河南省某中学2024-2025学年高三年级下册模拟预测数学试卷（含答案解析）

河南省郑州中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试卷

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.已知集合4=3*<3},3={-1,0,1,2,3},则AB=()

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

2.已知复数z满足|z-(l+2i)|=0,其中i是虚数单位，则|z|=()

A.5B.75C.1D.2

3.已知向量满足卜+司=2技a_L(〃一2Z?),且0=(1,1),则向=()

A.若B.2C.75D.3

4.已知。为坐标原点，/为抛物线石:无2=2py(p>0)的焦点，A为右上的一点，川垂直

于y轴，3为y轴上一点，且2849=90°,若恒到=46，则夕二()

A.上B.2百C.46D.873

5.已知锐角。满足3sina+4cosa=4,贝ijtan^=()

45

A.BD.

3-1口12

6.己知/(x)=/[#osx+sinx,则曲线y=/(无)在彳=0处的切线与坐标轴围成的三角形的

面积为()

A,上拽B,…C.1D.2

222

7.若(iMEx)。=4+O](1+%)+a,(1+x)2++%(1+尤,(qeR,i=0,1,2?)，则％=()

A.180B.-180C.-90D.90

8.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形

式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCZ)为矩形，EF//AB,

AB=2EF=2,VADE与VBC歹都是边长为1的等边三角形，若点A,B,C,D,E,尸都

在球。的球面上，则球。的表面积为()

EF

二、多选题

9.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数

=嵯普•某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正

均值

态分布，且平均分为57.4,离散系数为0.36,则下列说法正确是（）

（附：若随机变量Z服从正态分布N3b2）,p（|z-4<b）。0.68.）

A.学生考试成绩标准差为57.4x0.36=20.664

B.学生考试成绩近似服从正态分布N（57.4,0.362）

C.约有20000名学生的成绩低于58分

D.全体学生成绩的第84百分位数约为78

10.已知函数〃司=*3—|3尤2一,一根，贝U（）

A.“X）只有1个极小值点

B.曲线y=在点（3,”3））处的切线斜率为9

C.当有3个零点时，加的取值范围为（-3,1）

D.当只有1个零点时，机的取值范围为（e,-3）

11.如果定义在R上的函数/（x）,对任意两个不相等的实数4，%,都有

占了（占）+3（尤2）>占"％）+々/（占），则称函数f（x）为“”函数”，下列函数是'H函数”的有（）

A.y=ew+1B.y=3%+2(sinx-cosx)

Inx,x>0

C.y=d—3x?+3x+3

x,x<0

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知直线/：y-l=Mx—l)被圆C:(x-2y+(y-2)2=/(r>0)截得的最短弦长为2万,

则—.

13.在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上

再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分

配去1个路口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率

是.

14.黎曼猜想由数学家波恩哈德•黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想

涉及到很多领域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保

险柜前瑟瑟发抖，不少黑客则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数

co1111111

==-+-+-+,我们经常从无穷级数的部分和+二入手.已

1231213n

知正项数列｛%｝的前"项和为S“，且满足=』q,H］，则—+—+—=_____(其

21a„JSS,

中国表示不超过x的最大整数).

四、解答题

15.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c-a=l,b=而,内角A，B,

C成等差数列.

(1)求a的值及VA3C的面积；

⑵求tan(2A+3)的值.

16.已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，S„=2a„+1-3.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵若b„=(〃+1)%,求数列也｝的前〃项和1；

n2+rj

(3)若=二，求使％取得最大值时的〃的值.

a”

17.如图，在三棱柱ABC-ABG中，ABLAC,AB=y[3AC=3,AD=2DB,。为BC的中

点，A。，平面ABC.

(2)若的=26，求二面角B-抽-。的余弦值.

22

18.已知椭圆E:「+当=l(a>b>0),两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形.

ab

(1)求椭圆方程；

(2)设直线乙：y=履+机与椭圆E相切于第一象限内的点尸，不过原点0且平行于<的直线4

与椭圆E交于不同的两点A,B,点A关于原点。的对称点为C.记直线O尸的斜率为《，

直线3c的斜率为内.

①求口的值；

k2

②若。，P,B,C四点围成的四边形为平行四边形，求》幽的值.

19.设函数［(数(其中。是非零常数，e是自然对数的底),记力(X)"：T(X)

(〃22,aeN*).

(1)求对任意实数X,都有力(X)=(X)成立的最小整数〃的值22,"eN*)；

(2)设函数g〃(x)=^(x)+力(x)++f„(x),若对任意“23,"eN*,y=g”(x)都存在极值点

x=tn,求证：点4日名“(/仅23,〃—*)在一定直线上，并求出该直线方程；

⑶是否存在正整数©%22)和实数%,使力(%)=力T(5)=0且对于任意“eN*,，(x)至多

有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的％和%,若不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

《河南省郑州中学2024-2025学年高三下学期模拟预测数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案CBDBBAADACDBCD

题号11

答案BC

1.C

【分析】先求得集合4=k1-退<》<6),再根据集合交集的概念及运算即可求解.

【详解】A={.x|X2<3}=|X|-A/3<X<A/3],B={-1,0,1,2,3},.'.AB={-1,0,1}.

故选：C.

2.B

【分析】求出复数z,利用复数的模长公式可求得目的值.

【详解】因为|z-(l+2i)|=0,贝|z=l+2i,故忖=々+为=6

故选：B.

3.D

【分析】由题意可得/=2a.b，b=2,又卜+*26，可得/+2。力+/=20，可求用

【详解】因为所以°.,一26)=0,所以]_20g=0,所以/=2。g，

又因为卜+0=26,所以5+2°乃+62=20,又6=(1,1),所以片=1+1=2，

所以2了+2=20,所以5=9,所以"=3.

故选：D.

4.B

【分析】利用数形结合，通过三角形相似找到|A歼=|。尸|忸口的关系，建立关于P的等式，

进行求解.

【详解】根据题意作下图：

答案第1页，共16页

二NOAF+/BAF=90。,

AF垂直于y轴，

.\ZAFO=ZBFA=90°,

,\ZAOF-hZOAF=90°f

ZBAF=ZAOF,

/.AFO^BFA,

.AFOF

*BF-AF

.-.\AFf=\OF\\BF\,

又\OF\=j,\AF\=p,

p1=—X4A/3,

2

解得p=2A/3,

故选：B.

5.B

【分析】整理齐次式方程，利用同角平方式整理方程，根据二倍角公式，结合角的取值范围，

可得答案.

【详解】由3sini+4cos1=4,则(3sina+4c°sa)=42,

sin2a+cos2a

—r不日9tan2a+24tana+16,,

可得--------.----------二16，

tana+1

24

化简可得7tan21—24tana=0,由角。为锐角，贝ljtana=~y,

_a

2tan—

由tan<z=--------,整理可得12tan?一■i-7tan----12=0,

1-tan2^22

2

分解因式可得(3ta吟+41"吟-31=0,

由角多为锐角，解得tan£=j

故选：B.

6.A

【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线

和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可.

答案第2页，共16页

【详解】因为/(x)=/14[osx+sinx,所以/'(x)=-/[^|Jsinx+cosx,

令x=，得到呜=-广即呜+吟，

化简得((1)=一/怎卜母+g，解得:二)=2-《，

代入回原函数得到/⑺=(2-6)cosx+sinx,

而〃0)=2-6，故切点为(0,2-6)，

而/'0)=—(2_6)$111尤+(：0$彳，/(0)=1,

设曲线y=/(x)在x=o处的切线斜率为左,

由导数的几何意义得k=/'(0)=1,

故切线方程为y-(2-6)=x,化简得y=x+2-6,

令x=0,得至Uy=2-石，所以与了轴交点为(0,2-6),

令丫=0,得到了=若-2,所以与x轴交点为(6-2,0),

且设三角形面积为S,故S=；x|2-百卜|道-2卜上芈，故A正确.

故选：A

7.A

【分析】由(l+2x由=[2(l+x)-l/写出其通项公式,依题意对「赋值即可求得出.

【详解】因(1+2姆°=[2(1+幻—1产,其二项展开式的通项为：

10rrr10r

Tr+1=C；0[2(l+x)]-(-D=(-D2-C；0(l+x)g,r=0,1,,10,

而々是电(1+劝2的系数，故只需取r=8,得4=22C：°(1+X)2=180(1+X)2,

即日=180.

故选：A.

8.D

【分析】如图，根据球的性质可得平面A3CD,根据中位线的性质和勾股定理可得

，尸。且=正，分类讨论当。在线段qv上和。在线段的延长线上时2种情

2

答案第3页，共16页

况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.

【详解】如图，连接AC,BD,设=

因为四边形ABC。为矩形，所以。।为矩形A8CD外接圆的圆心.连接。。一

则。。，平面A8C。，分别取ERAD,BC的中点M,P,Q,

根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线。。1交EF于点M.

连接尸。，则PQ〃AB,且。।为尸。的中点，因为历〃相，所以PQ〃EF,

连接EP,FQ,在VADE与V3c尸中，易知EP=FQ=RO

_走

所以梯形EFQP为等腰梯形，所以且=

一2

设。。1=根，球。的半径为R,连接OE,OA,

当0在线段。1加上时，由球的性质可知R2=OE2=OA2,

当。在线段的延长线上时，由球的性质可知，

2

—+m=[—+fn\+W,解得加=出，所以R2=OE2=U,

I2J〔21048

所以球。的表面积5=4成、可,

故选：D.

【点睛】求解外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球

面上各点的距离都等于球的半径，二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.由此出发，利

用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心的位置.

9.ACD

答案第4页，共16页

【分析】对于A,根据离散系数=考群求出标准差；对于B,根据正态分布公式N（M，/）

判断B；对于C,求出低于58分概率，根据总人数，得到低于58分人数，判断C；对于D,

利用正态分布曲线性质和百分位数的定义判断D.

【详解】对于A,根据离散系数一兽

，平均分为57.4,离散系数为0.36,可得标准差

为57.4x0.36=20.664,故A正确;

对于B,测试结果（单位：分）近似服从正态分布，则学生考试成绩近似服从正态分布

N（57.4,20.664?）,故B错误；

对于C,平均分为57.4,所以成绩低于58分得概率约为0.5,所以约有40000x0.5=20000名

学生的成绩低于58分，故C正确；

对于D,又因为84%=0.5+等，且尸（|Z-4<b）a0.68,所以全体学生成绩的第84百分

位数约为〃+。=57.4+20.664它78,故D正确；

故选：ACD.

10.BCD

【分析】分xNl或x<—l、一1<%<1两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出

函数的极值点，即可判断A、B,根据零点的个数得到不等式组，即可判断C、D.

【详解】因为〃可=*3—|3尤2—3|一加，

当xNl或xV-l时/(x)=x3-3x2+3-m,贝！|/'(%)=3/-6x=3x(x-2),

所以当尤>2或xV—1时［(x)>0,当K2时尸(%)<0,

所以在（—,-1］，（2,+8）上单调递增，在［1,2）上单调递减；

当-1<x<10^/（^）=x3+3x2-3-m,贝！J/'（x）=3炉+6x=3x（x+2）,

所以当0<x<l时尸（力>0,当一l<x<0时尸（无）<0,

所以/（元）在（0,1）上单调递增，在（-1,0）上单调递减；

则/（X）在尤=0、x=2处取得极小值，故/（X）有2个极小值点，故A错误；

因为/'（3）=3x32-6x3=9,所以曲线y=〃x）在点（3,/（3））处的切线斜率为9,故8正确；

令4（彳）=尤3_13尤2_3，

答案第5页，共16页

则g（x）的图象如下所示:

其中“X）的图象是由g（X）的图象向下（相＞0）或向上（加＜。）平移帆个单位得到；

因为〃-1）=一1一加，/（0）=-3-m,/（l）=l-m,f（2）=-l-m,

要使有3个零点,则懦；：或盗）：；或4-1）=/（9=。，

fl-m＞0f-1—m＞0,

即＜1八或＜c八或一1一机=0,解得Tv根V1或一3＜相＜一1或加二一1,

综上可得机的取值范围为（-3,1）,故C正确；

要使“X）只有1个零点，则/⑴＜。或〃。）＞0,即1-根＜0或—3-〃＞0,

解得力＞1或〃/＜-3,即，”的取值范围为（TO,-3）（1,+℃）,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，从而画出g（元）=炉一|3炉-3|

的图象，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题.

11.BC

【分析】新定义变形为函数是增函数，因此只要确定函数是不是增函数即可得.

【详解】因为国/（为）+々/（%）＞为/。2）+尤2〃再），所以（王一々）［/（%）一/（/）］＞0,

即%＞马时，/（为）＞/（＞2）恒成立，因此/■（X）是增函数，

/。）=朋+1时，/（-；0=/才+1=朋+1=/。）为偶函数，在定义域内不可能是增函数，A

不满足新定义；

/（x）=3x+2（sinx-cosx）,贝ij/'（x）=3+2（cos尤+sinx）=3+20sin（x+工）＞0恒成立，所以

4

/（x）是R上的增函数，满足新定义；

答案第6页，共16页

/(X)=X3-3X2+3X+3,r。)=3/一6》+3=3。-1)220恒成立，/(尤)是R上的增函数，满

足新定乂;

Inx,x>01

〃无)=时，=/(X)不是定义域内的增函数，不满足新定义.

x9x<0e

故选：BC.

【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，通过变形新定义转化为函数的单调性,

然后通过导数或单调性定义确定函数在定义域内是否为增函数即可得.

12.2

【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式,

得到弦长lmD=2G一篇,计算即可求解.

【详解】由题意，圆C：(x-2)2+(y-2)2=r2&>0),可得圆心C(2,2),半径r,

/:y—l=Mx—l)过定点(1,1)

则圆心到直线/：y—1=Mx-1)的距离为％=J(l-2)2+(l-2)2=72,

可得截得弦长为/*=2J产-41ax2=2A/产-2=20,

弦长取得最小值2亚时，r=2.

故答案为：2.

3H

【分析】根据给定条件，利用分组分配求出试验的基本事件总数，再求出甲乙安排在同一路

口的事件含有的基本事件数，然后用对立事件概率公式计算即得.

【详解】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为

c2c2

A?

甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为C；A：,

C；A；_io_2_

因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是©।或\44-65-13,

A；

211

所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是1-石=彩.

答案第7页，共16页

故答案为：—

14.38

【分析】根据已知结合前九项和与通项关系，可得｛。｝为等差数列，进而求出S〃=〃，再

利用—五）〈方，以及当〃>1时，为<2（五一标斤），求出1+（+…+一一的

八〃八〃）400

范围，

即可求出结论.

1（1>1

【详解】当力=1时，«i=^=—%+—,%=—,fl,2=1,Va„>0,/.a=S=l,

21aJ%il

当〃22时，an=S„-S“_],2S"=S“-S,i+<,,S“+S,-=1,,

，〃一»〃一

・・・S；-S；T=1,・・・同｝是以1为首项，公差为1的等差数列，・・・S；二〃，

*/an>0,：.Sn>0,：.S,=册，2（八+'—&）=不^+@<~^~,即^>2（,几+1-6）,

22___]

又〃>]时，yzr<_7=—]——<2（6i-Jn-l）,即不<2（册_Jv-l）,

令S=—+—++-----,

51“丁°20"m40e0

[(7401-7400)+(^/400-V399)++(A/2-lj]=2(A/401-1)>38,

2[(7400-7399)+(^99-V398)++(V2-1)]+1=2(^/400-l)+l=39,

即38<S<39,从而网=38.

故答案为：38

【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查数列的前，项和与通项的关系、数列前

〃项和的范围，构造新的等差数列｛0｝以及用放缩法求数列和是解题的关键，注意常见的裂

项相消法求和的模型.

15.⑴。=4；5^/3；

7T

【分析】（1）由等差数列的中项性质及三角形内角和定理可得8=',利用余弦定理即可出

a的值，再由三角形面积公式即可求解；

答案第8页，共16页

（2）利用正弦定理求出sinA=2且，根据同角三角函数的商关系求出tanA,然后根据二

7

倍角公式即可得出tan2A,最后根据两角和的正切公式即可求解.

【详解】（1）由角A,B,C成等差数列，可得23=A+C,

JT

结合三角形内角和定理A+C+5=TI,可得5

由余弦定理=〃2+02-2QCCOS3,代入已知条件得：

21=+（。+1）2_+］）,化简得，々2+4—20=0

解得。=4,或〃=—5（舍去），所以。=4,

又因为c—a=l,所以。=〃+1=5,

由三角形面积公式S=-acsinB,得：S=-x4x5x—=5^.

222

73

ab4A

（2）利用正弦定理,可得.asinBXT”,

sinAsinBsmA=--------

b~42T~~

。=4<01=6，贝I角A为锐角,

所以cosA=Vl-sin2A=

7

4#)

2手2x空

.sinA72^/32A=3

所以tanA=--=tan、2

cosA1213(26

1-3

7I3J

故ta3)=＞蒜%3不

IT-

⑵7；=3+2(〃一1)

（3）〃=4或〃=5

3

【分析】（1）根据为3”的关系，作差可得」包=不，即可根据等比数列的定义求解;

an」

（2）由（1）求得勿+利用错位相减法可求T,；

答案第9页，共16页

c2(n+l)(、

(3)根据工可得〃<5；从而判断%的单调性，即可求解.

*3(1)

【详解】(1)因为y=2%-3且岳=4=；3,所以%=不9

由S“=2a,「3,可得：S^=2an-3(n>2),

两式相减得：a“=Sn-S,i=2an+1-2a,,

因为a,*。，所以-2±I=-|,

an,

&3,、，a.3

又j=不，综上，n>l,--n-x=~,

ax2an2

a

所以｛%｝是首项和公比均为］的等比数列.

.„-i(3丫

..%=qxq=1-1.

3

(2)由题意,2=(〃+1)

+3x0+4x0+…+(“+1)x0①

%=2x图+3x0+4x]|[+…+(“+1)x0②

①-②得

3

---F

2

n+l

•”=3+2("l)图

(3)由(1)可得，所以％=n2+n)，

答案第10页，共16页

由C"_2(,/+〃2(/7+1)

〃22时,>1可得〃<5；

C"T3("2-〃3(77-1)

当“<5时，c1<c2<c3<c4,当〃>5时，c5>c6>c7>•■•,

当”=4时,

当〃=5时，c5H（5?+5）=言,

所以。4=。5，

所以9<C2<°3<,4=。5>。6>C7>…，

综上，w=4或〃=5时，c,取得最大值3浣20.

81

17.⑴证明见解析;

⑵丁

【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得49,OD,再利用线

面垂直的判定、性质推理即得.

（2）由（1）的信息以。为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.

【详解】（1）在三棱柱ABC-agCi中，AB1AC,AB=43AC=3,则

ZACB=60°,OA=-BC=43,

2

由AB=3,AD=2r>B,得DB=1,在-D3O中，NDBO=30°,DB=1,OB=6,

22

由余弦定理。。2=0+（石）2-2xlx6xcos30°=l,得。0=1,O^+OD^4=AD,

于是AO_LOD,由A。，平面ABC。。u平面ABC,得其。，。。，

而4。4。=。,40,4。<=平面4。4，因此ODL平面4。4，又Mu平面A04，

所以A4,，。。，

（2）由（1）知，。4,one4两两垂直，以。为原点，直线O4ODOA分别为x，y，z轴建立

空间直角坐标系。-孙Z,

由A4,=26,40=6，得4。=3,则4石,0,0），4（0,0,3），2（-#,|，0），

答案第11页，共16页

于是网=(¥，-”例=差,-|,0),设m=(x,y,z)为平面AB4的一个法向量，

-x--y+3z=0

则22,取了=若，得狒=(g,3,l),显然“=(0,1,0)为平面AOA1的一个法向

363n

-----x——y=0

I22，

量，

因此cos<m,n>==提=*,显然二面角B-AA.-0的大小为锐角，

17nllmvl313

所以二面角人胡-。的余弦值为噜.

Y2y2

18.(1)—+^=1

43

⑵①，=1;②沁=;或1

423PAB$

【分析】(1)根据已知条件确定。、。，即可求解

(2)①根据直线4与椭圆E相切于第一象限内的点尸，求出尤，再根据设出4的方

程，表示出3、C的坐标，得到BC的斜率心，由此可求F；②根据已知条件与平行关系确

定导姐=什=黑='^,由平行四边形确定4/“2=(仅2+3)\再结合病=止+3,

SPABS0ABQNm-n'>

得加=±2〃，分两种情况求解即可.

【详解】(1)由题意a=2c=2,从而a=2,c=l,b=^3

22

所以椭圆方程为三+匕=1.

43

(2)

答案第12页，共16页

y=kx+m

①由，2y2消y得（4严+3）x2+8Amx+4m2-12=0

（*）,

-----1-----=1

143

由△=（8k〃）2-4（4产+3）（4m2-12）=0,得病=必2+3,

此时方程（*）可化为：m2x2+8knvc+16k2=0,

AL-

解得：工=---（由条件可知：k,相异号）,

m

设尸（无,%）,贝—竺，y=kx+m=k-m2-4k23

lj/=00+m=-----=—

mmm

3

即《■世33

—I，所以a=逢

（mm7k

m

因为〃〃2，所以可设直线4：y=履+〃（〃。0,〃。相），

y=kx+n

2

由<X2y消>得（4左2+3）了2+8^^+4〃2—12=0,

[43

当A>。时，方程有两个不相等的实根，

设A（x”X），3仇，％）,则%+%=43'*2=

因为A,C两点关于原点对称，所以C（-x”-M）,所以，

_y+y_kx+n+kx+n_j2n_2n_4Z:2

K2x2x{z=7+3_3

K.j———Ki-KI0/K—•

x

x2+xr/+玉%2+i-4k4k，

-一-4k2+3

k

所以尤=左2n广=1.

k2

②设直线4与y轴交于点Q,直线，2与》轴交于点N,则=

qqON_几

「日QOA3_QOAB

―一

°PAB°QABQNm-n

由①可知：OP//BC,若O,P,B,C四点围成的四边形为平行四边形,

答案第13页，共16页

则还需IOPRBCI,即I。尸[2=|BC|2,

16F+9

由①可知:-1,所以|。尸「=

m)11

又3(无2,%)，。(-玉,-％)，

4》(16汰2+9)

所以iBc|2=a+%)2-8kn

止+3

由|OP|2=|BC\2可得：4m2n2=(4r+3『，

又〃?2=4及2+3,所以加2=41,gpm=±2n,

【点睛】方法点睛：

解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去飞或》),

建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，

建立有关参变量的等量关系，

强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，

重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

19.(1)5；

⑵证明见解析，y=2x；

2

(3)存在％=3,a=—满足条件.

e

【分析】(1)按照给定定义，依次求导，再观察规律即可判断作答.

(2)由(1)求出函数g.(x),求出g.(x)的导数，再利用已知结合极值点的意义推理作答.

(3)由(1)结合已知，确定人=3或左=2,再分类讨论极值点的情况作答.