江苏泰州2025年高三年级下册开学调研数学试题+答案

江苏省泰州市2025届高三下学期开学调研测试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知向量荏=(x,2),BC=(2,1)若同〃而，则|荔|=

A.4B.2在C.5D.3"

2.已知集合4={X\X2-2X-8<0},B=付冷>o},则©A)nB=()

A.[4,5]B.(-2-1]

C.(-1,4)D.(-00,-2]U(5,+00)

3.已知复数z满足为虚数单位)，则z的虚部为

1177

A.0B.gC.giD.g

4.已知随机变量f服从二项分布B屋).若。(3f+2)=36,则n=

A.144B.48C.24D.16

1TC\27r

(产一§),则"xo=2/m+京，k€Z"是"f(X)的图像关于点(久o,O)对称”的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.在平面直角坐标系中，直线/与抛物线/=2py(p>0),单位圆。分别相切于4,5两点，当|4B|

最小时，p-

A.2^/3B.2^/2C.邓D.他

7.对一排8个相邻的格子进行染色.每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不能有相邻的格子

都染红色，则满足要求的染色方法共有

A.89种B.55种C.54种D.34种

Q%+]

8.已知a^-1,函数f(%)=In,则

A.当a>0时，函数/(%)在其定义域上单调递减

B.当a<。时，函数f(x)在其定义域上单调递增

C.存在实数a,使函数/(久)的图像是轴对称图形

D.当a丰0时，函数/(幻的图像恒为中心对称图形

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6

分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正数x,y满足i+q=1,则下列选项中正确的是

A.xy<3B.yjx2+y2>y-

C.(久+4)y的最大值为12D.8"+16,的最小值为128

10.假设某种细胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一个细胞分裂成两个.如果一个种群从这样一个

细胞开始变化，假设/为种群灭绝事件，S为第一个细胞成功分裂事件，尸为第一个细胞分裂失败事

件.若P(4)=p,则

1

A.P(S)=P(F)=2B.PQ4|F)丰1

C.P(4|S)=p2D”1

11.若球C在四棱锥的内部，且与四棱锥的四个侧面和底面均相切，则称球C为四棱锥的“。”球.在四

棱锥P—28CD中，AB=a,四边形/8CD为矩形，△PAD是边长为1的正三角形.若二面角P—A。—B的大

小为60°,则

A.当a变化时，平面P4B与平面尸4D的夹角不变

B.当a变化时，PB与平面PAD所成角的最大值为60°

C.当a=1时，四棱锥P-4BCD不存在“0”球

D.存在a,使得四棱锥P-4BCD有半径为的“Q”球

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

an4-1

12.已知数列｛即｝为等差数列，的=10,公差d=-3.若品=二丁，则”的最小值为______.

un

13.己知3>0,函数/'(X)=cos(2s:+目在区间幅］上单调递减，则3的最大值为.

14.已知。为坐标原点，点B,C为椭圆1+y2=I上三个不同的点(4B,C依次逆时针排列).若

N40B=Z.BOC=^COA=120°,贝口。4|2+|0B|2+葛|0C|2的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在△4BC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c.若点。在边8c上，4ADB=2B,吧黑@+当=L

(1)求角/的大小;

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(2)若tanC=2,c=2,

①求cosB的值；

(ii)求NO的长.

16.(本小题15分)

在三棱锥P—ABC中，△48C与△P4C都是边长为6的等边三角形，PB=9.点。为总的中点，点£在线

段N8上，BE=2EA.

(1)求证：PB_L4C；

(2)求DE的长

(3)求直线DE与平面P/C所成角的正弦值.

17.(本小题15分)

已知aCK,/(%)=In(x+1),g(x)=ax.

(1)若a=-2,曲线y=f(x)上一点尸处的切线与直线y=g(x)垂直，求点尸坐标；

(2)若g(x)>/(%)恒成立，求。的值.

18.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，点M到定点尸(4,0)的距离与点M到直线/：%=1的距离之比为2,点M的轨迹为曲

线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)己知点P(l,m),m^O,A,5为曲线C的左、右顶点.若直线尸N,尸2与曲线C的右支分别交于点

D,E.

①求实数爪2的取值范围；

同求牖的最大任

19.(本小题17分)

2

设数列｛斯｝的前〃项和为Sn,2Sn=n+5n.

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(1)求｛斯｝的通项公式;

(Sn+4)

(2)设0=n-2”,求数列后厂的前n项和八

Iunun)

13

(3)设c九=r-——求证：Ci+。2+。3+..•+”>2yJn--

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因为屈〃或，屈=(须2),阮=(2,1)

所以比=4,

所以尼=AB+BC=(4,2)+(2,1)=(6,3),

\AC\=&+32=3位

故选。.

2.【答案】A

【解析】解："A={X\X2-2X-8<0}={x|-2<x<4},B=^7^7>oj={x|-l<%<5},

•••CRA={x\x<-2或%>4],(CRA)CB={x|4<x<5}.

故选4

3.【答案】B

【解析】解：已知?^=i,等式两边同时乘以3z-4,

可得z—2=i(3z—4)

整理得z-3iz=2-4i,得z(l-3i)=2-4。

2-4t(2-40(1+3014+2i71

所以z====g+

则Z的虚部为中

故选B.

4.【答案】D

1

【解析】解：因为fsB(几2),

所以D(f)=?!•：•(1—；)=》1,

1

D(3f+2)=9?=36,

.・.71=16,

故选D

5.【答案】A

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【解析1解:f(x)=tan(|x-1),

17ikn27r

令产一可=万，即％=^+^71,kCZ,

27r

即/(x)的对称中心Q~+k兀,。)，kez,

27r

.•."x0=2fc7r+T，keZ"是"/(x)的图象关于点Qo,O)对称的”充分不必要条件,

故选A

6.【答案】C

【解析】解：令4(久°,次)),则|4B|=J端+=Jy/+2py()-l,

y=^＞y'=2，则k=?切线为y—yo=7(%-%0)即2xoX-2py一端=0,

XQ2y0

直线又与单位圆相切，则/7T=1即印=二,

J4除+4pZyo-l

则|4B1=:戴+^--1=Jyo-1+^；+4＞。4+4=2展

当且仅当正—1=即必=3，即＞0=4，p=4时取"=%

故选C.

7.【答案】B

【解析】解：8个格子涂色，相邻都不涂红色，包含的情形如下:

1°,8个格子都涂蓝色，共1个结果；

2°,8个格子有7个格子涂蓝色有点=8个结果;

3°,8个格子有6个格子涂蓝色，2个涂红色,红色不相邻，插空&=21个结果;

4°,8个格子有5个格子涂蓝色,3个涂红色，红色不相邻，插空德=20个结果;

5°,8个格子有4个格子涂蓝色，4个涂红色,红色不相邻，插空重=5个结果.

所以1+8+21+20+5=55.

故选B.

8.【答案】D

【解析】解：

a(2m—x)+1ax+1(2am-ax4-l)(ax+1)—a2%2+2a2mx+2am4-1

f(2M—久)4-/(%)=In2m+历==In©…_%2+2mx_2m+1

当缓乙I.L=a?,即m乙(X时，f(2m-x)+/(x)为定值Inc^,则/(久)关于乙CC(gj,Ina)对称.

故选D

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9.【答案】ABD

【解析】解：1=；+卜2g^l>^3>xy,I对;

+/表示直线:+1-1=0上的点与原点的距离,

112,

则距离的最小值£/=ii1=年§对;

（%+（护5

4444

%+”=4,%=4-评，（％+4）y=（8-”）y=-可产+8y,当y=3时，（%+4）y取最大值12,此时％=0矛

盾，C错;

，汽=2

88+16y22依•24y=2123x+4y=2&=128,当且仅当,3x+4y=12二I时，等号成立，。对.

3x=4y即

故选4BD.

10.【答案】AC

【解析】解：对于4显然正确.

1

PCAF^2

对于8,P(4|F)=?M=E=1,或由第一个细胞分裂失败，后面不会有新的细胞产生，故必然种族灭

2

绝，B错.

对于。，一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为0,则从一个细胞开始，它有。的概率分裂成两个细

胞，

11

在这两个细胞中每个细胞灭绝的概率均为P，P=]+开2np2-2。+1=o,p=1,D错.

12

,丁P(AS)罚一右

对于C,尸⑷S)=尸(S)=丁=『9,C正确.

2

故选：AC.

11.【答案】ACD

【解析】解：取4D中点为E,2c中点为尸，连接PE、EF、PF,

贝IJEF〃他EF1AD,

因为△P2D是等边三角形，所以PE14D,

贝ikPEF即为二面角P-AD-B的平面角，NPEF=60°,

以点E为坐标原点，直线ERED分别为x、y轴建立如图所示空间直角坐标系，

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p

1111

0,-2,01,B\a,—^,0j,C(a，2,01,Dl0,^,01,P

2,2-2

13

布=(a,0,0),AD=BC=(0,1,0),而=停排而=停-a-2-4

设平面PAB的法向量为Tii=

，——»邪13

•4P=彳%1+2yl+4^1=0

则

九i•AB=axi=0

可取Z1=2,则久1=0,yi=-3,m=(0,-3,2),

设平面PAD的法向量为712=（X2,y2,z2）,

，——>013

n-AP=彳12+2y2+4Z2=0

则2

九2•4。=丫2=0

可取Z2=l,则、2=。，％2=-8，元=(一4,0,1),

/一一\^11^22履

COS(九1，九2)==7T37I=行，

可知平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值不变，为寻

则当a变化时，平面P/8与平面P/D的夹角不变，故/正确;

设PB与平面PAD所成角为仇

\n2,pa

贝ain6=\cos{n2,BP]\=

pa

2Ja2--ya+1

则当:=乎时'sin。取得最大值孝x亮》号,

显然8的最大值大于60。，故8错误;

若四棱锥P—4BCD存在“。”球，设球心为H,

可知平面PAB与平面PCD关于平面PE尸对称,

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根据对称性，球心”在平面PEF内，

因为2D1平面PER4。u平面尸40,ADcABCD,

所以平面PEF1平面PND,平面PEF1平面N8CD,

又平面PEFn平面PAD=PE,平面PEFn平面48CD=EF,

则点〃到直线PE、P尸的距离即为点”到平面尸平面48。的距离,

可知点”在NPEF的角平分线上，又NP£T=60°,则NHEx=30°,

设//（V^rnQjn）,m>0,BH=（平m_Q，2，??2）,

设平面PBC的法向量为元=（久3/3/3）,

fc-BP=信-a卜3+张+3=0

-BC=y3=0

可取冷=3,则>3=0,Z3=4a-逆，a=（3,0,4a-8），

则点〃到平面功。和平面ABCD的距离为m,球的半径也为m,

点”到平面PAB的距离为心=雪翠=上

\2yl3m—3a+4am|

点打到平面的距离为电=

^9+(4a—2

解得m=2（舍负）,

\2yl^m—3a+4am|

由d2=

、9+（4a-同

可得（8m—3）a=487n（2m—1）（*）,

显然a=1和m=这匚不同时满足等式（*）,

即当a=l时，四棱锥P—ABCD不存在“。”球，故C正确；

而当TH=J：2时,8n1—3<0,2m—1<0,

o

1Tll473m（2m-l）

则a=8时3>°,

即当爪=3|二时，存在正实数。满足等式（*）,

故存在。，使得四棱锥尸-4BCD有半径为卫!匚的“0”球，故。正确.

6

12.【答案】—2

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【解析】解：由已知，得即=1。+(九一1)(—3)=—3九+13,

-3(n+1)+13-3n+10

—3?i+13—3?1+13'

Ci>0,。2>0，。3>°，Q=—2,当7125时，Cn>0,

,•lcn7min一乙，

故答案为：-2.

13.【答案】1

■入「，一.八「一，冗—,2710)一一一71712710)71

【解析】解：已知久6［0同，6)>0,那么2a)%C［0厂7］,所以2a%+%C［彳厂7+%］.

因为函数y=cost在［0,兀］上单调递减,

而函数/(%)=cos(23%+》在呜］上单调递减，所以年要十卷U［。闭.

(271371

由此可得不等式组，」,

孱。

可得手WL0即写飞得，两边同时除以与

，一，57r35~,5

得到34不义石=取所以34不

则3的最大值为)

故答案为：I

144

14.【答案】而

【解析】解：设|0A|=pi,\0B\=p29|OC|=p3,

A{picos0,pisin0),B(p2cos(0+120°),p2sin(0+120°)),

C(p3cos(0+24O°),p3sin(0+24O°)),

»P1COS20

+pisin20=1

2

p犯OS2(6+120。)

+pisin2(0+12O°)=l,

2

p|cos2(0+240°)

+p3sin2(0+240°)=1

i2

cos20+cos2(0+120°)+cos2(0+240°)

3

=cos2^+cos2(^—60°)+cos2(0+60°)=2J

3

sin20+sin2(6>+120°)+sin2(6>+240。)=彳

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111339l2I2(7)2(I+I+7)2

芝+房+歹/2=广温+房+题，+遥+黠，

7216?3244144

今Pl+P2+砂3之行Xg=可

1616144

|0川2Q+|0B|2Q+-|0C|2Q=Q+p名Q+西房Q2布,

4

117

当且仅当辰=浜=/时取“=”

%P2颍因

o

即周=送=亍房=2时取可取

144

应填：五尸

15.【答案】解：(1)由条件得=l=>sin(Z—B)+也sinB=sin(Z+B),

y/2sinB=2coSi4sinB,vsinB>0,cosA=A=g；

(2)(i)vtanC=2,sinC=cosC=

717275722-V5VW

•••cosB=—cos(i4+C)=—cos(x+C)=—xx—^—)=

…、上ell一,一tj3A/10J103

(讥)如图所小：由已知，sinZ-ADB=sin2B=2sin8cos8=2X-]"x《y=不

在△力BD中，由正弦定理=仁条加）=①.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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16.【答案】解：(1)(1)取NC中点连接用0,PM,

■：PC=PA,BC=BA,

■■.AC1PM,ACIBM,

XPM(\BM=M,PM、BMcPBM,

：.AC1平面PBM,

■■PBu平面PBM,

■■.AC1PB,即PB1AC.

(2)PM=BM=3©

■：PB=9,ZPMS=120°,

如图建立空间直角坐标系.

二P(-孚o1)，B(A/3,0,0),

二0(¥，0,3,E(居2,0),

(3)X(0,3,0),C(0,-3,0),

.■.PA=(^,3-^),XC=(0-6,0),DE=(1,2,-R,

设平面尸/C的一个法向量n=(x,y,z),

(3p9

T+3y_产=o===(73,0,1),

—6y=0

设直线DE与平面上4c所成角为仇

第12页，共16页

39

\DE-n\3M

・••sin。=

|函•同74,

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

1

17.【答案】解：(1)因为/(久)==，设点PQoJnQo+l))，

则点P处切线的斜率k=占，

%0十，

因为a=-2,

1

由曲线y=/(%)上一点尸处的切线与直线y=g(%)垂直，得x(-2)=-1,

所以孙=1,

即点尸坐标为(ljn2)；

(2)设h(%)=g(%)—f(%)=ax-ln(x+1),x>—1,

因为g(%)之/(%)恒成立，

所以h(%)20恒成立，%>-1,且h(0)=0,

1

因为"(%)=。一不百，

若a<0,则"(%)<0,故h(%)在区间(一L+8)上单调递减,

当％e(0,+8)时,h(x)<h(0)=0,与九(%)>0恒成立矛盾,

+1)

若则"(%)=

a>0,%+1

1

令"(%)=0得％=--1,

11

所以仅久)在区间(-1,£-1)上单调递减，旗切在区间(£-1,+8)上单调递增,

1

当£一1<0,即a>l时，

第13页，共16页

当久G(1-1,0)时，/i(x)</i(0)=0,与/i(%)>0恒成立矛盾，

当］-1>0,即0<。<1时，当％时，/i(x)</i(0)=0,与九(%)20恒成立矛盾,

当］-1=0,即。=1时，h(%)min=h。-1)=h(0)=0，

所以九(%)N。恒成立,%>-1,即g(%)之/(%)恒成立，

综上所述：a=l.

【解析】详细解答和解析过程见【答案】

18.【答案】解：(1)设M(v,y),由题意知J(%-4)2+y2=2|%-1|,

化简得C方程为《―4=1.

41Z

3

(2)(2)设直线PA方程为％=ty-2,t=~,

(x—ty—212t

桂2_y2=12=例9T)y9-⑵，==声p

在右支上，

12mt36

•••yp'yo>o=-9—>o=^>0=0<9<27

3,~2-1-1，

1

设PB方程为％=ziy+2,n=——?

(x=ny+2,、、？-12n

(3%2-y2=12n(3建一1万+"政=°今年=才，

•••E在右支上，

—12mn

・•・yP-yE<0今一----<0

3-1

m

12°

----<0=>m2o>3=3<m2<27.

m

\PA\\PB\mm

而||国一八-油

3

12•一

m36m

力=29=27—痴

3•--1

771

第14页，共16页

1

T2•(一元)12m

yE=----------—

3—m2

3—1

m

mm

I36mI

原式=~L2

I:----m---

27-mz3-mz

27-m23—m2

9+m2',

m2+9

4m2+9=A,12<2<36,

(36-4)(4-12)

・,・上式=

A2