江苏省新高考2025届高三年级下册期初质量监测数学试题（含答案）

江苏省新高考基地学校2025届高三下学期期初质量监测数学试题0

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4=｛刘2<%<4｝,B=｛x\a<x<5],若AUB=｛刘2<久<5｝,则实数0的取值范围为（）

A.[24)B.R,4]C.[2,5)D.[2,5]

n=V2n=i+2"-T

2.已知a,b,且ab与a匕互相垂直，则向量。与力的夹角为（）

nnn2TT

A.4B.3C.2D.3

2e

以x)=a------

/-1是奇函数，贝ija

3.若=()

11

A.eB.一eC.eD.e

4.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10,%,10,8.若这组数据的中位数和平均数

相等，那么久=（）

A.6B.8C.6或10D.8或12

5.已知直线/和两个不同的平面%B,若以明则是“al/?”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

nn

sin（xH——）=sinx+sin—

6.当xe[0,2扪时，方程33的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

7.从集合｛123,4,567,8｝中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（）

9533

A.28B.14C.8D,7

x2y2

8.已知点M是椭圆°?b2上的一点，/，七分别是C的左、右焦点，且

4尸1"尸2=60°.点在9MF2的平分线上，。为原点，ON//MF^\ON\=b,则C的离心率为（）

加2，24

A.3B.7C.3D7

1/18

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

->-»

9.在复平面内，复数Zl,Z2对应的向量分别为由,%,贝!]()

忆同=r•"|

A.ala2

忆1，|=r-"i

B.ala2

C.若同一z?|=|Z]+Z2I,则z/2=。

r-^i=r+1~•一=0

D.若ala2ala2,则由。2

10.已知函数/O)=d+bx2+ex+d在(—8,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程/(%)=。有实数根

a,6,2(a<2W0),则()

A.c=0B.b<-3

C.d<4D.a2+r的最小值为5

11.在三棱锥P-ABC中，已知平面/BC,AB1BC,过点力作4E1PB,AFIPC,分别交P8,PC于

点、E,F•记三棱锥P-4EF、四棱锥2-BCFE、三棱锥P-4BC的外接球的表面积分别为SI,S2,S3,体积分

别为％,V2,%.若PC=2,贝1]()

4

“3=万兀

A.AF1平面pBCB.3

%+匕

D.%的取值范围为[3,)

CS]+S?+S3=8TT

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

+l),x<4,

所)=(l)-,x>4,

12.已知"2贝正。。先3)=.

13.已知斜率不为0的直线/与抛物线#=4y相交于4,8两点，与圆/+(y-4)2=6相切于点M.若M为

线段的中点，则直线/的纵截距为.

4

tanC=—

14.在△NBC中，内角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知as讥4+sinB=sinC,3,贝|

△ABC的内切圆半径「的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

2/18

已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度.设它向左移动的概率为3,向右

2

移动的概率为y

（1）已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后该质点在乂=0处的概率；

（2）记质点3秒后所在位置对应的实数为X,求X的分布列与数学期望.

16.（本小题15分）

如图，在三棱锥P-4BC中，平面P4B,平面平面P4C,平面45C,且P4=4B=2,AC1BC.

AB

（1）求证：P41平面/5C,并求三棱锥P-2BC体积的最大值；

（2）当1<ACW但时，求平面PAB与平面依C所成角的正切值的取值范围.

17.（本小题15分）

x2y2/5

已知双曲线ab的一条渐近线方程为2,实轴长为4,尸为其左焦点.

（1）求C的方程；

（2）设过点P（4,0）,且斜率为左的直线/与C交于4,5两点.

①若点4,5分别在C的左、右两支上，求左的取值范围；

②若x轴上存在一点使得点M是的外心，求点M的坐标.

18.（本小题17分）

设函数y（X）=cosx+ax2-l.

1

a——

（1）当2时，证明：/（x）20;

（2）若fO）在％e[0,+8）上为增函数，求0的取值范围；

3/18

n2

V14n2n—n

Zl>2n+1>

l=1itan—

（3）证明：i

19.（本小题17分）

在一个整数数列：旬，°2,…，。式几23,%<%<,,,<4）中，若对于一个数对<几），存在

另一个数对（肥巧）（1<卜<’4九），满足力一4,则称数对（/凸）是一个，，有趣数对”.

（1）写出整数数列：0,1,2,4,8的所有“有趣数对”；

（2）若n=9,且｛4｝为等差数列，求所有“有趣数对”的个数；

（3）固定整数n23,求一个〃项整数数列中“有趣数对”个数的最大可能值.

4/18

答案和解析

1.【答案】A

[解析]解：力={久|2<刀<4},B={x\a<x<5],

若A\JB={x\2<%<5},则2<a<4.

故选：4

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，向量的数量积与向量垂直的关系，属于基础题.

-»-»

根据向量垂直与向量数量积的关系可得cos〈人)=0,进而即可求解.

【解答】

-T+2T

解：因为。力与。力互相垂直，

「一)C+2T)=0

所以abab,

~2+-.T_2T2=0

即aabb,

n=V2,ri=i=「|门。”了

又ab,abab(ab'j,

-»-»

得COS(^ab)=0,

-»->

且(a'b)e[0,7T],

->->__7T

则〈向2,

->->n

即a与。的夹角为了

故选：c.

3.【答案】B

【解析】解：因为函数是奇函数，所以满足八一g=一〃x),

2e2e2e2e

CL-----------------=-q+--------------------------+------------=2a

即e-z-l/一1,化简为6一“一1ex-l

gpe-X-lex-le得a=_e

5/18

2e

f（x）=—ex

此时e—1,函数的定义域为（-8,0）u（0,+8）,成立.

故选8

4.【答案】D

【解析】解：当x＜8时，将数据进行排列，得到*,8,10,10,

28+x8+10

因为这组数据的中位数和平均数相等，所以42,解得x=8,

当8＜久＜1。时，将数据进行排列，得到8,久,10,10,

28+%%+10

因为这组数据的中位数和平均数相等，所以42,

解得比=8,与范围不符，故排除

当％N10时，将数据进行排列，得到8,10,10,x,

28+x10+10

因为这组数据的中位数和平均数相等，所以42,

解得比=12,经检验，％=8和x=12均符合题意.

5.【答案】A

【解析】解：已知Z'a且〃"，过直线/作平面匕使=

因为1〃S,所以/〃皿

又因为11a,且〃可得小，a.又mu0,所以a10.

因此，由“〃/8”可以推出“al。”，充分性成立.

已知1,a且al£,此时直线/可能在平面S内，即Zu/?,此时得不到，〃小

因此，由“al£”不能推出四呼"，必要性不成立。

综上，“〃/S”是“al/?”的充分不必要条件，

答案选/

6.【答案】D

n7in1.上F.工F

sm（x+—）=sinxcos—+cosxsin——sinx+——cosx=sinxH---

【解析】解：由333,得:222

1F平71^3

即—2sinx+2——cosx=2——,所以cos1（xH—6））=——2―（*），

6/18

7inn

%+—=±—+2kn,kGZx=—+2kn,kGZ

解得：66,贝I]%=2/OT,或3,

因为％6[0,2兀],

当％=2k7i,k6Z时，则％=O(fc=0),或％=27r(k=1),

Ji57r

x=—+2kn,kGZx=——(k=1)

当3时，则3,

因此共有三个解，

故选。・

7.【答案】B

【解析】解：设集合&=口47},4={258},&={3,6},

任取三个数的和为3的倍数，分为两类情形，一类是从集合久或占取三个数，一类是从三个集合各取一个

数，

2+3x3X25

二概率是L814,

故选：B.

8.【答案】B

【解析】解：设眼叼=队阳&1=%延长ON交于/,

由题意知。N//M0,0为F/2的中点，故/为叫中点，

又4尸1时/2=60°,

又点N在4尸1时92的平分线上，则NNMA=乙ANM=30°,

1

1H

\AN\=\MA\=-|MFJ-2

故AM4M是等腰三角形，因此2

111

\0A\=-IMFJ=—m=\0N\+\AN\=b+-n

则222,

所以m—九=2b,又zn+n=2a,

jm=a+

所以in=a—b,

又在△MFR中，由余弦定理得|MF，+|M尸2l-2区尸山阳尸2|・血60。=|F/2『

即/+n2—mn=4c2,

即(a+6)2+(a-b)2-(a+b)(a-b)=4c2,

化简得：a2+3Z>2=4C2,又M=a2—c2,

7/18

e2"j

所以4a2=7C2,所以a27

2M

e=----.

即7

故选：B.

设|MFi|=a,阳/21=%由题意得出是等腰三角形，列方程组得到含°,c的齐次方程即可求解

离心率.

本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

9.【答案】BD

-»-»

【解析】解：在复平面内，复数Zl、Z2对应的向量分别为由、

r=(c,d)-=(e,n

设Z1=c+di,z2=e+fi(c,d,e,fe贝,a2,

一…^=(U)/=(1-1)

对于/、当Zl—l+l,Z2—J时，a,a2,

1Z「Z2|=2,「,"=。

则由a2,故/错误；

对于B,lzi—z2l—1(。—e)+(d—/)i|=J(c—e)2+(d—f)2,

1"-"1=|(c-e,d-/)|=J(c—e)2+(d—f*

ala2,

izi-z2i=r-"i

ala2,故8正确；

对于C,当，i=l,z2=i时，Wi-Zzl=|1T|=M，+Z2I=|1+4=低，

满足|z「Z2l=IZ1+Z2I,但z「Z2=iR0,故c错误；

一_"=|"+-|广_"2=广+"2~.~=0

对于。，I由%。2ala2,得%a2ala2,得%a2,故。正确.

故选：BD.

10.【答案】ABD

【解析】解：由/(%)=益+bx2+ex+d得广(x)=3x2+2bx+c,

因为/(%)在(-8,0］上是增函数,在为2］上是减函数,所以((0)=0,所以c=0,

2b

——N2

此时r(x)=0的另外一个根3,所以bw—3,

因为方程/(x)=0有3个实数根，它们分别是见6,2,

所以/(2)=0,所以d=—4(6+2)24,

且/'(久)=(%—2)(x—a)(x—/?)=%3—(a+S+2)x2+(2a+20+必)%—2邓，

8/18

(b=-a—13—2产+£=—b—2

所以id=-2a0,贝汁a£=2b+4,

所以后+外=(戊+6)2-2贿=(—b—2)2—2(2b+4)=h2—4,

因为64一3,所以用N9,所以。2+r的最小值是5,

故选4BD

11.【答案】BC

【解析】解：因为24,平面/2C,BCu平面Ng。，所以P41BC,

又BC1AB,PAQAB=A,P4<=平面力台，4Bu平面尸/瓦

所以8cl平面P/8,

又4Eu平面尸所以BC14E,

因为2E1PB,PBCBC=B,PBu平面「Be,BCu平面尸台。，

所以4E1平面pg。，

而4EnaF=2,则/尸与平面P8C不垂直，故N错误；

将三棱锥P-4BC放入长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥P-4BC的外接球,

可知长方体的体对角线PC即为外接球的直径，

PC

R—___—]

则三棱锥P-ABC外接球的半径32,

4,4

„.n2AV-TTRO=-71

可得$3=4兀/?3=4兀，33,故8正确；

因为AE1PB,AFLPC,

所以△PEA与△PR4均为直角三角形，

取P4的中点为。1,

则。出=0/=01/=。道，

即点。1即为三棱锥P-AEF的外接球球心，

9/18

PA

R—40=___

三棱锥P-4EF的外接球半径ii2,

因为力El平面P2C,PCu平面pg。，所以4E1PC,

又2F1PC,AEnAF=A,4Eu平面4斯，AFu平面/斯，

所以PC1平面

因为EFu平面/£尸，所以PC1EF,

因为2E1平面尸8C,ECu平面「Be,所以4ELEC,

因为BC1平面P48,PBu平面p4g,所以BC1PB,

在四棱锥4-BCFE的底面四边形2c尸£中，EF1FC,BC1BE,

则EC即为四边形BCFE的外接圆直径，

而4EJ-平面BCFE,

口2=

则四棱锥a-8CFE的外接圆半径点2)[2/2

又4E1EC,贝/产+也2="2,

AC

R?=—

所以2,

因为P214C,^\^AC2+PA2=PC2,

可得R/+Ra?=1,

2

则1+S2+S3=4兀(Rj+/?2)+4兀=8%故c正确;

4TT047r

T7ITT----+----------R,3

Vl+V23*132

一=RJ+%3

4TT

3

由R」+R22=l可得7?2=尹:，0<7?1<1

=RJ+

则％

3

令/(X)=*3+(1_%2)2,0<久<],

1

3—____

y'(x)=3x2+-(1-x2)2-(一2町=3x(x-^l-x2)

则2

10/18

,~i2?<x<l

令/'(x)>0,即久〉也一久，解得2

2O<x<0

令「(为<。，即久<J1—k2

'，解得：

则函数在I2/上单调递减，在12/上单调递增,

3

Q72

当x=0或x=l时，y=x+(l-x)=1,

,£i\

则f(乃的值域为I2]

乙+匕住

即，3的取值范围为12’『故。错误.

1

12.【答案】24

【解析】【分析】

本题考查分段函数以及指数对数运算，考查学生的计算能力，属于基础题，结合4<1。%3+3<5和已知

解析式，代入计算即可得到答案.

【解答】

(f(x+l),x<4

V/W=&x>4

解：一，

且1<log23<22<logQ+1<33<log户+2<44<log23+3<5

1(log3+3)

72

•••Klog23')="o%3+1)=Klog23+2)=f(logQ+3)=(-)

1

阿q

121.111

=(2)x(,=w*W=源.

1

故答案为24，

13.【答案】1

【解析】设直线方程为y="+力0),将其代入抛物线方程/=4y,

得久2=4(fcx+b),gp%2—4fcx—4Z)=0,

11/18

设3(%2%),则%1+%2=4匕%/2=-4),

xi+x24k

x—_______——2々

则设线段48的中点MQo，%)),°22,

2

将与代入直线方程得到为=kQk)+b=2k+bf

圆的方程为公+⑶-4。=6,圆心为(0,4),半径为亚，

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，

直线方程可以写成依一丫+b=0,

\k-0-4+b\

=6

则圆心到直线的距离为：-业n——+1^,

化简得：仙-4|=«(〃+1),

由中点M(2k,2/+b)在圆上，代入圆的方程：(2卜)2+(2/+6—4)2=6,

化简得到匕=2—2好，

将b=2—2/代入g—4|=^6(上+1),

得到：|2-2/—4|=«(/+1),

化简得：2fc4+k2-l=0

/2二—1

(2好一1)*+1)=0解得2,

直线方程为丫=丘+2_2仁

1

b=2—2x—=1

所以2

即直线/纵截距为L

1

14.【答案】16

【解析】解：已知as讥4+sinB=siziC,由正弦定理可得a?+b=c,

443

tanC=—sinC=—cosC=—

又3,可求得5,5,

利用余弦定理，可得c2=(a2+b)2=a2+b2-2abcosC,

5a—5a3

b=--------

所以10a+6,

12

S=—absinC=—ab

又三角形面积25,

12/18

S4ab4ab

r=------------=-------------=---------------

2

工(a+5+c)5(a+b+c)5(a+«+2b)

所以内切圆半径2

3

5a—5aCL+1—a

4a-----------

10a+6a—a3a(l—a)<2J

5…+2.…)…44一—连1

i10a+6，a=—

,当且仅当2时等号成立,

1

所以△4BC的内切圆半径的最大值为16，

15.【答案】解：（1）记质点2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件4记2秒后质点在久=0处的概率

为事件比

22,128124

PM)=—x—+C；x—X—=—P(71B)=P(B)=cix-x-=-

则332339

4

P(AB)91

P(B|4)=

P(4)8-2

故所求的概率为9

（2）X的可能取值为:-3,-1,1,3.

11

P(X=-3)=(-)3=—

贝I]327,

12义4=2

P(X=-1)=璃7x(§)

39,

214

P(X=l)=C；x(§)2x：—=

39,

2,8

P(X=3)=(>药

分布列如下:

X-3-113

1248

p279927

1248

E(X)=(-3)x—+(-1)x-+1x-+3x——=1.

数学期望279927

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

16.【答案】（1）证明：作交于点。

・•・平面P4B1平面/go,平面P4BCI平面力BC=AB,CDu平面4g。

13/18

CD_L平面尸45,又PAu平面尸4s

•­.CD1PA

又・•・平面PAC，平面ABC,平面PNCC平面ABC=4C,ACIBC,BCu平面4台。

•••BC1平面pAC,又R4u平面ABC>

•••BC1PA,又CDnBC=C

P41平面/BC；

由于P41平面/2C,所以三棱锥「一480的高为24=2。

设4C=x,BC=y,则根据勾股定理，有/+/=4。

1111

V^-SAABC-PA^^-2Xy'2^^Xy

三棱锥P—4BC的体积3

要使体积最大，需要孙最大

根据/+/=4,利用均值不等式，有

2

因此，三棱锥-力BC体积的最大值为W。

(2)由(1)知CD_L平面PNB,作DEJ.PB交PB于点、E,连结CE

•；PBu平面尸/.CD1PB

•••PB1平面CDE,又CEu平面CDE

PB1CE

NCED是平面PAB与平面PBC所成的角，

CD

/-CED=—

在Rt△0£）£"中，tanDE

xy

「CD=—

设AC=%（14%工业），BC=y,贝I2

DE=必BDBD=^BC2-CD2==V1三

在R3DEB中，2,又《4J4

14/18

2

2/_

；一尤4

42—1

4

2<一<4

又1WXW",则%2

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

2a=4

（b=V5

17.【答案】解:（1）由题意可得卜?+必二。2，

（a=222

b=把±-匕=1

解得I0=3,则C的方程为45；

（2）①设直线/方程为：y=fc（%-4）,设做久1，为），B（久2，乃）,

y=fc(x-4)

22

士上=1

联立145，消去y可得(5—4/)/+32——64标—20=0.

由点力,8分别在C的左、右两支上，

A=(32/)2+4*(5-4/c2)(64fc2+20)>0

-64/C2-20

-----------<0

5—4/

4

k丰+—

可得'一2

~^<k<

解得22

即左的取值范围为

②设M（m,0）,△F4B的外接圆的方程为（久一小）2+y2=（机+3）2.

Ux-rri)2+y2=(m+3)2,

2222

由(y=k(x-4),消y得(1+fc)%-(2m+8fc)%+16fc-6m-9=0.

15/18

由=k(x—4),消y得(5-4廿+32/Ac—64k2—20=0.

上面两个方程的实数根均为％,“2,故为同解二次方程，

1+k2-2m—8k216/c2—6m—9

所以5—4k232/c2-64/C2-20,

5

'm————

11

n255

k=7^7(----,0).

解得'4，。满足条件，所以点新的坐标为11'

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

a——/(x)=cosxH—久2—1

18.【答案】(1)当2时，2,

因为f。)是偶函数,先证当久e［0,+8)时，/(x)>0.

由/'(%)=—sinx+x,

设m(%)=/'(%)=—sinx+x,

所以zn'(%)=—cosx+1>0,

所以/0)在［0,+8)上单调递增，

所以「。)之1(o)=o.

所以/(%)在［。，+8)上单调递增，

所以/(久)>/(0)=0.因为人久)是偶函数，

所以当xe(-8,0］时，/(X)>0.

综上，/(%)>0.

(2)由/(%)=cosx+ax2—1,得/(%)=—sinx+2ax.

因为/(%)在［。，+8)上为增函数，

所以/Q)>0对久e［0,+8)恒成立.

①当％=0时，aER;

sinx

2a>----

②当%>。时，即X对久E(0,+8)恒成立.

令g(%)=x-sinx,由(1)知g(%)在(0,+8)单调递增，

16/18

sinx

-------<1

所以g(X)>g(°)=°,即久一s讥久>o,所以x---------,

11

a>—[―+oo).

所以2a21,解得2,即。的取值范围为2

1

CL——

(3)由(1)可知,当2,%e[0,+8)时,

11

COSX+—%2—1>0COSX>1—X2

2，即2,

当且仅当x=0时，等号成立.

令律，neN*,则n2n2,

112211

cos—>1------=1------->1------------=1—(--------------------).

即n2n24n24n2-l2n一12n+1

1

0<-<1

由(2)可得，当久>0时，x>sinx,因为n,

1111

------------->cos->1-(--------------------•)

11111n2n-l2n+l

—>sin—=cos—•tan—n-tan—

所以九7171Tl，即n

所以

z1

i=1itan—

1111111111

>1-(—)+1-(—)+・••+1-(---------------------)=n-(~