几何证明压轴题分类训练1（解析版）-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题17几何证明压轴题分类训练1(3种类型30道)

目录

【题型1探究数量关系】.........................................................................1

【题型2最值问题】............................................................................41

【题型3特定条件下(最值)求线段比值1.............................................................................73

【题型1探究数量关系】

1.在Rt△力BC中，^ACB=9Q,AC=BC,点。为直线AC上一点，连接BD.

(1)如图1,若点D在边4C上，且满足tanNABD=[/C=5五，求BD的长；

(2汝口图2,若点。为C4延长线上一点，点E为BD中点，在射线力C上取点M满足AM=24E,连接2E,过点4

作2F14E,连接FDFM,若2NFDA+NE4B=45°,猜想线段4B/EFM之间的数量关系，并证明你的猜想;

⑶如图3,点。为AC的中点，4,点N为直线48上任意一点，连接DN,将△AND沿ND翻折得△4

ND,连接4B,4C,当4B最小时，将△4CB沿4c翻折得△4CQ,连接A4/Q,请直接写出△44'Q的面积.

【答案】(1)2后

(2)AB=MF+42AG,理由见解析

(3)4-1V5

【分析】(1)过点。作于点£,先根据勾股定理得到48=10,,然后根据三角函数得到

AE=DE=^BE,然后得到AE=DE=2,然后利用勾股定理解题即可；

(2)延长4E到点“，使得EH=4E,连接证明△ADE三△/«£1,即可得到4。||8H,AD=BH,进而

得至1」乙84。=乙48"=45。，然后根据题意得到乙F。4=乙4/。，然后延长E4到点G,使得4G=4产，连接

GF,GM,根据三角形全等证明G、尸、M三点共线，即可得到结论；

(3)由题可得点4在以。为圆心，长为半径的圆上运动，即当。、4、8共线时，4B长度最小，最小

值为2年—2,然后利用翻折和三角形的外角得到N4CQ=NCB0=NCQ4,即可得到4QII4C,然后求出三

角形的面积.

【详解】（1）解：如图，过点。作DE1AB于点E,

,：Z-ACB=90°MC=BC,

■■AB=VxC2+BC2=10,〃=45。

1

又Ttan乙48。=

4

DE1

•・而一下

.-.DE=^BE,

又•:DE1AB,

■■/LADE=NA=45°,

;.AE=DE=：BE,

■.AB=5AE=5DE,

：.AE=DE=2,

■■AD=JDE2+AE2=2VL

.,.CD—AC—AD—5V2—2V2=3V2?

■■BD=7CD2+BC2=J(5际,+©际2=?后;

(2)4B=M尸+①4G,理由如下：

延长4E到点”，使得=连接

"E是BD的中点，

：.DE=BE,

又=乙BEH,

.-.AADE=AHBE,

工乙DAE=,AD=BH,

：.AD||BH,

：,^LBAC=Z.ABH=^°,

-AF1AE,

•・ZF/E=90。，

.・ZFAC+乙BAE=AFAE-/-CAB=90°-45°=45°,

Xv2zFDi4+乙EAB=45°,

."AC=2^FDAf^Z-FDA=^AFDf

,-.AF=AD=BH,

延长瓦4到点G,使得4G=AF,连接GF,GM,

则NFG力=N4FG=45°,FG=NAG2+加=五AG,

又•■•NGAM=H4E=NH,AM^2AEAH,

△GAM三△B/M,

.-.AB=MG,^MGA=/.ABH=45°=AFGA,

••.G、F、M三点共线，

:.AB=MG=MF+FG=MF+五AG；

(3)解：由题可知。4=£M=DC=2,

・••点4在以。为圆心，口4长为半径的圆上运动，即当D、4、8共线时，4B长度最小,

BD=y/cD2+BC2=V22+42=2运,

''A'B=BD-A'D=2V^—2,

又；AD=DC=2,

：.Z.DCA'=乙DA'C,

由翻折得：上CBD=^CQA',^QCA'=^BCA',4Q=48=24一2,

.-.^DCA'-^QCA'=ADA'C-ABCA',即NACQ=乙CBD=ACQA',

•'■A'QIIAC,

过，作AE1AC于点E,则△DEAS^DCB,

A'E_A'D日n4E__2

.・就一说'即丁一2西'

解得：=

"△.Q=%Q.AE=|X初x(2V5-2)=4-1V5.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，三角函数，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.在RSABC中，NB4C=90°,AB=AC.

图1图3

(1)如图1,点。是BC的中点，点E是4C上一点，连接DE,作DF1DE交于点F,若BC=2五，CE=g,求

线段BF的长；

(2汝口图2,点。是BC延长线上一点，连接4),以4D为直角边在AD上方作等腰直角△4DF,4MF=90。，

点E是尸。的中点，连接BE并延长到点H,连接若2NH+NHBO=90。，用等式表示线段HE、EB、CD之

间的数量关系，并证明；

⑶如图3,点。是线段BC上一动点，连接2D,将4D绕点。逆时针旋转90。到MD,连接4M,点E是线段2C上

一点，满足2CE=4E=2,连接EM,点P是线段4。上一点，连接PM,当EM最小时，在平面内将aAPM沿

PM翻折至△NPM,连接CN,当CN最小时，请直接写出AAPM的面积.

【答案】⑴|

(2)HE=CD+BE,理由见解析

/□^208-13V130

(*28

【分析】(1)连接a。，证明△DCE三△£MF(ASA)得出==a由勾股定理得出48=AC=2,即可得

解；

(2)连接BF,过点。作0M||B尸，交BH于点M,证明△D4C三△FAB(SAS)，

得出NDC4=NF84=135°,BF=CD,证明△EMC三△EBF(ASA)，得出M0=BF=C0,EM=EB,再证

明Z_H=NMDH得出HM=DM,即可得证；

(3)由全等三角形的性质可得M点在过点B且平行于2C的直线上运动，当EM14C时，线段EM最小，由题

意可知，点N在以点M为圆心，AL4为半径的圆周上运动，连接MC并延长交圆周于点N,此时所在的位置即

为CN取得最小值的位置，连接CM,作NCMA的角平分线交AD于点P,作C714M交MP于点3交4M于点7,

作PQL4M交4M于点Q,作LK1CM交CM于点K,由等面积法得出CT=察，则MT=甯,推出tanzlCMT=

设LT=a=LK,MT=7,TC=9,贝也C=9-a,/<C=7130-7,由勾股定理求出a=工野”，得到

tan4PM4=①鲁，设2Q=ni=PQ,MQ=^3-m,解直角三角形求出爪=最后再由面积

9V130+2

公式计算即可得解.

【详解】(1)解：如图：连接

・・・乙84。=90。，AB=AC,。点是的中点,

；.AD=CD=BD,4coz=90。，/-CAD=^DAB=45°f

DE1DF,

・•・4EOF=90。,

Z.CDE=Z-ADF,

在△OCE和△IMF中,

ZC=^DAB

CD=DA

"DE=Z.ADF

・•.△DCE=△F(ASA)，

•••CE=AF=I，

在RtZiABC中，BC2=AB2+AC2,

AB=AC=2,

3

・•.FB=AB-AF=-；

(2)解：如图，连接BF,过点。作OMIIBF,交于点M,

vA.BAC=^DAF=90°,

・•.Z,CAD=^BAF=90°-zCi4F,

在△D4C和△凡43中

(AD=AF

/-CAD=Z.BAF,

IAC=AB

・•・△£MC三△尸/B(SAS)，

Z.DCA=/LFBA=135°,BF=CD,

•••DM||BF,

•••Z-BMD=乙FBE,

・・,万为尸。的中点，

・•.ED=EF,

在△EMO和△EBF中，

(Z-MDE=乙BFE

]ED=EF,

IzMEZ)=乙BEF

・•.△EMD=△EBF(ASA)，

MD=BF=CD,EM=EB,

•・•2ZH+乙HBD=90°,乙FBE+乙HBD=乙FBA—乙CBA=90°,

•••2^H=LFBE=LBMD,

“H=ZMDH,

:.HM=DM,

：.HE=HM+ME=CD+BE；

(3)解：---ADHM=△DFA

M点在过点B且平行于2C的直线上运动，

.•.当EM，4c时，线段EM最小，

由题意可知，点N在以点M为圆心，AL4为半径的圆周上运动，

二连接MC并延长交圆周于点N,此时所在的位置即为CN取得最小值的位置，连接CM,作NCM4的角平分线

交AD于点P,

作CT14M交MP于点3交4M于点T,作PQ_L4M交4M于点Q,作LK1CM交CM于点K

■■■AMxCT=ACxEM,

.•.“=咨

13

•••MT=也，

13

9

tanZ.CMT=

设LT=a=LK,MT=7,TC=9,

•**LC=9—CL,

・•.KC=V130-,

•••(V130-7)2+a2=(9-a)2,

.「_7V130-49

••(x-----------,

9

tan^PMA=叵zZ,

9

设/Q=/n=PQ,MQ=V13—

V130-7_———

・••tmZ-PMA=9V13-m，

•••m=

V130+2

「11-(V130-7)xV13208—1371^

后双+2

,,,SfM=5xx281

3.已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,。为平面内一点.

(1)如图1,当D点在力B的中点时，连接CD,将CD绕点。逆时针旋转90。，得到ED,若2B=4,求△4DE的

周长;

(2)如图2,当。点在△ABC外部时，E、尸分另I」是4B、8c的中点，连接EF、DE、DF,将DE绕E点逆时针旋

转90。得到EG,连接CG、DG、FG,若乙FDG=dGE,请探究FD、FG、CG之间的数量关系并给出证明；

⑶如图3,当。在△ABC内部时，连接力D,将4D绕点。逆时针旋转90。，得到ED,若ED经过BC中点F,连

接力E、CE,G为CE的中点，连接GF并延长交力B于点H,当4G最大时，请直接写出受”的值.

【答案】(1/4。石的周长为2+24+2五

(2)FD=CG+^2FG,证明见解答

⑶亨

【分析】(1)过点E作交84的延长线于H,利用AAS证明△三△CD4,可得EH=4D=2,

DH=4C=4,AH=DH—40=4—2=2,运用勾股定理可得4E=2五，即可得出答案;

(2)连接力F、AG,过点F作FH，FG交4G于H,利用SAS证明△瓦4G三△EFD,可得4G=FD,

Z.AGE=^FDE,再利用S4S证明三△CFG,可得4H=CG,即可得出答案;

(3)设AE、GH交于点M,作4B中点P,连接PC、PE、BE、4F,作PC中点Q,连接4Q、QG,设

AB=AC=4a,则QG=a,PA=2a,运用勾股定理可得PC=2V^a,进而可得AQ==而m当人Q、

G三点共线时，4G=4Q+QG=V^a+a=(V^+l)a,取得最大值，利用ASA证得△三△4GM,可得

HM=GM,AH=4G=(其+i)a,根据

^AE-MG

S4ACGS^AEG=1XS=^即可求得答案•

S》"G2sAAMG2x^AM-MG

【详解】（1）解：过点E作EHL4B交B4的延长线于H,如图1,

.-.AD=BD=^AB=2,

在Rt^ACD中，/.CAD=90°,AC=AB=4,

­,•tanz.ACD=第=：=J，CD=JAD2+AC2=V22+42=2V5,

由旋转得：DE=CD=2近,NCDE=90。，

即乙4DC+ZT1DE=90。，

Z.ADC+Z.ACD=90°,

•••Z-ADE=Z-ACD,

在△OE”和△coa中，

ZDHE=^CAD=90°

2LADE=Z.ACD

DE=CD

.-.△DEH=AC£)71(AAS),

EH=AD=2,DH=AC=4f

AH=DH-AD=A-2=2,

在Rt^AEH中，IE=〃口2+EH2="+22=2VL

力DE的周长=AD+DE+AE=2+245+2V2；

(2)猜想：FD=CG+^FG,理由如下：

如图2,连接4F、AG,过点F作FH1FG交4G于H,

A

瓦

图2...△ZBC是等腰直角三角形，E、F分别是48、BC的中点,

AE=EF,AE1EF,AF=CF,

・••乙AEG+乙FEG=90。，

由旋转得EO=EG,乙DEG=9。。,

/,FED+Z.FEG=90°,乙EDG=LEGD=45°,

•••Z.AEG=乙FED,

在△瓦4G和△EFD中，

(AE=EF

{/.AEG=乙FED,

(EG=ED

•••△E/G三△EFO(SAS),

：.AG=FD,匕AGE=tFDE,

vZ-FDG=Z-FGE,

/.AGE+(FGE=Z.FDE+2FDG=乙EDG=45°,

即乙4GF=45。，

v^GFH=90°,

・•・Z.FHG=45°=乙FGH,

・・.△FGH是等腰直角三角形，

FH=FG,HG=>/iFG,

vZ-AFH+Z,CFH=乙CFG+4CFH=90°,

・••Z-AFH=乙CFG,

在△4FH和中，

(AF=CF

]Z-AFH=(CFG,

(FH=FG

•••△4FHwZkCFG(SAS),

■■.AH^CG,

■■■AG=AH+HG,

•••FD=CG+近FG；

(3)设4E、GH交于点M,作ZB中点P,连接PC、PE、BE、AF,作PC中点Q,连接力Q、QG,如图3,

图3••,将40绕点。逆时针旋转90。，得到ED,

・•.△AED是等腰直角三角形，

AD1»^EAD=45°,

•.•△ABF是等腰直角三角形，

•••^=—,NBAF=45。，

AF1

.AB_AE

**~AF~~AD"

■■■ABAF-AEAF=^EAD-^EAF,即NB4E=AFAD,

.••△BAE-△FA。，

.­.Z.BEA=/.FAD=90°,

••・点P是4B的中点，

.­.PE=^AB,

•；Q是PC的中点，G是EC的中点，

••.QG是△CPE的中位线，

・•.QG=#E=%B,QGWPE,

设AB=AC=4a,则QG=a,PA=2a,

在RtAPAC中，PC=^PA1+AC2=7(2a)2+(4a)2=

AQ=gpC=|X2Vsa=y/^a,

当尔Q、G三点共线时，

AG=AQ+QG=y/~Sa+a=(V5+1)。，取得最大值,

又・•・QGWPE

・・・4G||PE,

Z.PEA=Z.GAE,

PE=PA,

・•・/,PAE=Z-PEA=乙EAG,

・・,F是BC的中点，G是EC的中点,

・•・FG是△BEC的中位线，

・•・FGWBE,

・•・AE1HG,

.-.Ai4HM=Ai4GM(ASA),

：.HM=GM,AH=AG=(^/5+l)af

AEAH4a

,•布=而=(每l)a=)5f

EMG

=^-=lx—=

S4AHG2sAy1MG2x1i4M-MG2AM2

4.己知△ABC为等边三角形，点、D、E分别是8C、AC上一点.

BDCF

图1图2

(1)如图1,BD=CE,连接4。，BE,2。交BE于点R在BE的延长线上取点G,使得FG=AF,连接AG,若

AF=4,求aAFG的面积；

(2)如图2,AD,BE相交于点G,点尸为力。延长线上一点，连接BF、CF、CG,已知BD=CE,

ZBFG=60°,乙AEB=^BGC,探究BF、GE、CF之间的数量关系并说明理由；

(3)如图3,已知AB=12,过点/作8c于点。，点M是直线4。上一点，以CM为边，在CM的下方作等

边△CMN,连接DN,当。N取最小值时请直接写出CM的长.

【答案］⑴4倔

(2)BF+CE=2CF,见解析；

⑶CM=3V7

【分析】(1)证明△力BC三△BCE(SAS)，贝此瓦4。="BE,进一步证明△4FG为等边三角形，根据等边

三角形的性质即可得到答案；

(2)作DHIICG交BE于〃，作DT||AC交BE于T,证明DH=DT,进一步证明△4BE三△CAD(SAS)，则

ACAD=AABE,AD=BE,证明△GBF是等边三角形，再证明△ABG三△CBF(SAS)，则力G=CF,证明

△aEGNZXDTG(ASA)，则力G=DG,得至lMD=24G,则BE=力。=24G=2CF,即可得到结论；

(3)连接BN,利用等边三角形的性质得到BD=；BC=YB=6,ACAD=30°,勾股定理得到4D=

dAB2-BD2=6®证明aBCN三△4CM(SAS)，得到NCBN=N。4M=30。，则当DN1BN时，DN最小，

最小值为：BD=3,此时BN=4"=3百，则£>M=AD-4"=3百，在Rt^CDM中，利用勾股定理即可求

出答案.

【详解】(1)证明：在等边△力BC中，AB=BC,乙4BC=NC=60。，

在△ABD和△BCE中，

(AB=BC

AABD=ZC,

IBD=CE

・•.△ABD=△BCE(SAS)，

•••Z-BAD=Z-CBE,

vz.^C=60°,

・•・AAFG=乙ABF+4BAD=60°,

•・•AF=FG,

・•.△4FG为等边三角形；

,1•SAAFG=-^X4,2=4后

(2)解：BF+CE=2CF；

证明：如图1,作D”IICG交BE于H,作DT||AC交BE于T,

A

A.THD=乙EGC乙DTH=^CEG,乙BDH=CGCD,

Z.AEB=乙BGC,

即“GC+乙GCE=乙CEG+乙GCE,

•••Z-EGC=Z-CEG,

•••^THD=乙DTH,

・•.DH=DT,

・・・△/BC是等边三角形，

AB=AC=BCf/-ABC=Z.ACB=^BAC=60°,

•・•CE=BD,

AE=CD,BD=CG；

在△Z8E和△CZO中，

(AB=AC

]ABAC=/-ACB,

IAE=CD

・•.△ABE=△CZD(SAS)，

Z-CAD=Z.ABE,AD=BE,

・•・/.CAD+乙BAD=Z.BAC=60°,

・••/.ABE+乙BAD=60°,

・•・乙BGF=乙ABE+匕BAD=60°,

•・•乙BFG=60°,

・•.△GBF是等边三角形，

：.BF=BG,NGBF=60。，

••・乙ABC=乙GBF,

Z-ABC-Z-EBC=Z-GBF—乙EBC,

BP：乙ABG=^CBF,

•••△ABG=△CBF(SAS)，

AG=CF,

•・•(BGF=乙ACB=60°,乙EGD+乙BGF=180°,

二在四边形EGOC中，ZCEG+ZCDG=180°,

•・•乙BHD+乙DHT=180°,乙DHT=Z.CGE=MEG,

••・乙BHD=乙CDG,

在△8。"和△GCD中，

(/.BHD=Z.CDG

](BDH=乙GCD,

IBD=CG

・•.△BDH=△GCD(AAS)，

・•.DH=CD,

.・.DT=DH=CD=AE,

••・DT\\AC,

Z.EAG=Z-TDG,乙AEG=zJ)TG,

AEG=△DTG(ASA),

AG=DG,

AD=2AG,

・•.BE=AD=2AG=2CF,

BG+GE=2CF,

・•.BF+GE=2CF；

(3)解：CM=3小

连接BN,

■■.BD=^BC=^AB=6,ACAD=^CAB=30°,AD=AB2-BD2=6V3,

-AABC,ZkCMN是等边三角形，

AACB=^MCN=60°,CA=CB,CM=CN,

"BCN=/-ACM,

在4807和△/CM中，

(BC=AC

Z.BCN=乙4cM,

ICN=CM

・•・△BCN=△/CM(SAS)，

・•・乙CBN=Z.CAM=30°,

当DNLBN时，DN最小,最小值为匏。=3,

此时BN=AM=3百，

DM=AD-AM=3百，

22限

■­.在Rt△COM中，CM=VDM+CD=J(3百$+62=3

5.在△ABC中，AC=BC,AC=6,乙4cB=a,点。是BC边上任意一点，点E是直线4D上一动点，连接

BE,将BE绕点B顺时针旋转，旋转角为a,得到线段BF,连接EF.

图1图2图3

(1)如图1,a=90。，^BAD=15°,点尸在射线4D上，求BF的长；

⑵如图2,BF||AD,CGL2E于点G,2zXBF-3z£BF=4Z.BAE,猜想线段GE,BE,AC之间存在的数量关

系，并证明你的猜想；

⑶如图3,a=60。，点F在射线4。上，点P是8E上一点且满足”=3BP,连接4P,直接写出当4P最小时,

点P到AB的距离.

【答案】(1)3痣-3五

(2)GE+BE=^.AC,证明见解析

【分析】(1)由题意易得48=6叁，^CAD=30°,由特殊三角函数值求出4。，进而得出8。的长，证明

△ABFFADB,利用相似三角形的性质求解即可；

(2)由平行线的性质结合题意求出NC4E=30。，进而得出4G=?C,作CH1BE于H,则N"=90。，证明

△4CD三△BED(AAS)，得出BH=4G=54C,CG=CH,证明Rt△CEGmRt△CEH(HL)，得出GE=EH,

即可得证；

(3)由题意易得△ABC、△BEF是等边三角形，则点尸在△4BC的外接圆上，作△ABC的外接O。，链接

OC,并延长C。交4B于点“，贝儿"垂直平分4B,作点F关于。C的对称点F,则浮=疗，连接力厂，BF',证

明△4BF三△BAF(AAS)，得出B9=AF,连接。/、OB,在BF上截取Bp=匏F,作PMII。/，P'M^OB

于点M,则MB=g08,求出OB=2百，得出MB=MP,推出点P在以M为圆心，以苧为半径的圆上，当4、

P、M三点共线时，4P的值最小，作PQ1HB于点Q,作MNL4B于点N,贝|PQ||MN,推出

AAPQ-AAMN,由相似三角形的性质得出得=焉，解直角三角形得出MN、BN,再由勾股定理得出4V,

进而得出4P,代入计算即可得出答案.

【详解】(1)解：•."C=BC=6,/4CB=a=90。，

：./.CAB=/.ABC=45°,

•/8=高^=磊；=66,

"BAD=15°,

：.^CAD=Z.CAB-Z.BAD=45°-15°=30°,

在Rt△ADC^p,CD=AC-tanZ.CAD=6-tan30°=2百，

：,AD=2CD=4V3，BD=BC-CD=6-2百，

由旋转的性质可得：BF=BE,4EBF=90。,

.-.ZF=Z^EF=45°,

：.Z.F=Z-ABD,

,：Z-BAF=Z-DAB,

：.AABF-AADBf

BFABBF6A/2

—=—,即an-=,

BDAD916-2V34V3

•-BF=3V6-3V2；

(2)解：GE+BE=^-AC,

证明如下：•.\4C=BC,AC=6,Z-ACB=a,

：^CAB=Z.CBA=^p-

同理可得：/-BEF=£.BFE=^p-

-BF||AD,

;.乙乙

ABF+Z.EAB=180°,/-AEB=EBF=af

.•.乙4BF=180。一"血

-2^ABF-3£.EBF=4^BAE,

3

.'.^ABF=2^BAE+-af

3

：3Z-BAE=180°--a,

：.Z-BAE=60。-；。,

：180°-a60°—：a)=30。,

.Z.CAE=Z-CAB—Z-EAB=-2-

-CGLAE,乙4GC=90。,

^cosZ-CAE=煞即cos30。_AG

~~AC

.-.AG=^.AC,

如图，作CHIBE于”，则NH=90。,

图2

在△4C0和△BE。中，Z.ACD=Z.AEB=a,Z.ADC乙BDE,

.-.^CBH=^CAG=30°f

-AC=BC,N”=N/GC=90。,

AACD=△BED(AAS)，

.：BH=AG=^AC,CG=CH,

-CE=CE,

.,.Rt△CEG^Rt△CEH(HL)，

・•,GE=EH,

-EH=BH—BE,

：.GE=^-AC-BE,即GE+BE=苧4C；

(3)解：-：AC=BC,AACB=a=60°,

.•.△ABC是等边三角形，

同理可得△BEF是等边三角形，

：./-BFE=/.ACB=60°,/.CAB=/.CBA=60°,

二点F在△ABC的外接圆上，

如图，作△ABC的外接。0,链接。C,并延长C。交48于点“，贝UCH垂直平分2B,作点尸关于。C的对称点

F',则CF'=而,连接4F,BF',

.'.Z-F'AC—Z.FBC,

：.Z-F'AB=Z.FBA,

•：Z-AF'B=Z.BFA,AB=BA,

△ABF'=△BAF(AAS)，

：.BF'=AF,

连接。尸、OB,在B/上截取作PM||。/,P，M交。8于点M,则需=罂=器=，

,：OB—OF,

：.MB=MP',

・・・△/BC是等边三角形，。。是△ZBC的外接圆，AC=6,

.•.BH=，B=3,NOBH=30。,

DLI

'°B=次心=2百,

•：BF'=AF,AF=3BP,

BP'BP1

~BF~AF3

.••点P在以M为圆心，以等为半径的圆上，当2、P、M三点共线时，AP的值最小，作PQ1AB于点Q,作MN14B

PQ_AP

••丽一~AM

在RtzXBMN中，MN=争1\4=日,

nnrMN.

''BN=^30^=lf

；.AN=AB—BN=5,

由勾股定理得：AM=y/AN2+MN2=哼

...AP=AM-PM=^-^

PQ2V572V3

•------3-------3_

•,立一2V57

3

•*Q=小等

6.在等腰Rt△力BC中，ZB=90°,AB=BC,D,E分别为力B,BC边上的动点且满足ZD=BE,连接OE,

AE.

(2)如图2,AC上有一点尸满足NEDF=45。时，试探究DE与。尸的数量关系，并说明理由;

C

(3)如图3,连接CD,4E交于点。，当4E+CD取最小值时，直接写出产的值.

4△ABC

【答案】(l)VIU

⑵近DF=DE,理由见解析

【分析】(1)先求出2B=BC=3,设BE=4D=x,则BD=3-久，利用勾股定理求出BE=4。=1,再利用

勾股定理即可求解出ZE的长；

(2)取4C中点尸，连接BP,过点尸作PM1B&PNL4B,垂足分别为M,N,连接PE,证明△8P4三aBPC

(SAS)，AADP三△BEP(SAS)，进而证明△OPE是等腰直角三角形，推出P点与尸点重合，即可得出结论；

(3)将线段BE绕点8顺时针旋转90。到BE',连接CE',以点C为圆心，CD长为半径画OC,在OC上取点

D',连接DD1C。，延长OC交。C于点N,连接DN,证明△ABE三△CBE'(SAS)，得到CE'=AE,由作图可

得：CD=CD',当当DN,DE'重合时，点E'在OUt,CE'+CD'有最小值，即4E+CD有最小值，最小值为

D'E'=2CD=2AE,证明△CBE'"△D'DE',推出△BDE是等腰直角三角形，得到DEII4C,设

BD=BE=AD=a,则2B=BC=2a,求出"=+8c2=2®a,CD=y/BC2+BD2=Vsa-DE=

dBD2+BE2=阮,△BED-ABCA,AODE-△OCA,求出。C=|cD=^a,04=|aE=*a,易

证△40C是等腰三角形，过点。作0"147,则1"=。"=颛；=何，求出。"=Joc2-C"2=争,即可

求出泮£的值.

,△ABC

【详解】(1)解：在等腰中，48=90。，AB=BC,

;AC=3五,

.-.AB=BC=^AC=3,

2

设BE=4。=%,贝IJBD=3-%,

••DE2=BD2+BE2,即5=/+(3一汽产

解得：x=1或久=2,

•••AD<DB,

・•.BE<DB,

・•.BE=AD=1,

•••AE=yjAB2+BE2-V10;

(2)解：近DF=DE,理由如下：

如图，取力C中点P,连接BP,过点尸作PM1BC,PN，4B,垂足分别为M,N,连接PE,

:tc

EMAD=BE,AB=BC,

•••AB-AD=BC-BE,即BD=CE,

­••zABC=90°,

.•.△4BC是等腰直角三角形，

,；P点是4c中点，

BP=AP=CP,Z.BPA=^BPC=90°,

BPA,△BPC是等腰直角三角形，

.­.4ABP="=45°,

(AB=BC

在△BPD与△CPE中，|乙4BP=NC,

IBD=CE

・•.△BPA=△BPC(SAS)，

・•.PD=PE/BPD=乙CPE,

(AD=BE

在△尸与△BEP中，］/-CBP=^A=45°,

(AP=BP

・•.△ADP=△BEP(SAS)，

.­.Z.APD=乙BPE,

Z.BPD+Z.APD=乙BPD+Z.BPE=90°=乙DPE,

.•.△DPE是等腰直角三角形，

二NPDE=45。，

•••NEDF=45。，

••・P点与尸点重合，

；.DF=PD=*DE,即五DF=DE；

(3)解：将线段BE绕点8顺时针旋转90。到BE,连接CET以点C为圆心，CD长为半径画。C,在OC上

取点D',连接DD',C。，延长0c交OC于点N,连接DN,

,A

A///

IX\//

E，、婕，/

N、--"

由旋转的性质得到BE=BF/ABC=乙CBE'=90°,

­••AB=BC,

A^B£=ACBF(SAS);

・,.CE'=AE,

由作图可得：CD=CD',

如图，当DN,DE'重合时，点E'在OC上，

(N)EX/1

J-J

此时，CE'=CD=CN,则CE'+CD'有最小值，即AE+CD有最小值,最小值为D'E'=2CD=2AE,

•・•乙E'DD'=乙E'BC=90°,

・•・BC\\DDr,

•••△UBE'”AD'DE',

B-C--B_E_'_—_C_E'_—1_

"DD'DE'D'E'2，

•••DD'=2BC,DE'=2BE',

・••8点为。炉的中点，即BD—

由（1）知=

BE=AD,

•••BE—BD—AD,

・•.△BDE是等腰直角三角形，

；・乙BED=乙BCA=45°,

・•.DE\\AC9

设80=BE=40=a,则==

•••AC=飞七炉+BC2=2®a,CD=BC2+BD2=V5a,DE=飞BD?+BE2=近a,

•・•DE\\AC,

・•.△BED〜△BCA,△ODE-△OCA,

.BE_DEDE_0D_0E

''~BC~'ACFAC~~0C~~0A"

.BE_DE_1_0D_0E

'''BC~~AC~2~~0C~~0A"

0C=|cp=^a,。力=|助=争，

•••△4。。是等腰三角形，

过点。作。

则a”=CH=Ic=&a,

22

0H=7OC-CH=堂,

.S/XAOC_54c_1

・S^ABC^ABBC3・

7.已知，△ABO与均为直角三角形，^LADB=/.AEC=90°^D=AE,BD=CE.

⑵如图2,若NB4D=NC4E=30。，连接BC,CD,ED,并延长ED交BC于点F,NCDF=90。，猜想CD与BC的

数量关系并证明；

(3)如图3,AD=AE=Vs-连接BE,点M,点N分别为AC与BE的中点，连接MN,记MN的最大值为x,MN的

最小值为y,请直接写出孙的值.

【答案】(1)DE=||百3

(2)BC=4CD

【分析】(1)先证明Rt^AEB三Rt^aDBaiL)，在中，由勾股定理得48=2后，由等面积法得

^ABxDK^^ADxDB,则。K=黑=泉石，再由等腰三角形的三线合一求得DE=2DK=箭?；

(2)延长ED至点R,使得DR=DE,连接BR,先证明△DR8三△EDC(SAS)，再证明△BRF三△CDF

1_1

(AAS)，则CF=BF=5BC,设/C4D=a,导角可得41=90°-43=15°+］明显然△4DB三△AEC(SAS)，

导角可得N5=44BC-N力BD=15°-：a,贝I|N7=Nl+45=30°,继而FC=2DC,故BC=4DC；

(3)取4E中点为点G,链接MG,NG,由三角形的中位线得到CE=2MG/B=AC=2NG,在△MNG中，有

NG-MG<MN<NG+MG,故MN的最大值为x=NG+MG,最小值为％=%6-/1«；,在RtZkACE中，由勾

股定理得：Ac2-CE2=5,即：(ac+CE)(4C-CE)=5,即可求解.

【详解】(1)解：如图：记48,OE的交点为K,

•・•点C,E,B共线，乙4EC=90。,

・••乙4EB=90°,

-AD=AE,AB=AB,"OB=90。，

••.Rt△AEB^Rt△ZDB(HL)，

.*.zl=z2

...EK=DK=gDE,ABIDE,

•­,AD=6,BD=4,

・•・在RtZkADB中，由勾股定理得：AB=JAD2+DB2=2V13,

-.^ABXDK=^ADxDB,

.•.CE=2CK=||Vn；

(2)解：BC=4CD,理由如下,

证明：延长ED至点R,4吏得DR=DE,连接BR,

,••AD=AE,

.*.z3=z4,

VAAEC=Z-ADB=90°,

.-.z2+z4=zl+z3=90°,

/.zl=z2,

♦：EC=BD,

・•.△DRBw△EDC(SAS)，

：.BR=DC,Z-R=乙EDC=乙FDC=90°,

•••z6=Z7,

・・.△BRF=△CD尸(AAS)，

,-.CF=BF=^BC

设NCW=a,

■：^CAE=30°,

1800—4及40

.•23=N4==75。-)

2

.­.zl=90°-z3=15°+1a,

-AD=AE,BD=CE/ADB=^AEC,

△ADB=△/EC(SAS)，

：.AB=AC,

同理可求：^ABC=Z.ACB=7S°-a,

MBAD=30°,

・•/ABD=90。一4B/D=60°,

i

・・・乙5=Z.ABC-Z.ABD=15°--a,

.*.z7=zl+z.5=30°,

vzCZ)F=90°,

：.FC=2DC,

；.BC=4DC；

(3)解：取/E中点为点G,链接MG,NG,

•・•点M,点N分别为力C与BE的中点，

：.CE=2MG.AB=4C=2NG,

在中，有NG-MGWMNWNG+MG,

•・•MN的最大值为x=NG+MG,最小值为x=NG-MG,

在白△ACE中，由勾股定理得：AE2+CE2AC2,

■■-AE=Vs，

：.AC2-CE2=5,

即：(4C+CE)Q4C—CE)=5,

，(2NG+2MG)(2NG-2MG)=5,

•••4(NG+MG)(NG—MG)=5,

即4xy=5,

・・・孙=工5

8.己知，在等边△ABC中，点。是射线4c上一点，连接DB.

AA

C

图1图2

(1)如图1,CD=3AD=1,请求解线段BD的长;

(2)如图2,点。在线段4C上，若点E为BC延长线上一点，满足4D=CE,连接DE,将线段0E绕点。逆时针旋

转60。得到线段DP,连接BP,EP,用等式表示线段BP、4D之间的数量关系，并证明;

⑶在(2)条件下，点D是线段4C延长线上一点，若△BEP为等腰三角形时，请直接写出黑的值.

【答案】(1方。=亨

(2)BP=^3AD,理由见解析

⑶喈

【分析】(1)过点3作BE14;于点E,根据等边三角形的性质得到BC=4C,然后利用勾股定理依次计算

即可解题;

(2)过点。作力B平行线交BC于点N,连接PN,得到△DQV为等边三角形，进而得到△DCE三△DNP,即

可得到CE=PN,然后过点N作NM1PB于点利用勾股定理解题即可;

(3)过点。作DNII4B交BE于点N,连PN,设力C=8C=a,AD=CE=b,由(2)可得△OQV为等边三

角形，4DCEm4DNP,即可得到CD=CN=DN=b—a,PN=CE=b,过点P作PH1BE于点X,利用30。

角的直角三角形计算NH,PH长，然后在RtZXPHB中利用勾股定理解题即可.

【详解】(1)解：过点8作BE14C于点E,

A

-CD=3AD=lf

1

：.AD=-,

14

"C=C0+4D=§+l=W，

又••・△ABC是等边三角形，

47

：.BC=AC=AB=AE=

2I1

：,DE=AE-AD

-'-BE=JAB2-AE2=JG)2-(|)2=|Vi，

■■BD=y/DE2+BE2=J(1)2+(|V3)2=1V13;

(2)解：BP=心AD,理由如下：

过点。作4B平行线交BC于点N,连接PN,

由题意得，DE=DP.^EDP=60°

­：DN||AB,

：.乙CDN=44=60°=乙EDP,乙DNB=180°-zXBC=120°,

：/DNC=180°-乙DNB=60°,

又“DCB=60°,

.•.△DCN为等边三角形,

；.DN=DC=CN,

■,■AD=CE,

：.△DCE三△DNP(SAS),

Z.DNP=Z.DCE=120°,CE=PN,

•••乙PNB=36。°一上DNP—KDNB=120°,NB=4。=CE=PN,

:ZNBP=乙NPB=30°

过点、N作NMJ.PB于点、M,

则NM=1BN,BP=2BM,

■-BM=y/BN2-MN2=*BN,

：.BP=^BN=^AD；

（3）由题可知PE力BE,PE丰BP,

过点。作。N||AB交BE于点N,连PN,设4C=BC=a,4D=CE=b,

则BE=BC+CE=a+b,

又•■•△BEP为等腰三角形，

：.BE—BP=a+b,

由（2）可得：△OCN为等边三角形，4DCE三4DNP（SAS）,

.-.CD=CN=DN=b-a,PN=CE=b,/.NCD=/LCND=A.DNP=60°,

・・/PNE=60。,

过点P作PHIBE于点H

:.LNPH=30°,

■.NH=（NP=剑PH=y/pN2-NH2=争，

：.BH=NH+CN+BC=/+b-a+a=|b,

在RtzXPHB中，PH2+BH2=BP2,

即（枭：+（为,=（口+切2,

解得：b=或。=甘旦1（舍去），

tAD_b_1+V3

•.元一/下一.

A

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能构造直角三角形进

行计算是解题的关键.

9.已知在△4BC中，AB=AC,AC=90°,”为直线BC上一点.

⑴如图1,若力B=4,AAHB=60°,求线段4H的长;

(2)如图2,过点8作于点。，点E为BC中点，连接DE,作EF1DE交4D于点尸，连接BF,若G为

8尸中点，试判断线段GE与力。的数量关系，并说明理由；

⑶在(2)间的条件下，若48=4,当BF最小时，直接写出△BFD的面积.

【答案】⑴竽

(2)AD=2GE,理由见解析

(3)1^1-4

【分析】(1)过4作利用60。和45。计算即可.

(2)采用中线倍长，得4BGQ三Z\FGE,得BQ||FE,故/QBE=NFEC.再证明△BED三△4EF,

△BEQ三△4