极值点偏移问题与拐点偏移问题 （原卷版）

专题05极值点偏移问题与拐点偏移问题

【考点预测】

1.极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对

称性。若函数/(X)在X=X。处取得极值，且函数y=与直线y=6交于4(国,份,两点，则A3

的中点为河(^^/)，而往往五产。如下图所示。

极值点偏移的定义：对于函数y=/(x)在区间(。力)内只有一个极值点为,方程/(X)的解分别为

X］、X,,且。＜玉＜龙2＜6，⑴若则称函数y=/(x)在区间(西,X2)上极值点与偏移；

(2)若石＞x0,则函数y=/(x)在区间(再,兀2)上极值点与左偏，简称极值点。左偏；(3)若

土产＜x0,则函数y=/(x)在区间(f,％2)上极值点右偏，简称极值点与右偏。

【方法技巧与总结】

1.对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点

为％),即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点X0.

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数％x)=/(x)-/(2/-x),若证，则令

砥x)=/(x)-/(生).

X

(3)判断单调性，即利用导数讨论歹(x)的单调性.

(4)比较大小，即判断函数尸(x)在某段区间上的正负，并得出/(x)与/(2%0-%)的大小关系.

(5)转化，即利用函数/(%)的单调性，将f(x)与f(2x0-x)的大小关系转化为x与2/-x之间的关

系，进而得到所证或所求.

【注意】若要证明了'五冲的符号问题，还需进一步讨论文乂与尤0的大小，得出生土上所在

的单调区间，从而得出该处导数值的正负.

构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿

于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在

联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性

进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的

函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁

明快的思路，有着非凡的功效

2.应用对数平均不等式斥＜J*]：＜上产证明极值点偏移：

①由题中等式中产生对数；

②将所得含对数的等式进行变形得到I\一：；

In玉-Inx2

③利用对数平均不等式来证明相应的问题.

3.比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题

中的不等式即可.

【题型归纳目录】

题型一：极值点偏移:加法型

题型二：极值点偏移:减法型

题型三：极值点偏移:乘积型

题型四：极值点偏移:商型

题型五：极值点偏移:平方型

题型六：拐点偏移问题

【典例例题】

题型一：极值点偏移:加法型

例1.(2022•浙江期中)已知函数/(x)=x-7nx-a有两个不同的零点玉，x2.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：%]+x2＞a+1.

例2.(2022•汕头一模)已知函数/(x)=x-7nx-a有两个相异零点%，%(占＜马),

(1)求a的取值范围；

(2)求证：西+马<纯产.

例3.(海淀区校级月考)已知函数/(九)=(九一2)/+。(无一I)?,a^R.

(I)求曲线,=在点P(l,f(1))处的切线方程；

(II)若〃..0,求/(%)的零点个数;

(III)若/(%)有两个零点玉，x2,证明：%+工2<2.

例4.(2022•江门一模)已知函数/(彳)=勿|*-：1|-@,aeR是常数.

(I)求曲线>=/(尤)在点(2,f(2))处的切线方程，并证明对任意aeE,切线经过定点;

(II)证明：。<0时，设%、“是/(无)的两个零点，且不+马>2.

题型二：极值点偏移:减法型

例5.(2022•七星区校级月考)已知函数/@)=尤/依一|/+1.

(1)若/(x)在(0,+oo)上单调递减，求。的取值范围；

⑵若/(x)在x=l处的切线斜率是g,证明了(无)有两个极值点项了2，且3历2<|。%-/时|<3.

例6.(2022•常熟市月考)设函数/(x)=/nx,g(x)=«(x-l),其中awH.

⑴若a=l,证明：当了>1时，f(x)<g(x)；

(2)设&尤)=/(x)-g(无)优，且0<°」，其中e是自然对数的底数.

e

①证明月(九)恰有两个零点；

②设/如为/(%)的极值点，玉为/(%)的零点，且玉>%,证明：3%-玉>2.

例7.(2022•黄州区校级模拟)已知函数/(%)=av加x-(a+l)加r,/(%)的导数为尸(%).

(1)当时，讨论了'(%)的单调性；

31

(2)设a>0,方程/(%)=——%有两个不同的零点菁，x2(xi<x2),求证：xY+e>x2+-.

例8.(2022•道里区校级二模)已知函数/(%)=如阮V-O+1)%:，/⑴为函数/(%)的导数.

(1)讨论函数广(%)的单调性；

(2)若当相>0时，函数/(%)与g(x)=——%的图象有两个交点A(玉，％),B(X,%)(%<冗2)，求证:

e一一2

1

x2H—<%+e.

题型三：极值点偏移:乘积型

例9.(2021春•汕头校级月考)已知，函数/(x)=其中aeR.

(1)讨论函数/(尤)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个零点，

⑺求a的取值范围；

2

(而)设/(x)的两个零点分别为X,x2,证明：xrx2>e.

h

例10.(2022•攀枝花模拟)已知函数/0)=勿无+2-以0©尺为€出有最小值加，且知..0.

X

(I)求e"T-6+1的最大值；

(II)当#।-6+1取得最大值时，设/(b)=巴匚-硕weR),尸(无)有两个零点为百,%(入〈々)，证

b

23

明：x1-x2>e.

例11.(2022•张家口二模)己知函数人》="-4竺-o(e是自然对数的底数)有两个零点.

X

(1)求实数。的取值范围；

(2)若/(兀)的两个零点分别为玉，X,证明：九述2〉二•

21

一e2

例12.(2022•武进区校级月考)已知函数/■(x)=/nx+：x2-融.

(1)若函数/(尤)在x=l处的切线与x轴平行，求a的值；

(2)若存在1］,使不等式/(1),,女-3-1)历x对于,e］恒成立，求a的取值范围；

(3)若方程有两个不等的实数根%、％,试证明x逮2＞e?.

题型四：极值点偏移:商型

X

例13.已知函数/(尤)=彳-6。(4＞0)有两个相异零点X、X,,且无］＜起，求证：—.

，x2a

例14.(2022•新疆模拟)已知函数=+

(1)当a=|时，求/(X)的单调区间；

(2)已知。..3石，石，%(%＞为)为函数/(无)的两个极值点，求尸2®)_/〃■的最大值.

3玉+%2%2

例15.(2021春•湖北期末)已知函数/(x)=ae~x+Inx-1(«eR).

(1)当4,e时，讨论函数/(x)的单调性：

(2)若函数/(尤)恰有两个极值点为，为(为＜马)，且占+W，,(2e+D,勿2e,求主的最大值.

2e-l玉

例16.(2022•宁德三模)已知函数/(%)="一"+Inx-l(aGR).

(1)当④e时，讨论函数/(%)的单调性：

X

(2)若函数/(%)恰有两个极值点演，电(x1Vx2)，且％+%2，，2妨3,求二的最大值.

题型五：极值点偏移:平方型

例17.(2022•广州一模)已知函数/0)=%如:一一十%(。£〃).

(1)证明：曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线/恒过定点;

2

(2)若/(处有两个零点玉，x2,且％2>2石，证明：Jjq+%2>--

e

例18.(2022•浙江开学)已知QGR,f{x)=x^-ax(其中e为自然对数的底数).

(I)求函数y=/(x)的单调区间；

(II)若〃>0,函数y=/(x)—Q有两个零点九，%,求证：片+x；>2e.

例19.(2021秋•泉州月考)已知函数/(尤)=处乂.

ax

(1)讨论f(x)的单调性;

22

(2)若(%)他=(勿2)*'(0是自然对数的底数)，且%>0,x2>0,占#%，证明：-xj+x2>2.

例20.(2022•开封三模)已知函数/Xx)=-

mx

(1)讨论/'(尤)的单调性；

(2)若帆=2,对于任意%>%>0，证明：K"(为)-考・/(>2))«；+¥)>尤也一名一

题型六：拐点偏移问题

例21.已知函数/(x)=2/温+/+x.

(1)求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

(2)若正实数%1，%满足，(%)+/(兀2)=4,求证：xi+x2..2.

111

例22.已知函数/(尤)=—/-(1+^)%+一出(4€尺).

2aaa

(1)当Q>0时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)当〃=g时，设g(x)=/(%)+6x,若正实数玉，x2,满足g(X])+g(%2)=4，求证：x1+x2..2.

例23.已知函数/(1)=/依+2工一以2,aeR.

(I)若/(%)在%=1处取得极值，求。的值；

(II)设g(x)=/(%)+3-4)%,试讨论函数g(x)的单调性；

(III)当4=一2时，若存在正实数%,超满足/(%)+/(工2)+3%1%2=%1+%2，求证：%+%2>g.

【过关测试】

1.(2022.天津河东•二模)已知函数*x)='-21nx(aeR且4力0).

⑴4=2,求函数“X）在（2,42））处的切线方程.

⑵讨论函数“力的单调性；

⑶若函数〃x）有两个零点再、%（石<%），且a=e2,证明：芯+%>2e.

3

2.（2022•河北•沧县中学高二阶段练习）已知函数〃x）=x+-+21nx-a（aeR）有两个不同的零点和马.

（1）求实数。的取值范围；

⑵求证：x{x2>1.

3.（2022•江苏泰州•模拟预测）已知函数/（x）=e、—6?+法-1,其中a,b为常数，e为自然对数底数，

e=2.71828….

（1）当a=。时，若函数/（力20,求实数b的取值范围；

⑵当6=2a时，若函数/（X）有两个极值点与，巧，现有如下三个命题：

（DVXj+bx2>28；②2&（玉+*2）>3玉工2；③小芯+J/>2;

请从①②③中任选一个进行证明.

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

4.（2022.湖北武汉.模拟预测）已知函数〃x）=x-血

⑴求证：当尤>1时，lnx>—―；

X+1

（2）当方程〃x）=7%有两个不等实数根占,%时，求证：x,+x2>m+l

5.（2022・浙江绍兴.模拟预测）已知函数/（力=1—2》一（4+1）,g（x）=f+（a-l）x-（a+2）（其中e=2.71828

是自然对数的底数）

⑴试讨论函数〃x）的零点个数；

⑵当“>1时，设函数/i（x）=/（x）-g（x）的两个极值点为胃、巧且占<三,求证：eX2-eX1<4a+2.

6.（2022•安徽淮南•二模（理））已知函数/（x）=]l-鼻上，

-k(x-l),x>-l,kGR.

⑴若％=0,证明:%£（-1,0）时，/（X）<-1；

⑵若函数/（刈恰有三个零点占，%，工3，证明：玉+尤2+工3>1.

7.(2022.湖南・岳阳一中一模)已知函数/(x)=aln(x+2)-x(aeA).

⑴讨论了(元)的单调性和最值；

21m2

⑵若关于x的方程/=±-乙111」1(加>0)有两个不等的实数根小三，求证：e'>+e-^>-.

mmx+2m

8.(2022•山东・青岛二中高三期末)已知函数/(x)=x(l—alnx),a&R.

(1)讨论/(x)的单调性；

⑵若时，都有/卜)<1,求实数。的取值范围；

(3)若有不相等的两个正实数七，巧满足=①，证明：X+工2<%了2.

1十111X[X]

9.(2021・广东•新会陈经纶中学高三阶段练习)已知函数=姑同.

⑴讨论的单调性；

(2)设a,b为两个不相等的正数，且Mna-alnb=a-b,证明：2<，+L

ab

10.