2025年山东省淄博七中高考数学适应性试卷（二）

第1页（共1页）2025年山东省淄博七中高考数学适应性试卷（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合，集合，则A．， B． C．，2，3， D．，3，2．（5分）若复数满足是虚数单位），则等于A． B． C． D．3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为A． B． C． D．4．（5分）双曲线的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．5．（5分）利民工厂的某产品，年产量在至之间，年生产的总成本（万元）与年产量之间的关系近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为A．160 B．180 C．200 D．2406．（5分）已知等比数列的各项均为正数，且，则A．6 B．9 C．27 D．817．（5分）四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为A．5 B．6 C．8 D．98．（5分）已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题中，真命题的是A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120（多选）10．（6分）若函数有极值，则的可能取值为A．8 B．9 C．10 D．11（多选）11．（6分）已知直线及圆，则A．直线过定点 B．直线截圆所得弦长最小值为2 C．存在，使得直线与圆相切 D．存在，使得圆关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知数列的前项和为，满足，，则．13．（5分）的展开式中的系数为．（用数字作答）14．（5分）如图，直线在平面内，点在平面外，直线与的夹角为，直线与平面所成的角为交．若平面与平面所成角的大小为，且，则的值为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知数列的首项且满足．（1）证明：是等比数列；（2）数列满足，，记，求数列的前项和．16．如图所示，在三棱柱中，△为边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的正弦值．17．将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示．表1102030405050657095120（1）已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程；（2）为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在，，，，，的消费者分别有1，2，3轮次的抽奖机会．已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望．表2消费金额，，，，，，人数622253584表3“幸运顾客”卡片数32其他情况奖励金额（单位：元）30200参考公式：对于一组数据，，，，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．18．已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行．（1）求实数的值；（2）若对于任意，，恒成立，求实数的取值范围．19．设，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，△的面积为，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程．（2）如图，，，是椭圆上不重合的三点，原点是△的重心．当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；求点到直线的距离的最大值．

2025年山东省淄博七中高考数学适应性试卷（二）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DCDBCACA二．多选题（共3小题）题号91011答案ABABABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合，集合，则A．， B． C．，2，3， D．，3，【答案】【分析】先求出集合，，再利用集合的基本运算求解．【解答】解：集合，集合，所以，3，．故选：．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．2．（5分）若复数满足是虚数单位），则等于A． B． C． D．【答案】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模长公式可求出结果．【解答】解：由，得，所以．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3．（5分）已知，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知条件，推得，再结合的取值范围，即可求解．【解答】解：设与的夹角为，，，向量在向量上的投影向量与向量方向相反，，解得，．故选：．【点评】本题主要考查投影向量的应用，属于基础题．4．（5分）双曲线的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且在线段上，若，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，进而由中位线定理得，在结合双曲线的定义得，，，最后在中，结合勾股定理得，进而得答案．【解答】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接，因为过点的直线与圆相切于点，，所以，，所以，因为线段的中点为，为线段的中点，所以，所以，由双曲线的定义得，所以，所以，所以，在中，，即，所以，离心率为．故选：．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．5．（5分）利民工厂的某产品，年产量在至之间，年生产的总成本（万元）与年产量之间的关系近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为A．160 B．180 C．200 D．240【答案】【分析】利用总成本除以年产量表示出平均成本，利用基本不等式求出平均成本的最小值．【解答】解：（1）依题意，每吨平均成本为（万元），则当且仅当，即时取等号，又，所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低．故选：．【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．6．（5分）已知等比数列的各项均为正数，且，则A．6 B．9 C．27 D．81【答案】【分析】利用对数的运算性质及等差数列的性质求解即可求得答案．【解答】解：由题意可得，故选：．【点评】本题考查等比数列的性质，对数运算法则，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．7．（5分）四棱锥中，，，，则三棱锥的体积为A．5 B．6 C．8 D．9【答案】【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出△的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可．【解答】解：设平面的法向量为，则，，则，则点到平面的距离为，又，，则点到直线的距离为，则，故三棱锥的体积为．故选：．【点评】本题考查了平面法向量的定义及求法，用向量求点的平面距离的公式，三棱锥的体积公式，是中档题．8．（5分）已知函数，若方程在区间上有且仅有2个不等的实根，，则的取值范围为A． B． C． D．【答案】【分析】先化简的解析式，作出的图象，结合余弦函数的对称性即可求解．【解答】解：因为，当时，，，当时，，，作出函数在区间上的图象如图所示，结合图象可得，当时，方程在上有且仅有2个不等的实根，，且，所以的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换及三角函数对称性的应用，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列命题中，真命题的是A．中位数就是第50百分位数 B．已知随机变量，若，则 C．已知随机变量，满足，若，，则， D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为120【答案】【分析】对于，利用中位数的概念即可判断；对于，利用二项分布的方差公式，结合数学期望与方差的性质求解即可判断；对选项，利用分层抽样样本方差的计算公式计算即可判断．【解答】解：对于选项，中位数就是第50百分位数，选项正确．对于选项，已知随机变量，根据二项分布的方差公式（其中是试验次数，是每次试验成功的概率），可得．又因为、为常数），那么．已知，即，解得，选项正确．对于选项，已知随机变量，满足，根据期望的性质、为常数），可得．因为，所以．再根据方差的性质、为常数），可得．因为，所以，选项错误．对于选项，设男生样本为，，，，平均数为，方差为；女生样本为，，，，平均数为，方差为．总体样本平均数．，所以选项错误．故选：．【点评】本题主要考查概率的求解，属于中档题．（多选）10．（6分）若函数有极值，则的可能取值为A．8 B．9 C．10 D．11【答案】【分析】将问题转化为导函数有零点，利用二次函数的性质分析求解即可．【解答】解：函数，则，因为函数有极值，所以有零点，所以△，解得，结合选项可知，的可能取值为8，9．故选：．【点评】本题考查了利用导数研究函数极值的应用，函数零点的理解与应用，二次函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题．（多选）11．（6分）已知直线及圆，则A．直线过定点 B．直线截圆所得弦长最小值为2 C．存在，使得直线与圆相切 D．存在，使得圆关于直线对称【答案】【分析】利用直线系方程求解直线经过定点，判断；求解直线截圆所得弦长最小值，判断；利用圆的圆心到直线的距离等于半径，求解，判断；通过直线经过圆的圆心，判断即可．【解答】解：直线，可得，可得直线经过定点，所以正确；圆，圆的圆心，半径为，圆的圆心到定点的距离为：，所以直线截圆所得弦长最小值为：，所以正确；因为圆的圆心到定点的距离为：（半径），所以直线与圆的的位置关系是相交，不存在，使得直线与圆相切，所以不正确；当直线经过圆的圆心时，存在，使得圆关于直线对称，所以正确．故选：．【点评】本题考查直线方程的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知数列的前项和为，满足，，则．【答案】．【分析】先将代入题干表达式，两边同时乘以，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算出数列的通项公式即可计算出数列的通项公式，从而计算出的值．【解答】解：由题意，当时，，由，可得，两边同时乘以，可得，化简整理，得，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，，，．故答案为：．【点评】本题主要考查数列根据递推公式推导出通项公式，并计算某项的值．考查了整体思想，转化与化归思想，等差数列的判别，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．13．（5分）的展开式中的系数为．（用数字作答）【答案】．【分析】直接利用二项式的展开式，组合数的应用求出结果．【解答】解：的展开式的通项公式为：，1，2，3，4，，所以的展开式中的系数为：．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．14．（5分）如图，直线在平面内，点在平面外，直线与的夹角为，直线与平面所成的角为交．若平面与平面所成角的大小为，且，则的值为．【答案】．【分析】过点作，且交于点，过点作，且交于，在三角形中，可得，中可得，进一步计算即可．【解答】解：过点作，且交于点，过点作，且交于，则直线与平面所成的角为，所以，不妨设，易得，则，又平面与平面所成角为，，则，则，中，，代入，可求得，故答案为：．【点评】本题考查线面角的求法及直线与直线所成的角的求法，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．已知数列的首项且满足．（1）证明：是等比数列；（2）数列满足，，记，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【分析】（1）先将递推公式两边同时乘以，再两边同时加2，进一步推导即可发现数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而证得结论成立；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，再根据数列的递推公式的特点运用累乘法推导出通项公式，即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．【解答】（1）证明：依题意，由两边同时乘以，可得，即，两边同时加2，可得，，数列是首项为3，公比为3的等比数列．（2）解：由（1），可得，则，，又由，可得，则，，，，当时，，当时，也满足上式，，，，，①，②①②，可得，．【点评】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，累乘法，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．16．如图所示，在三棱柱中，△为边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与所成角的正弦值．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明；（2）过作于，连，就是直线与平面所成的角，根据线面角定义求解即可．【解答】证明：（1）取中点，连，，则平面，，又，，平面，又，平面．解：（2），，，平面平面，平面平面，平面平面，过作于，平面，连，就是直线与平面所成的角，，，，，，故直线与平面所成的角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角，是中档题．17．将某新开业的创意甜品店的开业天数与利润（单位：千元）之间的相关数据统计如表1所示．表1102030405050657095120（1）已知与呈线性相关关系，求关于的经验回归方程；（2）为了庆祝甜品店开业两个月，店家在开业刚好两个月这天组织消费者参加消费返利抽奖游戏，游戏规则如下：在抽奖盒中放有5张卡片，其中2张写有“幸运顾客”，3张写有“不要泄气”，一轮次机会中参加游戏的消费者有放回地抽取3次，每次抽取1张卡片，每一轮次抽奖之后根据表3计算奖金，消费金额（单位：元）在，，，，，的消费者分别有1，2，3轮次的抽奖机会．已知这天顾客的消费情况以及每一轮次抽奖后具体的奖励情况如下，求这天返利总金额的数学期望．表2消费金额，，，，，，人数622253584表3“幸运顾客”卡片数32其他情况奖励金额（单位：元）30200参考公式：对于一组数据，，，，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）；（2）1413.12元．【分析】（1）先计算出样本的平均值，再根据线性回归方程的系数的计算公式求出回归方程的系数；（2）先确定奖励金额的取值，再分别求出对应的概率，由此求出期望，再计算返利总金额的数学期望．【解答】解：（1）由题意可得，则，，则，，故关于的线性回归方程为；（2）设表示参加一轮次抽奖所获得的奖励金额，则的可能取值为0，20，30，因为抽取一张卡片，抽到“幸运顾客”卡片的过两年为，所以，，，所以元，则元．【点评】本题考查了线性回归方程以及数学期望的求解，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．18．已知函数，曲线在点，（1）处的切线与轴平行．（1）求实数的值；（2）若对于任意，，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）求得，得到（1），根据题意列出方程，即可求解；（2）由（1）知，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与，即可求解．【解答】解：（1）因为函数，可得，所以（1