第6届全国大学生数学竞赛决赛数学类三四年级答案

第六届中国大学生数学竞赛决赛三、四年级试卷,,姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:题号一二三四五总分满分得分注意:1.前5大题是必答题,再从6–11大题中任选两题,题号要填如上面的表中.2.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效.3.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.,4.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线一、(本题20分)填空题(每小题5(1)实二次型2x1x2—x1x3+5x2x3的规范型=z+z—z.级数的和=.(3)计算第一型曲面积分的值,(4)A=(aij)为n阶实对称矩阵(n>1),rank(A)=n—1,A的每行元素之和均为0.设2,3,...,n为A的全部非零特征值"用A11表示A的元素a11所对应的代数余子式.则有A11=(n—1)!.,(4)解:1)秩A=n—1)秩A*=1且Ax=0的解空间维数为1.2)注意到AA*=0,从而A*的每一列均形如又由于A为实对称矩阵,,故A*也为实对称矩阵"故A*=.,第1页(共11页)3)考虑特征多项式其一次项系数为(—1)n-1n!.另一方面,由f(λ)=jλI—Aj又知,其一次项系数为(—1)n-1(A11+···Ann).结果a=(n—1)!.二、二、(本题15分)设空间中定点P到一定直线l的距离为p.一族球面中的每个球面都过点P,且截直线l得到的弦长都是定值a.求该球面族的球心的轨迹.解:以l为z轴,以过点P且垂直于z轴的直线为x轴来建立直角坐标系"可设设P:(p,0,0),l的参数方程l:x=0,y=0,z=t.设球面C的球心为(x0,y0,z0),由求l与C的交点:将l的参数方程代入C,即由此得到两个解为t1,2=z0士√故弦长由此得到两个解为反之,如果球面C的球心满足(2),如果C过点P,此时二次方程(1)的判别式方程有两个实根从而C和l相交,而且截出来弦长为a.第2页(共11页)故所求的轨迹为,,姓名:姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:三、证明题,其中C表复数域"试证明:明:8A∈Γ,A的Jordan标准形JA仍然属于Γ;进一步还存在可逆的矩阵P∈Γ使得P-1AP=JA.证明:对A=其特征方程为jz2,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线jz2情形1.△=0.此时,z2=0,z1=Rez1,从而A==JA∈取P=I即情形2.△<0.此时A的特征值为,,现取A关于λ1的一个非0特征向量则有直接检验知因此为A关于λ1的一个非0特征,向量"令P=,则有P可逆,且P∈P-1AP=JA.................15分,第3页(共11页)四、(本题20分)设求最大常数Q满足,取,取xn=-1,yn=→→∞.分分下证由于f(x)为偶函数ß不妨设0≤x<y.令z=sup{u≤y|f(u)=f(x)},五、(本题10分)设a(t),f(t)为实连续函数ß∀t∈R有f(t)>0,a(t)>1.f(t)dt=+∞.已知C2函数x(t)满足x,,(t)+a(t)f(x(t))≤0,∀t∈R.求证:x(t)在[0,+∞)有上界.证明:由xII(t)≤-a(t)f(x(t))<0,第4页(共11页)故limt→∞xI(t)存在或为-∞.,若limt→∞x(t)=+∞,则xI(t)>0,limt→∞x(t)=+∞......................4分,故姓名:准考证号姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:xI(t)f(x(t))≤a(t)xI(t)f(x(t))≤-xI(t)xII(t),积分得令t→∞得,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线六、(本题10分)设a,b是两个不同的复数.求满足方程(fI(z))2=(f(z)-a)(f(z)-b)(1)的非常数整函数f(z).,由此可知fI-f是无零点的整函数.可设,fI-f+(3),,第5页(共11页)对(5)求导得/+1)(eαα+1)=0,α+1=0或者Q/+1=0.—1=0,则由(5)得到f=b是一个常数.同理,若eα+1=0,则f=a也是一个常数.若Q/+1=0,则Q(z)=—z+c,其中c是任意常数.再由(5)可得七、(本题10分)设f(x)是R1上的Lipschitz函数,Lipschitz常数为K,则对任意的可测集ECR1,均有m(f(E))≤K·m(E).证明:(方法1)1)在题设的条件下,对任何可测集E,有m*(f(E))≤K·m(E).(1)若E为区间,由f的连续性知:f(E)是区间.又f(x)是Lipschitz函数,(2)若E为开集,由开集的构造知,其中互不相交.第6页(共11页)由(2)及f(G)Df(E)知:,m*(f(E))≤m*(f(G))≤K·m(G)=K·m(E∪(G—E))≤K·m(E)+K·m(G—E),姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:<K·m(姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:E可测⇒型集A=1Fn,Fn闭集,E可测⇒型集A=1Fn,Fn闭集,ACE,m由1)知:m*(f(E—A))≤K·m(E—A)=0,即由1)知:m*(f(E—A))≤K·m(E—A)=0,即m(f(E—A))=0.密封线答题时不要超过此线,而f(E—A)Df(E)—f(A),从而m(f(E)—f(A))=0,故f(E)可测.密封线答题时不要超过此线,综合1)2)可得:对任何可测集E,有f(E)可测且m(f(E))=m*(f(E))≤K·m(E).(方法2)i)若f(x)为R1上的绝对连续函数,ACR1,m(A)=0,则m(f(A))=0.f∈AC(R1)⇒∀ε>0,∃δ>0,对任意至多可数个互不相交的开区间令G=U(ck,dk),mk=minf(x)=f(Qk),Mk=maxf(x)=f(βk).k>1x∈[ck,dk]x∈[ck,dk],,又*f(G)Df(A),:m*f(A)<ε,由ε的任意性知m*f(A)=0............4分ii)若f(x)为R1上的绝对连续函数,A可测,则f(A)可测.A可测⇒∃Fσ—型集B=UFn,Fn闭,BCA,m(A—B)=0⇒的连续性知f(Fn)闭,f(B)是Fσ—型集,f(B)Cf(A).由i)知:mf(A—B)=0.又*f(A—B)Df(A)—f(B),:m(f(A)—f(B))=0,故f(A)可测.......6分,iii)不妨设E测度有限。f是R1上的Lipschitz函数⇒f(x)为R1上的绝对连续函数⇒f,(x)在R1上几乎处处存在且|f,(x)|≤K,f,在E上是L—可积,即,第7页(共11页)1,m(Z)=0,f,(x)存在且|f,(x)|≤K,∀x∈E−Z.由i)知:mf(Z)=0.于是m(f(E))≤m(f(E−Z))+m(f(Z))=m(f(E−Z))≤|f,(x)|dm≤Kdm≤K·m(E).注:上式的第二个不等式的证明.若f(x)在R1上绝对连续ßf,在A上存在积分,,|dm.证明:(1)对任何区间I,,|dm.令maxf(x)=f(b),minf(x)=f(a),a,b∈I,x∈Ix∈I,b)|f,,,由ε的任意性得:,|dm.八、(本题10分)设三维空间的曲面S满足:(1)P0=(0,0,−1)∈S;(2)对任意P∈Sß≤1ß其中O是原点.证明:曲面S在P0的Gauss曲率K(P0)≥1"证明:在P0附近取曲率线坐标(u,v)ß曲面的参数方程设为r(u,v)"不妨设r(0,0)=P0"用E,F,G;L,M,N分别表示曲面r(u,v)的第一基本型、第二基本令f(u,v)=〈r(u,v),r(u,v)〉ß则f(u,v)在(0,0)点取极大值1"于是第8页(共11页)又由于,fuu(0,0)=2(E(0,0)+L(0,0)),fuv(0,0)=0,fvv(0,0)=2(G(0,0)+N(0,0))姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:根据f(u,v)在(0,0)取极大值,fuu(0)≤0,fvv姓名:准考证号:所在院校:考生座位号:专业:0<E(0,0)≤-L(0,0),0<G(0,0)≤-N(0,0),九、(本题10分)考虑求解线性方程组Ax=b的如下迭代格式,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线(QD-C)x(k+1)=((Q-1)D+CT)x(k)+b,其中D为实对称正定方阵,C是满足C+CT=D-A的实方阵,Q为实数。若A是实对称正定方阵,且QD-C可逆,Q>1/2。证明:上述迭代格式对任何初始向量x(0)收敛。证明:令G=(QD-C)-1((Q-1)D+CT),λ为G的特征值,x是对应的特征向量,y=(I-G)x。则(QD-C)y=(QD-C)x-((Q-1)D+CT)x,=(D-C-CT)x=Ax.(QD-D+CT)y=(QD-C-A)y=(QD-C-A)x-(QD-C-A)Gx=(QD-C-A)x-((Q-1)D+CT)x+AGx=AGx=λAx.以上两个方程两遍分别与y做内积得,,第9页(共11页)以上两式相加得由于由于Q>1/2,〈Dy,y〉≥0,〈Ax,x〉>0,则必有jλj≤1,若jλj=1,则y=0,从而Ax=(QD-C)y=0,进而x=0,矛盾。因此jλj<1,即ρ(G)<1。故迭代收敛。十、(本题10分)设R为[0,1]上的连续函数环,其加法为普通的函数加法,乘法为普通的函数乘法。I为R的一个极大左理想。证明:8f,g∈I,f与g在[0,1]上必有公共的零点。证明:若f,g在[0,1]上无公共零点,则连续函数jfj2+jgj2在[0,1]上恒大于0.结果1jfj2+jgj2结果1jfj2+jgj2注意到I为左理想,f∈I,f∈R,从而jfj2=ff∈I,同样jgj2∈I,故十一、(本题10分)设在国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量X(单位:吨)是随机变量,X服从[100,200]上的均匀分布.每出售这种商品一吨,可以为国家挣得外汇3万元;若销售不出而囤积于仓库,则每吨需要花费保养费用1万元.求:应组织多少货源,才能使国家的收益最大?解设需要组