第5届全国大学生数学竞赛决赛数学类一、二年级答案

第1页共6页第五届中国大学生数学竞赛决赛二年级试卷解答(数学类2014年3月考试形式闭卷考试时间180分钟满分100分注意1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边写在其它纸上一律无效2.密封线左边请勿答题密封线外不得有姓名及相关标记3.如答题空白不够可写在当页背面并标明题号(本题15分)设S为R3中的抛物面外一固定点满足a2+b2>2C过P作S的所有切线证明这些切线的切点落在同一张平面上证明设`是过P点的抛物面S的一条切线它的方向向:量为Vu;v;w则切点可表成QP+tVa+tu;b+tv;C+tw其中t是二次方程2(C+twa+tu2+b+tv2也就是u2+v2t2+2(au+bv-wt+a2+b2-0的唯重根(5分)这时au+bv-w2u2+v2a2+b2-(10分)于是切点QX;Y;Za+tu;b+tv;C+tw满足aX+bY-Za2+b2-C+tau+bv-wC:(15(15分)于是所有切点Q落在平面ax+by-zC上第2页共6页二(本题15分)设实二次型fx1x2x3x4xTAx其中a0a;b;C;d;e;f;g;h;k皆为实数已知λ12是A的一个几何重数为3的特征值试回答以下问题(i)A能否相似于对角矩阵若能请给出证明若不能请给出例子(ii)当a02时试求fx1x2x3x4在正交变换下的标准型证明(i)由于tr(A是A的特征值之和得λ1的代数重数也是3而A的另个特征值λ20且λ20的代数重数为1结果A有四个线性无关的特征向量故A可对角化(5分)(ii)由于λ12的重数为3故有-f=-2得d0e-2f2g=0h=2k=2-f=-2得d0e-2f2g=0h=2k=2-2得g0h-2k-2于是(10分)注意到fx1x2x3x4xTAxxTBx其中B的特征值为λ12二重),λ21+2p3(一重),λ31-2p3(一重)故fx1x2x3x4在正交变换下的标准型为2y+2y+(1+2p3y+(1-2p3y(15分第3页共6页性无特设nb个线证明W是实数域R上的向量空间且I;A;An-1为其一组基其中I为n阶单位阵证明证明(1)A有n个线性无关的特征向量故A可对角化设λ0是A的一个特征值考察A—λ0I它有一个n—1阶子式不为0,结果rankA—λ0In—1故λ0的重数为1从而A有n个各不相同的特征值λ1λ2λ(2)丫X1X2∈W丫μ∈R显见X1+μX2∈W故W为R上的向量空间让P-1于是方程故若故若记则则W与V有线性同构σX→P-1XP从而dimVdimW注意到故dimVdimWn(3)显然I;A;An-1∈W下证I;A;An-1线性无关事实上若x0I+x1A+...+x1An-10则得x0+x1λ1+...+x1λ1n-10.........x0+x1λ+...+x1λn-10其系数行列式为范德蒙行列式由λ1λ2λ各不相同故I;A;An-1线性无关即I;A;An-1为其一组基证毕(15分)第4页共6页四(本题15分)设fx;y为a;b℄×R上关于y单调下降的二元函数设yyx和zzx是可微函数且满足yfx;yz≤fx;zx∈a;b℄已知za≤ya求证zx≤yxx∈a;b℄证明用反证法设存在x0∈a;b℄使得zx0>yx0令M{x∈故存在开区间α;βCM满足℄jzx>yx}则故存在开区间α;βCM满足yαzαzx>yxx∈α;β这推出zx-yx单调不增故zx-yx≤za-ya0矛盾(15分)第5页共6页五本题20分设fx是[0+∞上非负可导函数f(0)0fx≤假设R0+fxdx收敛求证对任意α>1R0+fxdx也收敛并且+f证明令tβt(5分)00gt(fxdx)-Zftβt(5分)00则gt可导且tβ-1g"(0f(x)dx)-fα-1tβ-1令(10(10分)则有则有(15分)由于β>1fx≤我们有ht>0这说明ht单调递增(15分)从h(0)0得ht>0因而gt>0再从g(0)0可得g(t)>0即tfx)dx≤(0tfxdx)令t→+∞即得所证β(20分)第6页共6页六(本题20分)对多项式fx记df表示其最大和最小实根之间的距离设n≥2为自然数求最大实数C使得对任意所有根都是实数的n次多项式fx不妨fx的最小实根为0最大实根为a设fxx—x1x—x2...x—x0x1≤x2...x1≤xa:先证以下引理若存在2≤k;m≤n—1使得xk<x令xk<x≤x<x满足xk+xx+x令f1xx—xx—x...x—xxxiik;m:则有df≤df(5分)证明注意到fxf1x—Fx其中设α和β分别为fx的最大和最小实根则有f1α≤0f1β—1)≤0由罗尔定理α≥xβ≤xk并且则fαf1α≥0故fα≤0这表明fx0的最大实根大于或等于α同理fx0最小实根小