!J(p\x)=-xex,

从而当x<0时0（x）>0,当x>0时（p（x）<0，

所以0(x)在(-8,0］上递增，在［0,+8)上递减，从而9(x)(0(0)=0.

对/(%)=(1+办)优+(Q+1)%-1求导可得f\x)=(Q+1+ax)ex+Q+1.

若贝!J当工<」一时，由。<0且％<0知，

x+1

/(x)=(1+ax)ex+(a+l)x-1>(tz+l)x-1>0；

当时，有/(%)=(1+ax)ex+(a+l)x-1<(1-x)ex-一1<0,

所以3N,A>o(—co,---)0Z，

、/a+111

从而4，人都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立；

若-<———，

e+1

则当在0时，得

/(x)=(1+ax)ex+(a+V)x-l=ex+x-i+ax(ex+1)(靖+x-l-x(ex+1)=(1-x)ex-1=e(x)<0；

9Pi—p

当时，由2。+1<—++1=—<0有，

e+1e+1

/'(x)=(Q+1++Q+1<(2Q+l)e"+Q+1<(2Q+l)e+a+1

1、1e(2e+1)1e2+2e+l-2e2-e-e2+e+1-22+3+1_

=(2e+l)a+e+l<------+e+l=-----------------=----------<----------=0,

e+le+le+le+l

所以/(x)在［I,+8)上递减，

从而对有f(x)((I)=(I+d)e+a+1-1=a(e+1)+e<———•(e+1)+e=0,

e+l

所以对任意XEZ都有从而命题①不成立；

而同时这意味着4包含一切非零整数，所以命题②不成立；

若———^a<0,则当时，由Q2——

e+le+l

f(x)—(I+QX)/+(Q+l)x—\=cx+x-1+4x(/+x-I_x{cx+1)=(I—x)/—I=e(x)<0;

7

当%>——时，由0》e*•(p(-x)=ex((l+x)e~x一I)=I+x-，知x^ex-l,

a

从而f(x)=(I+ax)ex+(a+l)x-l=ex-l+x+ax(ex+l)W2(e"-l)+ax(ex+1)<(2+ax)(ex+1)<0,

o

故总屋［-从而4一定是有限集.

而'f(I)=(I++a+1—I=+1)+e2------(e+1)+e=0,

e+l

因为IwO,leZ,所以从而力》一定是非空有限集.

同时，上面已经证明了(-1)(0,所以此时命题②成立；

若,则当x<0时，有/(x)=(1+ax)ex+(Q+V)x-1=(ex-1)+x(aex+tz+l)<0+0=0；

当x〉0时，有/(x)=(1+ax)ex+(tz+l)x-1=(ex-1)+x(aex+Q+1)>0+0=0.

所以4江-N*,4卫N*,从而4,4都不是非空有限集，故此时命题①和②都不成立.

综上，。的取值范围是［-一—,0),且此时存在x°wZ使得

e+1

且集合&={X£Z|/(X)2O,xwO}是非空有限集.

这表明对每个满足条件的a,都有/(/)<0.

【点评】本题考查了函数性质的综合应用，考查了函数思想.属于难题.

8.(2024•黄浦区校级模拟)已知。为实数/(x)=(x+0历(x+1).对于给定的一组有序实数(左,加)，若对任

意X］,x2G(-1,+00),都有的一/(再)+刈［优一/(%2)+刈》0，则称(左，⑼为/(X)的“正向数组

(1)若。=-2,判断(0,0)是否为/(%)的“正向数组”，并说明理由；

(2)证明：若(后，加)为/(%)的“正向数组”,则对任意%>-1,都有+联0；

(3)已知对任意%>-1,(/'(%),/(%)-//'(%))都是/(x)的“正向数组”，求〃的取值范围.

【分析】(1)代入有/(x)=(x-2)历(x+1),根据函数性质得到/(x)的正负时不同取值情况即可；

(2)假设存在%>-1,使得Ax-7(x)+机>0,通过正向数组定义转化得对任意x>-l,Ax-/(x)+加20恒

成立，设尸(x)=(x+a)ln{x+l)-kx-mf再利用函数的性质即可证明假没不成立：

(3)代入有f\xQ)x-/(x)+/(x0)-x0/(x0)20恒成立或f(x0)x-/(x)+/(x0)-Wo)40恒成立，设

g(x)=/(x)-/'(%o)x，求出冢/)是g(x)的最大值或最小值时［的取值范围即可.

【解答】(1)解：若〃=-2,f(x)=(x-2)ln(x+l),

对(左,冽)=(0,0),即［何-/(再)+加］［如-/(%2)+加］=/(再)，/(%2)，

而当国£(0,2),x2G(2,+oo)时,

/(国)=(石一2)历(西+1)<0,f(x2)=(x2-2)ln(x2+1)>0,

即/(%>/(%)<0，不满足题意，

所以(0,0)不是/(X)的“正向数组”；

(2)证明：假设存在使得Ax-/(x)+冽>0,

・・・伊,⑼为/(%)的“正向数组”，

.二对任意/>-1,都有内：o-/(%)+旬・［优-/(/)+河)0，

.•.对任意》>-1,Ax-/(%)+加20恒成立，

令产(x)=(x+a)ln{x-i-V)-kx-m,则F(x)^0在(一1,+8)上恒成立,

尸'(％)=ln(x+1)+x+a-k=ln(x+1)+——-+(1—左)，

x+1x+1

n—1

设G(x)=F'(x)=ln(x+1)+--+(1-左)，

x+1

则当a>l时，G〃(x)在(-l,a-2)上为负,在(0-2,+8)上为正,

所以G(x)=F\x)在(-1,。-2)上单调递减，在(a-2,+oo)上单调递增，

若尸(a-2)<0,当x—>-1,F\x)—>+co,当x—>+oo,F\x)->+oo,

即存在厂(药)=尸(%)=0,使7(x)在(一1,玉)上为正，在区，%)上为负，在(%,+◎上为正，

所以尸(x)在上单调递增，在(%，%)上单调递减，在(尤2，+功上单调递增，

又当/(x)--co,当x->+co,/(%)一+00,则尸(%)的值域为R,

若尸(a-2)》0,尸(x)》尸(a-2)》0,尸(x)在(-1,+8)上单调递增，

又当F(x)->-co,当x->+co,F(x)-»+oo,则尸(x)的值域为R,

当被1时，G(X)="+2-；》o,60)=尸(幻在(-1,+8)上单调递增，

(x+1)

又当xfF(x)-»+C0,当尤->+co,F(x)->+<x>,则尸(x)的值域为[/(占)，+C0),

由值域可看出，与尸(x)W0在(-1,+»)上恒成立矛盾.

.•.对任意x>-l,都有fcr-yXxH：”，。；

(3)•.•(/(%),/(%))都是/(X)的“正向数组”，

对任意X],x2e(-l,+oo),都有[r(%)网-/(占)+/(%)-%/«)][广(超应+,

则/Xx0)x-/(%)+/(%)-恒成立或r(x0)x-/(x)+/(xo)-xo/,(^oKO恒成立，

即/(X)-f'(x0)x4qf(x0)-f'(x0)/恒成立或/(x)-f'(x0(x0)-f'(x0)%恒成立，

设g(x)=/(x)-f'(x0)x=(x+a)ln(x+1)-f\x0)x,

则〃Xo)-f'(x0)x0=g(x0),

即g(xo)是g(x)的最大值或最小值，

g'(x)=r(x)-f'(x0)=ln(x+1)+弋-/'(%)=ln(x+1)+㈡+[1-r(％)],

x+1x+1

且g'(x°)=/'(x。)-〃％)=o，

当a>l时,由(2)可得，8(X)=0：+砌历0+1)-八/攵=尸。)+加的值域为尺,无最大值或最小值，

Z/—1

当"1时，g'(x)=ln(x+1)+—+[1-r(x)]在(-l,+00)上单调递增，

x+10

又8'@)=/'(工())-/'(%)=0，则g(x)在(-1用)上为负，在(%,+8)上为正,

所以8。)=〃刈-/6)》在(-1,%)上单调递减，在(尤0,+oo)上单调递增，

则g(x0)是g(x)的最小值，满足g(x)=/(x)-f\x0)x^f(x0)-f'(x0)x0,

此时对任意X],x2e(-l,+oo),都有

[/'(%-/(Xj)+/(x0)-xof'(xo)][/(x0)x2-/(x2)+f(x0)-xof\xo)]>0,

。的取值范围是(-℃,1].

【点评】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，含参分类讨论求函数的单调区间，函数新定义，属

于难题.

题型3分段函数的应用

一电T

i.(i)分段函数求值的方法

①先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

②然后代入该段的解析式求值.当出现烟⑹)的形式时，应从内到外依次求值.

(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函

数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.

⑶若分段函数的自变量含参数，要考虑自变量整体的取值属于哪个范围，从而根据对应的解析式整体代入，

转化为方程或不等式问题.

2.分段函数图象的画法

(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，1

再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函

数，然后分段作出函数图象.

3.分段函数的实际应用

(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而

分段函数图象也需要分段画.

(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨

论，从而写出相应的函数解析式.

1.(2024•上海)已知/(x)=r,g(x)=|"X),珍。，求名⑴血-苫的x的取值范围________.

n),x<0

【分析】根据已知求得g(x)=[,再分x20以及x<0分别求解即可.

[一x<0

【解答】解：根据题意知g(x)=(,

I-%<0

所以当x20时，g(x)^2-x=>x2+x-2^0,解得xe[0,1]；

同理当x<0时，g(x)(2—xn——+x-2^0,解得xw(-oo,0)；

综上所述：xe(-00,1].

故答案为：(-00,1].

【点评】本题主要考查分段函数的相关知识，考查不等式的求解，考查计算能力，属于中档题.

"2

ax-1x<0

2.(2022•上海)若函数/(x)=<x+ax>0,为奇函数，求参数a的值为.

0x=0

【分析】由题意，利用奇函数的定义可得/(-x)=-/(x),故有〃_1)=-/(1),由此求得a的值.

-2

ax-1x<0

【解答】解：・.・函数/(x)=X+Qx>0,为奇函数，「./(—x)=—/(x),

0x=0

2

/(-1)=-/(1),-a-1=-(«+1),即a(a-l)=0,求得a=0或a=l.

—1,x<0

当a=0时，f(x)=<0,x=0,不是奇函数，故awO；

>0

x-l,x<0

当4=1时，/(X)=<0,x=0,是奇函数，故满足条件，

x+l,x>0

综上，Q=1,

故答案为：1.

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.

3.(2024・杨浦区二模)若函数8(刈=[‘为奇函数，则函数了=f(x)，尤e(0,+oo)的值域为_________.

[/(x),x>0

【分析】根据题意，当运0时，g(x)=2"-l,求出此时g(x)的值域，结合函数的奇偶性分析可得答案.

【解答】解：根据题意，当xWO时，g(x)=2*-l,

当x<0时，有0<2，<2°=1,则有-l<g(x)<0,

又由g(x)为奇函数，则xe(0,+8)时，y=/(x)为值域为(0,1).

故答案为：(0,1).

【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题.

2，,无》0,

4.(2024•闵行区校级模拟)若加eR,/(x)=，1，则满足/(加-2)品(加+3)的m的最大值为_______.

——,x<0

12一

【分析】根据指数函数的图象与性质，判断出“X)在R上先减后增，结合“