第7届全国大学生数学竞赛决赛数学类三、四年级答案

1第七届全国大学生数学竞赛决赛三、四年级试题解答(数学类,2016年3月福州)一、(本题20分)填空题(每小题5分)(4)(1,0,1),或(-1,0,-1),或(1,t,-1),或(-1,t,1),t∈R.二、(本题15分)由于形如αx+βy+γ=0的平面与S只能交于直线或空集,所以可以设平面σ的方程为z=αx+βy+γ,它与S的交线为圆.令x=cosθ,y=sinθ,则σ与S的交线可表示为由于Γ(θ)是一个圆,所以它到一个定点P(a,b,c)的距离为常数R.于是有恒等式利用我们可以将上式写成Acos2θ+Bsin2θ+Ccosθ+Dsinθ+E=0,其中A,B,C,D,E为常数.由于这样的方程对所有θ∈[0,2π]恒成立,所以A=B=C=D=E=0.特别地,我们得到2于是得到Q=0,β=士1,平面σ的法向量为的非零倍数.三、(本题15分)证明存在可逆方阵T,使得T-1AT=为对角阵.令T-1BT=,则为实对称方阵,且tr((AB)2)=tr(()2),tr(A2B2)=tr(22).令=diag(a11,···,ann),=(bij)n×n.则于是四、(本题20分)先证:当0<x<时,有证明设Γ的圆心为O,Qi=7BiOBi+1,Bn+1=B1,则P先证:当0<x<时,有3故g(x)严格单调递增,因而g(x)>g(0)=0.(1)式得证.五、(本题10分)证明首先,令G1=(u1),G2=(v1),G3=(u2),G4=(v2),244},则T、H均为G的阿贝尔子群.进一步,由(8,13)=1可知2={e},G3∩G4={e}.结果,T=G1G2为内直积分解,H=G3G4为内直积分解.其次,分别计算u1v1与u2v2的阶.若(u1v1)x=e,则uv=e,由T=G1G2为内直积分解得u=v=e,从1v1)=8×13,即有T=(u1v1).同理知:o(u2v2)=8×13,即有H=(u2v2).注意到u1v1=u2v2,故T=H.第三,u242.第四,再次考虑到u1v1=u2v2以及T=G1G2为内直积分解,因此有u1=u2,v1=v2.最后,直接计算可知,u1u2的阶为4,v1v2的阶为13.六、(本题10分)证明令E1=E—Q,其中Q是有理数集,则E1无内点,且m(E1)=m(E).(i)存在闭集E2CE1,使得a<m(E2)<m(E1)=m(E).对m(E1)>a+q>a的正实数q,由测度的连续性知,存在ACE1,使得m(A)=a+q.由可测集的定义,对,存在闭集E2CA,使得m(A—E2),于是m(E2)=m(A)—m(A—E2)>a+q—=a>a.又m(E2)≤m(A)=a+q<m(E1),即a<m(E2)<m(E1)=m(E).(ii)令f(x)=m(E2∩[—x,x]),x∈R,可证f(x)是连续单增函数,且f(0)=0,limf(x)=m(E2)>a.x→+∞由连续函数的介值定理知:存在r>0,使得f(r)=m(E2∩[—r,r])=a.令F=E2∩[—r,r],则F为无内点的有界闭集,且FCE,m(F)=a.七、(本题10分)23为曲线√的Frenet标架:2.则有其中τ为曲线√的挠率.设β=e2:[0,l]→S2,为球面上的简单闭曲线,它的弧长参数为.于是有5球面在β(s)点的单位法向量为~β,曲线β(s)的切向量为=—曲线β(s)在球面上的法向量e2为于是,曲线β在球面上的测地曲率故有其中用到闭曲线性质:k(0)=k(l),τ(0)=τ(l).由于B为简单闭曲线,它围成球面一个单连通区域D.由Gauss-Bonett定对球面而言,Gauss曲率K=1,故区域D的面积jDj=2π,为球面面积的一半.八、(本题10分)解1.令q(x)=x3—p(x).我们证明q(x)具有形式:q(x)=xJ2(x),其中J(x)为一次多项式.首先说明q(x)的根都为实数.实际上q(x)必有一实根α1,若另两个为一对共轭复根,则q(x)具有形式:q(x)=(x—α1)(x2+ax+4b<0.由于q(x)>0,α1≤0,q(x)>x(x+a/2)2,q(x)dx> x(x+a/2)2dx.这与jjq(x)jj1达到最小矛盾!因此,q(x)的三个根都为实数,设为α1,α2,α3.6若q(x)的三个根互不相等,则αi≤0,q(x)dx>x3dx>x(x-1/2)2dx,矛盾!因此q(x)有两个根相等,设α2=α3.故q(x)=(x-α1)(x-2)2,并且α1=0时q(x)dx会更小.由于q(x)dx2-x时,jjx3-p(x)jj1最小.2.令q(x)=x4-p(x).类似于1的分析,q(x)的根都为实数,且都为重根,即q(x)=J2(x),J(x)为二次多项式.设J(x)=x2+ax+b,则f(a,b):= 解得a=-1,b=.九、(本题10分)所以是一个将D映入D,将0映到0的解析函数,根据Schwarz引理,有两边平方得,jf(z)j2≤jzj2(4-4Ref(z)+jf(z)j2),即,(1-jzj2)jf(z)j2≤4jzj2(1-Ref(z)).7由于(Ref(z))2≤jf(z)j2,从上式可得十、(本题10分)解用An表示事件“经n次试验后,黑球出现在甲袋中”,A-n表示事件“经n次试验后,黑球出现在乙袋中”,Cn表示事件“第n次从黑球所在的袋中取出一个白球”.记pn=P(A