河北省某中学2025届高三年级上册第一次综合素养测评数学试题（含答案与解析）

机密★启用前

2024-2025学年度高三年级上学期第一次综合素养测评

数学学科

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题（每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答

案的序号填涂在答题卡上）

x+3_

2-----------<0

1.已知不等式X-2%-3<°的解集为A,不等式x—2的解集为3,则AcB为（）

A.[-3,3]B.（-3,3）C.[-1,2]D.（-1,2）

2.已知同=6指,忖=1。》=一9,则向量a与b的夹角为（）

27t57r7T7T

A.—B.—C.-D.一

3636

3.如图所示，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角

NM4N=30°,C点的仰角NC48=45°以及NM4C=75°,从C点测得NMC4=60°,已知山高

BC=100m,则山高MN=()

A.120mB.150mC.50指mD.160m

,、，、S”3〃+4+a7+a.

4.已知等差数列｛叫和也｝的前〃项和分别为s“、Tn,若宣=-则378=（）

Ill3711137

A.——B.—D.

13132626

22

5.已知双曲线c：=—2=l(a〉0,6〉0)的左、右焦点分别为居,工，尸是双曲线C的一条渐近线上的

ab‘

3

点，且线段尸耳的中点N在另一条渐近线上.若cosNPgG=g,则双曲线C的离心率为()

55

A-B.-C.2D.75

34

6.点尸(-2,-1)到直线/:(1+32)x+(l+2)y-2-42=0(2eR)的距离最大时，其最大值以及此时的直线

方程分别为()

A713;3x+2y-5=0B.TH；3x+2y-5=0

C.屈;2x-3j+l=0D.7n；2x-3y+l=°

1gt三+3<x<0

+X

7.已知函数/(%)的定义域为(―3,3),且/(x)=<!若3/[x(x_2)]+2〉0,

i3+x2八，-

1g----------------,0<x<3

l3-xx+3

则x的取值范围为()

A.(-3,2)B.(-3,0)o(0,1)0(1,2)

C.(-1,3)D.(-l,0)o(0,2)o(2,3)

8.已知/T21nx+@对也>0恒成立，则。的最大值为()

X

1

A.0B.-C.eD.1

e

二、多项选择题(每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分,

错选得0分，部分选对得部分分)

9.若数列｛%｝为递增数列，则｛4｝的通项公式可以为()

2n

A.an=------B.an=2n-lC.an=n-3nD.an=2

n+1

10.函数/(x)=2sin(0x+e40〉O,|d<|J的部分图象如图中实线所示，C为函数与左轴的交

点，圆c与〃％)的图象交于M,N两点，且〃在y轴上，则()

i4\f\/..

A.(o=2B.圆的半径为空

3

C.函数〃X)的图象关于点E，0成中心对称D.函数在丁芸，口耳3上单调递增

22

11.已知耳，鸟是椭圆C:工+2r=l(a〉6〉0)的两个焦点，点尸在椭圆C上，若「耳J_P6，.书尸心的

ab

面积等于4.则下列结论正确的是()

22

A.若点P是椭圆的短轴顶点，则椭圆C的标准方程为土+乙=1

84

B.若P是动点，则》的值恒为2

C.若尸是动点，则椭圆的离心率的取值范围是

D.若P是动点，则|P耳|+|。闾的取值范围是［40,+可

第n卷(非选择题共92分)

三、填空题(每题5分，共15分)

2

12.已知a是第四象限角，且sin2a=—耳，贝Ucose-sina=.

13.已知/(x)=x2+cosx,若a=于e4,6=c=则°,6,c按从小到大排列

为：.

14.定义:对于函数/(%)和数列｛%,｝,若(乙+1-玉)/'(%")+/(%)=。，则称数列｛七｝具有“/(%)函

数性质”.已知二次函数〃龙)图象的最低点为(O,T),且/(x+l)=/(x)+2x+l,若数列｛七｝具有

“〃龙)函数性质”，且首项为1的数列｛4｝满足4=ln(x„+2)-ln(x„-2),记｛%｝的前〃项和为S“，

ri\

则数列s“•--5的最小值为.

四、解答题(本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并

写在答题纸的相应位置，否则无分数.)

15.已知数列｛4〃｝为递增的等比数列，S.为数列｛4｝的前〃项和，且S3=14,2=4.

(1)求数列｛为｝的通项公式；

M2m

(2)记bm为数列｛4｝在区间(2,2](meN*)中的所有项的和，求数列｛bm｝的前m项和Tm.

16.已知函数/(x)=R>g2；・log2'|(14xW4),g(x)=4'+4~1—a-2x—a-2~x+1.

(1)求函数最大值；

(2)设不等式/(X)WO的解集为A,若对任意为eA,存在使得菁=g(%2)，求实数。的

值.

17.如图，抛物线「：:/=22%(夕〉0),%(2,1)是抛物线内一点，过点"作两条斜率存在且互相垂直的动

直线设4与抛物线「相交于点A3,与抛物线「相交于点c，D,当M恰好为线段的中点

时，|附=2指.

18.已知函数/(x)=lnx-x+a.

⑴若直线y=(e—1)九与函数的图象相切，求实数。的值；

/\

(2)若函数g(%)=4(%)有两个极值点耳和马，且西<%2，证明：X2+%；>1+In—.(e为自然对

数的底数)

19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距

离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：

①当VABC三个内角均小于120时，满足NAO3=/BOC=NCQ4=120°的点。为费马点；

②当VA3C有一个内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点.

请用以上知识解决下面的问题：

已知VA3C的内角A&C所对的边分别为名氏。，点”为VA3C的费马点，且

cos2A+cos2B—cos2C=1.

(1)求C；

(2)若c=4,求|心中|"8|+|"8卜阿。+|“。卜|他4|的最大值；

⑶^\M^+\MB\=t\MC\,求实数/的最小值.

参考答案

一、单项选择题(每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答

案的序号填涂在答题卡上)

x+3八

2-----------<0

1.已知不等式X-2%-3<°的解集为A,不等式x—2的解集为3,则为()

A.[-3,3]B.(-3,3)C.[-1,2]D.(-1,2)

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.

【详解】解不等式2x—3<0,得一l<x<3,即A=(—1,3),

x+3

解不等式上」<0,得—3〈尤<2,即3=(—3,2),

x-2

所以A3=(—1,2).

故选：D

2.已知同=6后忖=l,a-Z?=-9,则向量。与6的夹角为()

【答案】B

【解析】

【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解;

【详解】因为同=6百,网=l,a•/?=-9,设向量。与6的夹角为。

a-b_-9_A/3

所以cos6=

|a||/?|6百xl2

5兀

又因为6e[0,可，所以。

~6

故选：B.

3.如图所示，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角

ZMAN=30°,C点的仰角NC48=45°以及NM4c=75°,从C点测得NMC4=60。，已知山高

BC=100m,则山高MN=()

A.120mB.150mC.50百mD.160m

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，可先求出AC的值，从而由正弦定理可求A"的值，在心&WA入中,

AM=100圆，ZMAN=30°,从而可求得肱V的.

【详解】解：在拓ABC中，ZG4B=45°,BC=100m,所以AC=100后m.

在，AMC中，ZMAC=J5°,ZMCA=6Q°,从而NAMC=45°,

由正弦定理得，因此AM=100百m.

sin45°sin60°

「MN

RtAMNA中,AM=100V3m,AMAN=30°,由二一=sin30°得=50点m;

AM

山iW]MN=50Gm;

故选：c

4.已知等差数列｛4｝和也｝的前〃项和分别为%Tn,若寸=-则378=（）

〃+/"2+%

1113711137

A.-----B.—C.-----D.—

13132626

【答案】C

【解析】

tz,++a„3a,

【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得:[=7,管，再根据等差数列的求和公式可得

4+%2b6

变=粤，结合己知条件求解即可

Tn1血

【详解】设等差数列｛a“｝的公差为d,则%+%+%=%+2d+q+62+%+72=34+15d=34,

因为或+4o=24，

%+%+%3a6_3/

所以或二5可

人2+b、o

因为等差数列｛4｝和｛2｝的前〃项和分别为s“、Tn,满足率=即上;

〃十/

n（4+%i）

所以S“_2.3x11+4—37

所以工一11色+如）一”—11+2-13

2

%+%+%3a$3a6337111

所以X

b2+bw~2b^~2''b^~213~^6

故选：C

5.已知双曲线C:=—3=l（a〉0,6〉0）的左、右焦点分别为耳，工，尸是双曲线C的一条渐近线上的

ab

3

点，且线段尸耳的中点N在另一条渐近线上.若cos/P&K=g,则双曲线。的离心率为（）

55厂

A.—B.—C.2D.

34

【答案】A

b

【分析】利用平方关系、商数关系求出tanNP^E，再由NO〃P£得出自.=-2可得答案.

a

【详解】因为N,。分别是「耳,耳巴的中点，所以NO〃P£,

3兀

又cosNP月片=->0,:.0<ZPF2F1<­,

sinNPF2R=Jl—cos2/”耳=|,

4

所以tanNPgK=—,

b4故」尸

所以％=-1=-§

a\a

故选：A.

6.点P(-2,-l)到直线1:(1+32)x+(1+4)y—2—44=0(%eR)的距离最大时，其最大值以及此时的直线

方程分别为()

A.^3；3x+2y-5=0B.Til;3x+2y-5=0

C.713；2x-3j+l=0D.y/ii；2x-3j+l=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线/所过的定点，再确定最大值条件即可求解.

【详解】将直线/：(l+32)x+(l+/i)y-2-44=0(4eR)变形得x+y-2+2(3x+y-4)=。，

x+y-2=0fx=l

由L"“c，解得<,，因此直线/过定点A。/)，

3x+y-4=0[y=l

当AP，/时，点尸(一2,-1)到直线/：(l+32)x+(l+2)y-2-42=0(2eR)的距离最大，

22

最大值为|=7(-2-1)+(-1-1)=V13,又直线AP的斜率kAP=三二|=|,

—2—13

3

所以直线/的方程为y—1=—5(%—1)，即3%+2y—5=0.

故选：A

1g---+2,-3<%<0

:+工若(尤-

7.已知函数的定义域为(—3,3),且〃x)=<31nx2)]+2>0,

,3+x2八，c

1g---------------,0<x<3

3-xx+3

则x的取值范围为()

A.(-3,2)B.(-3,0)0(0,1)0(1,2)

C.(-1,3)D.(一1,0)50,2)52,3)

【答案】D

【解析】

【分析】当—3<x<0时，判断函数单调性，由单调性可知g；当0Wx<3时，根据单调性的

2

性质和复合函数单调性可知“X)单调递增，可得7(x)2-然后将原不等式转化为

—3<x(x-2)<3

即可得解.

x(x-2)w0

6

【详解】当—3<%<0时，〃x)=lgT+展

x+3

由复合函数的单调性可知/(可在(-3,0)上单调递减,

9

所以/(力>/(。)=_§；

当0W龙<3时，/(x)=lgf-^--11--

<3-xJx+3

因为":在［0,3)上单调递增，y=lg«—1)为增函数,

5-x

所以y=1g［三在［0,3)上单调递增,

又、=—会在［0,3)上为增函数，所以/(x)=lg［三-展在［0,3)单调递增，

2

所以〃x)N〃0)=—了

2

综上，〃力2在(—3,3)上恒成立，当且仅当尤=0时取等号.

所以不等式3f［x(x—2)］+2〉0of［x(x-2)］〉—|o«-3<-2)<3

x(x-2]w0

解得—l<x<3且xwO且x/2,即原不等式的解集为(—1,0)D(0,2)D(2,3).

故选：D

【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单调性求解即

可.

8.已知2111］+旦对\&>0恒成立，则。的最大值为()

X

1

A.0B.-C.eD.1

e

【答案】D

【解析】

【分析】由题意得e'x—对X/x>0恒成立，令/(x)=xlnx,利用导数求得了(%)2—』，即

e

xlnx>—1,再令/=xlnx,g(/)=e'-/jj2-：),利用导数求出g«)的最小值，可求出。的取值范围,

从而可求出。的最大值.

【详解】由x'T2ln%+@(%>。)，得如”之％ln%+a，

x

所以e'inx-xlnx^Q对Vx>0恒成立，

令/(%)=xlnx,则((%)=In%+1在(0,+8)上单调递增,

由/'(%)=0,得彳=!，

e

当0<%<,时，f\x)<0,当时，f\x)>0,

ee

所以/(%)在［O。)上递减，在［%+8］上递增，

所以即%

ee

令1=xlnx,g(0=er-t^t>-—^,

则g'«)=e'—l在—：,+8)上单调递增，

由g'«)=。，得％=O,

所以当—时，g'«)v0,当，>0时，g'«)>0,

e

所以g⑺在-：,o1上递减，在(0,+8)上递增，

所以g«)min=g(°)=1，所以aWl，

所以。的最大值为1.

故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键

是通过对原不等式变形，将问题转化为e*'-xlnxNa对\%>0恒成立，然后构造函数，利用导数求出最

值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.

二、多项选择题(每题6分，共18分，每题给出的选项中有多项符合要求，全部选对得6分，

错选得0分，部分选对得部分分)

9.若数列｛4｝为递增数列，则｛%｝的通项公式可以为()

n2

A.an=B.an—2n—\C.an=n-3nD.an=2"

n+1

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用作差法判断A、B、D,利用特殊值判断C.

n+1n_(zi+1)2-n(n+2)_1

【详解】对于A：a-a

n+lnn+2n+1(”+2)(〃+l)++

Yl

所以4+i>%，所以4=——为递增数列，故A正确；

n+1

对于B：a“+i—%=2（〃+1）—1—2〃+1=2,所以％+］>%,所以4=2〃—1为递增数列，故B正确;

对于C：因为氏=〃2-3〃，贝!］弓=-2,a2=-2,所以a“=〃?一3〃不单调，故C错误;

对于D：。用―。“=2.—2"=2"〉0,所以％+1>%,所以=2"为递增数列，故D正确;

故选：ABD

10.函数/（x）=2sin（ox+。）［o>0，M<|J的部分图象如图中实线所示，C为函数/（%）与％轴的交

点，圆C与〃龙）的图象交于MN两点，且〃在y轴上，则（）

B.圆的半径为一L

3

2021兀2023兀

C.函数八％）的图象关于点成中心对称D.函数/（X）在上单调递增

12'12

【答案】AC

【解析】

【分析】根据图象，求出了（%）解析式，可判断ABC选项，对D选项，求出2x+g范围即可判断

【详解】根据函数/（x）=2sin（（y%+9）的图象以及圆C的对称性，

可得N两点关于圆心C（c,0）对称,

rri

所以c=5，于是u=c+：=£=/===°=2,故A正确;

3262。2

IJI]兀

由刃=2及41一《,0）得一,+夕=0+为1,左eZncp=飞+kn,keZ,

由于所以e=1,

所以/（x）=2sin[2x+1],/（O）=百，从而M（O,石），故半径为|CM|=l1j+3w斗，故B错误;

将[7,。]代入得f（，）-2sinf—+,所以是中心对称，故C正确；

2021712023兀2023K2025兀TTTV9兀

当工£时,2x+畀即2%HG3367tH-----,3367tH-----,止匕时

12'126,6366

“X）为减函数，故D错误.

故选：AC

22

11.已知石，工是椭圆。：三+4=13〉6〉0）的两个焦点，点「在椭圆。上，若尸耳，P《，月尸耳的

ab

面积等于4.则下列结论正确的是（）

A.若点尸是椭圆短轴顶点，则椭圆C的标准方程为土+乙=1

84

B.若尸是动点，则》的值恒为2

C.若尸是动点，则椭圆的离心率的取值范围是g,l]

D.若P是动点，则忸耳|+忸闾的取值范围是[4近,+对

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据椭圆性质以及一耳尸月的面积可得A正确；设P（x,y）可得y2=1,利用P耳，P骂并结合

椭圆方程可得B正确；由椭圆范围可得2也可得离心率,即C错误；由椭圆定义可得

俨可|+卢6|的取值范围为[4忘,+可，即D正确.

【详解】对于A,若点尸是椭圆的短轴顶点，则b=c,a=J为，又5点尸=L42c=k=4,

•rrir22

22

所以储=8,所以椭圆C的标准方程为二+乙=1,故选项A正确；

84

对于B,设P（x,y）,由题意可知=；♦2c-3=c・|y|=4①，

22

因为尸耳,尸工，所以“——乙=一1,即/+丁2=02②，又y=1③,

x-cx+ca

由②③及〃+°2=/得>2=（,又由①知丁=与，所以b=2.故选项B正确;

cc

2

对于C,由②③得所以02^82,从而"=52+022202=8,故。》2&.

军,11,故选项c错误;

所以椭圆的离心率e=f

a2J

对于D,由椭圆定义可得|尸盟+户闾=2。24夜，即归川+归耳|的取值范围为［40,+可，即选项D正

确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率等范围问题经常利用椭圆定义以及椭圆性质得出关系式，再由变量自身

范围即可得出结论.

第II卷（非选择题共92分）

三、填空题（每题5分，共15分）

~2

12.已知。是第四象限角，且sin2a=-§,贝！Jcosa-sina=.

【答案】巫

3

【解析】

【分析】根据题意，得到cosa-sina>0,再结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，即可求解.

【详解】由题意知，a是第四象限角，可得cosa>0,sina<0,所以cosa—sin（z>0,

25

因为sin2a=一耳，可得(cosa-sino)2=cos2a+sin2a-2sinacosa=l-sin2a=—

3

故答案为：叵.

3

13.已知/(x)=f+cosx,若a=于e4,6=c=则°,6,c按从小到大排列

为：,

【答案】b<c<a

【解析】

【分析】构造函数丸(x)=e*-(x+1),t(x)=lnx—(x-1),利用导数与单调性最值得关系可比较出

C1_3

0<ln：<、<e和再结合原函数/(x)=x2+cosx的单调性和奇偶性即可比较大小.

【详解】因为函数/'(力=好+以^^的定义域为R,

/(-%)=(-x)2+cos(-x)=f(x),所以函数/(x)为偶函数，

故以下只用讨论函数在［0,+8)的单调性，

因为g'(x)=2-cosx>。在［0,+8)上恒成立，

所以g(x)=2x-sinx在［0,+oo)上单调递增，

所以g(x)=2x-sinx>g(0)=0,

即/'(X)=2x—sinx»。在［0,+<»)上恒成立，

所以了(%)在［0,内)上单调递增,则"％)在(f,0)上单调递减，

设函数/z(x)=e*-(x+1),A(x)=ev-1,

当尤<0时，h'(x)<0；当x>0时，h'(x)>0；

所以函数九(x)=e，-(x+1)在(―,0)单调递减，(0,+。)上单调递增,

3—上］--1

所以以——)=4——〉丸(0)=0,即e4〉—〉0,

44e4

11—Y

设函数Xx)=ln%_(x_l),/(%)=——1=---,

XX

当0<X<1时，t\x)>0；当x>1时，t\x)<0；

所以函数f(无)在(0,1)单调递增，［1,+8)上单调递减,

所以«9)=ln』—!</(1)=0,即

44444

51-2511-2)

所以0<ln3<±<e"所以/(In：)</(：)</e4,

44441J

又因为6=/jn：［=/［—In：］=/(ln|),c=/(一：)=/(：),

所以，

故答案为：b<c<a.

14.定义：对于函数八％)和数列｛尤“｝,若(%!+1—%)/'(%)+/(%)=。，则称数列｛尤“｝具有""%)函

数性质”.已知二次函数八％)图象的最低点为(O,T),且〃x+l)=/(x)+2x+l,若数列｛%｝具有

/(X)函数性质”,且首项为1的数列｛%｝满足%=ln(x„+2)-ln(x„-2),记｛4｝的前〃项和为S“,

〃I

则数列s.•--5的最小值为.

12J

【答案】-----

2

【解析】

【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单

调性来求出最小值.

【详解】由二次函数最低点为(0,—4)可知：/(%)=依2-4(。>0),

X/(x+1)-/(x)=a(x+l)--4-av2+4=a(2x+l)=2x+l,所以a=l,

%+2

则/(%)=x2-4.由题意得a”=ln(x„+2)-ln(x„-2)=ln-^―

七一2

又由(Z+1—七)/'(%)+/(%)=。,得(%+1—)2%+解一4=0,

因为x“-2〉0,所以

又x+2-（X"+2『x2-（七—2『

即互+i2天一2%'又3+2-不^，％-2-

)

所以上11互+2=2(%+42'则M%iK+2=2叱%3+2’即%=2%,

x.+i

故｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a“=2"T,S"=2"—l.

令L=S.-[—5]=[-5](2"-1),则%-q=(“-8)-2"T—g,

故当〃W8时，cn+l<cn,当〃上9时，c,i+1>cn,

故（"n=。9=-米

故答案为：------

2

【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系.

四、解答题（本大题有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并

写在答题纸的相应位置，否则无分数.）

15.已知数列｛4｝为递增的等比数列,S“为数列｛%,｝的前”项和,且S3=14,%=4.

（1）求数列｛4,｝的通项公式；

m2m

（2）记bm为数列｛%｝在区间（2,2］（rneN*）中的所有项的和，求数列｛bm｝的前m项和1m.

产+34

【答案】（1）4=2"；（2）Tm=-------------2M.

【解析】

【分析】（1）设公比为4,根据邑=14,%=4,求得%q,写出通项公式；

（2）由》7=1,m=2,加=3,…推出2”对应的区间（2"122"］中包含｛%｝的项，然后利用等比数列的前"项和

公式和分组求和法求解.

【详解】（1）设公比为4,由题意得，q+/+%=，■+%+出4=一+4+4q=14,

qq

解得4=2,4=2,或q=8,q=g（舍去），

所以%=2",故数列｛〃“｝通项公式为%=2".

(2)由题意得，仇对应的区间为：Qi,2?],其中包含出，则伪=%；

为对应的区间为：(22,24],其中包含生，%，则为=%+。4；

与对应的区间为：(23,26],其中包含为，a5>。6，则4=q+。5+。6；……

心对应的区间为：(272吗,其中包含册+1，am+2,a2m,则/=4旬+4初++%,，

因此粼=2"+2*2++22"',

Q/M+lZ1Om\

所以勾=—:，=2x4m-2",

故T=8(1-4")4(14)223+4

m-1-41-2-3

【点睛】方法点睛：求数列的前〃项和的方法

(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，Sn="(4+4)=〃q+"("T)d②等比数列的前n项和公

"212

navq-\

式S"=<—;

------

Ii-q

(2)分组转化法:把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

(3)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.

(4)倒序相加法:把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.

(5)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数

列的前n项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前"项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如斯=(—1)叭")类

型，可采用两项合并求解.

16.已知函数=log2：-log2"|(lWx<4),g(x)=4'+4~x-a-2x-a-2~x+1.

(1)求函数/(%)的最大值；

(2)设不等式/(x)<0的解集为A,若对任意看eA,存在使得X=g(%)，求实数。的

值.

【答案】(1)2(2)-

2

【解析】

【分析】(1)根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可；

(2)先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可.

【小问1详解】

=log2；-log21=(log2x-2)-(log2x-1)

=(log2x)"-310g2尤+2,

l<x<4,0<log,%<2,

.,.当log2X=0,即l=1时，/(l)=2,当log2X=2,即x=4时，f(4)=0,

・・・当x=l时，””的最大值为2.

【小问2详解】

由/(x)W0,得l<log2X<2,

即2W九W4,...A=[2,4],

设"2*+2,则当2xe[l,2],2,1,

g(x)=4x+4--x-a-2x-a-2-x+1=(2X+-a(2x+2-x)-l=r-at-1,

设人(%)=e—dt~\,

由题意，A=[2,4]是当te2,1时，函数力⑺的值域的子集.

①当£<2,即aW4时，函数可。在2,|上单调递增，

②当3»』，即。25时，函数入⑺在2,|上单调递减,

222

则5日不等式组无解.

——a<2,

2

③当即4<a<5时，函数人⑺在2,1上单调递减，|，|上单调递增,

则函数h（t）的最大值是h（2）与丸的较大者.

令/z（2）=3—2a»4,得a4—g,

令=?一二。"4,得均不合题意.

。422

综上所述，实数。的值为

2

【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为A=[2,4]是/1（。=/一成一1

的值域的子集，从而得解.

17.如图，抛物线「丁=2/5〉0）,河（2,1）是抛物线内一点，过点〃作两条斜率存在且互相垂直的动

直线/1」2,设4与抛物线「相交于点A3,，2与抛物线「相交于点C,D，当“恰好为线段的中点

时，|附=2指.

（1）求抛物线「的方程；

（2）求08的最小值.

【答案】（1）y2=2x

（2）12

【解析】

【分析】(1)设直线2=m(y—1),A(%联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达

定理，依题意可得〃〃=1,再由弦长公式得到方程，解得P即可；

⑵根据数量积的运算律得到ACDBUMCI-IMDI+IAMI-IMBI，X\MA[\MB^=3(1+m2),同理

可得31+3再由基本不等式计算可得.

【小问1详解】

解法一：设直线48:*_2=巩,_1),4(%,%),6(%,%)，

x=my-m+2,

联立<2，得y-2pmy+2pm-4p=0,

y=2px

所以为+%=2p/n，X%=2pm—4p.

又因为M(2,l)是AB的中点，所以七=p机=i,

又|=71+m2I%一为I=Vl+m24%%

=Jl+J16p_4=2^6，

代入化简得(〃—1)(4/—3〃+l)=0,解得p=1.

故抛物线「的方程为V=2x.

解法二：设直线A3的倾斜角为8,再设A、3的坐标都为(2+tcos6U+/sin6"),

代入抛物线方程得(l+fsin£)2=2p(2+fcos8),

化简得产sin?9+2%(sine-pcos6)+l—4p=0.

-2(sin。一〃cos。)1-4/?

"J/--,%sin2^

因为M(2,l)是AB的中点，所以4+^=0,即，=tan氏

又因为2#=『修=2回］)而2。,

sin0

tan

将sin2e=f=rJ代入化简得(0—1)(4p2—3°+1)=0,

1+tan01+p'

即P=l,所以抛物线「的方程为_/=2x.

【小问2详解】

解法一：ACDB=(MC-MA)(MB-MD)

=MC-MB-MA-MB-MCMD+MA-MD

=-MCMD-MAMB=\MC\-\MD\+\MA\-\MB\,

由(1)可得%+