湖南省2025届新高考教学教研联盟高三第一次（1月）预热考试数学试卷（含答案解析）

湖南省2025届新高考教学教研联盟高三第一次（1月）预热考

试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/=[eR2<e},8=*eR;>“，则/门8=()

A.{xGR|0<x<log2e}B.{xGR|0<x<1}

C.{xGR|1<x<log2e}D.{x£R|x<log2e)

+oo4-00

2.已知数列{%}为无穷等比数列，若则2同的取值范围为()

Z=1Z=1

A.{3}B.[3,+oo)C.(0,3]D.(0,+(»)

3.空间中’已知两条直线射，其方向向量分别为痴’则"3而二『是"与〃所成角为3

的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

4.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马

P-4BCD中,若尸工,平面48CD,且P/=/B=l,异面直线尸。与/C所成角的余弦值为

4

十则ND=（）

63

A.-B.-C.2D.3

52

5.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为兀的半圆，则该圆锥的高为（）

A.—B.—C.—D.1

2222

6.已知椭圆。:巨+片=1,左焦点为尸，在椭圆C上取三个不同点尸、0、尺，且

3627

2万123

/尸尸。=/。网=/麻尸=q-,则向+西+网的最小值为（）

A4V3口4G「42百n4G

36393933

7.若g（x）=max^|2x-31,3-2x21,/zk）=max+3\3-2x2j/£）=min*1》1）｝,其

试卷第1页，共6页

中max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者，min{龙）,z}表示x,y,z中的最小者，下列说法不正

确的是（）

A.函数/（x）为偶函数

B.当xe［l,3］时,%/（x）<i

c.不等式/［小小1的解集为T-5-U二」

D.当xe［T-2］。［2,3］时，有/卜⑴［V〃x）

11o

8.正整数。也ce{1,2,…,100},且上+士=>6>c,满足这样条件的（。也c）的组数为（）

acb

A.60B.90C.75D.86

二、多选题

9.下列正方体中，4B、C、M、N为其顶点、棱中点或面中心，则在其中满足M///平面

的有：（）.

10.双曲线C:--/=4的左右焦点分别为耳、巴，左右顶点分别为4B,若尸是右支上

一点（与3点不重合），如图，过点尸的直线/与双曲线C的左支交于点。，与其两条渐近线

分别交于S、T两点，则下列结论中正确的是（）

试卷第2页，共6页

A.尸到两条渐近线的距离之和为2

B.当直线/运动时，始终有10sl=|ZP|

C.在APAB中,tmZPAB+tan/PBA+2tanZAPB=0

D.△尸与外内切圆半径取值范围为（0,1）

11.信息燧常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方

程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了蜡来作为样本最优属

性划分的判据.信息论之父克劳德•香农给出的信息嫡的三个性质：①单调性，发生概率越高

的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息燧可以看作为一种广度量，非负性是一种合

理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件

不确定性的量度的和.克劳德•香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确

定性度量函数具有唯一形式〃（丫）=-。5；4唾24，令C=l,设随机变量X所有取值为1,

i=l

2,3,…，n,且尸（X=i）=4>0（i=l,2,3「、〃），以=1,则下列说法正确的有（）

1=1

A.〃=1时，H（X）=0

B."=2时，若则"（X）的值随着耳的增大而增大

C.若召=E=J，&+[=2笈（左上2,左eN）,则〃（入）=2_与

D.若〃=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…，机，且

P（y=/）=P（X=/）+P（X=2〃,+l_/），U=l,2,...,m）,则坦X）'H（Y）

三、填空题

12.已知V48c三个内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若sin/,sinB,sinC成

等比数列，sin（B-/）,sinA,sinC成等差数列，贝|C=.

21______

13.已知a,b>0,—+—=1,则a+b+[a2+b2的最小值为______.

ab

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14.某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他

将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把

回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为;，不下雨的

2

概率均为I,且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少

有一天淋雨的概率为.

四、解答题

15.行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比

如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如“"的的

^^21^^22

符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：""一/设函数

2sinxsin2x

〃x)=兀(xeR).

2cosx+-

⑴求;'(X)的对称轴方程及在[o,可上的单调递增区间;

(2)在锐角V/3C中，已知求tan/34D.

16.一般地，任何一个复数a+bi(a,beR)可以写成r(cos6+isin。)，其中厂是复数的

模，e是以x轴非负半轴为始边，射线oz为终边的角,称为复数的辐角.我们规定在owe<2兀

范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz,如argl=0,argi=parg(l+V^i)=；.发现

zl-z2=r1(cos0X+isin9x)-r2(cos02+isinO2)=rtr2[cos(4+02)+isin^+02)],就是说两个复数

相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实

数0,1,右的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚

部.设〃为正整数，重复〃次上述操作，可得到"个复数，将它们的乘积记为z“.

(1)写出一次操作后所有可能的复数；

(2)当〃=2,记㈤的取值为X,求X的分布列；

⑶求z：为实数的概率

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17.如图，在三棱锥P-/3C中/C_L5C,平面P/C_L平面/3C,PA=PC=AC=2,BC=4,

E,厂分别是尸C,PB的中点，记平面NEV与平面4BC的交线为直线/.

P

（1）求证：直线所_L平面尸/C；

⑵若直线/上存在一点。（与5都在ZC的同侧），且直线P。与直线即所成的角为3,求

平面PBQ与平面AEF所成的锐二面角的余弦值.

18.已知点/（%,乂），2（%,%），定义/,8的“倒影距离”为［4可=|网-％|+卜-必|，我们

把到两定点耳（-2,0）,F2（2,0）的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”.

（1）求“倒影椭圆”C的方程；

（2）求“倒影椭圆”C的面积；

⑶设O为坐标原点，若“倒影椭圆”。的外接椭圆为为外接椭圆E的下顶点，过点（0,2）

的直线与椭圆E交于尸，。两点（均异于点。），且V。尸。的外接圆的圆心为“（异于点。）,

证明：直线O”与尸。的斜率之积为定值.

19.函数/的定义域为全体正整数集合N+,则称/:N+fR或/（"）,〃eN+为数列，简记

为｛%｝，数列中的每一项即为。，（收三”）.我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子•

天下篇》引用过一句话：一尺之锤，日取其半，万世不竭，其含义为：一根长一尺的木棒，

每天截下一半，这样的过程可以无限进行下去.第一天截下第二天截下《，第”天截

下:…不难看出，数列的通项g随着〃的无限增大而无限接近于0,那么我们就说数

列的极限为0.我们定义：设｛%｝为数列，。为定数，若对给定的任意正数名总存在

正整数N,使得">N时有旧-,则称数列｛6｝收玫于。，定数。称为数列｛4｝的极限,

记为则。”=。.

⑴已知数列£=工7+£-25'3）,片=£=1,证明：当〃不断增大时，呆的值会不断趋向

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于黄金分割比如二t

2

(2)设数列｛%｝满足且证明：lima„=1.

(3)材料：设a”是个实数列，对任意给定的£>0,若存在NeN+，使得凡机,”eN+,且见〃>N,

都有I。加则称。〃为"柯西列”.问题解决：定义。〃=£入,证明：时,｛4｝不

k=\k

是“柯西列"，“〉1时，｛%｝是“柯西列”.

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《湖南省2025届新高考教学教研联盟高三第一次（1月）预热考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BBACABCDACDBC

题号11

答案ABC

1.B

【分析】化简集合42,利用集合交集的概念可得结果.

l

【详解】集合/={xiR|2'<e)={xlR|x<log2e}.

由，>1得三^<0,等价于(x-l)x<0,故8={xeR|0<x<l},

XX

由log2e〉1得4nB={x£R|0<X<1}.

故选：B.

2.B

+00+83(j)

【分析】根据=-3可得％=-3（l-q）,则Z同=,再利用不等式的性质求解即

Z=1Z=1i-|q|

可.

【详解】因为｛%｝为无穷等比数列，»，=一3,设数列的公比为4,

1=1

ya

则0<@<1,所以£%=#=-3,可得%=_3（1-4

所以｛|。“|｝是以同为首项，以⑷为公比的等比数列，

且0<|«|<1,此时1-0>0,且l-|q|>0,

+OO同卜3。-4)|=3(1-q)

所以工同=

/=11-回1-恸1-国

因为⑺Nq-|q区一《=>1-|q区1-q

所以为㈤=号"^芈=3，0<4<1时等号成立;

M1-间1-闯

+OO

即E同的取值范围为［3,0）.

Z=1

故选：B.

3.A

【分析】根据空间两直线所成角的以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定

答案第1页，共24页

义判断即可.

-jrTT

【详解】由〈3/〉=;,可以推出机与〃所成角为:，

44

但加与”所成角为£时，（词=:或手，

所以｛2,分=m是机与〃所成角为9的充分不必要条件.

故选：A.

4.C

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求.

【详解】由题意，以A为坐标原点，/氏/。,/尸所在直线分别为xj,z轴，建系如图,

所以/（0,0,0）,C（l,a,0）,P（0,0,l）,D（0,a,0）,

就=（1,。,0）,丽=

设异面直线尸。与NC所成角为凡

AC-PDa24

则cos0=

祠叵一百+a?xJa?+15

解得a=2,即AD=2.

故选：C

5.A

【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理

算得圆锥高.

【详解】

答案第2页，共24页

h

设圆锥的母线长为/,圆锥的底面半径为r,

因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，

圆锥的侧面展开图是一个面积为兀的半圆，

Til=271r厂

则,1,解得尸=二>/=0，

一/x2兀/=兀2

12

则该圆锥的高为h=J/?一/2=.

2

故选：A.

6.B

【分析】以尸为顶点，》轴的正方向为。始边的方向，尸尸为角。的终边，推导出

9\FO\=-------------------\FR\=------------------

PF=^同理可得出।力“/八2叫，”/八4叫，然后利用三角

।।2-cosO92-cosl6>+—I92-cosl6>+^-I

123

恒等变换化简可得出司+万@+商的最小值.

【详解】在椭圆。中，。=6,6=3g，。=3,如下图所示:

2

椭圆的左准线为》=-t=-12,以尸为顶点，x轴的正方向为e始边的方向，尸？为角e的

终边,

IT

当0<6〈时，过点尸作7W，/,过点尸作Wk厂PN,垂足分别为点N、M,

2

2

易知四边形EFMV为矩形，则|ACV|=|E可--c=12-3=9，

答案第3页，共24页

PFe=g,则|/W|=2户刊,

由椭圆第二定义可得行一=

\PM\,,..

又因为PN//X轴，则=所以，cose=b^,所以，|尸网=|PF|cos6,

9

因为|7W|=|PM+pW|,即2|尸尸|=|尸尸|cos6+9,所以，|尸司=

2-cos0

9

同理可知，当e为任意角时，等式|尸口二仍然成立,

2-cos6

99

\FQ\=|础=

同理可得I?2-cos[e+；]'2-cos（6+手）’

4-2cos]e+g6-3cosf<9+F

因此，1232-cos6

।------r+■;------r+

网闻画-—999

41八C（八2兀）cIn4兀

—cos。+2cos。+—|+3cos。+—

3933

cos0-VJsin0-—cos0+sin0

3922

7

4_J_,3

sin。——cos。

3~92

7

71

3923

127

(一)二一时,1234、万

当sin61向+殉+网取得最小值厂方

123的最小值为3-如

故网+网+网

39

故选：B.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基

本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

7.C

|2x+3|,x<-1

【分析】根据已知得至!)/(%)=3-2/,—iwxwi,画出函数大致图象，数形结合判断A；根

12x-3'x〉l

答案第4页，共24页

据xe[l,3]时/-4x+3V0,应用凑配法得到|2x-3|<x判断B；令/(x)=f,则求t

范围，再结合解析式，应用分类讨论求解集，判断C；根据奇偶性，尤«-3,-2]口[2,3]时

m=/(x)e[l,3],有/[/⑺卜/⑺等价于/(加)-/MVO,即可判断D.

【详解】若|2x-3|=3-2/,解得》=0或x=l,

/、f|2x—3|,xG(—°0,0)u(1,+oo)

结合二次函数和一次函数知g(x)={[J，

[3-2x,XG[0,1J

若|2x+3|=3-2f,解得x=0或x=-l,

|2x+3|,xe(-oo,-l)u(0,+<x>)

结合二次函数和一次函数知〃(x)

3-2x2,xe[-l,0]

|2x+,x<-1

所以/(x)=min{g(x),〃(x)}=<3—2x~,—14x41,

|2x-3|,x)l

画出/'(x)的图象如下,

结合图象及/(-x)=/(x),知/(x)为偶函数，故A正确;

当xe[l,3]时/一4x+3V0,BP3x2-12x+9<0,所以4--12x+9W-,

所以|2尤-3|<x,所以/(x)Vx成立，故B正确；

对于C,令=则/⑺W1,

当/<-1时，|2^+3|<1,解得-2V/<-l,

当-1WIV1时，3-2产41,解得*-1或框1,又-1V/V1,所以f=±l,

当/>1时，忸一3归1,解得1</42,

综上，1州42,故IV.⑴归2,

答案第5页，共24页

当X<-1时，lV|2x+3]V2,解得-|wxV-2,

当一14x41时，l<3-2x2<2,WM—<x<l^-l<?<-—,

22

当x>l时，l<|2x-.3|<2,解得

2

-l?~\「万"I「「S-

综上，不等式的解集为尤e口u2,ju-j,-2,故C错误；

对于D,当xe[2,3],令机=/(x)=2尤-3e[l,3],

结合偶函数的性质，xe[T-2]32,3]时机=/(x)e[l,3],则/[/(尤)]</(x)等价于

f(m)-m<0,

结合B分析，当xe[-3,-2]32,3]时，有/[/⑺]W/(尤)成立，故D正确.

故选：C

|2x+3|,x<-1

【点睛】关键点点睛：根据已知得到了卜)=，3-"2,-iWxWl并画出大致图象为关键.

|2x-3|,x)l

8.D

【分析】由，+工=|■可得，，■成等差数列，设，，7»，通分后为"，"","2",

acbabcabCppp

其中(匕d)=l,则可结合(左”)=1分左为奇数与无为偶数进行讨论，再分类后逐个列举出所

有符合要求的数即可得.

【详解】因为所以工，7,工成等差数列，

acbabc

设Liy1,,1通分后为一k，一k+d,-k-+--I-d,其中⑸d)=l；

abCppp

则左|)，(左+d)|p,(k+2J)|p,(k,k+d)=(k,d)=l

化人+2")=…=化2)=]；篙彳，

(k+d,k+2d)=(k+d,d)=(k,J)=1,

所以当左为奇数时，⑸左+2d)=l,k(k+d)(k+2d)\p；

当上为偶数时，&左+2d)=2,\_k,k+d,k+2dl=k*+d)：+2d),以"+平+2’小

(1)当左为奇数时，设p=mk(k+d)(k+2d),

答案第6页，共24页

则(a,0c)=m((k+d)(k+2d),k(k+2d),k(k+d)),

①若左=1,贝1](。,6,。)=m((1+4)(1+2〃),1+24,1+〃)，所以(l+d)(l+2d)V100,

所以"=1,2,3,4,5,6,

取"=1,(a,b,c)=〃z(6,3,2),加=1,2,16；

取d=2,(a,6,c)=："(15,5,3),m=l,2,…，6；

取d=3,(a,6,c)=m(28,7,4),m=l,2,3；

取1=4,(a,6,c)=〃z(45,9,5),m=l,2；

取d=5,(a,b,c)=m(66,U,6),m=l；

取1=6,(a,6,c)=m(91,13,7),加=1；

共16+6+3+2+1+1=29种；

②若k=3,贝I](a,4c)=m((3+d)(3+2d),3(3+2d),3(3+d)),所以(3+d)(3+2d)V100,

所以"=1,2,3,4,考虑至lj(匕d)=l,从而"=1,2,4,

取"=1,(a,4c)=加(20,15,12),加=1,2,3,4,5；

取1=2,(a,b,c)=m(35,21,15),m=l,2；

取1=4,(a,b,c)=m(77,33,21),m=l；

共5+2+l=8种；

③若a=5,贝!](a,瓦C)=w?((5+d)(5+2d),5(5+2d),5(5+d)),所以(5+d)(5+2d)4100,

所以d=1,2,3,

取"=1,(a,6,c)=〃z(42,35,30),m=l,2；

取1=2,(a,6,c)=m(63,45,35),m=l；

取d=3,(a,6,c)=»?(88,55,40),加=1；

共2+l+l=4种；

④若k=7,贝I](a,4c)=m((7+d)(7+2d),7(7+2d),7(7+d)),所以(7+4)(7+2d)4100,

所以"=1,2,

答案第7页，共24页

取4=1,(〃也。)=加(72,63,56),m=1；

取d=2,(。也。)=加(99,77,63),加=1；共2种，

⑤若左29,贝！J(9+d)(9+2d)W/+d)(2+2d)W100,

所以d=1,所以①。)=加((左+1)(左+2),左(左+2),左(左+1)),所以(左+1)(左+2)(100,

所以左48,矛盾；

(2)当左为偶数时，设加左(左+d)(左+2J),

则(a,6,c)=m((k+d)(g+d),5(左+2d),万(左+d)),

①若左二2,则(凡b,c)=冽((2+d)(l+d),2(l+d),2+d),所以(2+d)(l+d)W100,

所以d=l,2,3,4,5,6,7,8,考虑到(左〃)=1,从而d=l,3,5,7,

取4=1,加(6,4,3),m=l,2,…，16；

取d=3,(a/,c)=m(20,8,5),m=\,2,…，5；

取d=5,(。/,。)=加(42,12,7),m=l,2；

取d=7,(。也。)=加(72,63,56),加=1,

共16+5+2+1=24种；

②若左=4,则(见“。)=冽((4+d)(2+d),4(2+d),2(4+d)),所以(4+d)(2+d)W100,

所以d=l,2,3,4,5,6,7,考虑到(左,])=1,从而d=l,3,5,7,

取d=l,(«,/J,c)=m(15,12,10),m=l,2,…，6；

取d=3,(«,Z?,c)=m(35,20,14),m=\,2；

取d=5,(〃,6,。)=加(63,28,18),m=l；

取d=7,(。也。)=制99,36,22),m=l；

共6+2+1+1=10种；

③若k=6,则(a也c)=m((6+4)(3+d),6(3+d),3(6+d)),

所以(6+d)(3+d)V100,

所以d=l,2,3,4,5,考虑到(左4)=1,从而d=l,5,

取d=l,(。,仇。)=加(28,24,21),m=\,2,3；

答案第8页，共24页

取d=5,(。,6,。)=冽(88,48,33),m=1；

共3+1=4种；

④若k=8,则(a,b,c)=加((8+(7)(4+d),8(4+④4(8+d)),

所以(8+d)(4+d)W100；

所以d=l,2,3,4,考虑到(左,")=1,从而d=l,3,

取4=1,(〃也。)=侬45,40,36),m=1,2；

取d=3,(。也。)=加(77,56,44),加=1；

共2+1=3种；

⑤若左210,贝iJ(10+60(5+d)V/+60(g+4)V100,所以"=1,

kkk

所以(a,6,c)=皿(笈+1)•(：+1),,(左+2),|■(4+1)),

k

所以伏+l)(5+l)W100,左=10,12,

取左=10,(a,6,c)=m(66,60,55),加=1；

取后=12,(。,6,。)=加(91,84,78),加=1；共2种，

综上所述，(a,6,c)共有29+8+4+2+24+10+4+3+2=86组.

故选：D.

【点睛】易错点点睛：本题考查了点列、递推数列及数学归纳法，根据新定义分类讨论求解

即可，本题容易讨论不全致错.

9.ACD

【分析】根据线面平行的判断定理：直线平行于平面内的一条直线，则线面平行.即可判断

选项正确.

【详解】

AN

--------------

对于选项A,分别连接3M,CN,易证四边形BCNM为平行四边形，即证MN//BC,故A正

答案第9页，共24页

确;

对于选项B,因为CN||8MCN=；8/，平移MN使得N平移至C点，此时M为原中点,

对于选项C,如图所示建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,可得:

Z（2,0,l）,3（0,l,2）,C（l,2,0）,M（2,0,2）,N（2,2,0）,

方=（-2,1,1）,就=（-1,2,-口丽=。,2,-2）

AB-2AC=（O,-3,3）=--MN,

即证平面/3C//7W,故C正确；

对于选项D,如图所示，作出过8c的与正方体下底面平行的截面的另一条对角线ZW交BC

于。，

连接易证四边形为平行四边形，可知MN//平面/BC,D正确.

故选：ACD.

10.BC

【分析】选项A,设出点尸（今,孙）然后计算出渐近线，分别计算距离求解即可；选项B,

设直线切=依+%,然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计算即可；选项C,利用

点尸卜,乃,）坐标表示出tan/PNBu-%,tan/PB/——1,然后利用三角形内角的角

人p-I乙Ap乙

度关系得至UtanNN尸+由选项可知，只需

''1-tanZPAB-tanNPBA

答案第10页，共24页

得到分母的值就可以得到正确答案；选项D,利用等面积法求三角形内切圆半径的方法，然

后化简求解即可.

22

【详解】由题可知双曲线的标准方程为C:'-匕=1,

44

故两个渐近线方程分别为y=X与y=-X,设点尸（马,力）

由题可知马＞0,力20,

所以点尸（马,孙）到两个渐近线的距离分别为4=正昔/，八="叠、，

由于X—,故42MM="=2

故4+4=:户h+屈*若4+〃2=2,贝1」4，42是方程一一2》+2=0的两个实数根,

7272

显然该方程无解，不符合题意，故故选项A错误;

设点S（XsJs），7（芍,a）,0（x9,%）,。（马,乃,）

显然直线/的斜率存在，设直线切=区+"7,

220Z-

联立方程/：）=息+加C：y-^=1,得(1-r)/_2初优一加2_4=0,所以%+尤0=三读，

直线切=区+”分别与渐近线y=x与尸-x联立得

1-k-1-k

mm2km

得芍+%-----1------------

l-k-1-kl-k2

所以有X7+x5=Xp+x°,gpxs-xQ=Xp-xT,

2

由题可知，|0S|=Jl+l1%-x°|,\TP\^^+k\xP-xT\,

所以|QS|=|ZP],故选项B正确；

不妨设P(与,y?),Xp>2,yp>0,

由题可知,4-2,0),5(2,0),

所以有tan/P48=tanAPBA-一一

xP+2Xp—2.

tanNPAB+tan/PBA

tanZ.APB=-tan(NPAB+NPBA)

1-tanNPAB•tanNPBA

tanNPABtanNPBAx-^-=-^~

Xp+2Xp—2Xp—4

由题可知，-yp=4-Xp,

答案第11页，共24页

故tanAPABtanZPBA=-1

Xp—4

2/,cctanNPAB+tanNPBAtanNPAB+tan/PBA

所以tanNAPB=------------------------------=--------------------------------,

1-tan/PAB•tanNPBA2

整理得tan/尸45+tan/PBA+2tanZ4P5=0,故选项C正确；

2s

由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径厂=3:二等5

\PFl\+\PF2\+\FlF2

易知I与耳1=4也,S,岛=。片鸟"处1=2^/2|jp|,

I尸用=,t+2拒『+才，忸闻2后『+立，

4阳调

J卜尸++"+'卜?—2^^)+yj,+4V2

因为门-第=4,

40|力I

得厂=

\p2,Xp+2+\p2,Xp-2+4\/~2xp+2

因为尤？>2,所以号+2>4,所以/re(0,2),故选项D错误.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或

V)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量

关系.涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情

况,强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

11.ABC

【分析】A直接利用公式求解；B先求出H(X)=log2〃,再判断单调性即可求解；CD分别求

出“(X)和〃(y)，结合对数函数单调性放缩即可求解.

【详解】对于A：若〃=1,则，=1,月=1,因此〃(x)=-(lxlog21)=0,A正确;

答案第12页，共24页

对于B：当〃=2时/；0,；)x)=Ylog遇-(1-4)log/1-9，

令〃/)=Vlogz，-(1一少og2(IT),te,，,贝I]f\t)=-log2Z+log2(1-?)=10g2Q->0,

即函数[«)在,gj上单调递增，所以"(x)的值随着月的增大而增大,B正确；

1r^k-21

对于C：4=£=后线+产26(人2,左eN),贝域=△，2"2=.=招了,左22，

D1D111n—k+\gnic11In—1

乙log28=2„-t+il°g22„-t+i=--2„-t+i,>而印。g盘=尹1。82声=一下7，

十日/\n—\。八n—\n—\n—221

于正rr=k]10g2乙=

乙k=2乙乙乙乙乙

n-1nnn—1n—221

-------:-----------1--------1--------H--------H----------1----7H----

2〃T2n2n2〃T2〃-2222

人口123n-1nn.1o123n-1n

令S”=1——H——H-----1---------H-------,则一S=-7H—7H-~+…H------------1--------；,

"222232"12"22223242"2"+1

两式相减得%=；+…6=

〃+2

~r~

xn-\ncn-\nn+21—

坦rr/丹=^-―才+S“=^_一齐+2-=2-^y,C正确;

对于D,若〃=2%,随机变量y的所有可能的取值为1,2,…,川,

且尸(y=/)=p(x=/)+尸(X=2机+1-力,(4=1,2,...,机),

2加2加1

抽£=lo五

“a)=-£i=\4Zi=le§2与

二甲。82万+印。82万+…+E*J°g2~一+乙3。82”一

A-*2w-l^2m

，(丫)=仍+')1脸万口+但+%」)1。&p+pI••+Hz\

百十0加r2±r2m4「m十

二外脸人+平%J+…+人地J+段,厩4

/、」1.1.1

由于£>0"1,2,…,2加,即有方>万二万一，贝i]log2w>log2W7方—

盯盯十乃M+1T44十与皿+1-Z

因此夕Iog2:>^log2—，所以H(x)>"(y),D错误.

44+1-Z

答案第13页，共24页

故选:ABC.

71

12.

2

sin2B=sinAsinC®

【详解】由题,

2sinZ=sinC+sin(8-Z)②

由正弦定理可得：b2=ac③

2sin4=sin(8+/)+sin(B-A)=2sinBcosA,

由正弦定理，Q=6cos4故cosZ=@,

b

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,

代入得：a2^b2+c2-2bc-=b2+c2-2ac^c2-b2,

b

所以/+/=c2,故C=E

2

故答案为：g.

2

13.10

2(a+26)

【分析】利用已知条件将Q+"V7生，化简为,然后利用柯西

不等式求解最小值即可.

【详施牟］由42+；1=1,得=〃+2"

ab

77T2ab2(a+2b)

所以4+Z?+A/Q+b=/=----------1

a+b-y/a2+b2a+b-yja2+b2

=2(〃+2b)>2(4+26)=

a+b-^ra~一+b)(——+—9~)~«+7^-A(ay+3yb)、一

当且仅当3a=46,即。=?,6=g吐等号成立，

故a+6+77寿的最小值为10.

故答案为：10.

【点睛】关键点点睛：结合条件特点，将目标函数转化为满足柯西不等式的形式，从而利用柯

西不等式(1+b2)(c2+t/2)>(ac+bd¥(a,b,c,deR),当且仅当ad=be时,等号成立)求最小值,

技巧性较强.

答案第14页，共24页

28

【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得

到至少有一天淋雨的概率.

【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋南”.

连续上班两天，上班、下班的次数共4次.

(1)4次均不下雨，概率为：(2)=—.

⑴81

(2)有1次下雨但不被淋南，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：=3.

381

(3)有2次下雨但不被淋雨，共3种情况：

①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨，

③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨,

概率为：2X[£[X1)+gx212122116

—x—x—|——xmm—=

333333387

(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨,

32

概率为：2xIX

3

(5)4次均下雨：上=—.

⑶81

两天都不淋雨的概率为：2