黑龙江省佳木斯市富锦市某中学2024-2025学年高一年级上册期中考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年度高一学年上学期期中考试试卷

数学试题

满分150分，考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,设全集0={123,4,5},集合满足用"={2,4},则（）

A.IcMB.4cAfC.5eMD.

【答案】C

【解析】

【分析】由补集运算得出集合再由元素与集合的关系判断.

【详解】因为全集。={1,2,3,4,5},={2,4},所以/={1,3,5},

根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确.

故选：C.

2.命题。：Vx>2,I〉。，则命题夕的否定形式是（）

22

A.Vx>2,x-l<0B.Vx<2,x-l>0

C.3x>2,x2-l<0D.3x<2,x2-l<0

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论.

2

【详解】命题0：Vx>2,x-l>0.为全称量词命题，

则该命题的否定为：3x>2,x2-l<0.

故选：C.

3.下列命题中正确的是（）

A若a>6,则」〈工B.若a>6,则/〉〃

•ab

b+mb

C.若a>6>0,m〉0,则-----<—D.若一1<Q<4,2<b<3,则一4<a—b<2

a+ma

【答案】D

【分析】根据不等性质分别判断各选项.

【详解】A选项：当。〉0>6时，—>0>—,A选项错误；

ab

B选项：当。=1,6=-2时，a>b成立,/B选项错误;

b+mbab+am-ab-bm(a-b)m>o,所以竺竺〉2,c选项

C选项：a>b>0加>0,------------

a+maa(a+m\a+ma

错误;

D选项：2<b<3,则—3<—b<—2，又—1<Q<4,所以—4<a—b<2,D选项正确；

故选：D.

4.已知=是幕函数，则“。是正偶数”是"/(x)的值域为［0,+⑹”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用幕函数的性质结合充分、必要条件的定义判定即可.

【详解】当。是正偶数时，显然/(x)=xa»o,即其值域为［0,+8).

当/(x)=«时，/(X)的值域为［0,+8),但a不是正偶数.

故是正偶数”是“/(》)的值域为［0,+8)”的充分不必要条件.

故选：A

5.已知g(x)=/(x+2)—3是定义在R上的奇函数，若/(1)=4,则/(3)=()

A.-10B.-4C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数/(x)的性质，进而求出/(3).

【详解】由g(x)=/(x+2)—3是定义在R上的奇函数，^[/(-x+2)-3]+[/(x+2)-3]=0,

即/(—x+2)+/(x+2)=6,令x=l,则/(1)+/(3)=6,而/(1)=4,

所以/(3)=2.

故选：c

122,

6.若两个正实数x，V满足一+2>=1,若至少存在一组x，V使得x+一〈-加一-6加成立，则实数加的取值

xy

范围是（）

A.{m\-4<m<-2}B.{m\-4<m<-2}C,{-3}D.0

【答案】C

【解析】

-2]22

【分析】根据题意得，即求x+—<-m2-6m,利用基本不等式，可解得x+—29,进而得到

L4V

9<—nr—6m>进而可求解.

2「212,

【详解】至少存在一组x，y使得X+一（一"2一6加成立，即x+—<-m-6m,

>L歹」皿

又由两个正实数xj满足』+2y=l,可得

x+—=（x+—）（—+2y）=1+2盯+2+425+2石=9,

JJx-xy

[1「1

2y=-2

当且仅当2个=一，即个3时，等号成立，，x+—=9,

孙[x=3LUin

故有9W—加2—6加，解得（加+3）2<0,故加=—3,所以实数加的取值范围是{—3}

故选：C.

7.已知函数/（x）为定义在R上的奇函数，且在[0,1）为减函数，在[1,+8）为增函数，/（2）=0,则不等

式切（-x”0的解集为（）

A.（―8,—2]U[0,2]B.[―2,0]D[2,+”）

C.—2]u{0}u[2,+oo）D,[—2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性

质可得解.

【详解】因为/(X)为定义在R上的奇函数，所以/(—x)=—/(x),且/(0)=0

又因/(2)=0,所以/(—2)=0,

又因/(x)在[1,+8)为增函数,在xe[l,2]上/(x)<0,

在xe[2,+co)上/(x)>0,

又因/(x)在[0,1)为减函数，所以xe[0,l)上/(x)«0,

综上，当xe[0,2]时，/(x)<0,当xe[2,+co)时/(x"0,

当xe[—2,0]时，则一xe[0,2],所以/(—x)=-/⑴<0,则/(x"0,

当xe(—oo,—2]时，则—xe[2,+oo),所以/(—x)=—之0,则

不等式xf(-%)>0可化简变形为xf(x)<0,

综上所述可知当xe[-2,2]时，xf(x)<Q.

故选：D

8.若函数/⑴在定义域可上的值域为[/(a)J(b)],则称/(x)为“。函数”.已知函数

/、[5x,0<x<2

/(x)=2/「'是"Q函数”，则实数加的取值范围是()

')x2-4x+m,2<x<4

A.[4,10]B,[4,14]C.[10,14]D.[10,+oo)

【答案】C

【解析】

/、[5x,0<x<2

【分析】根据“。函数”的定义确定/(x)=2，c“的值域为[0,刈，结合每段上的函数的取

[x-Ax+m,2<x<4

值范围列出相应不等式，即可求得答案.

/、[5x,0<x<2

【详解】由题意可知/(x)={2“'”的定义域为[0,4],

'7x-4x+m,2<x<4

,、f5x.O<x<2/、/、

又因为函数/(x)=2_是“。函数”，故其值域为[/(0),/(4)]；

而/(0)=0,/(4)=加，则值域为[0,加];

当0WxW2时，/(x)=5xe[0,10],

当2<xV4时，/(x)=x2-4x+m,此时函数在(2,4]上单调递增，则/(x)£(加一4,加],

5x,0<x<20<m-4<10

故由函数/(%)=<是“Q函数”可得《

2

x-4x+m,2<x<4m>10

解得10K加<14,即实数加的取值范围是[10,14],

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

13

A.若/(x)的定义域为-2,2],则〃2x-1)的定义域为-]，5

B./(%)=—和g(%)=丫表示同一个函数

17

函数y=2x+JE的值域为—00,——

8

2

D.函数/(x)满足/(x)-2/(-x)=2xT,则/(x)=gx+l

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用同一函数得定义判断B；利用换元法，结合二次函数的

性质求得其值域，判断C；利用方程组法判断D.

【详解】解：对于A,因为/(x)的定义域为12,2],

13

对于函数/(2x—1),则—2<2x—1<2,解得—QWXW],

「]3-

即/(2x—1)的定义域为一万，5,故A正确；

对于B,/(x)定义域为{x|"0},g(x)定义域为R,不是同一函数，故B不正确;

对于C,令/=J1-x,贝!lx=l—/，/>0,

所以y=2(1—〃)+/=—2/+/+2=—2,—w]+~~?/之0,

1(1Y1717

所以当/=一时，函数y=—21-▲+上取得最大值，最大值为一，

4-I4；88

所以函数>=2X+JE的值域为故C正确;

对于D,=

.•./(-x)-2/(x)=-2x-l,化简得2/(-x)-4/(x)=-4x-2,

两式相加得-3/(x)=-2x-3,解得〃x)=1X+l,故D正确.

故选：ACD.

10.已知关于x的不等式签?20的解集为(—叫—2]。(1,+“)，则()

A.c=1

B.点(凡为在第二象限

C.2aH—的最小值为2

b

D.关于x的不等式ax2+ax-b>Q的解集为%-2]U[1,+®)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意，由原不等式的解集可得c=l,-2a+6=0,即可判断ABD,然后再由基本不等式即

可判断C.

【详解】原不等式等价于因为其解集为(-叫-2]"1,+8),所以a>0且

x-cw0

c=l,—2a+6=0,故A正确；

因为。>0/=2a>0,则点(见“在第一象限，故B错误；

,---------<1

11/12a二—1

由6=2。>0可得，2a+—=2a+——N2」2a——=2,当且仅当《2。时，即。=不时，等号成立,

b2aV2a。〉02

所以2ad—的最小值为2,故C正确；

b

由6=2。>0可得，不等式a/+ax-620即为ox?+ox—2a之0，化简可得

x2+x-2>0^(x+2)(x-l)>0,则其解集为(―叫―2]U[l,+8),故D正确；

故选：ACD

11.已知函数/(x),g(x)的图象分别如图1,2所示，方程/(g(x))=l,g(/(x))=—Lg(g(x))=-1

的实根个数分别为凡“c,则()

Aa+b=cB.6+c=2aC.a"=cD.b+c=a

【答案】AB

【解析】

【分析】根据图象，确定。，b,c的值，代入验证即可.

【详解】由图，方程/(g(x))=l,-1<g(x)<0,此时对应4个解，故a=4；

方程g(/(x))=—1,得/(x)=—1或者/(x)=l,此时有2个解，故6=2；

方程g(g(x))=-；，g(x)取到4个值，如图所示：

即-2<g(x)<—1或-l<g(x)<0或0<g(x)<l或l<g(x)<2,则对应的x的解，有6个，故c=6.

根据选项，可得A,B成立.

故选：AB.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=^^=+(x—l)°的定义域为.

V3x-2

【答案】

【解析】

【分析】根据分式、根式以及零次方的意义列式求解即可.

3x—2>02

【详解】令《，八，解得x〉一或XW1,

x-1^03

所以函数/(X)的定义域为［g,l］u(l,+R).

故答案为：.

13.“4x+夕<0”是“f—X—2〉0”的充分不必要条件，则实数P的取值范围是—.

【答案】［4,+oo)

【解析】

【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根据充分不必要性，列出不等式，则问题得解.

【详解】由4x+p<0,解得x<—£；

4

由X?—x—2>0,即(x—2)(x+l)〉0,解得%>2或x<—1；

又“4x+P<0”是“——'一2〉o”的充分不必要条件，

故可得—“V—1,解得夕24.

4

故答案为：［4,+00).

【点睛】本题考查由命题之间的充分性和必要性求参数范围，属基础题.

14.定义：对于非空集合A,若元素xeZ,贝U必有(加-x)e/,则称集合A为“掰和集合”.已知集合

8={1,2,3,4,5,6,7},则集合台所有子集中，是“8和集合”的集合有个.

【答案】15

【解析】

【分析】

由新定义可得集合3的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成组出现，再由子集的概念即可得解.

【详解】由题意，集合8的子集中，1,7、2,6、3,5、4一定成组出现，

当集合B的子集中只有1个元素时，即为{4},共1个；

当集合B的子集中有2个元素时，即为{1,7},{2,6},{3,5},共3个；

当集合8的子集中有3个元素时，即为{1,4,7},{2,4,6},{3,4,5},共3个；

当集合B的子集中有4个元素时,即为{1,7,2,6},{1,7,3,5}{2,6,3,5},共3个;

当集合8的子集中有5个元素时,即为{1,7,4,2,6},{1,7,4,3,5},{2,6,4,3,5},共3个;

当集合B的子集中有6个元素时,即为8={1,2,3,5,6,7},共1个.

当集合2的子集中有7个元素时，即为8={1,2,3,4,5,6,7},共1个.

则集合B所有子集中，是“8和集合”的集合有15个.

故答案为：15.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知A—|x2—x—6<o|,B-|—3<xV3}.

（1）求集合A；

（2）求玲（zn8）,（Qz）nB.

【答案】（1）/={x|—2<x<3}

（2）4（/八5）={%］》<一2或》23},他/）八5={》|一3<工（一2或》=3}

【解析】

【分析】（1）解出一元二次不等式得到集合A即可；

（2）由集合的交集与补集的运算求解即可.

【小问1详解】

因为Z={x|/—%一6<0},所以解不等式,一工一6<0可得：

-2<x<3,故集合N={x|-2<x<3}

【小问2详解】

由(1)可知：/={x|-2<x<3},又3={x|-3cx<3},

所以/「3={x|-2<x<3},所以4(4cB)={x|x〈一2或xN3}.

4/={x|xW-2或x»3},&/)c5={x|-3<x<-2或x=3}.

16.已知命题：使等式4/一工—加=0成立”是真命题.

（1）求实数掰的取值集合M；

（2）设不等式（x-a）（x+a-2）<0的解集为N,若xeN是xeM的必要条件，求。的取值范围.

【答案】（1）M=<m~—<m<5>

16

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为机在/（X）值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果;

（2）根据题意，将问题转化为MqN,然后分。〉1,。=1与。<1讨论，即可求解.

【小问1详解】

由题意，方程加=4——X在（—1,1）上有解,

2x—；

令/(x)=4x2-x=I-^,（-1<X<1）,只需加在/（X）的值域内,

当X=一时，f(x).—---当x=—1时，/(%)=5,

8'7min16

所以/(x)值域为」,51，

16)

•二m的取值集合为M=<m~—<m<5>；

16

【小问2详解】

由题意，MjN，显然N不为空集.

①当Q〉2—Q,即时，N=(2—Q,Q),

.1

2—a<---

16

a>5,.-.^>5；

a>\

②当a=2-a,即。=1时，N=0,不合题意舍去;

③当Q<2—Q,即a<l时，N=(Q,2—Q).

2-a>5

1

<a<--,/.a<-3；

16

a<1

综上可得a25或a«-3.

17.某奶茶店今年年初花费16万元购买了一台制作冰淇淋的设备，经估算，该设备每年可为该奶茶店提供

12万元的总收入.已知使用x年（x为正整数）所需的各种维护费用总计为f+2x万元（今年为第一年）.

（1）试问：该奶茶店第几年开始盈利（总收入超过总支出）？

（2）该奶茶店在若干年后要卖出该冰淇淋设备，有以下两种方案：

①当盈利总额达到最大值时，以1万元的价格卖出该设备；

②当年均盈利达到最大值时，以2万元的价格卖出该设备.

试问哪一种方案较为划算？请说明理由.

【答案】（1）从第三年开始盈利.

（2）两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.

【解析】

【分析】（1）列出纯收入的函数表达式，解纯收入大于0的不等式即可.

（2）分别计算两种方案的盈利和时间，比较后得结论.

【小问1详解】

由题意可知，总收入扣除支出后的纯收入y=12x—（x?+2x+16）=—x"+10x—16,

-x2+10x-16>0>解得2cx<8,

由xeN*，所以从第三年开始盈利.

【小问2详解】

方案①：

纯收入y=-犬+10x-16=-（x-5『+9,则5年后盈利总额达到最大值9万元,

以1万元的价格卖出该设备，共盈利10万元；

方案②：

正出格工〃—f+lOx—1616

年均盈利z=------------二-x+10----，

XX

由xeN*，x+->2.Ol=8,当且仅当即x=4时等号成立,

X\Xx

z=-x+10--<-8+10=2,

x

当4年后年均盈利达到最大值2万元时，以2万元的价格卖出该设备，

共盈利4x2+2=10万元.

两种方案盈利总数一样，但方案②时间短，较为划算.

18.已知函数/3=卢^经过（T-2）,W两点•

（1）求函数/（x）的解析式；

（2）判断函数/（x）在（0,1）上的单调性并用定义进行证明；

（3）若/（x）〈加对任意恒成立，求实数加的取值范围.

【答案】（1）/（%）=%+-

（2）/（X）在（0,1）上单调递减，证明见解析

17'

（3）m>——>

4J

【解析】

【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可；

（2）利用单调性的定义证明即可；

（3）将问题转化为7"»/（X）max，然后利用单调性求解最值即可得解.

【小问1详解】

•・•/（T）=-2,/⑶4

~b+a

o=0

5解得「,

45o=l

1,2

—b+a

2

,•/(x)=x+-.

X

【小问2详解】

/（x）在（0,1）上单调递减，证明如下:

任取西尼e（。」），且再<X2,

X

则/(xj—/(X。)=1-----々H-----=(%1-X9)—

(X"(X2J(卬

x1,x2e(o,l),且再＜X2,

/.Xj-x2<0,0<xxx2<1,

XjX2-1<0,

；./(再)-/(彳2)>。即/(再)>/(》2),

所以函数/(X)在(0,1)上单调递减.

【小问3详解】

由/(x)〈加对任意xe[；,；]恒成立得m>/(x)max,

由(2)知/(x)在(0,1)上单调递减，

函数/(x)在上的最大值为,

17

/.m>—,

4

[17、

所求实数加的取值范围为〈加