函数值域的常见求法8大题型（学生版）

函数值域的求法8大题型

函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学

的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求,考生在

复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值

域类型的内容。

一、求函数值域的常见方法

L直接法:对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；

2.逐层法:求力（力…九（⑼）型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的

值域；

3.配方法:配方法是二次型函数值域的基本方法,即形如“9=近+c（a¥0）”或“y=a"3）『+by

Q）+c（a¥0）”的函数均可用配方法求值域；

4.换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有

⑴片—或呼格r的结构,可用换元;

⑵y=ax+b±Vcx~+d（a,b,c,d均为常数，aW0,cW0）,可用uVcx-\-d=力”换元；

⑶"=bx±Ja2—1型的函数,可用,=acosW。e[0,兀]）"或,=asind（。e[―专昼]）”换元；

5.分离常数法：形如沙=皎书（加¥0）的函数，应用分离常数法求值域，即沙=幺芝）=2+

cx+dcx+dc

瓶一吗，然后求值域;

c2T

6.基本不等式法:形如v=g+。（而>0）的函数，可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函

数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等"，即利用a+b>2Vab求函数的值域（或最值）时，应满

足三个条件:①a>0,b>0；②a+b（或而）为定值;③取等号的条件为a=b,三个条件缺一不可；

7.函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）

（1）形如片姐+b—V^+d^ac<0）的函数可用函数单调性求值域；

（2）形如夕=a宓+。的函数，当而>0时,若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数

求解；

当而<0时，9=ac+。在（—8,0）和（o,+8）上为单调函数，可直接利用单调性求解。

8.函数的有界性法：形如沙=土（或"=）丁"）（其中a,b,c不为0）的函数求值域或最值,

C十DS1H3/C-I-OCOSX

可用"表不出sinrr（或COST）,再根据一1WsineW1且sine¥一/（或一1WcoseW1且cosx手

―年）,列出关于y的取值范围.

类似地，有:①/=/（以则/⑻>0；②就=%（4）,则九（a）>0；③sin*=g3）,则一14g（y）W1

9.判别式法：形如期=022,+于+。2（aQ#0）或夕=Ac+Bjaa^+bx+c（4Ba丰0）的函数求值域,

电1~+b］X+Ci

可将函数转化为关于x的方程F3y）=0，利用二次项系数不为0,判别式△>0或二次项系数为0,

一次方程有解得出函数的值域。

10.导数法:对可导函数/（c）求导，令/'3）=0,求出极值点，判断函数单调性；

如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；

如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。

二、根据最值条件求解参数范围解题思路

已知函数的最值求参数范围时,要视参数为已知数,结合函数值域（或最值）的求法,得到函数的最值

（含有参数），再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。

题型1单调性法求函数值域或最值

题型5逐层法求函数值域或最值

题型2配方法求函数值域或最值

题型6导数法求函数值域或最值

题型3分离常数法求函数值域或最值

题型7已知函数的最值求参数

题型4判别式法求函数值域或最值

【题型1单调性法求函数值域或最值】

【例1】（2022秋•陕西西安•高三校考期中）函数/㈤=*—2”在区间［1,2］上的最小值是（）

A.——B.C.1D.-1

【变式1一1】（2022我•北京•南三北京市第一六一中学校考期中）已知函数/（⑼=e国+⑶，则/（①）的值域

是.

【变式1一2］（2022春•浙江舟山•高三校考开学考试）已知xe（0,专），则函数y=cose+）

高考加油

A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+8

【变式1一3](2022•全国•高三专题练习)函数/(⑼=Inc+ln(2-0的最大值为.

【变式1一4](2022秋•江苏苏州•高三校赛考阶段练习)已知函数/㈤=陪邙是A上的偶函数

(1)求实数小的值，判断函数/(2)在[o,+8)上的单调性；

(2)求函数/3)在[-3,2]上的最大值和最小值.

【变式1一5](2022秋•黑龙江牡丹江通三校考阶段练习)已知函数/(⑼=6•底(a>0,且aWl)的图象经

过点4(1,4),8(3,16).

(1)求函数/3)的解析式；

(2)设函数g(a;)=/(/)—/(—/)2),求函数gQ)的值域

【题型2配方法求函数值域或最值】

【例2】（2022秋•江西鹰潭•高三贵溪市实收中学阶段练习）函数y=J—±2+4c—4的值域是.

【变式2—11（2023•全国•高三专题练习）若函数/（2二=4-2+1，则函数gQ）=于（工）—4名的最小

'3/x力

值为（）

A.—1B.—2C.—3D.—4

【变式2—2］（2022•全国•南三专题练习）函数/（力=2+2«^的最大值为.

［变式2—3］（2022秋•广东深圳•高三深圳中学校考阶技练习）已知函数/（宓）=sine+COST+2siniccosrz:

+2,则/①）的最大值为（）.

A.3+V2B.3-V2C.2+V2D.2-V2

【变式2—4］（2022秋•北京遇三校考阶段练习）函数/Q）=sinre—cos2rc是（）

A.奇函数，且最小值为-2B.偶函数，且最小值为-2

C.非奇非偶函数，且最小值为一卷D.非奇非偶函数，且最大值为言

OO

【变式2—5］（2022•全国•高三明一练习）已知函数/（必）=4一l）（2'+］（）+a*+b）,对任意非零实数

%均满足/㈤。.则/（—I）的值为；函数/（①）的最小值为

【题型3分离常数法求函数值域或最值】

【例3】（2022秋•河南郑州♦高三校考阶段练习）函数夕=的值域是（）

A.（—8,0］U［4,+8）B.（—8,0］U［2,+8）C.［0,4］D.［0,2］

21

【变式3—1］（2022秋•上海徐汇•高三上海市南洋模他中学校考阶段练习）函数f（x）=°的值域

为.

【变式3—2］（2022秋•天津滨海新•高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知xe（0,3），则"

=2c―4+；的最小值，此时x=

［变式3—3］（2022秋•湖北•高三校联考阶段练习）已知14尤44,则函数“0=3,"r予-r的值域

为.

【变式3一4］（2023•全国•南三专题练习）已知函数/Q）=2x+k-2f.

（1）若/（⑼在（1,+8）是增函数，求实数卜的取值范围；

（2）若/（2）+1Vk•2,在［2,+8）上恒成立,求实数k的取值范围.

【题型4判别式法求函数值域或最值】

【例4】（2022秋•新江宁波•南一镇海中学校考期中）函数/（⑼=f：缶-1的值域是.

【变式4一1］（2022•全国•高三专题练习）若函数/（⑼=&；*：3的最大值为好最小值为b,则a+b=

（）

A.4B.6C.7D.8

【变式4一2］（2023•全国•高三专题练习）函数/㈤=X\~X~\的最大值与最小值的和是（）

X+x+1

429

A.-B.-C.1D.——

【变式4一3】（2022•全国通三专题练习）函数夕=誓"号射的值域为

1+sm/

【变式4一4］（2021•全■国事三专题练习）求函数y=^x2-2x+5+/d—4c+13的最小值.

【题型5逐层法求函数值域或最值】

【例5】（2022秋•江西宜春•南三江西省丰城中学校考阶段练习）已知幕函数/（/）=/。的图象过点（9,3）,贝|

函数夕=上42在区间口⑼上的值域为（）

/w+1

A.[—1,0]B.[―C.[0,2]D.[―|-,1]

【变式5—。（2022春•江苏南京•高三统考开学考试）已知函数/（/）=sin（%+~1~）+sin。^一力）应（力）=

/（/（乃），则gQ）的最大值为（）

A.V2B.V3C.-yD.2

[变式5—2]（2021机安徽六安•金奈县青山中学南三开学考）函数/⑻=4-2x2"—3,/e[0,2]的最小

值是.

【变式5-3]（2020秋•吉林白城•高三校考阶段练习）已知函数/（田）=支芸青壮，①e[—1,1],则函数

4十/十J.

/（T）的值域为.

【题型6导数法求函数值域或最值】

【例6】（2022•陕西宝鸣•统考一模）函数夕=ln（x[2,4]的值域是.

【变式6一1]（2022秋•江苏•高三校联考阶段练习）函数/㈤=|3x-l|-31no：的最小值为

【变式6一2]（2022秋•安徽安庆•高三安庆一中统考阶段练习）已知函数/Q）,则/Q）在

x（2—1）

[―2,0）U（0,1]上的值域为（）

A.（―8,—亮]U[3,+8）B.

C[―|",。）U（0,3]D.[~|",+8）

【变式6—3]（2016•辽宁沈阳•东北方才学校校考三模）已知函数/（⑼=eSin，+cosH—5sin2MceA）,则函数

f（x）的最大值与最小值的差是.

【题型7已知函数的最值求参数】

【例7】（2022•浙江杭州•模拟预演1）/3）=[侬：1询''①41的最小值是—1,则实数a的取值范围是

[ax—x+1—a,x>l

（）

A.[^^,+8）B.（-8,^^]C,[1-^-y]D.[：,+8）

高考加油

【变式7-0（2023秋•广东茂名•南三统考阶段练习）设函数=1）%I>。若/（.）存在最小

值，则a的取值范围为（）

A.[-V2,V2]B.[0,V2]

C.[-V2.V2]U（2,+8）D.[0,V2]U（2,+^）

【变式7—2]（2022秋•新瞪鸟<■木齐•高三鸟市八中校考阶段练习）若函数/（c）=专1皆在区间[0,1]上

的最大值为3,则实数巾=.

【变式7—3]（2022秋•江西•高三九江一中校联考阶段练习）已知函数/㈤=\ax2+x+l\,且

/（⑼的最大值为a+2,则a的取值范围是（）

A.[―1,—B.[―1,--C.[-2,―D.[-1,--

[变式7—4]（2022•内蒙古赤峰•赤三赤峰二中校考阶段练习）已知函数4=/（/）是定义域为R的奇函数,

且当±<0时，于（x）=/+着+1.若函数4=/（c）在[1,+8）上的最小值为3,则实数a的值为（

）

A.1B.2C.3D.4

【变式7一5]（2022秋•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习）已知a>0,函数/（必）=Jax—■+

S—/的最大值为四，则实数a的值为.

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（建议用时：60分钟）

L（2023•全国•高三寿题练习）函数=石"的值域是（）

A.（-00,-1）U（l,+oo）B.（—00,2）

C.（一°°,2）U（2,+°°）D.[—1,+°°）

2.（2019秋•黑龙江呜西・揖三呜西实会中学校考阶段练习）函数g=上―3|—4（1</<4）的值域为（）

A.[—4,—2]B.[—4,—3]C.[—3,4]D.[—3,—2]

3.（2022•全国•高三专题练习）函数/（c）=/sin/T（必（[0,2村）的最小值是（）

V3—2cos力—2sinre

A.—B.-1C.--\/2D.-V3

4.（2021秋•黑龙江哈尔滨•南三哈尔滨三中阶段练习）已知函数/⑸=瓷]的定义域为[0,+8）,则

函数/（⑼的值域为（）

A.[-2,+oo）B.[―2,：]C.D.[，+8）

5.（2022枚•辽宁锦州•南三校考阶段练习）已知函数“=[（1—a）'+14a，'<l°的值域为R,则实数a

[lg/,3>10

的取值范围是（）

A.（―8,1）B.[―冬+8）C.1-,1）D.（—*1）

nrr+l

6.（2023•全国•高三专题练习）函数/（/）=£7r的值域为（）

A.（0,1）B.（0,1]C.（0,2）D.（1,2）

7.（2022•全国•南三专题练习）设宓e上用㈤表示不超过x的最大整数，则夕=[切称为高斯函数，例

如：[-2.1]=—3,[3.1]=3,已知函数/（⑼=—y—则函数y=[/H]的值域是（）

1+xJ

A.{0,1}B.{-1,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

8.（2021次•河南•高三校联考阶段练习）函数y=x—的值域为（）

A.（—8,—2021]B.（-00,2021]C.[0,+^）D.[3,+°0）

9.（2022款•上海浦东新•高三上海市实验学校阶段练习）函数V=比—5在[1,2]上的值域为.

10.（2022机北京•高三统考阶段练习）函数/㈤=lg（Vl^+l）的值域为.

11.（2022•全国•高