计数原理与概率统计压轴小题（解析版）

微专题22计数原理与概率统计压轴小题

典型例题

例1.(2022・全国•高三专题练习)我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有

3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有种.

【答案】198

【解析】

【分析】

首先列出至少有两个卡片之和相等的盒子的情况，然后利用全排列即可求解.

【详解】

由题意可知，设存在的这两个盒子中卡片的数字之和相等，设其相等的和为x.

当X=ll时，共有1种情况，即{(L3,7),(2,4,5)}；

当x=12时，共有3种情况,即{(1,2,9),(3,4,5)},{(1,3,8),(2,4,6)},{(1,5,6),(2,3,7)}；

当龙=13时,共有5种情况，即{(1,3,9),(2,4,7)},{(1,3,9),(2,5,6)},{(1,4,8),(2,5,6)},{(1,5,7),(2,3,8)},

{(1,5,7),(3,4,6)}；

当尤=14时，共有7种情况，即{(1,4,9),(2,5,7)},{(1,4,9),(3,5,6)},{(1,5,8),(2,3,9)},{(1,5,8),(3,4,7)},

{(1,6,7),(2,3,9)},{(1,6,7),(2,4,8)},{(2,4,8),(3,5,6)}；

当x=15时，共有2种情况，即{(1,5,9),(2,6,7),(3,4,8)},{(1,6,8),(2,4,9),(3,5,7)}

当x=16时,共有7种情况,即{(1,6,9),(3,5,8)},{(1,6,9),(4,5,7)},{(1,7,8),(2,5,9)},{(1,7,8),(3,4,9)},

{(2,5,9),(3,6,7)},{(2,6,8),(3,4,9)},{(2,6,8),(4,5,7)}；

当x=17时，共有5种情况，即{(1,7,9),(4,5,8)},{(2,7,8),(3,5,9)},{(3,5,9),(4,6,7)},{(3,6,7),(4,5,8)},

{(1,7,9),(3,6,8))；

当x=18时，共有2种情况，即{(2,7,9),(4,6,8)},{(3,7,8),(4,5,9)}；

当x=19时，共有1种情况，即{(3,7,9),(5,6,8)}；

综上所述，共有1+3+5+7+2+7+5+2+1=33(种)情况，

不同的放法共有：33团=198种.

故答案为：198.

例2.(2022・全国•高三专题练习)设随机变量J服从正态分布N(0』)，则下列结论正确的是.(填序

号）

①P（团<a）=P（€<a）+P（J>-a）（a>0）；

②尸（周<a）=2Pq<a）-l（a>0）.

③P（团<a）=1-2PM<a）（a>0）.

④尸（周<a）=l-P（尚>“）（a>0）.

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】

随机变量J服从正态分布N（0,l）,根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.

【详解】

因为P（团<a）=P（-a<J<a）,所以①不正确；

因为P（用<a）=P（F<J<a）

=P（J<a）-P（J<-a）=尸（J<a）-P（4>a）

=尸（自<a）-（l-P（<^<a））=2P（自<«）-1,

所以②正确，③不正确；

因为尸（团<a）+尸（忸>a）=l,所以尸（用<a）=JP（团>a）（a>0）,所以④正确.

故答案为：②④.

例3.（2022.全国•高三专题练习）如图，将一个大等边三角形分成三个全等三角形与中间的一个小等边三角

形，设DR=2,.若在大等边三角形内任取一点P,则该点取自小等边三角形内的概率为.

FiD

AB

4

【答案】

【解析】

【分析】

设=由正弦定理可得工=,从而可求sine的值，再由正弦定理可得A2F,

3sincc•1m。,

sin120sma

CQk2

进而根据所求概率为产=-T代入即可求解.

S.ABCAB2

【详解】

解：设“5—由题意可得《=＞吧修’化简得由"手3有

sina=—j=

V52

AD—DF

又由正弦定理可得即A32,

sinZADBsinZABD

sin120°sina

——DF22.2A

所以所求概率为沁4_DnzF?_।2]sina_4

-ab2-13Jsin21200-13

—AB

4

4

故答案为：—.

例4.（2022.全国•高三专题练习）将杨辉三角中的每一个数C；都换成分数二^土了，就得到一个如图所示

的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：（二尸+71所=3,令

（〃+i）G5+DGnCn_1

111111

S〃是｛〃〃｝的前〃项和,贝2=

3123060nC：i(〃+1)C；

1

T

11

12

111

3

1X11

412124

1X111

T203020

1XX111

I30606030

111111

742105140427

n1

【答案】—+----

2n+1

【解析】

【分析】

由题设关系，应用累加法可得+%=；，进而可得｛4｝的通项公式，再应用裂项相消法求

【详解I

-----1------1-------1----=--1--------1--------11-------=1-----------------------1-------1--------1-----=-------1------

5+1)。：5+1)戏&'nCh仁t5-1)。二'5-DCL("1)器25-2)。"'

---1---1----1--=---1---------1---1----1--=—1

4G4C；3C；，3C；3C；2C；，

一一一11111111

将上述各式相加，得/+…+不+鼻=万，即(+%=3,

(n+l)C„(〃+l)QnCn_x1232(n+l)Cn2

、

.Q=-1---------1----=--1---(/---------1--)

…〃2n(n+l)2〃〃+1'

•••s">+一1・

n1

故答案为:—+------

2n+1

例5.(2022•全国•高三专题练习)已知等差数列{。,},对任意〃eN+都有

+a,C；+4最+--+«„C：=«-2"+1成立，则数列—的前,项和(=__________

+1aa

[„+l„+2J

n

［答案］9可

【解析】

【分析】

根据二项式的性质化简可得6•2"+〃d.2"T=〃.2"+L求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.

【详解】

设等差数列的公差为d,则%=%+(〃—1)d,因为+%&++…+。“+C：=n-2向,

所以ag++/C；+…+%C：=n-2用

=q©+C"..+C：)+d©+2C：+3C：+…+〃C；)

=勺2"+nd©t+C；T+…+CI；)=q♦2"+T-l,

所以％•2"+"d•2"T=n-2n+1,所以2%+〃(d—4)=0对〃eN*恒成立,

所以4=0,d=4,所以等差数列｛。”｝的通项公式(=4(〃-1),

所以1=—1—

4+/〃〃+24nx4(n+l)16(Mn+1J

所以数列I---I的前“项和（=2（1--=]=[/[、.

[an+la„+2J16（n+\）16（n+l）

n

故答案为：16（n+l）-

例6.（2022.全国•高三专题练习）数列｛%｝共12项，且4=1,4=2,关于x的函数

力⑺=；一%炉+（d_1卜+1,“eN-若x=是函数的极值点，且曲线的、=力。）在点

（%，力（@））处的切线的斜率为3,则满足条件的数列｛%｝的个数为.

【答案】336

【解析】

【分析】

求导，由题意可得出问+|-%|=1,根据导数的几何意义，即可求得%=。或4,分类讨论，即可求得满足

条件的数列｛%｝的个数.

【详解】

因为力（x）=g_a.x2+（a；-l）x+l,则力'（同=/_2%元+（M一1）=@一%）2-1,

2

由已知可得（a„+l-an）-l=O,则\an+1-an\=l.

由题意可得力'（&）=（弓2—”4）——1=3，可得瓦―%|=2,«4=2,可得％2=。或4.

①当％2=。时'"4—4=（%—41）+（%—。2）+（。4—%）=2—1—1,

得4+1-4（，=1,2,3）的值有2个1,1个-1,

一包=（。5—。4）+（“6一”5）+，，,+（62—%1）=。—2=-2,

得4+1-q（，=4,5,…,11）的值有5个-1,3个1,

此时，数列｛〃〃｝的个数为C；《=168个；

②当先=4时，&-%%—生）+（。4—%）=2—1=1,

得4+1-q«=1,2,3）的值有2个1,1个-1,

%2—。4=(05—04)+(“6—05)+,,,+(弓2—G1)-2=—2,

得0+1-6。=4,5,…,11）的值有5个-1,3个1,

此时，数列｛%｝的个数为C；C；=168个.

综上所述，数列｛玛｝的个数为168+168=336.

故答案为：336.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列个数的求解，解题的关键在于确定的值的个数，结合组合计数原理和分

类加法计数原理求解.

例7.（2022•全国•高三专题练习）考查等式：C°C：-m+D+…+&CL,=C：（*）,其中〃，九reN*,rW根＜〃

且祖.某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设一批产品共有“件，其中，”件是次品，其余为正品.现

从中随机取出厂件产品，记事件&=｛取到的『件产品中恰有七件次品｝，则P（4）=隼葭，k=0,l,2,...,

,.显然4，A，…，4为互斥事件，且口4=。（必然事件），因此

I=P（Q）=P（4）+P（A）+L+P（AJ=+QCi；+L+C£Q,,所以

Ci

C+CX1+---+c1cLi=c;,即等式（*）成立.对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性

与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑.现有以下四个判断：①等式（*）成

立，②等式（*）不成立，③证明正确，④证明不正确，试写出所有正确判断的序号.

【答案】①③

【解析】

【分析】

构造概率模型，从中随机取出厂件产品，记事件&=｛取到的产品中恰有上件次品｝,利用古典概型概率公式

求得其概率，根据4，A，…，4为互斥事件，且&uAuL口4=。（必然事件），即可判断.

【详解】

设一批产品共有〃件，其中加件是次品，其余”一小件为正品.

现从中随机取出厂件产品，记事件4=｛取到的产品中恰有左件次品｝,

则取到的产品中恰有k件次品共有c：c;二种情况，

又从中随机取出『件产品，共有C：种情况，％=0,I,

「k「r-k

故其概率为P（AJ=」产，k=0,1,r

4，…，4为互斥事件，且A）U4UL口4=。（必然事件）,

因此I=P(O)=P(4)+P(4)+L尸⑷=

C：

所以CXi+c/Ci-+L+G—,即等式（*）成立.

从而可知正确的序号为：①③.

故答案为：①③.

【点睛】

关键点点睛：本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的

概率公式求概率，题目新颖.

例8.（2022.全国•高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G,X八个点涂色，

要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有种.

A

【解析】

【分析】

分瓦EG,“涂4种，3种或2种颜色，再分别计算涂色的方法种数.

【详解】

①对瓦£G,H涂4种颜色，对于剩下的各剩2种颜色，且相邻的都含一种颜色是相同的，即当某

个点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，那么A氏CD共有2种情况，共有A：x2=48种，

②对E,F,G,H涂3种颜色，对于瓦从4种颜色中取3种，即q=4,从这3种颜色中取1种来作

重复的一种，即C；=3,再对这四种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，再对其他不重复

的2种进行排列&=2,即2周=4对于剩下的A,8,C,£）同①一样，各剩2个颜色，当其中一点取一种颜色

时，其他点颜色是确定的，共有2种，故共有.2=4x3x2x2x2=96种，

③E,£G,H涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有废x2=12种方法，A,民C,D共2种颜色，故

共有C：x2x2=24种方法，

所以一共有48+96+24=168种方法.

故答案为：168

【点睛】

关键点点睛：本题考查排列，组合，计数原理的综合应用，本题的关键是正确分类E,EG"的涂色方法种

数，并且先涂瓦RG,H,再涂AB,C,O.

过关测试

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）设E（x）是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（）

A.E（X+lnX）＞E（X）+ln（E（X））B.E（X2lnX）＞E2（X）ln（E（X））

C.E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））D.E（X2sinX）＞E2（X）sin（E（X））

【答案】A

【解析】

【分析】

根据各选项的期望，分别判断y=x+lnx、y^x2\nx,y=x+sin尤、y=Ysinx在定义域内是否存在下凹

区间即可.

【详解】

A：由y=x+ln尤且定义域为（0,+oo）,则了=1+,，/=-4-＜0,即y为上凸函数，有

XX

五屿〈甘+ln—，所以E（X+lnX）＜E（X）+ln（E（X））；

33

B：由y=x21nx且定义域为（0,+8）,则/=2xlnx+x,y"=21n尤+3,显然伯方,+«＞）上丫"＞°，即＞在（”,+（»）

为下凹函数，生地要也!＞（%产）2in幺产，所以存在E（x21nX）＞E2（x）in（E（x））；

C：由y=x+sinx,贝ljy'=l+cosx,yn=-sinx,显然在［（2左一1）万,2左万］,^GZ±/＞0,即＞在［（2左一1）肛2左左］,

左eZ为下凹函数，有％+sm%+sm%＞上产+$出土产，所以存在E（X+sinX）＞E（X）+sin（E（X））；

jr

D：由yn/sinx,贝！Jy'=Zxsinx+Jcosx,yn=（2-x2）sinA:+4A:COSX,显然存在（0,万）上y"＞0,即,在

（0二）为下凹函数，有五垩五土里屿＞（土土强）2sin五士三，所以存在E（X2sinX）＞E2（x）sin（E（X））.

2222

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：利用函数二阶导数的几何意义判断各选项对应函数定义域内是否存在下凹区间即可.

2.（2022・江苏•高三专题练习）已知（1+尤+/）"=雹°+7＞+7＞2+…+穹，•"，〃wN*,其中T为（l+x+x。”

展开式中x’项系数，i=0，L2,…,2〃，则下列说法不正确的有（）

A.T；=T产,z=0,1,2,--,14

B.T；+T；=北

C.力146;=2力

i=lz=0

D."是"，T；,T；，…,4"是最大值

【答案】B

【解析】

【分析】

146

由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A,D正确，根据计算可得穹+7；3H＜3,牛=2工31,所以C

z=li=0

正确.

【详解】

由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，

当”=7时，

4

=C；(1+尤)7+C；(1+X)6尤2+C；(1+尤)5/+C：(1+X)f+C；(1+x)3尤8+C；(1+x)2？°+C^(l+尤)《酸+〈/

=1+7%+28/+77/+245/+266x5+357x6+393丁+357x8+266/+245/°+77产

+28.X12+7X13+X14

故看=7；g,丁；是穹,T；,T；,…,年4的中间项，故"最大，所以A,D正确；令x=0可知：

1=4。+7；：.0+7；2.0+.+窘”.0=10；

当”=7时，(1+彳+尤2丫=1+管》+劈/+...+"4尤I","=c；+c；=7+21=28,q3=c；C：+C；=42+35=77,

&3=C；G+C；=112,所以"+看片穹，所以B不正确；

141414

令x=l可知，3,=T；+驾+T；+...+T：=£驾=1+£驾,即37-l=E"；

z=0i=li=l

bQ7_i146

又因为223'=2(3°+31+32+...+3与=2-冒=37-1.故£"=2£3',C正确.

故选：B.

3.(2022.新疆.一模(理))如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或

右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1-3-4-5-6-7就是一条移动路线，则从数字

“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

分类分步排列即可.

【详解】

由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：

(1,3,5,6,77(1,3,4,6,77(1,3,4,5,77(1,2,4,6,7),(1,2,4,5,7),(1,2,3,5,7)共6条，

故选：B.

4.(2022.重庆南开中学模拟预测)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角

的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,L,则

下列选项不正确的是()

■才.

『,A,641

八二二5一’101051

»15201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第"("25)条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有2"+1-(--个数

4

D.在第11条斜线上，最大的数是C；

【答案】A

【解析】

【分析】

根据从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…，得到数列规律为。“+。用=。"2判断

A选项，再根据杨辉三角得到第"条斜线上的数为：CT，CL，Q_3，CL，C_5，~，CM，C；(2一,,进而判断BCD.

【详解】

从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,L,

其规律是“"+a„+l=a„+2>

所以第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误；

第1条斜线上的数：%

第2条斜线上的数：C,1；

第3条斜线上的数：C»,C,\

第4条斜线上的数：cf,d.

第5条斜线上的数：

第6条斜线的数：C；c，《，

...,

依此规律，第n条斜线上的数为：3m，…F，c/,…,

在第11条斜线上的数为C*,c；,c；,c；,c；,c；,最大的数是C；,

由上面的规律可知：〃为奇数时，第〃条斜线上共有等=毕个数；

24

“为偶数时，第〃条斜线上共有共有个数，

24

所以第〃条斜线上共2'+l-（T）”,故C正确；

4

由上述每条斜线的变化规律可知：在第〃（九.5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确.

故选：A.

5.（2022•福建泉州•高三开学考试）若数列｛%｝的通项公式为%=（-1尸，记在数列｛%｝的前〃+2（〃eN*）项

中任取两项都是正数的概率为2,则（）

A.P,=—

13

B.<段+2

C.<七

D.^2„-1+P2n<&+1+&+2­

【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知得数列｛%｝的奇数项都为1,即奇数项为正数,数列｛%｝的偶数项为-1,即偶数项为负数，当〃=1时，

由此判断A选项；

将2〃-1代入，求得&T；将2〃代入，求得£“；将2〃+1代入，求得己.；将2/2代入，求得&+”再运

用作差比较法，可判断得选项.

【详解】

解：因为数列｛〃“｝的通项公式为为=（-l）i,所以数列｛。“｝的奇数项都为1,即奇数项为正数，数列｛”“｝的

偶数项为T,即偶数项为负数,

又数列｛%｝的前"+2（〃eN*）项中，任取两项都是正数的概率为Pn,

当”=1时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为故A正确；

将2〃-1代入，数列｛4｝的前2"+l（〃wN*）项中，有（"+1）个正数，〃个负数，任取两项都是正数的概率为

,M9+1）_〃+1

2，，-1CM（277+1）•（277）477+2，

将2"代入，数列｛a“｝的前2〃+2（〃eN*）项中，有（〃+1）个正数，（〃+1）个负数，任取两项都是正数的概率为

p：C3_77（〃+1）_n

2"C；“+2（2〃+1＞（2"+2）4”+2'

将2〃+1代入，数列｛《,｝的前2"+3（〃eN*）项中，有（〃+2）个正数，（〃+1）个负数，任取两项都是正数的概率

一C<5+1）5+2）〃+2

!+1匾（2n+3）-（2n+2）4〃+6

将2〃+2代入，数列｛风｝的前2w+4（“eN*）项中，有（"+2）个正数，（〃+2）个负数，任取两项都是正数的概

C2几+2）_n+1

率为&+2=7产

（2n+3）-（2n+4）4〃+6

nnn〃+1-2八

-<故正确;

所以2"-in+2-4n+24n+6­（4«+2）-（4n+6）'所以B

_n+1n=$＞。，所以*也

故c错误;

4〃+24〃+2

n+l+〃）［〃+2+n+1

（&一1+&）-（&+1+g〃+2）=

4n+24n+2J（4〃+64n+6

2n+l2n+3_11

4n+24n+622

所以^2n-l+£〃=^2n+l+£〃+2,故D错误,

故选：AB.

6.（2022・全国•高三专题练习）由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其

恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3

个数字“125”保持递增）的概率是（）

A.—B.—C.—D.一

2012106

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字

排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解

【详解】

由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共A；=12。个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，

说明中间数字为1;

在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序，仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两

位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）=

因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有C：=6个，

所以所求的概率尸=卷=

故选：A.

7.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛即｝满足幻=0,且对任意"GN*,的+7等概率地取m+1或。〃-1,

设m的值为随机变量5，贝U（）

A.P（+=2）B.E（与）=1

C.P«5=0）<P（缶=2）D.P«5=0）<P（+=0）

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可知。2=1或42=—1,且尸（。2=1）=尸（。2=-1）=；,进而可求g3的期望，可判断AB;再结合

条件求尸«5=0）,可判断CD.

【详解】

依题意。2=1或。2=—1,且尸（。2=1）=尸（。2=—1）=；,

&3=。3的可能取值为2,0,-2

Pe=2）="=；，

=xlxl

P«3=0)2

222-

11

P(&3=—2)=—x—=

224

(0)=2XLOX；+(—2)

Ex—=0,由此排除A和B；

424

自4=〃4的可能取值为3,1,—L-3

P(§4=3)=gp(匕3=2)=-

28

尸(5=2)+©=0)_3

P«4=1)

28

P©=O)+P©=—2)_3

P(^4=-1)

28

(自4=-3)=yP«3=-2)=|

自5=〃5的可能取值为4,2,0,-2,-4

P©=D+P&=T)3

P«5=0)

28

—尸(刍=3)+1(4=1)_1

P(§5=2)

24

所以P(*=0)>P(&5=2),排除C.

31

因为尸«5=0)=7，P(匕3=0)=7，所以尸(自5=0)<P«3=0),故D正确.

O/

故选：D.

2021

8.(2022•全国•|WJ二专题练习)已知(l+x)2°2l=%+〃[X+〃2x2+〃3/H-----1-dt2021x,则

“2020+2“2019+3“2018+4“2017+,,'+2020。]+2021”。—)

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项(2021-幻％442021,再借助二项式性质即可得

解.

【详解】

依题意，Ok=C；02i，kWN,kM2021,

2021*

当*i时，(2021-k)a=(2021-k)C^=2021C^-k-',=2021C^-

k02l021l4V/4J.rv)♦/V♦021

2021-------------------------------=2021(C*021-C露)，

L2020-(fc-l)]!.(A:-l)!20212020

~2021一

々202。+2a2019+3a2018+4〃2017+•■,+2020<1]+20214=)：(2021—左)+2021%

_k—\_

202120212021

=》021(原-6总)]+2021圆=2021kA-1

乙\c口2021-乙V口c2020

k=lk=0k=\

=2021(22021-22020)=2021x22020.

故选：B

9.（2022・全国•高三专题练习）已知x,y,zeN*,且x+y+z=10,记随机变量J为无，y,z中的最大值，则

E©=()

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出方程的全部正整数解，即基本事件总数，占为x,y,z中的最大值，则J可能的取值为4,5,6,7,8,然

后分别求出对应的概率即可.

【详解】

根据隔板法，将10看做10个完全相同的小球排成一排，中间形成的9个空，放入两块隔板，可求得

尤+y+z=10正整数解有C；=36组，J可能的取值为4,5,6,7,8,不妨设x=max{x,y,z},贝U=x,下分类

讨论：

%=8,(x,j,z)=(8,1,1)；x=7,(x,y,z)=(7,1,2),(7,2,1)

%=6,(羽Xz)=(6,1,3),(6,3,1),(6,2,2)；

%=5,(羽Xz)=(5,1,4),(5,4,1),(5,2,3),(5,3,2)；%=4,(x,y,z)=(4,3,3),(4,4,2)

但根据x，y，z的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以3,于是则有：

=8)=—=—,P(J=7)=—=—,P(J=6)=—=—,

3612366364

尸©=5)=竺=,，尸(自=4)=9=」

363366

=--8+--7+--6+--5+--4=—

v71264363

故选：D

10.（2022.全国•高三专题练习（理））圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，

其中梯形的个数为（）

A.10B.20C.40D.60

【答案】D

【解析】

【分析】

把10个点看成5条线段的组合，再利用组合公式计算即可.

【详解】

梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行

弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.

故选：D

11.（2022•全国•高三专题练习（文））已知递增正整数数列｛%｝满足为+2eN*）,则下列结论中正确

的有（）

（1）%、的、的可能成等差数列；

（2）%、电、的可能成等比数列；

（3）｛。“｝中任意三项不可能成等比数列；

（4）当”,3时，。“+2>%+~“恒成立.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据题意得到数列间的关系+2,不放假设q22,a2>4,%26可判断（1）；假设生、电、的是

等比数列退出矛盾可判断（2），进而可判断（3）；同（2）一样证明｛4｝中任意三项不可能成等比数列；当“23

时，%=可判断（4）；

【详解】

4+1X(%+|-1)x(仆+1-2)X…X(。用一七+1)

因为an+2=C：二

a„X(an-1)X---X2X1

因为{%}是递增正整数数列，所以%N.i+l,

当%=%7+1时，«„+1=C：；-=C；=a„,不满足题意；

所以4241+2,若4=1,则%=。2，不满足题意；

所以q22,a2>4,a3>6f

不妨取％=2,%=4,%=6,此时〃i、的、生成等差数列，故（1）正确;

若生、。2、。3成等比数列，则。22=%。3,

%X(%—1)X(〃2—2)X…X(%—q+1)〃3X(〃2—1)X(%—2)X…X(%-%+1)

所以

axx(^-l)x...x2xl%x(q—l)x…x2xl

—1)x(4一2)x…x(%—q+1)

=c"；=%T,

(q-1)x…x2x1

所以外=%T即％=外+1与％,2T+2矛盾，故（2）错误;

同理假设a.—，an,an+l成等比数列则an=an_xan+x,

(a“一l)x(%2)x...x(a“一%]+1)

所以为=。：二「=%-1,

(a„_i-l)x--><2xl

与6+i善4+2矛盾故（3）正确;

当〃23时，an+2—C工且an+1>an+2

aa2

aM=C0"=C-'~">C=""十|X（""+1—1）>a+.a,

九+2an+ian+lan+x?n+\n

故（4）正确；

故选：D

【点睛】

几I

本题主要考查数列与组合数相结合的综合题，组合数公式c；=”,这是正确计算的关键，其次也

要注意式子的化简与放缩等.

12.（2022•浙江•高三专题练习）设集合5={-20,21,5,-H,-15,30,a},我们用/（S）表示集合S的所有元素之

和，用g⑸表示集合S的所有元素之积，例如:若A={2},则/（A）=g（A）=2；若八{2,3},则/⑻=2+3,

g（B）=2x3.那么下列说法正确的是（）

A.若。=0,对S的所有非空子集4，/(A)的和为320

B.若。=0,对S的所有非空子集即〃耳)的和为-64。

C.若。=-1,对S的所有非空子集C,,8(＜；)的和为-1

D.若。=-1,对S的所有非空子集。,，g(p)的和为0

【答案】C

【解析】

【分析】

对于选项A、B：

当“=0时，S={-20,21,5,-11,-15,30,0},则〃S)=10.

由〃s)的定义，计算出所有"S)的值，即可判断；

对于C、D：

根据g(S)的定义，计算g(S),进行判断.

【详解】

对于选项A、B：

当a=0时,5={-20,21,5,-11,-15,30,0},则/(S)=10.

(I)当S的所有非空子集中只有一个元素时，显然所有的/(4)的和为10；

(2)当S的所有非空子集中有两个元素时，共有C；=21个子集，且21个子集共有42个元素，所以S的每

一个元素都被取到6次(每个元素被取到的可能性相等)，此时所有的的和为6x/(S)=60；

同理，以此类推，可类推出子集有3、4、5、6、7个元素时，/(A)之和分别为

C[x3)=7X6X5X3X1()=150；

7v73x2x17

C^x47X6X5X4X4X1()=200：

7v74x3x2xl7

C[x57X6X5X4X3X5X10=150；

7v75x4x3x2xl7

Cfx67x6x5x4x3x2

/(s)=x-xl0=60

76x5x4x3x2xl7

C；x77x6x5x4x3x2xl7

〃S)=x—xlO=10.

77x6x5x4x3x2xl7

故A、B错误;

对于C、D：

当a=—1时，S={-20,21,5,-11,-15,30,-1}.

（1）当子集中有7个元素时，g（B7）=（-l）x（-20）x21x5x（-ll）x（-15）x30,

（2）当子集中有6个元素时，记此为不含元素-1的子集，则有g（%）=-g（37）.

77

其他含-1的子集分别即为练（24注7）,则有（见）=-8（与）+1>（生）.

i=li=2

7

同理可以得到：当当子集中有5个元素时，记之为不含元素-1的子集，则有g（%）=-£g（线J

i=2

77

其他含-1的子集分别即为练（24W7）,则有£g（%）=-g（B7）+£g（%），

z=li=2

所以对于由〃（〃<7）个元素的子集，都可以分成两类：含-1的与不含-1的，其中，不含一1的部分刚好为（〃+1）

元素中含-1的子集元素积之和的相反数，那么相加可以抵消，指导最后仅有一个元素的子集时，仅有含-1

的一个子集未被抵消，则s的所有g（G）之和为-1，故c正确，D错误.

故选:C

【点睛】

数学中的新定义题目解题策略：

⑴仔细阅读，理解新定义的内