江西省南昌市2025届高三第一次模拟测试数学试题（含答案解析）

江西省南昌市2025届高三第一次模拟测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.二项式（x+lf的展开式中，％的系数为（）

A.-10B.-5C.10D.5

2.已知复数z满足z+2彳=6+i,则2=（）

A.2+iB.2-iC.l-2iD.l+2i

3.设P关于％的方程百sinx+cosx=Q有实数解，则夕是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件

4.已知则方程/（x）=8所有的根之和为（）

A.1B.2C.5D.7

5.已知｛〃“｝为等比数列，若〃2+4%=4〃3,则｛4｝的公比夕=（）

,11

A.—2B.2C.—D.-

22

6.直线歹=2x与圆Y+/一2%-3=0交于4,5两点，|。4|二石，则|。a二（）

AV5u275r375n4指

A•D•----------Vz.---------U•----------

5555

7.我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点

分布的顺序相同，则称这两个函数的图象''相似已知/卜）=/-；区2+[-1）2,则下列给

出的函数其图象与y=/（x）的图象“相似”的是（）

A.y=x2B.y=-x2C.y=x3-3xD.y=-x3+3x

8.已知双曲线=1的左、右焦点分别为耳为双曲线。第一象限上一点，4坐

的角平分线为/，过点。作坐的平行线，分别与尸片，/交于M,N两点，若|〃2V|=m尸乙

则AP片鸟的面积为（）

A.20B.12C.24D.10

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩

（单位：环）如下表所示:

次数12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（）

A.甲的平均成绩高于乙的平均成绩

B.预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛

C.预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛

D.预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛

10.如图，平行六面体N8CD-44GA的体积为6,点P为线段45上的动点，则下列三

棱锥中，其体积为1的有（）

B.三棱锥尸

C.三棱锥尸-。4cD.三棱锥尸-D/C

11.已知/'（x）是R上的连续函数，满足有/（x+y）+/（x-y）=/（x）/（y）,且

/⑴=1.则下列说法中正确的是（）

A./（0）=0B.y（x）为偶函数

D.弓,（）］是的一个对称中心

C.〃无）的一个周期为6

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知集合/=卜孙＜1},8={0,1,2,3,4},则4小3的元素个数为.

13.已知等差数列{%}各项不为零，前〃项和为S"，若5"=。"%,则％3=.

14.三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性

11------------

质1:丫/8(7的面积$=—/8-/。51114=—/8-/。12必；

22

性质2：对于V/BC内任意一点尸，有存•万+元•丽+而・岳=方・%+前・茄+山・屈;

性质3：V/BC内存在唯——点、P,使得/P4B=NPBC=NPCA=a.这个点P称为V4BC

的“勃罗卡点”，角a称为V/2C的“勃罗卡角”.

若V/5C的三边长分别为1,1,百，根据以上性质，可以计算出V/2C的“勃罗卡角”的正

切值为.

四、解答题

15.在V/BC中，角4瓦。的对边。也，成公差为2的等差数列.

(1)若VN8C为锐角三角形，求a的取值范围；

(2)若7siiU=3sinC,求V4BC的面积.

16.如图，在三棱锥尸一/8C中，Rl_L平面48C,N8=8C=l,NN8C=120。,尸/=/C,D为

PC的中点.

(1)求证：BDVAC-,

(2)求8。与平面PAB所成角的正弦值.

17.E!^D/(x)=xln(x-l)-ax(awR).

(1)若f(x)在定义域上单调递增，求”的取值范围;

⑵若v=/(x)有极大值加，求证：加＜-4.

试卷第3页，共4页

22W

18.已知椭圆C:=+4=l(a>6>0)的离心率e=",过点尸(4,0)作直线/与椭圆C交于

ab2

48两点(A在8上方)，当/的斜率为时，点A恰与椭圆的上顶点重合.

4

⑵己知"(1,0),设直线M4,M8的斜率分别为配质，设的外接圆圆心为E,点B关

于x轴的对称点为。.

⑴求左+伤的值;

(ii)求证：MELPD.

19.通过抛掷骰子产生随机数列｛4｝,具体产生方式为：若第后(左=123,…典)次抛掷得到点

数中=1,2,3,4,5,6),则ak=i.记数列｛%｝的前«项和为S”,X”为S”除以4的余数.

(1)若〃=2,求邑=4的概率；

(2)若〃=2,比较尸(苍=0)与尸(3=3)的大小,说明理由;

62n0

(3)若"=20,设(x+x?+x'+x"+x，+xy°=b0+bxx+b2xH—+bl20x,试确定该展开式中

各项系数与事件S“=j(jeN+!/-<120)的联系，并求X20=0的概率.

试卷第4页，共4页

《江西省南昌市2025届高三第一次模拟测试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DBAADCCCCDACD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】利用二项展开式的通项计算即可求得结果.

【详解】设二项展开式中的第左+1（丘N）项含有x,即C*5-处中含有x项，

令5-k=l,可得左=4；

所以含x的项为C214=5X,可得x的系数为5.

故选：D

2.B

【分析】根据复数及共轨复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数.

【详解】设复数2=。+研%北R）,

满足z+2亍=a+6i+2（a—6i）=3。一bi=6+i,

\a=2

所以八，，贝Uz=2-i.

也=-1

故选：B.

3.A

【分析】先结合辅助角公式及正弦函数性质求出4对应的范围，然后结合充分必要条件的定

义即可判断.

【详解】因为Gsinx+cosx=a，所以J§sinx+cosx=2sin[x+卜2,2],即-24a42.

因为p:0<a<l,q:-2<a<2

所以由夕可以推出4,由9不可以推出夕，所以夕是9的充分不必要条件.

故选：A.

4.A

【分析】求方程的所有根，然后相加即可.

【详解】若x<0,由f-2》=8=«+2加-4）=0,所以x=-2；

答案第1页，共14页

若%>0,由2"=8nx=3.

因为-2+3=1,所以方程/(x)=8的所有根的和为1.

故选：A

5.D

【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比g=

【详解】根据等比数列定义由。2+4。4=4%可得出+^^?=42夕，

显然。2工0,所以4g2—4q+l=0,

解得q=g.

故选：D

6.C

【分析】直线方程与圆的方程联立，求出力(1,2),8(-3-£|,利用两点之间的距离公式即

可求得结果.

【详解】

/\/xIy=2x

设N(X1,必),8(尤2,%),联立[2，c,八，消去»整理得：5X2-2X-3=0,

[x+y-Zx-5=

解得占=1,%=—,故/(1,2),4-1，-g),

利用两点之间的距离得|。同=o]+1o]=手，

故选：C

7.C

【分析】先利用导数求出函数/(x)的极值点，再逐一判断各个选项即可.

答案第2页，共14页

【详解】r(x)=ex-er+2x-2,贝i]/")=0,

令/'(x)=0,贝|e，=(e-2)x+2,

如图，作出函数了=巴了=小-2卜+2的图象,

由图可知函数7=e*,了=(e-2)x+2的图象有两个交点，

即函数N=/'(x)有两个零点1,%,且不<0,

令/''(x)>。，贝!]x>l或x<x°,令/''(x)<0,贝”o<无<1,

所以/■(%)在(-叫尤⑹上单调递增，在伉,1)上单调递减，

所以/'(x)的极大值点为甚,极小值点为1.

对于A,函数了=/在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)单调递增，

所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；

对于B,函数>在(-咫0)上单调递增，在(0,+e)单调递减，

所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；

对于C,y'=3x2-3,

当x<-l或x>l时，了=3%2-3>0,当一l<x<l时，y'=3尤2-3<0,

所以函数y=/-3x的极大值点为T,极小值点为1,故C选项符合题意;

对于D,夕=-/+3尤=-(尤3-3尤)，

则函数>=-d+3x的极小值点为-1,极大值点为1,故D选项不符.

故选：C.

8.C

答案第3页，共14页

【分析】因为肱v//尸耳，故ON为改3的中位线，Io河1=口尸尸2L由此得至力ON1=。尸鸟I,

26

再…利用WKN〜△工KP得，到|O局K|=/|ON|=z1推出\K口E\=可4，结合角1平分线,定理

IK卜2I依2I6I—2I3

*=镇=：,找出|母；|=8,|「£1=6,进而得解；

1^21IKt213

【详解】如图，记/与X轴交于点K,

由双曲线的定义，口耳HP且1=2。=2,|O^|=|O^|=5,

因为MN//P£,。为片与中点，故OM为△尸片居的中位线，|。朋＞；|尸工

211

\ON\=\MN\-\OM\=-\PF\--\PF\=-\PF\,

322262

易知，-F",故|Q屈K|=\扇ON\一1故\K屈E\=41

由/耳坐的角平分线为/,由角平分线的性质得：哥IFF,=I当IKF",I=34，

I^2113|3

所以|尸耳|=8,|%|=6/耳名|=10,

故AP片鸟为直角三角形，面积为gx6x8=24.

故选：C.

9.CD

【分析】选项A根据平均数比较可得；选项B根据方差比较可得；选项C根据射击一次大

于9.2环的概率比较可得；选项D根据射击一次大于8.8环的概率比较可得.

-7x2+8x2+9x5+10.

【详解】选择A：甲的平均数为:x=------------------=Xo.5,

10

_8x2+9+7x3+10x40r

乙的平均数为:y=------------------=8.6,故A错误;

10

选择B：甲的方差为：lx"-""1//"-"0）：。》,

答案第4页，共14页

2X（8-8.6）2+（9-8.6）2+3X（7-8.6）2+4X（10-8.6）2

乙的方差为：S2=

10

因百＜$2,故B错误；

142

选择C：甲射击一次大于9.2环的概率为正，乙射击一次大于9.2环的概率为正=二，

故C正确；

选择D：甲射击一次大于8.8环的概率为缶=：,乙射击一次大于8.8环的概率为记=9

故D正确，

故选：CD

10.ACD

【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依

次求解即可.

【详解】记平行六面体ABCD-44GA的体积为忆=6,

对于A,由平行六面体的性质，43〃平面DQCG，故点尸到平面的距离等于点3到

平面D.DCQ的距离，故VP_CiCD=VB_C1CD=gxgk=l,故A正确；

对于B,因为匕底面面积固定，点?在线段4B上位置不同，高不同，故

体积不为定值，故B错误；

对于C,因为AXBHCDX,AXBCZ平面，耳C,DCu平面DM，故43//平面D^C,

点P到平面自用。的距离等于点B到平面28c的距离，

故Vp-D\B、C=VB-D；BC=L-BCB,=/=1,故C正确；

对于D,因为4?〃CR,42①平面RACRCU平面DtAC,故////平面DtAC,

点尸到平面。/C的距离等于点B到平面。的距离，

故Vp-D[AC=—B-DiAC=VD「BCA=1X1K=1,故D正确；

故选：ACD.

11.BCD

【分析】令x=V=0,解得/（0）=2判断A,再令x=0结合偶函数定义分析判断B；计算

答案第5页，共14页

得出对称中心判断D,再分析可知/(x)是以6为周期的周期函数判断C.

【详解】因为/■(x+y)+/(x-y)=/(x)/(力，且/⑺的定义域为R,关于原点对称,

对于选项A：令x=y=O,则2/(O)=r(o),解得/(o)=o或/(o)=2,

若/(0)=0,令k0时，/(x)+/(x)=2/(x)=/(x)/(O)=0,

这与/⑴=1矛盾，故/'(0)=2,故A错误；

对于选项B：令x=0,则/3+/(-了)=/(0"3=2/3，

即/'(-了)=/(力，可知/("是偶函数，故B正确；

对于选项D：因为/(0)=2,/⑴=1,当x=1,y=1时，/'(2)+/(0)=/(1)/(1)，故/(2)=-1,

当尤=2,y=l时，/(3)+/(1)=/(2)/(1),故〃3卜一2,

当x=F=|时,〃3)+/(0)=/图,又"0)=2,故/(|)=0,

当x=1时,/■(|+1+/(泊=m/[)=0,

所以/(|+jj=o，(|,oj是“X)的一个对称中心，故D正确；

对于选项c：因为/(|+即(|+)-，河，即

+=则〃x+3)=-〃x),

所以;■(x+6)=-/(x+3)=/(x),故/'(X)是以6为周期的周期函数，故C正确;

故选：BCD.

12.2

【分析】求出集合A,利用交集的定义求出集合/C8,即可得出结果.

【详解】因为/={x|lnx<l}={x[0<x<e},5={0,1,2,3,4},贝！I/Cl8={1,2}.

因此，集合/c3的元素个数为2.

故答案为：2.

、13.1,,

13.—/6—/6.5

22

【分析】根据已知等式及等差数列基本量运算，计算求解即可.

【详解】在等差数列{4}中，。"不为零，设公差为d,

答案第6页，共14页

因为S〃=%a〃+i，令〃=1时，Sx=a[=a[a2,所以4=1,

令〃=2时，S2=a2a3,贝U1+4=%=4+2d,所以d=g,

1113

贝！J〃扫=出+1Id—1+.

13

故答案为：v-

2

14.—

5

【分析】在V4BC中，由余弦定理得/=120°,在AA8尸中，用正弦定理得8P=2sine,在

△P8C中,得2sina=2&sin（30。-a）,利用切弦互化法即可得到结果.

【详解】

因为V/2C的三边长分别为1,1,百，不妨设/3=1,4?=1,3。=6,如上图，

御+北上时=

1+1-3:，得4=120°,

由余弦定理得cosA=

-2x|^|x|^c|_一-

故3=30℃=30°,在AABP中,乙4尸8=180°-a-（300-a）=150°,

BPABBP1c

_------=--------------s-------=—=2,

用正弦定理得sinasin/APBsina£，得到5尸=2sina,

2

在△尸中，ZSPC=180o-a-（30°-a）=150o,

BP二BCBP巨n

用正弦定理得sin（300-a）sinACPBsin000-a）j_-

2

得到2sina=2百sin（30°—a）,

用差角的正弦公式得：sina=>A-cosa--sina

（22）

且c°santana="

W—sincr=

225

答案第7页，共14页

故答案为：

5

【点睛】关键点点睛：在△/B尸中，用正弦定理得5尸=2sina,

在△心(?中，得2sina=2百sin(30。-c),两次转化后再利用切弦互化法即可得到结果.

15.(l)a>6

。、15百

【分析】(1)根据等差数列得到a,b,c的关系，确定最大角为角C,且Ce(0,］；利用cosC>0

可得结果；

(2)根据正弦定理得到7a=3c,求出。的值，利用余弦定理求出COSC的值，进而得到sinC

的值，利用面积公式可得结果.

【详解】(1):a,仇，是公差为2的等差数列，

,6=。+2,c=a+4,

由三角形三边关系得，a+(a+2)>(〃+4),

：.a>2,又・・・V45C为锐角三角形，

,最大角。《。母，

cosC>0,BPQ+"———>0，

2ab

**-c2<a2+b2即〃2_4"i2>0,解得"-2或a>6,

a>6.

(2)V7siiL4=3sinC,

・••由正弦定理可得7a=3c,

7〃=3(〃+4),尚牟得a=3,贝lJ6=5,c=7,

._a2+b2-c2_1.._^3

••cosC/——,••sinCz——,

2ab22

=

S^ABC=^absinC=；x3x5x~^~"f.

16.(1)证明见解析

⑵小

4

【分析】(1)取NC的中点为E,连接BE,DE,即可证明DE1NC,BELAC,从而得到

/C_L平面8DE,即可得证；

答案第8页，共14页

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(1)取NC的中点为E,连接BE,DE,

P

因为。为PC的中点，所以DE//P4,

因为尸/_L平面4BC,所以DE_L平面43C,又/Cu平面4BC

所以DE」4c,

因为所以3E_L/C,

因为DEcBE=E,DE,BEu平面ADE,

所以/C_L平面且BDu平面2DE,

所以8DL/C；

(2)以点A为坐标原点，以/民/尸为x,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

所以尸N=/C=Vl2+l2-2xlxlcosl20°=百,

皂回

所以2(1,0,0),尸(0,0,b),C,贝I。3

所以砺=

.9,5.

442

平面P/8的法向量为五=(0,L0),

答案第9页，共14页

所以cos3£),方=BD-nIT旦

阿洞1x14

即BD与平面PAB所成角的正弦值为2.

4

17.(1).42

⑵证明见解析

【分析】(1)先求/'(x),令gOOulnG-D+T-a,通过求导判断函数的单调性求解最

小值，结合题意列不等式即可求解；

(2)由(1)可知，当y=f(x)-“Z有两个不同的零点时，a>2,由/'(x)=O,贝!|x=X],

x=X2(l<X]<2</)，判断/(x)的单调性，可得机=/(%)，通过求导即可证明.

【详解】(1)函数/(x)=xln(x-l)-"的定义域为(1,+s),

可得/'(x)=ln(x-l)+———a,

X—1

令g(无)=ln(xT)+—,

因为l<x<2时，g")<0,所以/'(x)单调递减,

x>2时，g'(无)>0,所以/'(x)单调递增，

所以八心一广⑵二？-明

因为/(X)在定义域上单调递增，所以/'(x"0恒成立，

所以2—a20,即QV2；

(2)由(1)可知，当了=/(x)-加有两个不同的零点时，a>2,

此时/'(x)而"=/'⑵=2-。<0,

且xfl时/〈X)—>+00,X—>+00时(无)—>+00,

所以/'(尤)=0,则X=X],x=x2(1<%!<2<x,),其中111(匕-1)+「^=。«=1,2),

因为I。.时，r(x)>o,y(x)单调递增，

答案第10页，共14页

再<》<三时，/，(x)<0,/(X)单调递减,

x>超时，r(x)>0,〃x)单调递增，

所以x=再为/(x)的极大值点,则m=/(%1),

且/(X])=X][Ing_1)_°]=网In-1)-In-1)——=——,

—1玉一1

设g(x)=_y0<x<2),贝Ug，(x)=—^^>0,

所以g(x)在(1,2)单调递增，

所以g(x)<g(2)=-4,即加<-4.

18.⑴1+/=i

⑵(i)0：(ii)证明见解析

【分析】(1)根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到6的值，利用离心率可得椭圆标准方程.

(2)(i)联立直线/与椭圆方程，借助韦达定理可得左+/的值.

(ii)根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点E的坐标，计算直线ME的斜率，利

用斜率之积为-1可证明结论.

【详解】⑴当/的斜率为时，直线/：1-%+1,与V轴交点为(0])，故6=1,

.・cL—启一V3・c

•e=—=l----r-=—，・・〃=/，

aA\a22

椭圆C的标准方程为—+/=1.

4

(2)(i)由题意得，直线/斜率存在且不为0,设直线/:尤"+4,4(占,%),8(%2，%),

x=my+4

联立方程X22।消去X得:（冽2+4）/+8切+12=0,

一+V=1

4,

-8m12

m2+4

+左=必।%「2%+”2-（必+%）

2

再一1%2-1（匹一1）（工2一1）

...再％+叼-(乂+幻=2孙%+3(必+幻=2冲，)+3-舄=。,

答案第11页，共14页

_2町％+3(必+%)

.ML('-帆-1)

y.

（ii）解法一：力，,中点坐标为

/.MA垂直平分线方程为y-^=-—小，

2V1

丫2Xj—13片o

由土+才=1得，垂直平分线方程为〉=-x+芸①.

41必8%

同理得，八四垂直平分线方程为了=-迤」x+狂②.

%8%

由-。可得；+七=。，即?+胃=。,

①八+②〜口件2c『薪3后+3器53卜1+或1仇/十以、）（必+方2）

8r（一歹》2），

2

3(必+%)

・・一(If%)，

由②-①得：…乂-(…)『L+(…)

乂%2y,y2

..•直线过点尸(4,0),.•.%=%,即上7=上:，

国一49—4

•'•演％-=4(%-乂)，故/=g(l+yiy2),

3(ZL±2I)(1_J,J2)-8m

•，一%_4%%<3(…3

+4=拼

*'^ME-i一1一G—c

『1lfe-1)2w212

...2.A

*.*kPD=—kAB=---，kPD-kME=mx\]=-l,ME±PD.

m<mJ

解法二：设圆E:x2+y2+dx+ey+f=0,

在圆E上，.\l+d+f=0

:直线/与圆E交于48,

，联立『+y+；+*+/—°得"+1)/+(8加+d»7+e)y+16+4d+/=0