平面解析几何-高考数学二轮复习重难点突破（含解析）

专题八平面解析几何——高考数学二轮复习重难点突破

►典例分析

考查方式

直线与圆的方程在高考中可单独以选择题、填空题的形式考查，也可与圆锥曲线综合在解

答题中考查.直线主要考查直线的斜率和方程、两直线的交点与距离问题、对称问题等；圆主

要考查圆的方程的求解、与圆有关的最值问题、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等.复

习的重点在于立足基础，培养推理论证能力，提高运算能力，注重解题的通性通法.

圆锥曲线在高考中占据极其重要的地位，是高考的重点、热点和难点，更是每年的必考内

容.简单题主要考查圆锥曲线的定义、方程、简单性质，难题主要考查圆锥曲线几何性质的综

合应用、直线和圆锥曲线的位置关系、利用解析几何知识解决圆锥曲线综合应用，这类题目的

综合性较强，对计算能力要求较高.复习的重点在于重视基础知识的掌握，重视思想方法的训

练，提高计算能力和综合解题能力.

高考真题

22

1.[2023年新课标I卷]设椭圆G：三+y2=i(q〉i),。,：土+丁=1的离心率分别为华，江.

a4

若e2=也,，贝I。=()

A.-B.y[2,C.y/3D.,\/6

2.[2024年新课标II卷]已知曲线C:f+V=胎⑶〉0),从C上任意一点尸向x轴作垂线PP',

P为垂足，则线段PP的中点”的轨迹方程为（）

2222

A.^-+^-=l（y>0）B.J+J=l（y〉0）

164168

W，〉o)

3.[2023年新课标I卷]过点(0,-2)与圆必+9—以-1=0相切的两条直线的夹角为tz,则

sina=()

R岳「回C娓

A.1D.L.U.

444

2

r

4.[2023年新课标H卷]已知椭圆C:j+/=1的左、右焦点分别为耳，F2,直线y=x+m与

C交于A,3两点，若△耳A3面积是面积的2倍，则机=()

A.2cV22

3333

5.[2024年新课标I卷](多选)设计一条美丽的丝带，其造型p可以看作图中的曲线C的

一部分.已知C过坐标原点。，且C上的点满足：横坐标大于-2,到点歹(2,0)的距离与到定直

线x=a(a<0)的距离之积为4,贝心)

A.a——2

B.点(2夜,0)在C上

CC在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点(如阳)在c上时，儿<—

九0十，

22

6.[2024年新课标I卷]设双曲线C:三-==1(a>0,Z?>0)的左、右焦点分别为百，凡,

ab

过F2作平行于y轴的直线交C于A,3两点，若山H=13,||=10,则C的离心率为.

7.[2024年新课标I卷]已知A（0,3）和小胡为椭圆。：，%=1（。〉6〉0）上两点.

（1）求C的离心率;

（2）若过P的直线/交C于另一点3,且△砂0的面积为9,求/的方程.

►重难突破

22

1.已知椭圆C：1+与=1（。〉心0）经过点（0,2），当左变动时，C截得直线,=区的最大弦长

a2*8b1

为4后，则C的方程为（）

22222222

A.土+2L=iB.±+2L=iC.土+2L=iD.土+匕=1

8442322324

2.已知直线/]：（〃z+l）x+2y+l=0与直线"：3x+wzy+l=0平行，则机的值为（）

A.-3B.-lC.2D.-3或2

3.已知圆/+,2+4为一2丁+1=0关于直线x+y—m=0对称，则实数机=（）

A._1B.lC._2D.2

4.过抛物线f=分的焦点R作直线/,交抛物线于A,3两点.若线段中点的纵坐标为3,则

\AB\等于（）

A.10B.8C.6D.4

5.圆好+9=4与圆必+,2一4%一4丁+4=0的公共弦长为（）

A.0B.百C.2V2D.2月

22

6.若直线/：2%-丁=0是双曲线0：27_£=1（。〉0力〉0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率

为（）

A.石B.石C巫D正

22

7.已知圆c：(x-2)2+(y-4)2=35，直线/:(2〃?+l)x+(〃?+l)y—7m—4=0则直线/被圆C截得

的弦长的最小值为()

A.5B.4&C.10D.2出

8.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛

物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.

已知一束平行于x轴的入射光线的一束光线与抛物线2内的交点为4(4,4),则反射光线

所在直线被抛物线截得的弦长为()

9.已知耳，工是椭圆c：[+；=i的左、右焦点，直线/与椭圆C相切于点过左焦点

耳作直线/的垂线，垂足为。，则点Q与原点。之间的距离为()

A.石B.2C.3D.4

22

10.已知椭圆「=+与=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为耳，F2,过工的直线/与椭圆「相

交于A、B两点，与y轴相交于点C.连接耳C,耳4.若。为坐标原点，F,CLFXA,=2SAAf]f2,

则椭圆r的离心率为()

A.叵B正C.叵D正

551010

2

11.已知。为双曲线U±_y2=i右支上一点，过点。分别作C的两条渐近线的平行线，与另

4-

外一条渐近线分别交于点A,B,则|。从口目=()

A.2B.J?C.-D.-

42

12.已知抛物线0：丁2=20%（0>0）过点4（2,4）,动点M,N为C上的两点，且直线AM与A7V

的斜率之和为0,直线/的斜率为-1，且过C的焦点F/把△AW分成面积相等的两部分,

则直线的方程为（）

A.x+y-6=0B.%-y+6=0

C・％一y+4A/2-6=0D.%+y+4后-6=0

22

13.（多选）已知椭圆曰二+匕=1的左顶点为A,左、右焦点分别为月，F2,过点耳的直线

43

与椭圆相交于尸，。两点，则（）

A［耳耳|=1

B.|PQ|W4

C.当心，P，。不共线时，△&PQ的周长为8

D.设点P到直线1=T的距离为d,则］=2忸周

14.（多选）已知。为坐标原点，点4（2,1）在抛物线C:f=2py（p〉0）上，抛物线的焦点为R

过点8（0,-1）的直线/交抛物线C于P,。两点（点尸在点5,。的之间），则（）

A.直线A3与抛物线。相切

^-OPOQ=6

C.若P是线段BQ的中点，则2|「尸|=|。下|

D.存在直线I,使得\PF\+\QF\^2\BF\

22

15.（多选）已知双曲线0.二—21l（a〉0力〉0）的左焦点为R尸为C右支上的动点，过P

-916

作C的一条渐近线的垂线，垂足为A,。为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A.点R到C的一条渐近线的距离为2

B.双曲线C的离心率为3

3

C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4

D.当归山+1P周最小时，则△PAF的周长为10+2^/13

16.已知直线依-y+1-2左=0,当左变化时，所有的直线恒过定点

22

17.已知双曲线三=1(。〉0力〉0)的两条渐近线与抛物线V=2px(p>0)的准线分别交于

A,3两点，。为坐标原点.若双曲线的离心率为2,Z\AOB的面积为逝，则P=.

18.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262〜公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代

世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数左(左>0且左wl)

的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点4(-1,0)，5(2,0),圆

C:(x-2)2+(y-m)2=1(m>0)，在圆上存在点「满足|申|=2户到，则实数机的取值范围是

19.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆

心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆

。：二+4=1(。〉6〉0)及其蒙日圆的离心率为四，点A,5C,D分别为蒙日圆。与坐标

ab3

轴的交点，分别与。相切于点瓦EG,H,则四边形ABCD与四边形环GH的

面积的比值为.

斗

A

C

20.已知抛物线C：y2=4%的焦点为RA,3为C上的两点.若直线E4的斜率为:，且E4.尸3=0,

延长AF，分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为1___________.

21.已知点P(l,4)与直线l:x+y-l=Q>圆(7:/+/_4》+3=0

(1)一条光线从点尸射出，经直线/反射后，通过点0(3,2),求反射光线所在的直线方程；

(2)过尸点作圆的切线，求切线方程.

22.已知抛物线C:x2=2py(p〉0),C的焦点是正

(1)若过原点。作两条直线交曲线C于A,3两点，且求证：直线A3过定点；

(2)若过曲线C上一点P(2,l)作两条直线交曲线C于A,3两点，且=求△AEB的

面积的取值范围.

23.已知椭圆〃:+J=1(。〉6〉0)的焦距为2有，且点)日j在椭圆〃上.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设。为坐标原点，A,B,C是椭圆"上的三个动点，且四边形。43c恰为平行四边形，

试判断平行四边形0A3C的面积是否为定值？若是，求出该定值，若否，请说明理由.

2

24.已知双曲线=i的左、右顶点分别为4，4.

(1)若过点T(0,-3)的直线/交双曲线E于A,3两点，求直线/的斜率范围；

(2)过原点的直线与双曲线E相交于C,。两点(C在x轴的上方)，直线4C,4。与圆

/+丁=3分别交于点〃，N,直线CD与直线的斜率分别为左，k2,求左+质的值.

25.已知A,3分别是椭圆C:'+与=1(。〉6〉0)的左、右顶点.椭圆长轴长为6,离心率为一.0

ab3

为坐标原点，过点尸(0,-3),且与坐标轴不垂直的直线/交椭圆C于N两个不同的点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当直线I的斜率为正时，设直线AM,AN分别交y轴于点S,T,记PS=APO,PT="PO,

求2+〃的取值范围.

答案以及解析

高考真题

1.答案：A

解析：由椭圆G的方程知离心率4=互二，由椭圆。2的方程知62=走.又©=国,即

a2

=43■——-,化简得/=4/_4,a2=—,a>l,a=.故选A.

2a33

2.答案：A

解析：设则P（/，2%），因为点P在曲线C上，所以其+（2阳）2=16（%>0），即

2222

迎+九=1（%〉0）,所以线段PP的中点M的轨迹方程为j+J=l（y〉O）,故选A.

164164

3.答案：B

解析：设圆/+4x-1=0为圆C,化简得（x-2）2+V=5,圆心为C（2,0）,半径厂=君.如

、/5

图，设NCB4=6>,则a=2。，sine=01=,代斗,易知cos6>0,则

\CP\7(2-0)2+[0-(-2)]22V2

cos0--^=，所以sin。=sin20=2sin9cos。=.故选B.

2724

解析：设直线y=与元轴交于点M（-引0）,直线方程与椭圆方程联立得

2

4%9294

-------卜2mx+m—1=0A=(2m)2-4~•(m2-l)>0,解得-2〈根<2.

3

设月(-0,0),耳(后,0)到直线A3的距离分别为4,d2,由题意得，2--\AB\-d2=^-\AB\-di,

所以4=2人.由三角形相似可得，《=出4=匕扛蛆=2,解得冽=一变或〃，=—3后.因为

，d2\F2M\\42+m\3

加

-2<m<2,所以根=----,故选C.

3

5.答案：ABD

解析：因为坐标原点。在曲线。上，所以2x|〃|=4,又〃<0,所以。=-2,所以A正确.

因为点(20,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离之积为(2亚-2)(2应+2)=4,所以

点(20,0)在曲线C上，所以B正确.

设尸(x,y)(x>0,y〉0)是曲线。在第一象限的点，则有，(％—2>+。(%+2)=4,所以

/=一(X-2)2,令/(%)=一(X—2)2，则八X)=--^―—2(》—2)，因为/(2)=1,

(x+2)(x+2)(x+2)

且/(2)<0,所以函数/(幻在x=2附近单调递减，即必定存在一小区间(2-£,2+£)使得/(x)

单调递减，所以在区间(2-£,2)上均有/(幻>1,所以P(x,y)纵坐标的最大值一定大于1,所

以C错误.

因为点(%,为)在。上，所以小〉一2且—2)2+y；(/+2)=4,得

帚产2『三产再所以为4。鸟心［=71r所以D正确.

综上，选ABD.

6.答案：-

2

解析：法一：由|AB|=10及双曲线的对称性得恒用=等=5,因为|明|=13,所以

22

2a=|AF；|-|AK|=13-5=8,2c=\FxF^=-\AF2f=V13-5=12,所以a=4,c=6,

则C的禺心率e=—=—=—.

a42

,右2i22_2

法二：因为|AB|=10,所以2=10,所以幺=二^=5,

aaa

又|然|=13,所以闺£|=2c=J|A片「-［号］=12,得c=6,

一r63

所以a?+5〃—36=0,得a=4,所以C的曷心率e.

a42

7.答案：(1)-

2

31

(2)l:y=-x-3^y=—x

22

解析：（1）由题知£c,解得卜=2®,

9,91b=3

[a24b2

c-_12-。的曷心率e=_£=J_.

a2

（2）|%|=卜+1|]=当，设点3到直线必的距离为人

则△回0的面积为S=g|PAH?=9,解得无=今5.易知直线PA:x+2y—6=0,

jx+2y-6|12逐

设3(x,y),则85解得F=°或3，,3(0,-3)或81-3,-3

22y=-3y=~^V2

%尸-1、乙

1129

故/:y=』x-3或y=1x.

重难点突破

1.答案：A

22

解析：由题意可得b=2，2a=4叵，所以〃=8，廿=4,所以椭圆方程为土+乙=1.

84

故选：A

2.答案：A

解析：由两直线平行得：（m+l）〃?-2x3=0,解得加=2或加=-3.

当机=2时，A:3x+2y+l=0,4：3x+2y+l=0,两直线重合，不合题意.

当机=_3时，I：-2x+2y+l=0,即2x—2y—1=0,/2:3x-3y+1=0,两直线平行，符合题意.

故m的值为-3.

故选：A.

3.答案：A

解析：由d+J+dx—2y+i=。，得(x+2)2+(y—Ip=4，故圆心为(—2,1),

又因为圆Y+/+4》_2,+1=0关于直线尤+y-7w=0对称，

故圆心(-2,1)在直线x+y—m=0上，贝!J»i=x+y=—2+1=—1.

故选：A

4.答案:B

解析：抛物线必=分的焦点为尸(0,1),准线方程为y=-l,

设人(%,%),5(%,%),

则%+%=2*3=6，

所以|AB|=|AE|+1|=%+1+%+1=8,

故选：B

5.答案：C

解析：圆/+/=4①与圆X?+_/-4x-4y+4=0②，

①一②得4x+4y-4=4,即公共弦方程为x+y-2=0,

又圆/+,2=4的半径为r=2，圆心为0(0,0),

|0+0-2|

圆心0(0,0)到直线x+y-1=0距离d=A/2,

V2

所以公共弦长为2产方=2Q=20-

故选：C.

6.答案：D

22

解析：因为双曲线斗一、=1(〃〉0/〉0)的焦点在y轴上，且直线/:2x-y=0即为y=2x,

由双曲线W—.=l(a〉O力〉0)的渐近线方程是丁=±2一所以£=2,即？=；，

所以离心率e=£卜2+"2仄=心.

故选：D.

7.答案：C

解析：由/：(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0=>m(2x+y—7)+x+y—4=0,

尸+i°今产,即/过定点4(3,1),

2x+y-7=Q[y=l')

由C:(x—2y+(y—4)2=35得。(2,4)，半径厂=后，

则当AC，/时，C到/的距离最远，此时/被圆C截得的弦长最小，

最小值为2^r2-|AC|2=10-

故选：C.

8.答案：C

解析：因为点4(4,4)在抛物线上，所以16=80,解得°=2,

所以抛物线的方程为V=4x，则焦点为尸(1,0)，

又因为反射光线经过点4(4,4)及焦点厂(1,0)，kAB=kAF=^=^，

所以反射光线AB的方程为y=1)，

1

y=4xr_4_J_

联立抛物线方程得4,解得“或”二W，

4

>=5(x—i)b=[J="i

所以反射光线AB与抛物线的交点为1)，

4

由两点间距离公式可得|A5|=J(4-^-)2+(4+l)2=，

所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为竺.

4

故选：C.

9.答案:B

解析：直线/的斜率显然存在，所以设直线/的方程为y-3=1)，即y=k(x-1)+|，

[22

工+匕=1

联立方程组43,

3

y=k(x-l)+-

消去y,得（3+4左2）x2+（12左一8左2）x+4左2—12左一3=0，

因为直线/与椭圆C相切于点

所以△=（12k-8左2）2-4（3+4左2）（4/—12左一3）=0，

整理得144k2+144左+36=0，解得左=—《，

2

所以切线方程为y=-—（%-!）+—=-—%+2;

222

22_________

由椭圆C：3+1_=l，可得片=4/2=3，所以0=力2_炉=1，

可得左焦点片(-1,0),所以过左焦点耳与直线/的垂直的直线方程为y=2(x+l),

联立方程组『-=_15",解得了=0,y=2,所以Q(0,2),

y=2(x+l)

所以点。与原点。之间的距离为2.

故选：B.

10.答案:A

解析：设区A|=f，由S-=2s石片行

可得S"/=25女蛆=4S》"2，由于△片⑪与△AKE等高,

所以内q=4，=闺q.

又£CJ_f；A,|AC|=5f，.•.忸A|=3/，

又|AFj|+|A闾=2a=4,,.'./=—>

在△C^O中,cosZC/sO=—

la

COSZAF2FI+cosZC/^O=0，

|A直『+闺居12TA周2_2C2—。2

在△Ag片中,COSZAF2F1=

2|/A卜寓-=ac2a

化简可得2…2,解得e$吟,

故选：A.

11.答案：C

解析：设坐标原点为0,。（毛,%），易知C的渐近线的方程为y=土;X，

「X,

联立

y-%=；(x-%),

1

x=2Xo-Vo

解得

11

y=-4%o+2

不妨取A(/Xo-%，一^/+万为］

同理可得+

=93%一%，|0耳=¥；%+%

因为四边形OABD是平行四边形,

于是=|。耳|04|,

11

5%+%,

由于点。在c上,

2

所以+"1,

因止匕

故C正确.

故选：C

12.答案：D

解析：因为抛物线Uy?=2px(p>0)过点4(2,4),

所以16=4p,解得：p=4,所以y2=8x，

设〃(%,%)，N(x2,y2)，

直线MN:x=ty+m,代入y2=8x中整理得y2-8ty-8m=O>

所以为+%=8/，%%=-8m,

%—4%—4_%—4%—4

所以左AM+Mv=---------------1------------------------------------1------------------

石―2X2—2y；__2%_2

88

8।88(%+4)+8(%+4)=0

即%+%+8=0,

X+4%+4(%+4)(%+4)

则%+为+8=8/+8=0,解得：t=-l，

所以直线MN:x+y-m=0,

直线/的斜率为一1,且过C的焦点/(2,0),

所以/:x+y—2=0,贝14(2,4)至恒线/的距离为4=?产=2后,

所以/把分成面积相等的两部分，因为直线/与直线"N平行,

所以4(2,4)到直线/:x+y-2=0的距离为4(2,4)到直线MN:x+y-m=0距离的

2四=也」"J时,解得：m=6—4A历或加=6+4逝(舍去)•

2

所以直线MN的方程为x+y+40-6=0.

故选：D.

13.答案：BCD

解析：对于A,由题意知：a=2,b-y/3f,c=y/a2-b2=1f..・寓与|=2c=2,A错误;

对于B,为椭圆C的焦点弦，.•.归°归2a=4,B正确；

对于C,忸胤+归闾=|Q£|+|Q闾=2a=4,

△鸟尸。的周长为|PQ|+|%|+|Q闾=|?司+|「闾+|Q£|+|Q才|=8,C正确;

对于D,作PM垂直于直线1=y,垂足为

设则2=|PM|=ko+4|，

22

耳(-1,0)，\PF{\=^(x0+1)+=J(X0+1)+3--|XQ=J—Xg+2x0+4

5%+2,

.-.2|P^|=|%0+4|,:.d=2\PF\,D正确.

故选：BCD.

14.答案：AC

解析：因为点A(2,l)在抛物线C:f=20y(p>0)上，所以4=2p,解得p=2,

即抛物线方程为必=4y，焦点尸(0,1).

对于A：直线45的方程为旺■=&，即y=x-1，

1+12-0.

因为,；2二]，解得〈二:所以直线与抛物线。相切点4(2,1),故A正确；

对于B：设过点5的直线为/,若直线/与y轴重合，则直线/与抛物线C只有一个交点，不

合题意；

所以直线/的斜率存在，设其方程为y=Ax-l,

91

由<：A得％2—4丘+4=0，贝J△=16左2—16>0，即左v—1或左>1,

[x2=4y

于是X]+%=4左，xtx2=4,

又以乂qX；=—(^2)-=正义'=1，

所以0。・00=石%2+K%=5,故B错误；

对于C：由焦半径公式可得|巾=%+勺％+1,|2*=乂+言=%+1，

因为P是线段3Q的中点，

所以乂=22=1，整理得2(%+1)=%+1，即21Pbl=|。尸|,故C正确；

对于D：若|「尸|+|。下|=2|5/|,则(%+1)+(%+1)=2|1—(-1)|=4,得%+%=2

所以2=%+%=左(%+%)一2=公4左一2=4左2—2,即4左2=4，解得左=±1，

此时A=16k2—16=0，则直线/与抛物线相切，故D错误.

故选：AC.

15.答案：BCD

22

解析：双曲线二一匕=1(。〉0力〉0)的渐近线为4x±3y=0,左焦点/(一5,0),所以点R到C

916

的一条渐近线的距离为吧工1=4,所以A错误;

“2+32

由双曲线方程可得a=3，c=5,所以离心率e=£=»，所以B正确;

a3

22

设点？(%,%),则^_—二=1，即16%2—9%2=144,

916

点P到两渐近线距离分别为国3d和国二M,

55

则|4x0+3%||4%—3%|—9端=144所以C正确;

552525

22

设双曲线土—匕1（。〉0力〉0）的右焦点耳（5,0），则|即尸耳|=2a=6,所以

916

|则+归曰=|期+归周+6，

若|PA|+|PF|最小，则只需|R4|+|尸耳|最小即可,

过£作垂直渐近线4x-3y=0与点A,6A交双曲线右支与点P,此叫到+归国最小,

「4,

闺止由勾股定理得|Q4|=3,所以A,所以

\FA\=

所以△PAF的周长为|B4|+|PE|+|A同=|B4|+6+|P制+|AE|=6+|44|+|4同=10+2/，所以口

正确.

故选：BCD.

16.答案:（2,1）

解析：因为直线依―y+1—2左=0,即为左（％—2）—y+l=0,

X—2=0，解得「=2

令

-y+l=0[y=l

所以直线恒过定点（2,1）.

故答案为：（2,1）.

17.答案：p=2

解析：宿€=£=2,得c=2a,b=6a,所以双曲线的渐近线为y=±而:.

a

又抛物线的准线方程为x=-£联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得A(-4近、

2I22J

在△495中，|阴=回,。到A3的距离为§S“B=G，*岛£=6，P=2.

解析：设尸(x,y),因为点A(-1,0)，5(2,0),\P^=2\PB\,

所以J(x+])2+y2=2,卜_2)2+y2,即%2+y2_6x+5=0,

所以(x—3)2+y2=4,可得圆心(3,0)，半径尺=2，

由圆C:(x—2j+(y—加了=；可得圆心c(2,和)，半径/=；,

因为在圆C上存在点P满足归川=2归因，

所以圆(%―3)2+丁=4与圆C:(x-2)2+(y-zn)2=：有公共点，

所以2—LvJ(3—2y+7/«2+工,整理可得：2<i+m2<25；

29,244

解得在〈加〈叵，

22

所以实数m的取值范围是卜5,叵

22

故答案为：「立，叵.

22

19.答案：|

解析：由题意得蒙日圆。为x2+y2=q2+/.

则4(0,扬+/卜£>(病工,0),

直线AD的方程为：y=-x+yla2+b2,

y=-x+y/a2+b~

联立\22

—2L=i

U2+b2

M(a2+Z?2)%2-2a"V«2+b2x+a4=0,

A=4a4(Ja?+分)-4a。(a?+/)=0，

Ss_4"户京『W+4(2/一/J

222

SEFGH4♦/2(rb-2a(a-c)'

yjcr+b~yla2+b2

_4a-4/。2+。4_4-4e2+e4_§

2ca4-c2a2c2cc2-2eQ3

故答案为：

3

20.答案：50

解析：由题可知，抛物线的焦点坐标为b(1,0).

因为直线E4的斜率为工，所以直线AP的方程为y=^(x-1)，

与抛物线C的方程联立，得18%+1=0，所以△=(-18)2-4〉0.

设「(乙，％)，则%+々=18,%]%2=1，

,

故|人尸|=+J(X+—4中2=岑x8^/5=20-

因为E4.FB=0，所以E4_LEB，

所以直线FB的斜率为-2,直线3Q的方程为y=-2(x-1),

与抛物线C的方程联立，得％2_3工+1=0.所以A=(—3)2-4〉0.

设°(九4，%)，则%+%4=3，退%4=1，

故忸4+(―2)2.，(W+/)2-424=非又小=5.

所以四边形ABPQ的面积为3人斗忸@=50.

故答案为：50.

21.答案：⑴％-3y+3=0

e，部1547

(2)1=1或,=--------

-88

解析：(1)设点P关于直线/:x+y-1=0的对称点<坐标为(。力),

6—4

.（T）=T

则有《，解得即片(-3,0),

。+18+4

--------1---------1=0

[22

7-0

直线的方程为：y-0=3(3产+3),即X—3y+3=0，

因反射光线过点2(3,2),而反射光线所在直线过点邛(-3,0)，

所以反射光线所在直线方程为x-3y+3=0.

(2)圆C：x2+y2—4x+3=0即圆C：(x―2y+y2=i的圆心为。(2,0),半径为厂=1，

过P(l,4)点且斜率不存在的直线为％=1，显然C(2,0)到直线％=1的距离d=l=r，故》=1满

足题意；

设过点P(l,4)且斜率存在的直线丁=左(l-1)+4的直线与圆C：(x—2)2+丁=1相切，

则［=上坦=1,解得上止匕时所求直线为y=—"(x—1)+4,即丁=—"x+&；

VFTi88V788

综上所述，满足题意的切线方程为％=1或丁=—竺x+±.

88

22.答案：(1)证明见解析

(2)[12-80,+oo)

解析：(1)证明：因为A,3是两直线与抛物线C的交点,

所以。4,的斜率均存在，且不为零,

故可设直线OA:y=kx(kw0),则直线OB:y=--x.

k

[=>王=0,x=2pk,所以A(2p匕2P左2)

由V2

同理得52P

k，

2PkT

二1

则kAB=

2PV

(》_2P左)ny=(左一：

则直线A3的方程为y—2°左2="4x+2p，

所以直线A3过定点(0,2p).

(2)因为点尸(2,1)在曲线C上，所以将点P的坐标代入曲线C的方程可得°=2,即必=4丁,

则方(0,1).

设4(%,%)，5(%,%)，由题意可知直线A3的斜率存在，则可设直线A3的方程为丁=依+乙

X4’‘得％2-4"-4,=o,贝!]/+々=4左，xx--4/,A=16(^2+?)>0.

则由＜v2

y=kx+t'7

所以科•Ffi=(%,%-1)•(9,%T)，

=(1+公)玉龙2+«—1)左(玉+为2)+«—1尸=一4/(1+左B+左«—D4左+«—I)?=0,

得左2=^(f-6z+l)>0^Z>3+272^?<3-2A/2,满足A>0.

而点R到AB的距离d=匕*

则.宏卜+t2

所以212-80.

所以△AFB的面积的取值范围为［12-8点,+s).

Y2

23.答案：(1)—+/=1

4

(2)平行四边形OABC的面积为定值百

解析：⑴因为椭圆M的焦距2c=2百，所以c=6，

因为点(1,也］在椭圆”上，所以二+三=1,解得/=1,

2y+34b2

所以〃2=〃+/=4,

故椭圆M的标准方程为—+y2=l.

4'

因为四边形。43c为平行四边形，所以。B=QA+OC,

平行四边形OABC的面积SOABC=2SA°AC，

设直线AC的方程为y=kx-hm(m^O),

联立亍+V=1,消去y并整理得（1+4左2）d+8kmx+4m2-4=0,

由△=64k2m2-4（l+4F）（4m2-4）>0,整理得l+4F>m2.

设C（x2,y2）,

-8km4m2-4

则miIX]+X——,XyXy——

19-1+4左2121+442

2m

得%+为=左(/+々)+2/〃=]+4左2

—8km2m

所以OB=OA+OC=(玉+%,必+%)=

1+442'1+4左2

16k2m24m2

因为点3在椭圆〃上，则(1+442/+(1+止了二1,

所以4疗=1+4左2,满足△>(),

2

N(1+4用\m\

又点0到直线AC的距离d=例=

所以=

\m\

故平行四边形0A3C的面积为定值石.

24.答案:⑴｛小等小厚且g

(2)k1+k2=0

解析：(1)根据题意，过点T(0,-3)的直线/的方程可设为y=6-3,

y=kx-3,

联立