集合和常用逻辑用语（讲义）学生版-2025年高考数学二轮复习专项提升

专题01集合和常用逻辑用语

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧...........................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲题型突破............................................................7

题型一：集合的基本概念7

题型二：集合间的基本关系8

题型三：集合的运算9

题型四：充分条件与必要条件10

题型五：全称量词与存在量词11

重难点突破：以集合为载体的创新题13

差情;奏汨•日标旦祐

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分

值5分.近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能

力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练.

考点要求目标要求考题统计考情分析

理解集合，掌握基

集合的基本概念2023年上海卷第13题，4分

本要素

预测2025年高考，多

以小题形式出现，也有可

2024年北京卷第1题，5分

能会将其渗透在解答题的

年甲卷（文）第题，分

202425表达之中，相对独立.具

熟练掌握集合的

2024年天津卷第1题，5分体估计为：

集合的运算并'交、补集运算

2023年I卷第1题，5分（1）以选择题或填空

方法

2022年I卷第1题，5分题形式出现，考查学生的

综合推理能力.

2021年I卷第1题，5分

（）热点是集合间的

2024年北京卷第5题，5分2

基本运算、数轴法的应用

2024年甲卷（理）第9题，5分

理解充分必要，掌和体现集合的语言工具作

2024年天津卷第2题，5分

充分条件与必要条件握逻辑判断，熟练

用.

2023年天津卷第2题，5分

应用题解

2022年天津卷第2题，5分

2021年甲卷第7题，5分

㈤3

1、集合中的逻辑关系(备注：全集为/)

(1)交集的运算性质.

ACtB=BC\A,XnBAC\BQB,AC\I=A,AdA=A,XCl0=0.

(2)并集的运算性质.

4UB=BU4XexUS,BU4UB,AU1=1,AV)A=A,XU0=X.

(3)补集的运算性质.

C/(CM)=X,C/0=/,C//=0,(CM)nX=0,Au(CM)Z.

补充性质：AClB=A^AUB=BoAUBoQBUC/4oAClC/B=0.

(4)结合律与分配律.

结合律：4U(BUC)=Q4UB)UC,4n(BClC)=G4ClB)ClC.

分配律：xn(BuC)=(Xn5)u(,4nC),xu(BnC)=(XuB)n(4uC).

(5)反演律(德摩根定律).

GQ4ns)=(CM)U(GB),C/(4uB)=(CM)n(JB).

即“交的补=补的并”，“并的补=补的交

2、由n(nGN*)个元素组成的集合4的子集个数

4的子集有2n个，非空子集有加―1个，真子集有小―1个，非空真子集有2n—2个.

3、容斥原理

Card^AUB)=Card(力)+Card(B)—Card(A05).

4、从集合与集合之间的关系上看

设4={x|p(x)},B={x|q(x)].

(1)若4UB,则p是q的充分条件(p=q),q是p的必要条件；若4家B,贝！Ip是q的充分不必要条件，q

是p的必要不充分条件，即p今q且q分p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=大”.

(2)若BU4贝Up是q的必要条件，q是p的充分条件;

(3)若H=B,贝3与q互为充要条件.

葡4

1.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知命题0：Vxe/?,|x+l|>l；命题q：Bx>0,x3=x,贝U

（）

A.〃和q都是真命题B.-ip和g都是真命题

C.p和->q都是真命题D.-ip和->q都是真命题

2.（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合。，集合中的元素是空间内的点集，任取

存在不全为0的实数41,也,%，使得%加1+%2记+%鬲=6.己知（1,0,0）e。，则（0,0,1）的充分条件

是（）

A.（0,0,0）enB.（-1,0,0）en

c.（0,1,0）enD.（o,o,-1）en

3.（2024年北京高考数学真题）设a,刃是向量，则“0+分4一孙=0"是咆=一另或五二钟的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量值=（x+1,久）,3=（久,2）,贝！J（）

A.“x=—3”是唱1萨的必要条件B.“X=-3”是传〃萨的必要条件

C."％=0”是“21户的充分条件D."X=—1+四”是％〃加的充分条件

5.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合4={1,2,3,4,5,9},B={x|VxeA},则以(力CB)=

)

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

6.（2024年天津高考数学真题）已知a,bCR,则"=吩，是岬=3"，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列5}的公差为三，集合S={cosan|neN*},若

S={a,b},则ab=()

A.11B.——C.0D.|

8.（2023年北京高考数学真题）若久尸0,则“x+y=0"是?+：=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCu

N=()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

10.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设甲：sin2(z+sin2/?=1,乙：sincr+cosy?=0,贝!|(

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

11.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设全集U=Z，集合

M={x\x=3/c+l,fc6Z},N={x\x=3fc+2,keZ),Cu(MUN)=()

A.{x\x—3k,kEZ}B.{x\x=3fc—l,keZ}

C.{x\x=3k—2,kEZ]D.0

12.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设集合U=R,集合M={R%<1},N=(x\-1<x<2},贝U

{x\x>2]=()

A.Cu(MuN)B.NUduM

C.Cu(MnN)D.MuCuN

13.(2023年新课标全国I卷数学真题)已知集合”={—2,—yv={%|%2-%-6>0},则MnN=

()

A.{—2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

14.(2023年新课标全国n卷数学真题)设集合/={0,—研，8={1#—2,2a—2},若则。=().

2

A.2B.1C.-D.-1

15.(2023年新课标全国I卷数学真题)记又为数列{斯}的前几项和，设甲：{斯}为等差数列；乙：{勺}为等差

数列，贝I()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

16.(2022年新高考全国H卷数学真题)已知集合4={-1,1,2,4},B=则力nB=()

A.{-1,2}B.[1,2}C.[1,4}D.{-1,4}

17.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)设全集U={1,2,3,4,5},集合“满足={1,3},则()

A.2EMB.3EMC.4?MD.5gM

㈤5

核心——币型字确

题型一：集合的基本概念

【典例1-1】（2024•广东•模拟预测）若皿€{1,3,4,爪2},则〃?可能取值的集合为（

A.{0,1,4}B.{0,3,4}C.{-1,0,3,4}D.{0,1,3,4}

【典例1-2][新考法]（2024•河南新乡•三模）下列集合中有无数个元素的是（）

A.[X&N\^&N]B.[X&Z\^EN]C.[x&N\^ez]D.[X€Q\^EN]

巧

集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和

无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异

性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。

【变式1-1]（2024•高三・江西赣州•期中）已知a、b&R,若={a?,。+b,0},贝心202。+炉。21的值为

（）

A.-1B.0C.1D.-1或0

【变式1-2]（2024•四川乐山*三模）已知集合4=（-1,0,1},B={1,2},C=（x\x=a+b,a&A,b6B},则集合C

的元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式1-3]（2024・四川绵阳•模拟预测）已知集合4=仇€^僧22叶，则集合4的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.无穷多个

[命题预测

1.|新考法]集合时={/0）/0）/'。）,...},则以下可以是f0）的表达式的是（）

A.sin%B.exC.InxD.x2+2x+3

2.已知集合{%|（%—。2）（%—1）=0}的元素之和为1,则实数4所有取值的集合为（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1）

3.已知集合4={1,2,3},8={3,5},则C={%|久=2a+瓦aCE8}中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知集合/={0,1,Q2},B={i,o,2a+3},若A=8,则。=（）

A.-1或3B.0C.3D.-3

题型二：集合间的基本关系

【典例2-1】（2024•河南•模拟预测）已知集合4={幻1<%<2},8={幻1<久<研，若BU4则实数a的取值

范围是（）

A.（2,+8）B.（1,2]C.（-oo,2]D.[2,+8）

【典例2-2】（2024,宁夏,模拟预测）设集合M={%|x=4n+l,n6Z},N={x|x=3n+l,n6Z},

P={x\x=12n+l,nGZJ,则（）

A.M^PB.N整P

C.MCNQPD.MnN=0

巧

（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的

关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法.

（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满

足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析.

【变式2-1]（2024•江西新余•模拟预测）已知集合A={%|久2—6%+8W0},B=（y[y>a],若A=贝！|a

的取值范围是（）.

A.（—oo,2）B.（—oo,4）C.（—oo,2]D.（—oo,4]

【变式2-2]（2024•四川成者B-模拟预测）若集合2={久€N|l<xW5},则集合/的真子集有（）个.

A.7B.15C.31D.63

【变式2-3]（2024・贵州遵义•模拟预测）已知集合4={0,1,2},B={1,2,3）,

若集合。={26^^*怙=47,比64且？68},贝UC的子集的个数为（）

A.8B.16C.32D.64

【变式2-4][新考法]（2024•江西新余•模拟预测）已知集合4B、C为全集U的子集，4nB=CuCH0,则

（AuB）nC=（）.

A.XU（BnC）B.（Cu4）n《uB）

c.[Cu（anB）]n（力uB）D.[Cu（xuB）]u（xnB）

命题预测

1.已知集合a=mtez},B=bgez},c=bgez},则（）

A.AnB^CB.B^）C=AC.C^AnBD.BnC^AnB

2.(多选题)c{l,2,3},(a,&)G{(x,y)ly=x+1},则29的值可以为()

A.2B.64C.256D.1024

3.(多选题)已知集合4=口,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足碍UB,则()

A.1GC,2eCB.集合C可以为{1,2}

C.集合C的个数为7D.集合C的个数为8

4.(多选题)若集合M和N关系的Venn图如图所示，则M,N可能是()

M

A.M={0,2,4,6},N={4}

B.M={x|x2<1},N={x\x>—1}

C.M={x\y-lgx},N={y\y=e"+5}

D.M={（%,y）|%2=y2},N==x}

题型三：集合的运算

【典例3・1】已知集合/={%|—1<%<0}4={%|log2（%2—%）<1},则AnB=（）

A.{%|—1<x<0}B.{x|—1<x<0}

C.{x|—1<x<0}D.{x|—1<x<0}

【典例3-2】（2024•广东广州•模拟预测）已知全集U=ZuB={%CN|04%W10}/n（CuB）={L357},则

8=（）

A.口,3,5,7}B.{24,6,8}C.{1,3,5,7,9}D.{0,2,4,6,8,9,10}

巧

凡是遇到集合的运算(并、交、补)问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、

并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.

【变式3-1](2024・高三•黑龙江佳木斯•期中)已知集合4={刈1<%<3},8={%|白>o},则4UB=

()

A.{%|2<%<3}B.{%|2<%<3}C.{x\x>1}D.{x\x>2}

【变式3-2](2024・高三・福建三明•期中)某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个

兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学

有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人.

【变式3-3](2024•江西九江•模拟预测)设0={36,7,8,9},若4nB={8},(Cu4)n8={6},(CyX)n(Cy

B)=[5,9},则集合4=.

I命题预测:]

1.(多选题)设U为全集，集合48,。满足条件4UB=HUC,那么下列各式中不一定成立的是()

A.BQAB.CQA

C.An(CuB)=4n(CuC)D.(Cy/1)nB=(C„X)nC

2.(多选题)己知集合4B均为R的子集，若力CB=0,贝U()

A.AcCRBB.CR4aB

C.AVJB=RD.(CRA)U(CRB)=R

3.已知集合A={久|4/—久一5〉0},B={x|x>zn},若m=0,贝!=；若AuB=R,则m

的取值范围为.

4.(2024•高三•重庆沙坪坝•开学考试)设集合M={x|—1Wx<2},集合N={x|*—kW0},若MCCR

N=0,贝冰的取值范围为.

题型四：充分条件与必要条件

【典例4-1](2024•高三・福建宁德•期中)对任意实数刀6(2,+8),“"刀+勺是“小4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例4-2]若“%>a”是匕2—2%—3V0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(-8,—1)B.(-8,—1]C.(—1,+oo)D.[—1,+00)

阿o巧

抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.

【变式4-1］（2024•吉林•模拟预测）已知y=「（x）是y=/（尤）的导函数，贝!=0”是"劭是函数y=f（x）

的一个极值点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式4-2］（2024・吉林长春•模拟预测）设a,b6R,则使a>b成立的一个充分不必要条件是（）

A.a?>b3B.lg（a-&）>0

C.a2>b2D.|a|>b

【变式4-3］（多选题）（2024•山东临沂・二模）已知a,beR,则使“a+6>1”成立的一个必要不充分条件

是（）

A.a2+b2>lB.\a\+|b|>1C.2a+26>1D.^+^->10

【变式4-4］已知集合A={%£yV*|l<x<3},B={x\ax2—（2+a）x+2=0},若"xeB"是"xGA”的充分不必

要条件，则实数a的所有取值组成的集合是.

命题预测

1.若不等式仅一3|Wa成立的一个充分不必要条件是-1则实数a的取值范围为.

2.“工<1”是42>i，，的（）

X

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（多选题）若XCR,则“2X2—3久—2<0”成立的充分不必要条件可以为（）

A.%e［—1,2）B.xe（0,1）

C.xG（0,2）D.xe（-1,1）

4.已知集合4={x|%2+7%+12W0},集合B=—2m<x<2m}其中xe4是无eB的充分不必要条件,

则m的取值范围是.

题型五：全称量词与存在量词

【典例5-1］（2024・湖北・一模）命题勺a>0户2+1<2”的否定为（）

A.3a>0,a2+1>2B.3a<0,a2+1>2

C.Va>0,a2+1>2D.Va<0,a2+1>2

【典例5-2][新考法](2024・吉林长春•模拟预测)已知定义域为R的函数/(均不是偶函数，则()

A.Vx6/?,/(-%)+/(%)0B.Vx6/?,/(-%)-/(%)o

C.3%0£-%o)+/(x0)*0D.3x0eR,f{-%0)-/(x0)*0

巧

(1)含有一个量词的命题的否定：先否定量词伊厂任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；

(2)清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；

(3)注意命题的否定与否命题的区别；

(4)当「p的真假不易判断时，可转化为去判断P的真假.

【变式5-1】已知命题，口％£[0,3],a=—久2+2%：命题q:V%W+。％一840.若。为假命题,q为真

命题，则实数。的取值范围为()

A.[—3,1]B.(—00,2]

C.[―7,—3)U(l,2]D.(-oo,-3)U(1,2]

2

【变式5-2]命题叼％e[lf2]fx+lnx-a<0”为假命题，则a的取值范围为()

A.(—8,1)B.(—oo,0)C.(—oojn2+2)D.(—oojn2+4)

【变式5-3](2024・高三・江苏连云港•开学考试)若命题叼％°eR,(m—1)就+(m-l)x0+1<0”是假命题,

则实数6的取值范围是.

【变式5-4](2024・高三•河北承德•开学考试)已知命题p:V%WR,铲,N1；命题q与久>l,ln%=—三一1)2,则

()

A.p和q都是真命题B.-«p和q都是真命题

C.p和-iq都是真命题D.-«p和-«q都是真命题

命题预测J

1.已知命题叼％e(1,+8),2%—血+1=0”是假命题，则m的取值范围是.

2.若命题：叼％WR,a/+%+i〈o,，为假命题，则实数。的取值范围为.

3.若命题+2%+0”为真命题，则〃的取值范围是()

A.(—8,1]B.(—8,1)C.(—8,0]D.(—8,0)

4.命题“V%€[—1,3],/一3%+2<0”的否定为()

A.3xE[-1,3]，-3x+2>0B.3%e[-1,3],x2-3%+2>0

C.v%e[-1,3],x2-3x+2>0D.3xg[-1,3],x2-3x+2>0

重难点突破：以集合为载体的创新题

【典例6-1】（2024•广东•模拟预测）对于非空数集4B,定义4xB={（%y）|xe4yeB},将axB称为“4与B

的笛卡尔积”.记非空数集M的元素个数为|M|,若48是两个非空数集，则及奇幽的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【典例6-2］（2024•高三上海模拟）已知{即}是等差数列,g=sin（M）,存在正整数t&W8）,使得例十七=

bn,nEN,九之1.若集合5={%|%=勾刀€乂刀之1}中只含有4个元素，贝h的可能取值有（）个

A.2B.3C.4D.5

巧

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.

【变式6-1］（2024•高三•四川•开学考试）定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时,

称为不交）的非空真子集必出,…A（kGN*）,且&U&U…U4=U,那么称子集族{Ai/2,…A}构成集合U

的一个k划分.已知集合/={久6N|/—6x+5<0},则集合/的所有划分的个数为（）

A.3B.4C.14D.16

【变式6-2］（2024•高三・北京海淀•开学考试）设集合M={（*i,久2,如比4）1/6{0,1}/=1,2,3,4}.对于集合

M的子集4,若任取4中两个不同元素仇,丫2/3,、4）,（21*2*3/4）,有力+及+