解三角形中的最值问题-高考数学二轮复习

考点精炼-解三角形中的最值问题

高考数学二轮复习备考

一、单选题

1.在VA6C中，角A瓦。所对的边分别是。，仇。，已知人=2,且cos25+cos5=l-cos（A-C）,当a+2c

取得最小值时，VABC的最大内角的余弦值是（）

A.一变B.-1C.一变D.一走

2248

2.若VA3C的内角满足sin3+sinC=2sinA,贝!j（）

A.A的最大值为:B.A的最大值为g

C.A的最小值为gD.A的最小值为g

36

3.已知HAABC的周长为2,面积为S,则（）

A.S的最小值为2-0B.S的最小值为3-20

C.S的最大值为2-桓D.S的最大值为3-20

4.在7ABe中，记角A,B,C的对边分别为。,6,c,若c?=〃+〃+"，点。在边AB上，CD平分NACB,

且依必=；,则4々+%的最小值为（）

A.—B.25C.—D.24

24

v

5.在VA5C中，角A民。的对边分别为aecoAbC的面积为S,则-----的最大值为（）

a+Abe

AaR夜「9A/159A/15

1681632

6.VABC中以^=6,48=247,点0在边8（?上且8=23。，贝!Jtan/A£>C的最大值为（）

A.-B.-C.拽D.立

3455

7.在VA3C中，角A,B为锐角，VABC的面积为4,>cos2A+cos2B=2-sinC,则VABC周长的最

小值为（）

A.4夜+4B.4A/2-4C.272+2D.272-2

3

8.在△ABC中，已知△回€?的面积为大且AB=3AC,则5c的最小值为（）

2

A.2B.2月C.20D.3

二、填空题

9.在VA3c中，角A3,C的对边分别为“,6,c,若asinA+bsinB—csinC<0,则VABC的最长边

是.(用题中字母a/,c表示)

10.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且6=2,cos2B+cosB=l-cos(A-C),当

2a+c取得最小值时，则VABC最大内角的余弦值是.

11.在VABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则最大角的正弦值为.

12.在VABC中，tanA=',tanB=|.

(1)ZC=；

(2)若VABC的最长边的长为耳，则最短边的长为.

三、解答题

13.在VABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且片+廿二%。?，6csinA=sinC.

⑴求C；

(2)求c的最小值.

14.在VABC中，"c分别是内角A3,C的对边，且/+/=R>+c2,6csinA=sinC.

⑴求C；

(2)求VABC外接圆的面积的最小值.

15.在VABC中，CD为A8边上的高，已知AC+3C=AB+CD.

C

(1)若AB=2CD,求tanJ的值；

(2)若=k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值时上的值.

C—hein4

16.VABC的内角A氏C的对边分别为a,b,c,—；=.「..

a-bsmC+siaB

⑴求C；

⑵若a+b=6,求VABC的周长最小值.

17.在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,2tanB+tanC=0.

⑴证明：3/+〃=/；

(2)求cosA的最小值.

参考答案

1.C

利用三角恒等变换结合正弦定理可得ac=4,再利用基本不等式求a+2c的最小值以及成立的条件,

再根据余弦定理即可得结果.

因为cos2B+cosB=l-cos（A-C）,BP1-COS2B=COSB+COS（A-C）,

可得2sin2B=—cos（A+C）+cos（A—C）=2sinAsinC,即sin2B=sinAsinC,

由正弦定理可得〃=ac=4,

又因为a+2c22c=4夜,当且仅当a=2c=20时，等号成立，

若a+2c取得最小值，则a=2应,6=2,c=》,

此时最大角为角A,COSA=/+C-2=4+2也,

2bc2x2xV24

所以VABC的最大内角的余弦值是-也.

4

故选：C.

2.A

利用正弦定理边化角，再利用余弦定理和基本不等式求解即可.

由题意结合正弦定理有：2a=b+c,结合余弦定理可得:

Z72+。2_

/b2+c2-a2

cosA=--------------=------------

2bc2bc

所以，cosA的最小值是;,

又余弦函数y=cosx在（0,无）上单调递减得，A的最大值为;.

故选：A.

3.D

利用基本不等式，结合直角三角形的面积公式，即可求解.

设。力为的直角边，。为斜边，

a+b+c=2

则可得（2—a—=a?+Z?2,即4—4a—4〃+2ab=0,

c2=a2+b2

因为a+当且仅当a=Z?时，等号成立,

所以"+224V法，解得而<2-0或疝22+8,

因为<?=储+)2<4,且2ah</+。2,当且仅当〃=人时，等号成立,

所以2ab<4,即ab<2,所以y/ab<2-42,

贝-4夜，5=y<3-2V2,当且仅当。=匕时，等号成立，

即S的最大值为3-2忘.

故选：D.

4.A

由余弦定理可得角C的大小，由与4.=5/8+508可得工+；=2,结合基本不等式“1”的巧用，即可

ab

得4〃+%的最小值.

12兀

由C2=Q2+A2+ab=^>cosC=1—CG（0,兀）二.C—,

又。ABC=S"CD+SABCD，

—ab•sin—=—Z7-|CD|sin—+—Z?-|cZ）|sin—=>2ab=a+b,—=2,

232323'b

a>0,b>0,

4〃+9b=g（4〃+9b）-,9944、25

>—13+2Nab,

~22

当且仅当"=半=匕=二。取等号；又工+：=2,即当且仅当取到最小值g.

ab3ab4o2

故选：A.

5.A

因为S=；bcsinA,

/=b2+c2—2bccosA，

—Z?csinA—besinA

则设s2《2

a1+4bcb1+C1-2bccosA+4bc2bc-2bccosA+4bc

—besinA-sinA

2:工

6bc-2bccosA6-2cosA

当且仅当b=c时，等号成立,

所以LsinA=6f—2fcosA,即』sinA+2，cosA=6，wjL+4,2,

22V4

16

故选：A.

6.C

3n>6z

设AZ>=机，AB=2AC=2n,由〃<6得2<"<6,

因为5C=6,CD=2BD,所以3D=2,DC=4,

且3、NADC为锐角，可得8sZAZ)5=-cosZADC,

AD2+BD2-AB2AD2+DC2-AC2

在VAB2VADC中由余弦定理可得

2AD•BD2AD•DC

m2+4-4n2m2+16-n2

即pn----------=------------m2=3n2—8,

4m8m

m2+16-n2m2+16-n2n2+4

所以cosZADC=

8m8m4A/3痴-8

、

("2+42/一/+40”2144

sinZADC=1-

4,3”2一8,4j3/-8

J-/+40•一14413

所以tan/AOC=-320j+9竽,

九2+4“2+440

13“=迈等号成立.

当且仅当2==即

n2+4403

故选：C.

7.A

利用三角恒等变换、正弦定理等知识判断出三角形A5C是直角三角形，利用基本不等式求得VABC周

长的最小值.

依题意，—ctbsinC=4,absinC=8,

2

由COS2A+COS2B=2—sinC1—sin2A+1—sin2B=2—sinC,

即sin2A+sin2JS=sinC=sin(A+=sinAcosB+cosAsinB,

sinA(sinA—cosB)+sinB(sin^—cosA)=0,

由于A3是锐角，所以sinA>0,sinB>。，

sinA—cosB与sinB-cosA一正一负，或sinA-cosB=sinB-cosA=0,

sinA>cosB=sin

sinA-cosB>0

若即<

sinB-cosA<0

sinB<cosA=sin

由于0<A<巴,0<8<巴，一二工<一2<0,

2222

A>--B

所以0<g_A<g,O<g_5<g,所以2,

22222.A

2

A+B>-

sinA-cosB>0

,此不等式组无解，所以不成立.

sinB-cosA<0

A+B<-

2

sinA-cosB<0

同理可得不成立.

sinB-cosA>0

所以sinA—cos5=sin5—cosA=0,

sinA=cosB=sin

所以，所以4+2弓Cg

sinB=cosA=sin

所以absinC=ab=8,

所以二角形A5c的周长=22y[ab+^l2ab=4^/2+4，

当且仅当Q=b=2后时等号成立，所以三角形ABC的周长的最小值为472+4.

故选：A

8.C

利用面积建立等量关系，结合余弦定理和辅助角公式等价变形可得关于5c的不等式，解不等式即可

得到结果.

3

“IBC的面积为万且AB=3AC,

1331

sinA=-AC2?sinAAC2=------.

222sinA

由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2ABMCCOSA=10AC2-6AC2?cosA

_10-6cosA

=(10-6cosA)AC2

sinA

6

2即dBC，+36?sin(A4)=10,tang

BC?sinA6cosA=10BC7

《BC&+36=--------

sin(A+q)

*.*0<sin(A+^)?1,

.1.JBC*+36?10，解得BC>2V2，即BC的最小值为2后.

故选：C.

9.c

由正弦定理、余弦定理以及大边对大角即可得解.

根据正弦定理，得/+廿一/<0.

由余弦定理，得cosC="—<0,所以角C是钝角.

2ab

所以VABC的最长边是J

故答案为：c.

10._巫

4

利用三角恒等变换结合正弦定理可得ac=4,再利用基本不等式求a+2c的最小值以及成立的条件,

再根据余弦定理即可得结果.

因为cos2B+cosB=l-cos(A—C),gp1-cos2B=cosB+cos(A-C),

可得2sir?B=-cos(A+C)+cos(A-C)=2sinAsinC,即sin2B=sinAsinC，

由正弦定理可得从=ac=4,

又因为2a+c22。2axe=4应,当且仅当c=2a=2施时，等号成立,

若2a+c取得最小值，则C=2A/I,6=2M=女,

b2+O2-c24+2-8_42

此时最大角为角C,cosC二

2ba2x2x^24

所以△ABC的最大内角的余弦值是-也.

4

故答案为：-克.

4

H.晅»岳

44

由条件结合正弦定理可得a:b:c=2:3:4,再利用余弦定理求角cosC,利用同角关系求结论.

sinA:sinB:sinC=2:3:4,

由正弦定理化简得a:b:c=2:3:4,

分别设。=2左力=3忆。=4左,则最大角为C,

a2+b2-c24/+9%2-16%2_1

cosC=

lab2x2%x3%4

所以0£仁,兀｝

所以sinC=—,

4

故答案为:

3兀

12.T

(1)利用三角形三内角和为兀计算即可;

(2)先确定最长边和最短边，然后利用正弦定理计算即可.

「/A八、tanA+tanB,

(1)由题可知tanC=-tan(A+B)=-------------=-1

1-tanAtanB

所以

(2)由题可知，最长边为边c=J万，最短边为边。；

易知sinA=,sinC=

172

由正弦定理可知，a=--sinA=V2

sinC

Air

故答案为：—；V2

4

兀

13.(1)C=-

(2)1

(1)根据余弦定理直接可得角C；

(2)结合正弦定理边角互化可知必=1,则根据基本不等式可得最值.

〃2_21

(1)因为/+/=,所以COSC=---------=一,

lab2

因为Ce(O,7t),所以C=：；

(2)因为bcsinA=sinC,

由正弦定理可知次?c=c,

所以必=1,

由I?+/=Clb+C2，

^c1=a1+b1—ab>2ab-ab=ab=l^

则cNl,

当且仅当，=人=1时，等号成立.

所以C的最小值为1.

71

14.d)C=3

吗

a2+b2-c21

(1)因为/+/=QO+C?,所以COSC=——,

2ab2

因为Ce(O,兀)，所以C=；.

(2)因为)csinA=sinC,所以Hc=c,

所以奶=1.

由a?+/=〃人+。2,c2=a2+b2—ab>2ab—ab=ab=\则。之1,

当且仅当，=人=1时，等号成立.

_J__Ai

DR二—>

设VASC外接圆的半径为R,贝UsinCsin|5则A'国，

所以VA3C外接圆的面积的最小值为兀甯=g.

C4

15.(1)tan-=-

(2)tanC的最小值为2皇4，此时左的值为53

(1)设a,b,c分别为角A,B,C所对的边，CD=h,则a+b=c+〃.

a2+b2-c2(«+Z?)2-c2-2ab(c+/z)2-c2,h2+2ch,

在VABC中，由余弦定理得cosC=—1=--------------1•

2ab2ablablab

由，QZ?sinC=Lc/z,得ab二1+cosCh2+2ch=iA.

，所以+

22sinCsinC2ch2c

1+COSCrh_5

因为AB=2CD,所以c=2/z,于是------------=1+

sinC五一“

CC

2sin—cos—•》

C22_sinC_4A

而tan,二

2cos2c1+cosC5

2

Ih1

(2)法一:由(1)知,

tan—

2

如图，在VABC中，过5作AB的垂线£B,且使£B=2/z,

贝lJCE=CB=a，则AC+CE=a+b2AE=Jc2+4/？，

h9

即(C+/79)NC2+4〃2,所以

于是即：4tang<l

tany42

_2

令函数片占，xe(O,l),则'=1一在(0,1)上单调递增,

1—XX

X

2tan—2x。

所以tanC=--------此时上

…21-出

故所求tanC的最小值为y74,此时k的值为3|.

法二：由S=—absinC=-ch=—c(a+b-c),

222'7

得sinA+sinB-sinC=sinA•sinB,即sinA+sinB-sin(A+B)=sinA•sinB,

l-cosAl-cosBAR

化简得----------+-------=--1--,即tan——btan一=1,

sinAsinB22

A

tan——I-tan—

A3八匕-AB1

因为tan—>0,所以0<tan——tan—W22=一,

22224