几何图形综合探究题（含答案）-2025年人教版中考数学一轮复习学案

类型一固定图形的证明与计算

1如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交AD,AC,BC于点E,O,F,连接

CE和AF.

(1)求证:四边形AECF为菱形.

⑵若AB-8,BC=16,求菱形AECF的周长.

》思维阶梯

(1)|根据ASA证明△AEOt^CFO

O|OE=OF|

◊|四边形AECF是平行四边形

o|根据EFLAC判定四边形是菱舷

(2)|由线段垂直平分线的性质，得AF=CF

◎设AF=x

在Rt^ABF中，利用勾股定理列方程求解

,针对训练

1.已知正方形ABCD,在BC和CD边上各有一点E,F,且CE=CF,连接AF,EF,分别取AF,EF的中点

M,N,连接DM,CN,MN.

⑴如图1,连接AE.

①求证:AE=AF.

②求NDMN的度数.

(2)如图2,将4CEF绕点C旋转，当ACEF在正方形ABCD外部时，连接DN,试探究DN与MN的

数量关系,并说明理由.

类型二与动点问题有关的证明与计算

部2如图，菱形ABCD的边长为4,E,F分别是边BC,CD上的动点,/BAC=/EAF=60。,连接EF,

交AC于点G.

(1)求证:AE=AF.

(2)求△ECF周长的最小值.

⑶若BE=1,求CG的长.

，思维阶梯

(1)1根据菱形的性质得AABC是等边三角形

o|利用ASA证明AABE名ZXACF

o|可证明结论

(2)|证明4AEF是等边三角形

o|将AECF的周长转化为EF+BC

0|求EF的最小值即可

(3)|证明△CEGs^BAE

根据对应边成比例可得CG的长

针对训练

2.如图，在正方形ABCD中,AB=3,M为CD边上的一动点(不与点D重合)，点D与点E关于AM所

在的直线对称，连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF,AF.

□O

C>-----------------IBC-------lB

（备用图）

(1)依题意补全图形.

⑵若DM=1,求线段EF的长.

(3)当点M在CD边上运动时，若4AEF为等腰三角形，求DM的长.

类型三图形旋转、平移、折叠变换

3(2024•福州三模)如图,在等腰△ABC中,人8=人©=5,：^=8人口_18(3于点口,点£在线段人口

上，连接BE,CE,将线段CE绕点E逆时针旋转，点C的对应点F恰好落在BA的延长线上.

(1)如图1,当AD=AF时.

①求证:/ABE-/BCE;

②求sinF的值;

⑵如图2,当AE=AF时，求AE的长.

》思维阶梯

(1)①|利用“三线合一”的性质结合勾股定理求得AD,BF=5+|利用SSS证明

ABEF^ABE^|可证EB=EC卜|根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质求证即可

②作EHLBF于点H卜|可证ABHE日Z^BD中|设DE=EH=x，则AE=3-x,AH=l

。|利用勾股定理列式计算卜|求得DE,C*|根据正弦函数的定义即可求解

(2)|设AE=a，贝IDE=3-a卜|可证△FAEs^FEB卜|推出EF2=A"1*|利用勾股定理列式计算

◎|利用勾股定理求得CE2=DE2+CD节|根据CE=EF,列式计算即可求解

针对训练

3.如图1,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在边BC上，且不与点B,C重合.将4APB沿直线AP

折叠得到△APB；点B，落在矩形ABCD的内部，延长PB咬直线AD于点F.

⑴求证:FA=FP.

(2)①当P是BC的中点时，求AF的长;

②如图2,直线AP与DC的延长线交于点E,连接BB，交AE于点H,G是AE的中点.当

/EAB，=2/AEB，时,请判断AB与HG的数量关系,并说明理由.

参考答案

例1解析：(1)证明:・・・EF是AC的垂直平分线，

JAO=OC,ZAOE=ZCOF=90°.

・・•四边形ABCD是矩形，

・・・AD〃BC,・・・NEAONFCO.

ZEAO=ZFCO,

在△AEO和△CFO中,AO=CO,

NAOE=Z.COF,

・・・△AEOACFO(ASA),OE=OF.

又：OA=OC,...四边形AECF是平行四边形.

又；EF，AC,...平行四边形AECF是菱形.

⑵设AF=x.

VEF是AC的垂直平分线,AB=8,BC=16,；.AF=CF=x,BF=16-x.

在RtAABF中，由勾股定理，得AB2+BF2=AF2,

即82+(16-x)2=x2,解得x=10,.\AF=10,

菱形AECF的周长为40.

针对训练1.解析:(1)①证明:；四边形ABCD是正方形，

AB=AD=BC=DC,ZABE=ZADF=90°.

CE=CF,BC-CE=DC-CF,BE=DF.

AB=AD,

SAABE^DAADF中，NABE=zADF,

,BE=DF,

.「△ABE咨△ADF(SAS),

.\AE=AF.

②,:ZADF=90°,M,N分别是AF,EF的中点，

・・・DM=AM=FM=^AF,MN//AE,

ZMDA=ZDAF,ZFMN=ZFAE.

VAABE^AADF,ZBAE=ZDAF,

・・・ZMDA=ZBAE,

NFMD=NDAF+NMDA=NDAF+NBAE,

.\ZDMN=ZFMD+ZFMN=ZDAF+ZBAE+ZFAE=ZDAB=90°.

(2)DN=V^MN.理由:如图，连接AC,AE.

VM,N分别是AF,EF的中点,

・・・AE=2MN.

CE=CF,ZECF=90°,CN±EF,CN=EN=FN=1EF,

・•・ZCNE=90°,ANNCE=NNEC=45。.

VAD=CD?ZADC=90°,/.ZDCA=ZDAC=45°,

.CNCD...V2

>.—=­=sin45o=—.

CECA2

,/NDCN=NACE=450+NDCE,

.,.△DCN^AACE,

:.黯修.•・枭MDNMMN.

例2解析:(1)证明:丁NBAC=NEAF=60。,

・・・ZBAE=ZCAF.

四边形ABCD是菱形,AB=BC,AB〃CD,

.,.△ABC是等边三角形,/ACD=/BAC=60。，

.•.AB=AC,ZB=60°,.*.ZB=ZACD,

AABE^AACF(ASA),.\AE=AF.

(2)VAABE^AACF,BE=CF.

:菱形ABCD的边长为4,

AECF的周长=EC+CF+EF=EC+BE+EF=BC+EF=4+EF,

.,.当EF最小时,ZVECF的周长最小.

AE=AF,ZEAF=60°,AAEF是等边三角形，

.\AE=EF,

即当AE最小时,AECF的周长最小，最小值为4+AE.

VE是BC边上的动点，，当AELBC时,AE最小.

在RtAABE中,AB=4,/B=60O,，AE=2V5,

，AECF周长的最小值为4+2V3.

(3)V四边形ABCD是菱形,/BAC=NEAF=60。,

；.AB=BC,

AABC是等边三角形,，ZABC=ZBCA=60°.

由(2)知4AEF是等边三角形,，ZAEF=60°,

ZBAE=180°-60°-ZBEA=ZCEG,

.,.△CEG^ABAE,

(CECG・4—1CG.「「3

ABBE'4154

针对训练2.解析:⑴补全图形如图1所示.

(2)如图2,连接BM.

:点D与点E关于AM所在的直线对称,，AE=AD,/MAD=/MAE.

:四边形ABCD是正方形，

AD=AB,ZD=ZABF=90°.

VDM=BF,；.AADM^AABF(SAS),

AF=AM,ZFAB=ZMAD,AZFAB=ZMAE,

.\ZFAE=ZMAB.

又：AB=AE=AD,

AFAE^AMAB(SAS),EF=BM.

,/四边形ABCD是正方形，，BC=CD=AB=3.

DM=1,/.CM=2,BM=VBC2+CM2=V13,

.•.EF=V13.

故线段EF的长为g.

(3)设DM=x(x>0),则CM=3-x,

/.EF=BM=VCM2+BC2=VX2-6X+18.

AE=AD=3,AF=AM=VDM2+AD2=Vx2+9,

.,.AF>AE,.\当AAEF为等腰三角形时，只能有两种情况AE=EF,或AF=EF,

①当AE=EF时，有Vx2-6x+18=3,解得x=3;

②当AF=EF时,VX2-6X+18=VX2+9,解得x=|.

综上所述，当4AEF为等腰三角形时,DM=3或*

例3解析:⑴①证明:：AB=AC,BC=8,AD_LBC于点D,

1

・・・BD=CD-BC=4,

2，

AAD=VAB2-BD2=3,

・・・AF=3,

・・・BF=8,

・・・BF=BC.

VBE=BE,EF=EC,

.,.△BEF^ABEC(SSS),

・・・ZABE=ZEBC.

•・・AD_LBC,BD=CD,

・・・AD是BC的垂直平分线，

・・・EB=EC,

'ZEBC=ZECB,

・•・ZABE=ZBCE.

②如图，作EH±BF于点H,即NBHE=90。，

VABEF^ABEC,

・・・ZABE=ZDBE,ZF=ZECB.

,/NBHE=NBDE=90o,BE=BE,

.,.△BHE^ABDE,

・・・DE=EH,BH=BD=4.

设DE=EH=x,

AE=3・x,AH=AB-BH=l.

,.*AH2+EH2=AE2,

l2+x2=(3-x)2,

解得X=1,

.\DE，，

3'

CE=VDE2+CD2=Jg)2+42=^,

sinF=sinNECD-DE~^.

CE10

(2)设AE=a，贝！JDE=3-a.

VAE=AF,

・・・AF=a,NF=NAEF.

VAD垂直平分BC,

・・・BE=CE,

由旋转得CE=EF,

・・・BE=EF,

・・・ZF=ZABE,

・•・ZAEF=ZABE.

又・.・NF=NF,

AAFAE^AFEB,

.A£EF

■,EFBF?

.*.EF2=AFBF.

VCE2=DE2+CD2,

・・・CE2=(3-a)2+42,EF2=a(5+a).

•・・CE=EF,

:.a(5+a)=(3-a)2+42,

解得a=||,

针对训练3.解析:⑴证明:由折叠性质可得NAPB=/APF.

:四边