函数与导数（4考点+22题型）-2025年高考数学复习专练（解析版）

查漏补缺02：函数与导数

题型01指对募代数式的化简求值

题型02瞰函数的图象与性质

题型03对数函数的图象与性质

题型04幕函数的图象与性质

题型05指对寻函数大小

题型06指对嘉函数综管应用

题型01函数零点所在区间问题

题型02函数零点个数的判断

题型03已知函数零点个数求参数

^^01利用导数求曲线的切线

基本初等函数的导数公式逊02根据切线情况求参数

题型03利用导数研究函数的单调性

。考点四导数及其应用

费的运算法则逊04构造函数解不等式

题型05利用导数研究函数的极值

懿与函数单调性的关系题型06利用导数研究函数的最值

导数与函数的单调性、极值、最值献极值的定义题型07利用导数研究榜式成立问题

级最值的定义

■郭考点大过头

考点一：函数的概念与性质

・核心提炼•查漏补缺

知识点1函数的有关概念

1、函数的三要素:

(1)在函数y=/(x),xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏x)|尤GA｝叫做函数的值域。显然，值域是集合2

的子集.

(3)函数的对应关系：y=/(x),xeA.

2、相等函数与分段函数

(1)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的

依据.

(2)分段函数：在函数定义域内，对于自变量*取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为

分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分

构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数式尤)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值I],%，

当王</时，都有/'(匹)</(%2)，那么就说函数#尤)在区间D上是单调递增函数。

当西<%2时，都有/(再)>/(%)，那么就说函数加。在区间D上是单调递减函数。

2、函数的单调区间

若函数在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=/k)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D

叫做y=/次)的单调区间.

3、函数单调性的性质

若函数/(乃与g(x)在区间。上具有单调性，则在区间。上具有以下性质：

(1)/(x)与/(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

(2)/(x)与—/(%)的单调性相反.

(3)当a>0时，/(X)与/(x)单调性相同；当。<0时，/(X)与单调性相反.

(4)若/(幻沙，则/(%)与具有相同的单调性.

(5)若/(%)恒为正值或恒为负值，则当a>0时，/(x)与，^具有相反的单调性；

/(x)

当。<0时，/(%)与」一具有相同的单调性.

/(%)

(6)/(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)：

简记为：/+/=/;(2)、+'=';(3)/-、=/；(4)

(7)复合函数的单调性：对于复合函数y=/[g(x)],

若f=g(尤)在区间(a,b)上是单调函数，且在区间(g(a),g(b))或(g(6),g(a))上是单调函数

若f=g(©与>=式。的单调性相同，则y=/[g(现为增函数

若f=g(x)与y=/)的单调性相反，则y=/[g(x)]为减函数.简称“同增异减”.

知识点3函数的奇偶性

1、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个无，都

偶函数关于y轴对称

有/(_x)=/(x),那么函数於(是偶函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

奇函数关于原点对称

/(-%)=-/(X),那么函数/(X)是奇函数

2、函数奇偶性的几个重要结论

(1)/(x)为奇函数=/(x)的图象关于原点对称；/(x)为偶函数=/(x)的图象关于y轴对称.

(2)如果函数/Q)是偶函数，那么y(x)=/(N).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即/Q)=0,xG。，其中定义域。是关于原点对称的非

空数集.

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于

原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

知识点4函数的周期性

1、周期函数的定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/(x)，那

么就称函数/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

2、最小正周期：如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的

最小正周期.

知识点5函数的对称性

1、关于线对称

若函数y=/(x)满足/(a+x)=/S-x),则函数y=/(x)关于直线了=巴心对称，特别地，当。=6=0时，

2

函数y=F(x)关于y轴对称，此时函数y=/(x)是偶函数.

2、关于点对称

若函数y=f(x)满足/(2a-%)=2Z>-/(x),则函数y=/(x)关于点(a,6)对称，特别地，当a=0,b=0时，

/(x)=-/(-x)，则函数y=/(x)关于原点对称，此时函数/(x)是奇函数.

・题型特训•精准提分

【题型1求函数的定义域】

求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即依（其中〃=2左，左eN*）中xNO,

奇次方根的被开方数取全体实数，即祗（其中〃=2左+l#eN*）中，x&R.

3、零次幕的底数不能为零，即x°中XH0.

4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“U”连接。

2

1.（24-25高三上•山东•月考）函数>=后不二同的定义域是（）

A.（TIO）B.（-10,4）C.（-w,-4）U（10,4^o）D.[-4,10]

【答案】A

【解析】由题意可得7—|无一3|>0,即一7〈元一3<70一4<尤<10,

所以函数的定义域为（Y,10）.故选：A.

2.（24-25高三下•全国•开学考试）下列集合中，与集合{尤I尤20}不相等的是（）

A.{x\y=4x}B.{y|y=«}

C.{y|y=er}D.{yIy=ln（x2+1）}

【答案】C

【解析】对于A,由募函数y=6的定义域需满足尤NO可知，{x|y=4}={x|x'O},即A正确；

对于B,由幕函数y=«的值域可知，{y|y=&}={x|尤20},即B正确；

对于C,由指数函数值域可知{yly=e，}=（0,y），可得C错误；

对于D,由对数函数值域可知{yly=ln（f+l）2lnl=0}={x|xN0},可得D正确.故选：C

3.（24-25高三下•辽宁・月考）已知〃x）=lnx,则函数〃打了⑺]}的定义域为（）

A.（O,e）B.（e,+e）C.（0,1）D.（1,+十）

【答案】B

【解析】因为/（x）=lnx的定义域为（0,+功,

所以/[〃x）]>0nln/（x）>0n/（x）>l,即lnx>lnx>e.

所以所求函数的定义域为（e,+8）.故选：B

4.（24-25高三下•江苏哈格测试）已知函数y=/（x）的定义域为[0』，则函数y=的定义域为（）

A.[1,2]B.[-1,0]

c.D.m.:。）

【答案】C

【解析】因为y=〃x）的定义域是[0』，所以0VXV1,根据抽象函数定义域求法,

[OWx+l<l]

在函数>=△_^中，c,八，解得TWxWO且XH-二

2x+l[2尤+1W02

则定义域为-L-1]uf-1,o.故选：C.

【题型2求函数的值域】

求函数值域的七种方法

1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值（值域）.

2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.

3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.

4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元f代替，将解析式化归

为熟悉的函数，进而解出最值（值域）.

5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，

形如y=丝二2或丁=丝―”一（。，C至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法

cx+dcx+a

nx~+bx+c

6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y=-------------

ax~+ex+f

将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判

别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法

解法。

7、导数法：对可导函数/（x）求导，令/'（x）=0,求出极值点，判断函数的单调性：

如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；

如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。

1.（24-25高三上•山东荷泽・月考）函数y=2x+Jl-3x的值域是（）

A.-二252

B.——,+ooC.D.生

243I24.

【答案】D

_____|_产

【解析】设"V/iFz>0,则％=L_L,

二匚I、I2-2『2224.灯+”

所以y=--------+t=——t+t+~=

333314J24

所以当t=?3时，＞取最大值为2三5,

424

即函数的值域为1-8,II].故选：D.

2.（24-25高三上•江苏南通・开学考试）函数=«+H7的值域是（）

A.[0,2]B.[1,2]C.[0,1]D.[72,2]

【答案】D

【解析】〃力=4+万I,先求定义域，即2-尤？0,且转0,即xe[0,2].

函数式子两边平方，即"（x）f=2+2衣启.

当0VxV2,由二次函数性质知道y=-x2+2x的值域为[0,11.

则[/（x）]2=2+2d-X2+2x的范围为[2,4].

开方得f（x）=«+万^的值域为[也2].故选：D.

x2+l（忘1

（高三下•山西•开学考试）已知函数/（%）=V2，则〃X)+/

3.24-252----<X<的最小值为（

2-X(2X

7

A.1B.2C.2&D.4

【答案】D

【解析】外加”，（卜碧,所以后+尚=1

设"心==T+J由旦x<0,可得：0<2-x2<1,

22

则『3＞2,所以—小…—2x2-1。’则

小)+0『—tt(r-l)2+2(^-l)+l

=r-l+—+2>2+2=4,

t-1

当且仅当―1=1,即r=2,即尤=1时等号成立.故选：D.

炉—2xH—,%W1,

4.（24-25高三上•甘肃酒泉•期末）已知函数〃尤）=<的值域为。,，则实数a

a[1

XH----1,X〉I

X

的取值范围是（

5

—00——,+00

44

【答案】C

【解析】当X41时，〃到=/-2尤+|=（尤一1）2+,在（-8,1］上单调递减，此时“无）6|,+8

当%>1时，f（x）=x-\----1.

①若aVl,则〃力=%+£—1在上单调递增，此时了（%）£（〃,口）,

又函数〃力的值域|,+^,不合题意；

②若。>1,则〃耳=%+三一>2&-1,当且仅当无=后>1时，等号成立，

__3

.「3、2-\/a—1>—25

又函数/（X的值域。a,贝叶2,解得就孑.

2）yfla>.116

综上所述：aw三.故选：C.

【题型3函数的单调性及应用】

判断函数单调性（单调区间）的常用方法

①定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得出结论。

②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可以作出，可由图象的升、降判断它的单调性或

写出单调区间。

③复合函数法：根据“同增异减”判断，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，内、外层函数的单调性

不同时，为减函数。

④导数法：先求导，再利用导数的正负，确定函数的单调性（单调区间）。

⑤性质法：a.在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减

1.(24-25高三下•四川雅安•开学考试)函数f(x)=(®)2-21gx的单调递增区间是.

【答案】[10,+8)(或(10,+功)

【解析】函数/⑴的定义域为(0,+8),

令f=lgx在定义域上为增函数，贝仃=〃-2/=«-1)2-1在[1,+8)上单调递增，

由复合函数单调性的同增异减原则可得，当t=lgr21,即X210时，函数/(尤)单调递增，

即函数/(x)单调递增区间为[10,包).

2.(24-25高二下.河北衡水.开学考试)已知函数=则不等式/(/+3)+/(_2f2+-1)>0的解集

为.

【答案】(一1,2)

【解析】因为=定义域为(-x,0)u(0,+e),定义域关于原点对称，

4

又/(—%)=—%+—=—/(%),所以/汉)为奇函数.

X

由/，2+3)+/(-2/+”1)>0,

得/•02+3)>―/卜2产+1),即/任+3)>/(2户T+1),

又产+3>0,2z2—t+1=2,(t—]H—>0,

I4J8

4

且「(龙)=1+7>0,所以f(x)在(0,+®)上单调递增，

所以产+3>2产T+1,解得

所以不等式的解集为(-1,2).

3.(24-25高三下•湖北荆州•月考)已知函数/(尤)=Ji一6x+5在区间(。,收)上单调递增,则。的取值范围

为()

A.(-oo,l]B.(-oo,3]C.[3,+00)D.[5,+oo)

【答案】D

【解析】由炉-6尤+520,可得xWl或x25,

即函数的定义域为(f[]U[5,+⑹，

又因为/=*一6元+5在叵+8)上单调递增，在(…』]上单调递减，

y=VF在[0,+°°)上单调递增，

由复合函数的单调性可知/(x)=77二6%15在区间［5,+8)上单调递增，425.故选：D.

C2Q—3

3xH------,x>l

4.(24-25高三上•辽宁大连•期末)已知函数〃尤)=<1X,若对任意的为<工2，都有

2x+(°-1),x<l

〃石)一/伍)<2e一2%，则实数。的取值范围是()

A.尺B.卜，1C(5,2_D.(1,2］

【答案】D

【解析】/(石)一/伍)<2%-2々n/(%)—2石</(三)一2%，

设.(x)=/(x)—2x,则尸&)</(%),

因为玉<%,所以尸⑺=/⑺-2^在R上单调递增，

2Q—3

/\x-\------,x>1I

其中方(%)={X,

需满足y=(a-l)e-1在(一叫1)上单调递增,y=工+^^在口，+8)上单调递增,

且(a—l)e°W1+2a-3,

由(a-l)e。W1+2a-3得,

根据y=(a-l)eXT在(Y),1)上单调递增,得到。-1>0,故a>l,所以a>l,

当2a—3<0,即l<a<g时，产工+生匚在卜+⑹上单调递增，

2x

当2a—3=0,即a=］时，丁=工在［1,+8)上单调递增，

3

当2a-3>0,即〃时，由对勾函数性质得，

2

y=x+"p在(伍与+可上单调递增，故需满足而二？<1,解得aW2,

3

所以,

综上，实数a的取值范围是(1,2］.故选：D

【题型4函数的奇偶性及应用】

1、求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值对应的自变量转化到已知解析式的区间，代入已知的解析

式，然后利用函数的奇偶性求解即可.

2、求参数：由定义或定义的等价关系式/(%)+/(-x)=0(奇函数)与"x)-/(r)=0(偶函数)得到恒等

式，再利用系数相等构造方程(组)求解.

1.(24-25高三下•河南信阳•开学考试)已知函数则下列函数中为奇函数的是()

A.y=f(x-l)B.y=/(x+l)C.y=f(x)-\D.y=f(x)+l

【答案】C

【解析】对于A,7(%一1)=号二，定义域为R,

贝1(一犬一1)=含==-/(x-l),即y=/(x—l)不是奇函数；

对于B,f(x+l)=|^-,定义域为R,

则，(一十+1)=券即＞=/(%+1)不是奇函数；

对于C,〃"-1=汇-1=白|，定义域为R,

一「W=H=一即y=〃x)T为奇函数，C正确；

对于D,—+1=浮^+1=3：3"+1,定义域为R,

〃_"+]=3；二；即y=〃x)+l不是奇函数，故选：C

2.(24-25高三下•四川巴中•一模)若函数〃尤)=巴蓑匕为奇函数，贝心=()

A.0B.1C.2D.无解

【答案】D

【解析】根据题意，函数〃.)="；+2…京=。+2-,则〃f)=a+2个

若/(x)为奇函数，贝I〃力+=2a+21+=0,

即。=-(2-工+2工)，。的值不是常数，即无解.故选：D

3.(24-25高三下•福建泉州•一模)已知函数〃x)=sinx+(x+a)(x+l),若上e(-2,0),/(-x)=—,则

。的值可以是()

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】B

【解析】由题意得，sin(—x)+(—x+a)(—x+l)=-sinx—(x+a)(x+l),整理得a=—d,

因为xe(-2,0),则一炉e(-4,0),ae(~4,0).故选：B.

4.(24-25高三下•广东广州•月考)已知为奇函数，当x>0时，

【答案】-ln3

【解析】因为为奇函数，所以〃-ln2)=-〃ln2)=-ln(eS2+l)=-ln3.

【题型5函数的周期性与对称性应用】

函数周期性的常用结论及应用(。是不为。的常数)

(1)若〃X+Q)=/(%),则T=a；(2)若/(x+a)=/(%—〃)，则T=2a；

(4)若/(x+a)=y^y,则T=2a；

⑶若〃x+a)=—〃x),则T=2a；

(5)若/(x+a)=—则T=2a；(6)若/(x+a)=/(x+/?),则丁二,一可(awZ?)

1.(24-25高三上•安徽安庆・月考)已知函数是定义域为(--+e)的奇函数，满足/(1+/=/(1—力,

若"1)=2,则八1)+/(2)+/(3)+…+/(2024)=.

【答案】0

【解析】因为/(x)是定义域为(一叫+8)的奇函数，贝I]/(-无)=一/(尤)且/(0)=0,

又因为〃1+尤)=〃1一”，

贝ij/(x+2)=/[(x+l)+l]=/[l-(x+l)]=/(-%)=-/(%),

可得/(x+4)=/[(x+2)+2]=-〃x+2)=-[-/(%)]=/(x),

可知函数〃x)的一个周期为4,

由—/(X)可得/(x+2)+/(x)=0,

则八3)+/⑴=0，〃4)+〃2)=0,即〃1)+〃2)+〃3)+〃4)=0,

所以/⑴+/(2)+f(3)+L+7(2024)=506x0=0.

2.（24-25高三下•湖南•月考）设函数的定义域为R,7（x+1）为奇函数，/（尤+2）为偶函数，当xe[l,2]

时，/(》)=/+2.则/(亍)=()

A.2B.』C.-2D.二

2242

【答案】B

【解析】〃龙+1)为奇函数，故x+l)=—〃x+l),

又/(尤+2)为偶函数，故f(-x+2)=f(x+2),

/(一元+2)=/(尤+2)中，令x-1代替x得/(-X+3)=/(x+1),

结合/(—x+l)=—/(x+1)得，(一x+l)=-/(-x+3),

即/(x)=-/(x+2),又/(x+2)=—〃x+4),

故〃x)=/(x+4),/(x)的一个周期为4,

又xe［l,2］时，/(X)=ox2+2,且/(-X+l)=-/(X+1),

则，(1)=一/(1)，则/(1)=0,则。+2=0,。=一2,

贝Ijxe口,2］时，/(^)=-2X2+2,

故/(管)7(4x253+./出=一噌/卜'叔+2>|.故选：B

3.(24-25高三下•广东深圳•月考)(多选)函数y=f(x),y=g。)的定义域均为R,且对任意xeR均满足

/(x)-g(2-x)=-2,g(x)+/(x-2)=4,g(x)+g(6-x)=4,则下列选项正确的是()

A.g(3)=2B.§(2025)=2020C./(2024)=2025D./(-2025)=-2023

【答案】AC

【解析】对于g(x)+g(6-x)=4,令》=3可得g(3)+g(6-3)=4,解得g(3)=2,故A正确；

由g(x)+/(尤一2)=4得g(x+2)+f(x)=4,又f(x)-g(2-x)=-2,

所以g(x+2)+g(2-x)=6,所以g(x)+g(4-x)=6,结合g(x)+g(6-x)=4,

所以g(4-x)=g(6-x)+2,所以g(x+2)=g(x)-2,

令x=l得g(3)=g(l)-2,即g⑴=4,再令x=-1得g(l)=g(-1)-2,即g(-l)=6,

对于g(x)+g(4-x)=6,令x=2得g(2)=3,

由g(x+2)=g(x)-2得g(2025)=g(2023)-2=g(2021)-4=g(2019)-6=.•.=g(3)-2022=-2020,

故B错误；

由g(x)+/(尤一2)=4得/(2024)=4—g(2026),

由g(x+2)=g(无)-2得g(2026)=g(2024)-2=g(2022)-4=g(2020)-6=…=g(2)—2024=-2021,

所以/(2024)=4+2021=2025,故C正确；

由g(x)+-2)=4得/(-2025)=4-g(-2023),

由g(x)=g(x+2)+2得g(—2023)=g(-2021)+2=g(-2019)+4=g(-2017)+6=…

=g(—1)+2022=2028,

所以/(-2025)=4-2028=-2024,故D错误.故选：AC

4.(2025•黑龙江哈尔滨•一模)(多选)己知函数y=〃2x+l)的图象关于点(1,0)对称，函数y=〃x+l)的

图象关于直线尤=1对称，则下列说法正确的为()

A.4是〃*)的一个周期B.“X)是偶函数

2025

c.Z/伏)=1D./(l+^)+/(l-x)=0

【答案】ABD

【解析】因为函数y=/(2x+i)的图象关于点(1,0)对称，

所以〃2x+l)+([2(2—尤)+1]=0,即〃2x+l)+〃5—2x)=0,

用x代换上式中的2x可得〃x+l)+〃5-x)=0,所以关于点(3,0)对称，

因为函数y=/(x+l)的图象关于直线x=l对称，

所以函数的图象关于直线x=2对称，即〃尤+1)=〃3-同，

又〃x+l)+/(5-x)=0,

所以/(3-x)+〃5-x)=。，所以/[3-(3-耳]+/[5-(3-耳]=0,

所以〃2+x)=—〃x),所以/(4+x)=—〃2+x)=/(x),

所以函数〃x)的周期为4,故A正确；

因为〃耳=_/(2+力,所以/(一力=一/(2-力，

因为函数/(%)的图象关于直线x=2对称，所以/(x+2)=〃2r),

所以=所以/⑺是偶函数，故B正确；

因为/(2+x)=—/(x),所以〃l+x)=—1),

即/(l+x)+/(l-x)=0,故D正确；

因为/(x)关于点(3,0)对称，f(2)+/(4)=0,

因为〃2+x)=—〃x),令尤=1可得"1)=—“3),

又/(X)关于直线元=2对称，所以/。)=/(3)=0,

所以/(1)+〃2)+/(3)+/(4)=0,

2025

所以伏)=4x506+1=〃1)=0,故C不正确.故选：ABD.

k=1

【题型6抽象函数的性质应用】

1、抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种:

(1)……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解；

(2)通过/(%)—/(%)的变换判定单调性；

(3)令式子中出现/(%)及/(-%)判定抽象函数的奇偶性；

(4)换x为无+T确定周期性.

2、判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=---,判断符号时要变形为：

fM-=〃(%-%)+玉)-/(占)或/(%2)-/(%1)=/(%2)-〃(再-%)+%)；

②若给出的是“积型”抽象函数，(孙)=…，判断符号时要变形为：

/、/、

/(^2)-/(^l)=/XjZ一/(九1)或/(%)—/(%)=/(%)—/^2—•

1.(24-25高三下•青海海南•模拟预测)已知定义在R上的函数/(x)满足/]()=¥，且

〃x+y)=/(x)/(l—y)+/(y)/(l—x),贝I]/(2025)=.

【答案】1

【解析】令户户；，得/⑴=/1卜[1]+/1卜1卜，

令％=y=0,得/(。)=/(0)/(1)+/(。)〃1)，所以"0)=0.

将y=i代入，可得/(X+1)=/(1—X).

令尸一无，得〃0)=〃x)〃l+x)+〃r)〃l-x),

又因为VxeR,〃x+l)=/(l-x)恒成立，且不恒为0,

所以〃x)+〃f)=O,从而为奇函数，

又由〃x+l)=/(l-x),可得〃x+2)=〃r)=—/(x),

所以/(x+4)=〃x),所以4为〃x)的周期，

M/(2025)=/(506x4+l)=/(1)=1,故答案为：1.

2.(24-25高三下•黑龙江吉林•模拟预测)(多选)已知函数f(x)的定义域为R,

f(x+y)-f(x-y)=f^X+^f^y+^,/(O)NO,则下列说法正确的是()

A./(D=2B./(0)=-2C.U=2D./(x)是偶函数

【答案】ABD

【解析】令x=y=o,可得〃。)-/=解得/，]=。，故c错误；

令x=o,yeR,贝(-=+=由偶函数的定义知，是偶函数，故

D正确；

令%=_恭=4,则/(—1)-/(。)=〃。卜〃0),

由/(X)是偶函数，则/(I)—/⑼=〃0)•"0)①，

令x=.y=W，则/(0)寸(1)=/。)"(0)②,

①+②可得0="0)[〃0)+/⑴],

又/(0)20,则/(1)=一/(0),代入①可得/(0)=_2,/(1)=2,故AB正确；故选：ABD.

3.(24-25高三下•海南•三模)(多选)已知函数的定义域为R,且"2)=6,若

/(力=〃尤-y)+/(y)+孙(x-y),则下列说法正确的是()

A./。)=2B./(X)是奇函数

C./(4x)=/(x)+16x3D.若〃eN*,则”〃)=；〃3+g〃

【答案】ABD

【解析】对于A,令x=2,y=l可得：/(2)=/(2-1)+/(1)+2(2-1),所以7(1)=2,正确;

对于B,令尤=0,可得:/(O)=/(-y)+/(y),

令x=y=0可得：/(0)=/(0)+/(0),即/(0)=0,

所以。=〃-y)+〃y),即是奇函数，正确；

对于C：令一x=y,可得〃X)=〃2X)+〃T)-2X3,

由B可得：/(2x)=2f(x)+2x3,

所以〃4x)=2〃2x)+16/=2[2〃尤)+2x3]+16x3=4/(x)+20x3,C错误；

对于D,令x=y+l,可得：〃y+l)=/⑴+/(y)+(y+l)y,

所以/(y+i)-/(y)=y2+y+2

所以“2)-〃l)=F+3,/(3)-/(2)=22+4,/(4)-/(3)=32+5L

/(n)-/(M-l)=(M-l)2+n+l,