江苏省某中学2024-2025学年高三年级下册2月月考数学试题及答案

江苏省扬州中学2024-2025学年度第二学期学习效果评估

局二数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合/={-1,0,2},B={x\-L-mx>Q},若A^B,则0的取值范围是（）

A.（-1,+<»）B.（一%）C.OD.（-8,-

2.已知复数为在复平面内所对应的点位于第一象限，且三=」，则复数Z2在复平面内所对应的

2i

点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量/=（3,利，4C=（l,y/l^且近-%=AB-AC^则445C的面积为（）

A.2A/3B.3A/3C.4百D.673

4.已知函数〃x）=3/一—+2,且/（叫+/伽-4）>2,则实数。的取值范围是（）

A.（-4,1）B.（-oo,-l）u（4,+oo）C.（-oo,-4）U（l,+oo）D.（-1.4）

5.若（x—2y）（4—>）5的展开式中含x"?"的项满足加+〃=2,则这些项的系数和为（）

x

A.10B.20C.30D.40

6.波斯诗人奥马尔•海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程/+/x=岫R0,6>0）的几何求解方

法.在直角坐标系xp中，R0两点在x轴上，以OP为直径的圆与抛物线C：/=即交于点区,

及。，。。.已知x=|O0|是方程/+/》=方的一个解，则点尸的坐标为（）

7.已知正四棱锥尸-/BCD的底面边长为26，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则

正四棱锥尸-/2CA的体积为（）

A.8也B.12C.12cD.36

8.已知函数〃*的定义域为R,且对任意reR,满足九v--/h-〃=x,且〃〃=.〃）=1,则下

列结论一定正确的是（）

A.qiOO）2500B.f）100）-250CC.。加八2500D.储01）>250C

二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数办7=sm2x,若将〃2的图象向右平移工个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标

伸长为原来的2倍f纵坐标不变），得到函数夕方的图象，则下列说法正确的是（）

A.g（x）=sinfx-B.g/耳的图象关于点金。）对称

126

c.g/V的图像关于直线》=?寸称D.苧力的图像与"*的图像在/0二可内有4个交点

io.数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线q：：+£=i,上

顶点为E,右顶点为G,曲线C2上的点满足到尸（0,-1）和直线>=1的距离之和为定值4,已知

两条曲线具有公共的上下顶点，过厂作斜率小于0的直线/与两曲

线从左到右依次交于4瓦。,。且以21,则（）

A.曲线C?由两条抛物线的一部分组成

B.B.线段/尸的长度与A点到直线歹=5的距离相等

C.若S&AFE=3s&DFG,则直线/的斜率为一空

53

D.若线段48的长度为一，则直线/的斜率为-一

64

11.如图，在直四棱柱/8CD-44G2中，底面48。为菱形，NBAD=60°,AB=A4=2,P

为CG的中点，点0满足质=4反+〃西（2e[0』,〃e[0』），则下列结论正确的是（）

A.若2+〃=；,则四面体48P。的体积为定值

B.若4。=石，则点。的轨迹为一段圆弧

C.若△480的外心为0,则福•而为定值2

D.若2=1且〃=；,则存在点£在线段48上，

使得AE+EQ的最小值为,9+2师

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知等比数列｛%｝为递增数列,b“=一•记S”工分别为数列｛%｝,｛"｝的前”项和,

a”

aa9

若=i3S3+T3—12,则Sn—

13.已知。，，金］。,,

且满足sinatan/=1-cos。,sin(f)=;,贝ijcosa=

14.如果x,y是离散型随机变量，则＞在丫=＞事件下的期望满足

E(X\y=y)=X再尸(x=My=y)其中｛玉,超,是x所有可能取值的集合.已知某独立重

1=1

复试验的成功概率为P,进行〃次试验，求第〃次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功

的试验次数X的数学期望是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.在矩形/题中，点£在线段切上，且.43=5,CE=3,ZAEB-y

4

⑴求3c

⑵若动点例”分别在线段E4,旗上，且与NE必面积之比为(。_1厂4，试求删的最

小值.

16.刍翼^chumeng)是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有

袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱."，如

图，在刍襄4BCDEF中,四边形/2CA是正方形，平面8/E和平面CDE交于朋

(1)求证：C。〃平面8/£；

(2)若48=4,EF=2,ED=FC,AF=3日再从条件①，条

件②，条件③中选择一个作为已知，使几何体/8CDE/存在且唯

一，并求平面NDE和平面R4E的夹角的余弦值.

条件①：BFLFC,AF1FC；

条件②：平面CDEL平面4SC。；

B

条件③：平面CBF，平面48cD,BFA.FC.

17.已知函数反*=COST-Infl-x),g(x)=ax-1.

(1)求力M在r=。处的瞬时变化率；

(2)若夕x)<g/xj恒成立，求a的值；

18.户为圆/:(x+2)2+/=36上一动点，点6的坐标为(2,0),线段尸2的垂直平分线交直线NP于

点Q.

(1)求点。的轨迹方程C；

(2)如图，(1)中曲线，与x轴的两个交点分别为4和4，M、N为

曲线。上异于4、4的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标

轴平行.点〃关于原点。的对称点为s,若直线4s与直线4N相

交于点7,直线。7与直线相交于点兄证明：在曲线C上存在

定点£,使得ARBE的面积为定值，并求该定值.

19.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来扬州旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中;

2

的人计划只参观瘦西湖，另外］的人计划既参观瘦西湖又游览大运河博物馆，每位游客若只参观

瘦西湖，则记1分；若既参观瘦西湖又游览大运河博物馆，则记2分.假设每位首次来扬州旅游

的游客计划是否游览大运河博物馆相互独立，视频率为概率.

(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为才，求才的分布列和数学期望；

(2)从游客中随机抽取〃人(〃eN*),记这〃人的合计得分恰为〃+1分的概率为《，求£耳；

1=1

(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为A分的概率为。"，求数列｛。“｝的通项公

式.

《江苏省扬州中学2024-2025学年度开学考试卷》参考答案

题号1234567891011

答案cDACAABDBDABCABD

11+m>01

1.C【详解】由题意，因为工£台，贝

[1一2加>02

故选：C.

2.D【详解】因为复数均在复平面内所对应的点位于第一象限，

则设Z]=Q+bi(q>0,6>0),

因为三二-i,所以Z2=-34=—i・(〃+bi)=b—Qi,

zi

所以复数均在复平面内所对应的点为(d-a),

又6>0,-a<0,所以该点位于第四象限.

故选：D.

3.A【解析】解：因为运一就=AB-AC，所以4BJ..4C,

故.43,AC=3-口冽=0^解得加=-\Ti.

故石=2/1，AC=2'

又因为nxsc为直角三角形，

则面积S=空1£=2门，

故选：4.

7x_1

4.C【详解】由题意得，函数/(x)=3d——i-+i+i=3d+PJ」+i,

v7ex+lex+l

设g(x)==3d(xeR),

由/(q2)+〃3q—4)>2,得g(/)+g(3a-4)>0从而：g(〃)〉_g(3a_4),

33

XS^JgM=3(-x)+|-^=-^3x+17^=-g(x),

所以g(x)是R上的奇函数,即-g(x)=g(-x),

x_i7

又有g(x)=3x3H--P---=3x3------F1，

Jex+le'+l

2

因为>=3/是R上的增函数，y=一--一；是区上的增函数,

e+1

所以g(x)是R上的增函数；

贝Ig(〃)>—g(3。一4)可得：g(q2)>g(4—3。)，即Q2>4-3Q,

整理得：〃+3a—4>0,解得：〃〉1或Q<—4,

所以实数。的取值范围为4)U(1,+8),

故选：C.

5.A

6.A【详解】设尸亿0),的中点为(go］,

则以OP为直径的圆的方程为卜-+V=］，

与抛物线。：犬=今联立，可得［一；］+!》4=1，

化简可得x2-X+W=0,

a

由于R。，。。，可得R,。的横坐标相等,

则方程d+。2%=6和方程］一£+,=0有相同的解,

a

即有6=入，解得/=5，

则尸序。).

故选：A.

7.B【详角军】

p

因为球与该正四棱锥的各面均相切，所以该球的球心O在尸-ABCD的高线P”上，

过点b作于点E,连接尸E,过点。作。KLPE于点K.

因尸H_L平面48cO,/2u平面48CD,则尸H_L4B,

又PHcHE=H,PH,HEu平面PHE,则/3_L平面

因OKu平面故48_L0K,又4BCPE=E,AB,PEu平面P4B,故OK_L平面尸48.

依题意，OK=OH=1,因为底面边长为26，所以HE==拒,

在RtzXOEH中，tan/OEH=—=L,则=工，

TT7T

因OK=O〃=1,则/PEH=2/OEH=—,则=—,

36

EH=2

故「tan兀一6一,则/田四=丁(26)x3=12.

63

故选：B.

8.【答案】D【解析】解：因为依-。-f(x-1)=.v,

由累加法得：fCx)-fi2x-2)=2x-Lfi2x-2)-f(2x-4)-2x-i“…丸4)-负2)=3,

所以〃2x)-%2，=3-5-7-…72x7,，所以〃2#=1-3-5-7-—-2x-l)=f，

故〃100尸2500;故42错误;

再由累加法得：f(2x+1)—ft2x—1)—2x<f(2x—1)—f(2x—3)=2x—2>.....负3)—=2,

所以乙=-i：-\-/，^(101)=2551250C，故C错误，。正确.

故选D

9.BD【解析】解：对于.上将函数〃*=sm2\的图象向右平移工，可得函数

v=sin2/.Y-=sin，2v-E的图象；

126

再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍/纵坐标不变）得到函数g#=sin/v-，的图象,故”错误;

对于B:令1-，=六不，ke2,W=ke2,所以*制的图象关于点对称,故8正确;

对于C:令ke2,得*=生一大小kez,故C错误；

623

对于D：分别画出〃*与g/R在，。2R内的图像，可知有4个交点，故。正确；

对于A选项，设曲线。2上任意一点乱（X/），

由C2定义可知，XJ满足,肥+3+1）2+仅_\=4,

移项，平方可得：/+(y+l)2=(4-|y-l|)2=16-8|y-1|+()/-1)2,

,II—12y+24/21

即-=16-4>—8y—1=、\,为两条抛物线，故A正确；

[4y+8,y<l

对于B选项，厂和直线>=5分别为抛物线/=—12^+24的焦点和准线，由抛物线定义可知,

故B正确

对于C选项，易知厂为抛物线/=4y+8和V=—12y+24的焦点，

前者2=2,后者2=6,//,DF分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此

=-了口"1=3|。尸|,由于k4FE=3S^DFG,

1+COS01+COS0

则%_/=%_/，因此£G〃/,所以&=^G=—半，故D正确，

对于D选项，设/与y轴夹角为女尸同时为抛物线Y=—12了+24和椭圆的焦点，P=6,

-忸叫=------------=-,

1+cos。2-cos。6

44

解得cos6=w，则勺=一§，故C错误.

故选：ABC

11.ABD

【详解】对于A,如图，取。A靠近。的三等分点为N,。。靠近。的三等分点为〃，

连接CD1,儿W,

因为4+〃=；,所以3丸+3〃=1,

令DN=；DD、,DM=；DC,ffijDQ=ADC+/2DDX,

则加=32而+3〃而，得到。eACV,

因为。〃靠近。的三等分点为N,。。靠近。的三等分点为M,所以"N//CA，

而由直四棱柱性质得441AB,

而/8=44=2,由勾股定理得网="百=2也，

在直四棱柱48<券-44。1。1中，A.DJIBC,AR=BC,

得到四边形42cB是平行四边形，故

则84〃肱V，由题意得户为CG的中点，则尸的面积是定值，

而MN<z面AtBP,34U面AXBP,所以MNII面AlBP,

结合。eMN,由线面平行性质得Q到面AXBP的距离为定值，

即四面体43尸。的体积为定值，故A正确，

对于B,如图，在面4片。9中，过4作4K，GA，连接K。，

由直四棱柱性质得。21面44GA，则,4K,

而DDXcClDl=D],DD[,CQu面DDXCXC,

故4K_L面DDgC,则4K±KQ,

而面N8CD为菱形，则面45cA为菱形，

因为N2=/4=2,所以=2,

因为484D=60。，所以424片=60。，则NKDM=60。，

由锐角三角函数定义得芷=也，解得4K=g,由勾股定理得AK=1,

22

因为4。=石，所以由勾股定理得K0=]（行）2-（6）2=4,

则0在以K为圆心，血为半径的圆上运动，

设该圆与。n交于4，与Un交于

1_V2

由三角函数定义得cos/D]K4=则/*4=45°,

近一2

即点0的轨迹为一段圆弧，故B正确,

对于C,如图，作。由题意得△48。的外心为。，故〃是&B的中点,

由已知得42=2及，因为所以丽•港=0,

而福•丽=福.（4万+砌=福.福:+防•福,

AB

=AXBAXH=--AXBAXB=-AXB=~]i\=5由=4,故C错误,

1——►——►1

对于D,若2=1且"=/,止匕时=DC+'Z）。],

—»1——•1——»

因为p为CG的中点，所以。尸=5。储=力。2，

由向量加法法则得而=友+屈，i^DQ=DC+^DD],

则点。与点尸重合，此时把沿着4B翻折，

如图，使得4,4瓦尸四点共面，此时/E+E。有最小值ZP,

4

P（。）

AR

此时的点均为翻折过的点，因为P为CG的中点，所以CP=GP=I,

由勾股定理得第=也2+『=6,如图，连接4G，

由已知得ND/画=60°,则NG瓦4=120°,

由余弦定理得-工=2一+2—4盘,解得AC2也,

22x2x2

由直四棱柱性质得CG1面&BGP，则cc,14G，

则由勾股定理得A,P=7（2A/3）2+12=V13，

贝|J8P2+4B2=N72,故NPB4=90°,

而A8=N4=2,则N/B4=45°,得到NP8/=135。，

由余弦定理得一零=（若了+菱一//,解得/p=屈乖，故D正确.

22x<5x2

故选：ABD

14…

aa

12.【详解】出=i3n/q=1=%=—,S3+T3=122^+3H—=12,

一'q'q

则2q2_9q+4=（2g-l）（g-4）=0ngi=g,%=4.

由于｛M｝为递增数列，贝1Jq=4,4=；，

所以｛%｝的通项公式为%=4-2

所以s_；(1")_1(4〃1丫

7

14.【答案】一

9

【详解】由sinatan，=l—cosa,则sinasin，=cos，一cosacos〃,

因止匕cosacos夕+sinasin夕=cos(a-Q)=cos/3,

又因为4//?n]，

所以。—〃=/?,所以a=2£,

17

则sin(a-7?)=sin〃=—,cosa=cos2/?=l-2sin2/?=—.

14.【详解】设随机变量x,y分别代表第一、第二次成功对应的试验次数,

则尸(X=/,丫=n)=p2(l-py12,以及尸(y=n)=(w-1)/?(1-p)n~2p=(n-l)p2(l-p/~2,

/.、(

所以尸(X="』)=P(Xp(=yx.=,Y〃J=n=\力1，

所以E(X|Y=n)=^jxiP[X=i\丫=〃)=

i=\n-Lz=in—LzL

15.【答案】解：【方法一】设BC=\,贝I」8E=V9-3,4E=、4-x：，而43=5,

在A.4E方中，由余弦定理得25=9+N+4+NN9-xW4-.v；cos;

化简得2小：_6)=CV9+xW4+X：，

解得'=6或x=〃舍去3

所以8C=6；

【方法二】作E尸上.43,垂足为尸，设8C=x,NAEF=ZBEF=/,

则tana=二tan，=月'又NAEB=/

所以tan(a-3)=言■=9^=1，解得r=6仪=-/舍去),所以8cl=6；

-设EA/=加，EN=?b由〃jS/F/j;=，*5x6=15,由题：SAE\N：Sm+1):4,

♦S_1S(V*2+1),又sMtMCtn

-S」E.s,----------—'乂S」E.UV-yW/rnn---

15(72+1)

•・rm=--------------,

vT

由余弦定理得：'技=-\Tlmn>2mn->T2mn=(2->T2)mn=IS当且仅当="时取等

号

工，£>的最小值为

16.(1)证明见解析;

(2)选条件②，即

【分析】(1)利用线面平行的判定定理可得证；

(2)先判断只有条件②符合，再利用空间向量法求得二面角的余弦值.

【详解】(1)证明：在正方形48co中，CDHAB,CO<2平面R4E,48u平面A4E

所以CD〃平面8/E；

(2)由(1)知CD〃平面A4E,又C£>u平面CDE,平面与平面C£>£交于斯.

：.CD//EF,又CD11AB,AB!IEF

所以四边形COPE为等腰梯形，四边形"4EF为梯形；

条件①：BFA.FC,AF1FC,则/。，平面R4尸，即PC，平面以E

又EFu平面创E,此时四边形CDFE不为等腰梯形，故条件①不符合

条件③：平面C8F_L平面48cD,且平面C5尸c平面48cz)=8C

又CDLBC,「.CD，平面CAF,尸Cu平面CAF,CD1FC

此时四边形a%芯不为等腰梯形，故条件③不符合；

条件②：平面CDE_L平面N2CA,AF1FC；

过点尸作尸于。，过。作OHLOC于H,连接力。，

由平面CDE1平面ABCD,平面CDEc平面ABCD=CD,F0±平面ABCD

又OHu平面48CZ),:.FOLOH

以。为坐标原点，分别以尸所在直线为x),z轴建立空间直角坐标系，

因为CD〃平面A4E,CDu平面CDE,平面CDEc平面比1E=斯，，。//£77

在四边形CDFE中，ED=FC,EF=2,CD=4,所以OC=1,OD=3

在正方形4BCD中，4B=4,所以/。=5.

因为/O_LR9,且//=36，所以产。=也

所以2/(0,4,0),。(3,0,0),/(3,4,0),EQ,0,6),尸(0,0,行)

所以方=(0,4,0),2)E=(-l,0,V2),1£=(-1,-4,V2),而=(2,0,0)

设平面ADE的一个法向量£=(羽nz)

n-DA=4y=0

由«令z=l,则3=(0,0,1)

riDE=—x+42z=0

设平面A4E的一个法向量m=(a,6,c)

m-AE=—u-4b+41c=0

,令6=1,则浣=(0/,2收)

m-FE=2a=0

设平面ADE和平面BAE的夹角为d,

2V22A/6

则cos0=\cos(n,m==

LI-Iml3x^39

所以平面ADE和平面BAE的夹角的余弦值为城

9

17.解：〃〃7x)=_sinv-2，则门0)=1,

，:广力在T=。处的瞬时变化率为I.

12削侬=加)-ax-1=cosx+\n(l+x)-ax-bx>-L由条件知力(x)<。恒成立,

因为削0,=0,又力/R的图像在定义域上是连续不间断的，

所以\-=。是加2的一个极大值点，则〃70)=0,XAYx)=-smx-—~a>

所以做0/=1-。=0,得Q=1，

下证当a;I时，h(x)C对任意(£(一1,■刘恒成立,

令5*-ln/J-x)-工，则“意=」一一1-二，

l+x1+A

当-icxvo时，pr(.\)0,当i0时，，(:v)〈a

所以9仆,在，-/。单调递增，在。■到上单调递减,

1,三5。)=。，即+”-xM(，而cosx-lWA

所以，当xe(-L+8时,h(x)=fcos.v-1卜fin/7♦M-x]<C恒成立.

综上，若〃*二ov-[恒成立，则。=1.

2225

18.【答案】(1)—+^-=1(2)答案见解析，—

956

【小问1详解】

因直线网的垂直平分线交直线/尸于点。，贝『8。|=|尸由|幺0|+|80|=6〉4=|48|可

知，点。的轨迹是以点48为两焦点的椭圆，

22

且2a=6,2c=4,故a=3,c=2,b=#)，则点。的轨迹方程为：—+^-=1.

95

如图，设〃(国,必),N(X2，%)，直线MN的方程x=wy+〃(机w0,〃/0)，将其与椭圆方程

22

土+t=1联立消元整理得：

95

10/nn

5m*2+9

(5m2+9)y2+10mny+5n2-45=0,A=180(5zn2-n2+9)>0,且

由(1)知4(—3,0),4(3,0),设7(%,%)，由T,S，4三点共线得：』;=』三；由T,N，a

XQ+3Xj—3

三点共线得：一%=』w，

x0+3x2-3

则

2/_X0+3+%0-3_X1-3+X2-3_myi+〃-3+my2+〃-3?+(11

Jo%%%%%%必%

O-N必+>2c/—2mn6m

=2m+(H-3)------=2m-(n-3)-----=-----.

%%n-9〃+3

,以〃+3〃+3

故直线。T的斜率左=2=二一，则直线。7的方程为：y=——x,将其与直线的方程

联立，解得：x=—3,

因此点R在定直线/:x=-3上，使得ARBE的面积为定值的点E一定为过点B且与直线I平行的

直线x=2与椭圆的交点.

x=2x-2x=2

5,此时点E的坐标为(2,3或(2,-*).

由<X12V2解得：＜5或＜

——+—=1y=-y=——33

；3

1525

故ARSE的面