第5届全国大学生数学竞赛预赛数学类答案

姓名:准考证号:所在院校:姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:,,一、(本题15分)平面R2上两个半径为r的圆C1和C2外切于P点.将圆C2沿C1的圆周(无滑动)滚动一周,这时,C2上的P点也随C2的运动而运动.记Γ为P点的运动轨迹曲线,称为心脏线.现设C为以P的初始位置(切点)为圆心的圆,其半径为R.记√:R2∪{∞}→R2∪{∞}为圆C的反演变换,它将Q∈R2\{P}证明以C1的圆心O为原点建立直角坐标系,使得初始切点P=(0,r).将圆·证明以C1的圆心O为原点建立直角坐标系,使得初始切点P=(0,r).将圆C2沿C1的圆周(无滑动)滚动到Q点,记角\POQ=θ,则Q=(rsinθ,rcosθ).令lQ为C1在Q点的切线,它的单位法向为n→=(sinθ,cosθ).这时,P点运动到P密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,关于直线lQ的对称点P,=P(θ)处.于是,有-,=O+P,=O2(Q·n)故故P点的运动轨迹曲线(心脏线)为容易得到,圆C的反演变换的坐标表示为(11分)将(x,y)=P(θ)代人,得到,(13分)直接计算,得到抛物线方程(15分)直接计算,得到抛物线方程,二、(本题10分)设n阶方阵B(t)和n×1矩阵b(t)分别为B(t)=(bij(t))ijd(t)为B(t)的行列式,di(t)为用b(t)替代B(t)的第i列后所得的n阶矩阵的行列式.若d(t)有实根t0使得B(t0)X=b(t0)成为关于X的相容线性方程组,试证明:dn(t)必有次数>1的公因式.证明设B(t)的第i列为Bi(t),i=1,2,···,n.断言:t—t0是d(t),d1(t),···,dn(t)秩[B(t0),b(t0)]=n,因为d1(t0)0.(5分)注意到秩B(t0)≤n—1,结果增广阵[B(t0),b(t0)]的秩B(t0)的秩,(9分)从而B(t0)X=b(t0)不相容.矛盾.证毕.(10分)六、(本题25分)设Rn×n为n阶实方阵全体,Eij为(i,j)位置元素为1其余位置元素为0的n阶方阵,i,j=1,2,···,n.让Γr为秩等于r的实n阶方阵全体,r=0,1,2,···,n,并让φ:Rn×n→Rn×n为可乘映照,即满足:φ(AB)=φ(A)φ(B),∀A,B∈Rn×n.试证明:(1)∀A,B∈Γr,秩φ(A)=秩φ(B).(2)若φ(0)=0,且存在某个秩为1的矩阵W使得φ(W)0,则必存在可逆方阵R使得φ(Eij)=REijR-1对一切Eij皆成立,i,j=1,2,···,n.证明:(1)A,B∈Γr表明A可表为A=PBQ,其中P,Q可逆.(1分)结果φ(A)=φ(P)φ(B)φ(Q),从而秩φ(A)≤秩φ(B).(3分)对称地有秩φ(B)≤秩φ(A).即有,秩φ(A)=φ(B).(5分)(2)考察矩阵集合{φ(Eij)|i,j=1,2,··(2)考察矩阵集合{φ(Eij)|i,j=1,2,···,n}.先考察φ(E11),···,φ(Enn).由(1)知φ(Eij)为非零阵,特别地,φ(Eii)为非零幂等阵,故存在单位特征向量wi使得此向量组有如下性质:wn线性无关,从而构成Rn的基,矩阵W=[w1,w2,···,wn]为可逆阵.事实上,若x1w1+···+xnwn=0,则在两边用φ(Eii)作用之,得xi=0,i=1,2,···,n.(11分)c)当kj时,φ(Eij)wk=φ(Eij)φ(Ekk)wk=φ(EijEkk)wk=0;当k=j时,令φ(Eij)wk=b1jw1+···+bijwi+···+bnjwn.两边分别用第2页(共5页)φ(E11),···,φ(Ei-1i-1),φ(Ei+1i+1),···,φ(Enn)作用之,得,0=φ(E11Eij)wj=φ(E11)φ(Eij)wk=b1jw1,···,,0=φ(EnnEij)wj=φ(Enn)(b1jw1+···+bijwi+···+bnjwn)=bnjwn,姓名:准考证号姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:1j=···=bi-1j=bi+1j=···=bnj=0.从而φ(Eij)wj=bijwi,进一步,bij0,否则有φ(Eij)[w1,···,wn]=0,导致φ(Eij)为零阵,零阵,不可能.(15分)这样通过计算φ(Eij)wji,j=1,2,···,n,我们得到n2个非零的实数:1n..nnn1密封线密封线答题时不要超过此线注意到EmrErs=Ems,从而wm=φ(Ems)ws=φ(Emr)φ(Ers)ws=φ(Emr)brswr=brsbmrwm因此有bmrbrs=bms.(17分)最后,令vi=bi1wi,i=1,2,···,n.则有bj1wj=bj1bijwi=bi1wi=vi,,,φ(φ(Eij)R=φ(Eij)[v1,···,vn]=[0,···,0,vi,0···,0]=[v1,···,vn]Eij即,φ(Eij)=REijR-1.证毕.(25分),第3页(共5页)第4页(共5页)三、(本题15分)设f(x)在区间[0,a]上有二阶连续导数,fI(0)=1,fII(0)0,且0<f(x)<x,x∈(0,a).令xn+1=f(xn),x1∈(0,a).(1)求证{xn}收敛并求极限;(2)试问{nxn}是否收敛?若不收敛,则说明理由.若收敛,则求其极限.证明(1)由条件0<x2=f(x1)<x1,归纳地可证得0<xn+1<xn,于是{xn}有极限,设为x0.由f的连续性,及xn+1=f(xn)得x0=f(x0).又因为当x>0时,(2)由Stolz定理和L’Hospital法则,f(x)>x,所以只有x0=0.即,xn(2)由Stolz定理和L’Hospital法则,四、(本题15分)设a>1,函数f:(0,+∞)→(0,+∞)可微.求证存在趋于无穷的正数列{xn}使得fI(xn)<f(axn),n=1,2,···.证明若结论不对,则存在x0>0使得当x>x0时,有fI(x)>f(ax)>0.(5分)于是当于是当x>x0时,f(x)严格递增,且由微分中值定理f(ax)—f(x)=fI(ξ)(a—1)x>f(aξ)(a—1)x>f(ax)(a—1)x.但这对于x>-是不能成立的.(10分),g(tx+(1t)y)≤tg(x)+(1t)g(y).,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:证明由于f为偶函数,可得(2分),,密封线密