几何模型综合训练（三）解析版

几何模型综合训练（三）

1.（2022•安徽蚌埠•一模）如图，RtAABC中，ABLBC,AB=8,BC=6,尸是，ABC内部的一个动点,

满足=则线段CP长的最小值为（）

C.2A/13-6D.2万-4

【答案】D

【详解】ZABC=90°,

:.ZABP+ZPBC^90°,

ZPAB=ZPBC,

:.ZBAP+ZABP=90°,

:.ZAPB=90°,

取N3的中点O,以点。为圆心，A3为直径作圆，连接OP,

.,.点尸在以48为直径的：。上，连接。。交〈。于点尸,

当点。、点尸、点C三点共线时，尸C最小

在RLA8CO中，NOBC=90°,BC=6,03=4,

:.OC=ylBO^+BC2=742+62=2屈，

PC=OC-OP=2713-4,PC最小值为2A/13-4

故选：D.

2.（2021•江苏南通•二模）如图，在7?柩48。中，EL4C5=90°,AC=3,8C=4直径/经过点8,/£0/于点£,

5/于点凡则4E+C-的最大值为（）

A.715+76B.5C.2^+72D.773

【答案】D

【详解】解：如图L点E、尸在/C的同侧，取NC的中点G、的中点X,连接并延长EG交尸C的延长

线于点连接G",

西砸/于点E,CR3/于点尸，Q4E//CF,a3G4E=l3GC跖

'NGAE=ZGCM

在AG/E和AGCA/中，\AG=CG

ZAGE=NCGM

^GAEl^GCM(ASA),SAE=CM,GE=GM,QGH^FM,

GH=1FM=1(CM+CF)=1(AE+CF),

KIEL4c2=90°,AC=3,BC=4,

i3_________

:.CG=-AC=~,BG=ylCG2+BC2=2=ZGHF=ZAEF=90°,

22

0GW,：.GH„BG,.-.1(A£+CF)„孚，,AE+CF„回,

此时，/E+C尸的最大值为历；

如图2,点E、/不在/C的同侧，作CN0AE交/E的延长线于点N,

B.

图2

死W=如花尸=0£户。=90°,13四边形NE尸C是矩形，SNE=CF,SAE+CF=4E+NE=AN,

^AN<AC,^AE+CF<3,止匕时，/E+CF的最大值为3,回3<阮，mE+CF的最大值为加，

故选：D.

3.（2022•山东淄博•一模）如图，在平面直角坐标系中，直线>=%-3分别与x轴、》轴相交于点A、B,

点E、尸分别是正方形Q4CZ）的边O。、AC上的动点，且DE=AF,过原点。作垂足为H,

连接曲、HB,贝IkHW面积的最大值为（）

A.100+50B,12C.6+30D.上±逑

22

【答案】D

【详解】解：如图，连接40,交所于N,连接。C,取ON的中点连接过点新作〃。的8于Q,

交/。于点K,作MP回。4与点P,

3

团直线>分别与X轴、夕轴相交于点/、B,

团点N(4,0),点8(0,-3),回。8=3,OA=4,ElAB=y/OB2+OA2=79+16=5-

回四边形/COO是正方形，

^OD//AC,4O=4C=OD=4,OC=A垃,12coN=45°,<SSEDN^NAF,^DEN=^AFN,

又ME=4F,^BDEN^AFN(ASA),WN=AN,EN=NF,

团点N是/。的中点，即点N是OC的中点，回ON=NC=2应，

SOHSEF,SEOHN=90°,0点“在以ON直径的圆上运动，

团当点”在的延长线上时，点〃到48的距离最大，

回点M是。N的中点，^OM=MN=y/2,

^MPBOP,EICON=45°,SOP=MP=1,EL4尸=3,

^S\OAB+^OBA=90°=^OAB+^AKQ,^EAKQ=^ABO=^MKP,

MppKMK]PKMK

5L^AOB^\MPK=9Q°,^\MPK^\AOB,团——=——=——,团•一=——=——,

OAOBAB435

539

团MK=—,PK=—,回AK=—,

444

AKKQ9

m4KQ=^\ABO^OAB=^KAQ,^AKQ^\ABO,团——=—,团力_KQ,

fABOB~=3

SKQ=—,^\QM=KQ+MK=-+—=—,回点〃到48的最大距离为0,

2042055

回加5面积的最大值=工x5x(门+应)=上士里，

252

故选：D.

4.(2022•陕西•无模拟预测)如图，在矩形48co中，AB=4,3C=3,点£为上一点，连接将BDE

沿。£折叠，点4落在4处，连接4C,若尸，G分别为4C,8c的中点，则尸G的最小值为()

B不c逐一]

A.2D.1

2,2

【答案】D

【详解】如图，分别连接8。、A'B

团矩形ABC。中，AB=4,BC=3,回4£>=8。=3,SBD=ylAB2+AD2=5

团将AADE沿DE折叠，点/落在4处，，SDA'=AD=3

当点H不在8。上时，DA+AB>BD,BD-DA=5-3=2

当点A在8。上时，AB=BD-DA=2，回A3最小值为2

M，G分别为4C,8c的中点

回FG为△C4少的中位线

SFG=^A'B,MG的最小值为1

故选：D.

5.（2020•福建•零模）如图，等腰Rt^ABC中，ABLAC于A,AB=CA=DC=2,M为ABC内一点,

；的最小值为（

BE+CE）

D.76

【答案】D

【详解】解：如下图

以AC为边向外作正三角形ACF,以BF为边，B为顶点向13MBe的外侧作EIFBG,使OFBG=30。，过E作BG的

垂线，垂足为H,过点C作BG的垂线，垂足为V

由I3FBG=3O°,HE回BG知HE=，8E,S\-BE+CE=CE+EH>CH

22

下面计算CH',13AB=AC=2且AB_LAC,138c=20;

EIAZ为oABC内一点，当M4+MB+MC最短时，回M为EIABC的费马点

由费马点的特点知BM与BF为同一条直线

回正三角形ACF,00CAF=6O°,又AB_LAC,00BAF=15O°,又AB=AC=AF,B3ABF=15°

又EIABC=45°,H3FBC=3O°,ffl0GBC=6O°

在RTEIBC”'中，CH=BCsinZGBC=BCsin60°=2y/2—^s/6,回+的最小值为卡.

22

故选：D.

6.(2021•江苏南京•二模)如图，已知点A(1,4),点B(3,5),在y轴上取一点C,连接AC,将线段AC

绕点C顺时针旋转90。到CD,连接AD,BD,贝UAD+BD的最小值是()

A.275B.373C.472D.5

【答案】D

【详解】解：如图，过点A作轴于点E,过点D作。轴于点F,设C(0,m),

由题意A(l,4),线段CD是由线段CA顺时针旋转90。得到，

贝"AEC=^CFD,EAE=CF=1,EC=FD=4—m,0OF=m—1,0D(4-m,m-1),

设4-m=x,m-l=y,可得y=-x+3,El点D的运动轨迹是直线y=-x+3,

作点A关于直线y=-x+3的对称点M(-1,2),连接BM交直线y=-x+3于D\连接AD\此时AD4BD'

的值最小，最小值为线段BM的长，

0B(3,5),M(-1,2),0BM=742+32=5,回AD+BD的最小值为5,

故选：D.

7.(2020•江苏无锡•三模)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,

0),B(8,6),C(0,6).动点P从点0出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q

从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG回PQ于点

G,则AG的最大值为()

卮\8小36

A.，73BR.-------C.D.1

55

【答案】B

【详解】连接08,交尸。于点。，连接AD,过点。作。4于点尸,

VOC=6,BC=8,OB=yJfJC2+BC2=10.

,:BQ〃OP,:•△BDQsAODP,A-^=^J=|^=|：,OD=6.

,:CB〃OA,：.ZDOF=ZOBC.

.,/OC63,BC84

在Rt/A\OBC中，sin/OBC=---=—=—,cosAOBC—---=一=一,

OB105OB105

424318，一2418

.•.OF=OD・cosNO8C=6X1=,DF=OD,5in/OBC=6X工=《,・••点。的坐标为（石，工）,

：.AF=OA-OF=12-y=y,AD=>JAF2+DF2=

,：AG^PQ,：.AG<AD=^H,...当G与。重合时AG的最大，最大值为竺好，

55

故选8

8.（2020•山东淄博・一模）如图，在正方形/BCD中，BC=2,点尸，。均为Z5边上的动点，BESCP,垂足

为E,则。£>+0£的最小值为（）

A.2B.3C.710-1D.V13-1

【答案】D

【详解】解：如图，05E3CP,国点£在以8c为直径的圆上,

作点E关于45的对称点孔^QE=QF,^QD+QE=QD+QF,

连接。R当。为。尸与交点时，Q0+QE最小.

作半圆日与以2c为直径的半圆关于48对称，连接。区交半圆日与户，此时。尸=。。+0瓦且为最小值,

此时CD=2,BH=\,HC=3,在HrVDC”中，DH=+HC?=行+3?=相，DF=^13-1,

故选：D

9.（2020•山东济南•二模）如图，在平面直角坐标系中，点/在一次函数位于第一象限的图象上运

动，点3在x轴正半轴上运动，在右侧以它为边作矩形/BCD,且/3=26,则。。的最大值

是（）

A.75+73B.4+2C.A/5+2D.272+V3

【答案】B

【详解】解：回点/在一次函数丁图象上,0tanEL4O5=石，

作EL4O2的外接圆明，连接0尸、P4、PB、PD,作尸GEICD,交.AB于H,垂足为G,

回四边形是矩形，SL4BB1CD,四边形N//GZ）是矩形，0PGEL4S,GH=AD=1,

^APB=2^AOB,^APH=^^APB,AH=^AB==DG,

AH—

^APH=^\AOB,团tan刻尸〃=tan!ZL4O5=百，回诟^=百，眇"=匕

SPG=PH+HG=1+1=2,胪。=7PG2+DG2=个2?+（后=不，

团0尸=以=>JAH2+PH2J（退）2+F—2,

在EIOPD中，0P+PD20D,回。。的最大值为：0P+PD=2川1,

故选：B.

10.（202”山东临沂•二模）如图，在直角坐标系xOy中，点尸的坐标为（4,3）,尸。取轴于0,M,N分别

为OQ,OP上的动点，则QN+MN的最小值为（）

M乜5T

72241296

A.—B.—C.—D.—

255525

【答案】D

【详解】

八P

E

解：作Q点关于0P的对称点E,过E作EF垂直AB交AB于F点，

由题意可得：PQ=4,PQ=3,OP=5

1224

则国OPQ,OP边上的高为玄，所以EQ=M

又分析题意可得：0EFQ00OPB

54

则空笔—，解得：EF器

故答案为D.

3

11.（2022•四川成都•二模）在AABC中，AB^AC,tanA=-,。为线段A3上的动点，连接。C,将。C绕

4

点。顺时针旋转得到OE,连接CEIE,点F是上一点，连接EF.若AC=5,ZCDE=ZA,则CE+£F

的最小值是.

C

25

【详解】解：如图所示，作点C关于直线3E的对称点/,连接但，^IE=CE,

0CE+EF=IE+EF,要使CE+£F最小，则EF+/E最小，

回当/、E、/三点共线，且"13BC时，EF+IE最小,此时点尸与点J重合，

连接引，过点。作C血8于区

“CH3…3…

0tanA=----=—,0CH-—AH,

AH44

,9,

^CH2+AH2AC2,OAH2+—AH-=25,EIAW=4,I3CH=3,

16

^AB=AC=5,05/7=1,0BC=A/12+32=V1O-回由轴对称的性质可得8/=5C=9，

SAC=AB,DC=DE,0——=——=1,

ABDE

「CECD

又I2HC£>£=I3/,^ABC^DCE,0EWC5=0Z）C£,一=一mACD=^BCE,

CBCA

0EL4CD00SCE,,团团。3£=蜘，

CJ3

00SC/+0CS£,=9O°,13a/+ELBC7=90°,00CZ/=0CB£,=EL4,HtanZCZ/=—=-,

IJ4

设Z7=x,则CJ=2x,BJ=BC-CJ=y/T5--x,

44

BIJ2+BJ2=BI2,0x2+|^VTo-1^=10,解得尤=2%^或x=0（舍去），

SCE+EF的最小值为马叵，

25

24M

故答案为:

25

12.（2。21•浙江绍兴•一模）如图,已知正方形的边长为2,点P在射线3C上,则记的最小值为

【详解】解：如图，在4尸上取点£连接。£,^ADE=^APD,

ADDEPD_DE

^\ADE^\APD,回一=丽‘回至=茄'

AP

PD

阴0=2,血最小时，记的值最小,

作A/BE的外接圆回。，连接OD,OE,贝I]O£=O/=O8=l,

在中，2222亚，行-

RMAODOD=A/OA+AD=Vl+2=^DE>OD-0E=1,

0Z)£的最小值为6-1,

非-1

故答案为:

2

13.（2021•河南•郑州枫杨外国语学校三模）如图，等腰三角形N8C中，皿C=120。，/8=3,点。在C4

的延长线上，DEMB于E,。距8c于尸，连接EF则E尸的最小值为.

【详解】解：连接斯、BD,延长DE交2C于G,如图所示:

005^C=12O°,EL48c是等腰三角形，00C=3O°.

^iDF^BC,EEBAD=60°,0Ao尸=60°.

当BOEL4c时，AD最小，则0Z38G=60。,

SiDE^AB,EEADE=30°,SBBGD^SC+SADE^60°^^DBG,

EE50G是等边三角形，MG=BD,

0DR38C,SBF=GF.

在H/EEEG中，EF=^BG=GF,EEEFG是等边三角形，EB£FG=60°=M>2G,SEF//BD,

^EF^AC,止匕时E/最小=工宛=」初.

22

团&42。=90。-60°=30°,在EUaD中，AD=-AB=-,BD=也AD=—,

222

位的最小值为L劭=速.

24

故答案为：巫.

4

14.（2022•江苏南京•模拟预测）如图在此/8C中，aB/C=90。，AB=AC=10,等腰直角三角形4DE绕点N

旋转，皿4£=90。，AD=AE=4,连接DC,点、M、P、N分别为DE、DC、3c的中点，连接上0、PN、MN,

则"%W面积的最小值是

9

【答案】j

【详解】放.，/§。中，团24090。，AB=AC=10f/.ABC为等腰直角三角形，

又一配ME=90。，AD=AE=4,，ADE为等腰直角三角形，

/.ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

ADB=AEC(SAS),

:.DB=EC,NABD=ACE,

丁点M、P、N分别为DE、DC、5c的中点，

/.MPHEC,MP=-EC,NP/IBD,NP=-BD,

22

MP=NP,ZDPM=ZDCE,/PNC=NDBC,

设/ACE=x°,ZACD=y°,

/.ABD=x0,ZDBC=45°-x0=/PNC,ZDCB=45°-y。，

ZDPN=ZDCB+/PNC=90°-x°-y。，

ZDPM=ZDCE=x0+y。，

/./MPN=ZDPM+ZDPN=90°,

.•.△MW是等腰直角三角形，.•.SpMV=!/W2=：8D2,.•.当5D最小时，的面积最小，

28

Q。是以/为圆心，/。二4为半径的圆上的点，.•.点。在45上时，BD最小,

11oQ

BD=AB-AD=10-4=6,S=-BD2=-x62=—,「•[ZIPAW面积的最小值是一.

PMN8822

Q

故答案为：j.

15.(2021・广东・广州市第二中学三模)如图所示，在RtAABC和Rt^ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,

AC=AD=3,AB=AE=5,连接8。、CE,将_ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当NDBA最大

【答案】6

【详解】解：如图，将JlflE绕点N旋转一周，。的轨迹为以点/圆心，40为半径的圆，过/作AD垂线

交8。延长线于〃，

・•・当NDBA最大时，4H最大,

在旋转过程中，AD>AH

:.AH<3

即时，48取得最大值3

此时直角三角形中，BD=>jAB2-AD2=4

△ABZ）的面积为工x3x4=6,

2

如图，取取8。中点G,连接4G并延长至忆使得bG/G,

BG=DG,/BGF=/DGA,FG=AG

:「BFG=DAG(SAS),AD=BF=AC,ZF=Z2fSBFG=S

ZBAC=ZDAE=9Q°,Z1+Z2+ZC4E=180°

NF+Nl+NAB尸=180。，ZCAE=ZABF

QAE=AB,CAE=itFBA(SAS)

•q—v=q=Q-i-v=q

一0,CAE一°FBA一°BFG二0BAG~°BFG丁0DAG~°BAD

•**SCM——x3x4=6

故答案为：6.

16.（2022•山东济南•模拟预测）如图，在矩形N8CD中，E是边3C上一点，连接NE,过点8作8小£于

点G,交直线CD于点尸.以和区F为邻边作平行四边形3瓦/尸，M是8〃的中点，连接GM,若48=3,

BC=2,则GM的最小值为.

【答案］巫

13

【详解】连接跖

团四边形AEHF是平行四边形，^EM=FMf

团鲂G厂二90°,^\GM=^EF,回要GM最小，即防最小,

^AB=3,BC=2,

设BE=x,则CE=2-x,

团四边形45CD为矩形，配L45C=90°,即回A4E+EL4防=90°,

^AE^BF,团回CB尸电4E5=90°,^\CBF^\BAE,

又回酎8外姐CF=90°,^\ABE^\BCF,

ABBE3x回Y

团——=——即Hn一=——

BCCF2CF

^\EF=VCE2+CF2=/—X2-4X+4=J—(x-—)2+—,曲的最小值为生叵,

V9v9131313

故GW的最小值为名叵.故答案为名叵.

1313

17.（2020・成都市锦江区四户|师大附属第一学校模拟预测）如图，在RtAABC中，NC=90。，CA=6,CB=8,

点尸为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且产到三角形三边的距离和为7,则CP的最小值为

【答案】yV5

【详解】如图所示，以点C为原点，CB为X轴正半轴，C4为y轴正半轴建立平面直角坐标系,

设尸为过尸作P£_Lx轴，尸产J_y轴，PD.LAB,

国PE=y,PF=x,连接R4,PC,PB,

回+S^BCP+,

111124—3九一4V

团一x6x8=—xxx6+—xyx8+—xlOxPD,解得：PD=----------,

22225

团尸到三角形A3c三边的距离和为7,

SPE+PF+PD=1,即：无+严24_：_4y与,整理得：y=-2x+U,

回点尸在直线y=-2x+ll上运动，设直线>=-2尤+11为/,

团当cq，/交/于点［时，*最小，skCPi-k,=-l,回%;=g，

又回直线cq过原点C（0,0）,回直线cq为：y=；x,

rf22

联立无，解得：:，回点匕为仔,团最小值”为c<,

y=-2x+lly=-I?"

18.（2020•河南•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P

从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ,过点B作BHmPQ于

点H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的

最大值为,线段DH长度的最小值为.

【详解】连接EF交PQ于M,连接BM,取BM的中点0,连接OH,0D,过点。作0N国CD于N.

回四边形ABCD是矩形，DF=CF,AE=EB,团四边形ADFE是矩形，EIEF=AD=3,

MFFQ

0FQI2PE,aBMFQIEMEP,回----=----

MEPE

团PE=2FQ,团EM=2MF,回EM=2,FM=1,

当点P与A重合时，PQ的值最大,

止匕时PM=VAE2+ME2=VF+27=2近，

MQ={FQ?+MF?=正+F=g,回PQ=3五，

0MF0ON0BC,MO=OB,回FN=CN=1,DN=DF+FN=3,0N=1(FM+BC)=2,

0OD=y/DN2+ON2=A/32+22=屈，

0BH0PQ,00BHM=9O",

11,-----------

22

0OM=OB,0OH=-BM=-X72+2=yfl>

0DH>OD-OH,

0DH>V13-V2»由于M和B点都是定点，所以其中点。也是定点，当PQ垂直于0D时，0,H,D共线,

此时DH最小，回DH的最小值为屈-加,故答案为：3拒，a-及.

19.（2020•重庆市荣昌区宝城初级中学模拟预测）正方形N8CD中，/8=2及，点〃■是8c中点，点尸是

正方形内一点，连接尸c,PM,当点P移动时，始终保持MC=45。，连接8尸，点E,尸分别是BP

中点，求3BP+2EF的最小值为.

【答案】2a

【详解】根据条件始终保持团WPC=45。，所以点P的轨迹为圆弧，设圆心为。，如图1:

图1

回正方形ABCD中AB=2夜，M为中点，EJCM=BM=g,

雕也。。=45。，0