平面向量（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习提升

热点04平面向量

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第10题，考察向量的数量积与三角函数向量的数量积是北京高考的必考内容，除了数量积的

2023年，第3题，考察向量的模长坐标表示运算及应用，还应多留意数量积与其他知识的综合考

2024年，第5题，考察向量的垂直运算察

热点题型解读

用基底表示向量

----------运-------------------------------------------------------T

aaae

用基底表示向量的两种方法：(i)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；

(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.

1.(2023•五京施向•二检在“BC中，M,N分别是48,/C自吊晟・若次=3或+〃丽(2,〃eR),则

%+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【详解】CM^AM-AC=-AB-AC,BN=AN-14B=-AC-AB,

22

故次=/1加+〃丽=2］；存_就)+〃〔3%_方)

故;，解得，

—//—2=0

24

所以4+〃=_§_§=_2.

故选:A.

A

M/\N

BC

2.(2023•北京丰台•二模)如图，在ZUBC中，4。为3C边上的中线，若石为40的中点，则赤=()

1—•3—►

B.——AB——AC

44

1—、3—►

D.-AB——AC

44

【答案】D

【详解】CE=CA+AE=CA+^AD=CA+^(CD-CA)=^CA+^CD

1—1―►

=-CA+-CB

24

1—►1/—►—

=-CA+-(AB-AC

24、

3—►1—►

二——AC+-AB.

44

故选：D

3.(2023•北京海淀•一模)在中，ZC=90°,ZB=30°,/9。的平分线交8C于点。.若

AD=AAB+iuAC(A,//eR),则一=()

【答案】B

【详解】设NC=1,因为NC=90。，N8=30。，所以月3=2,

CDAC11

又4D是NR4c的平分线，所以==*=CD弓BC,

BDAB23

AD=AC+CD=AC+^CB=AC+^(AB-AC)=^AB+^AC,

__k,]2

又AD=尢AB+〃AC,所以几=§,〃=§,

所以*■

故选：B.

4.（2023•北京西城•一■模）已知P为△/BC所在平面内一点，BC=2CP,()

—>1—>3—>

A.AP=——AB+—ACB.AP=-AB+-AC

2233

C.AP=-AB--ACD.AP=-AB+-AC

2233

【答案】A

【详解】由题意作出图形，如图，则

AP=AC+CP=AC+^JC=AC+^(AC-AB)

1―►3―►

=——AB+-AC,

22

故选：A.

—,、A

5.（2024•北京•三模）已知向量落在正方形网格中的位置如图所示,c=Za+jLtb(2,//GR),贝!J——的

值_____.

【答案】-4

【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系,

则a=(0,4)-(1,6)=(-1,-2),b=(7,2)-(1,6)=(6,-4),c=(2,0)-(7,2)=(-5,-2),

所以苏+〃=2(-1,-2)+〃(6,-4)=(-2+6〃,-22-4〃)，

因为工=23+(2,〃eR),

所以(-5,-2)=(-2+6//,-22一4〃)，

A+6/z=-5]

所以:。，解得2=2,//=--,

[一24-4〃=一22

所以"=一4.

故答案为：-4

题型2向量的共线问题

(1)当4>0时,X。与。同向;当4<0时，与。反向

(2)点4民。共线的充要条件是存在唯一实数f,使得太=/方

1.(2023・北京•三模)已知向量£=。,2屹=(30,£与£共线，则*可=()

A.6B.20C.275D.5

【答案】C

【详解】由题意知，a+b=(4,2+x)

又Q〃(Q+B),所以1X(2+%)=2X4,所以％=6,

所以1=(3,6),所以H(—2,—4),

所以||=J(-2)2+(-4)2=2也.

故选：C

2.(2023•北京•模拟预测)已知向量方=(〃?/)，5=(3,m+2).若/〃小则优=

【答案】1或-3

【详解】因为向量。=("?/)，3=(3,机+2),a//b>

所以有加（加+2）=1x3n加=1,或加=一3,

故答案为：1或-3

3.（2023•北京海淀・模拟预测）已知%3为平面向量，若万=（1,加）石=（-2,加+1）,若5〃3，则实数加=

()

11

A.——B.-C.1D.-2

33

【答案】A

【详解】因为向量值=(1,加),3=(-2,加+1),且Q//B，

所以1x(加+1)_机x(—2)=0,解得加=

故选：A

4.(2024•北京朝阳•二模)已知向量3=(3,4),b=(-k,2),且G+B)〃Z,则实数4____.

3

【答案】一'/-L5

【详解】因为2=(3,4),1=(-左,2),

所以Q+6=(3,4)+(—后,2)=(3—k,6),

又G+制〃所以(3—左)x4—6x3=0,解得后=—1

3

故答案为：

5.(2023•北京石景山•一模)向量a=(2sin<9,cose),加=(1,1),若2〃石，则tan<9=.

【答案】1/0.5

【详解】向量。=(2sin6,cose),6=(1,1),若［〃石，贝！J2sin6—cose=0,所以cos9=2sin9

故答案为：

题型3向量的数量积运算

混

向量数量积的求法：（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向

量的夹角是求数量积的关键；（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的

乘法运算.

I

1.（2024・北京•高考真题）设"，加是向量，则“仅+研@-3）=0"是“£=/或1尸的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为心+孙（”彼）=求一庐=°，可得/=片，即同=w，

可知»孙伊-彼）=0等价于同明，

若0=3或。=一。可得同=W，即,+4,-3=0,可知必要性成立；

若（々+孙,-彼）=0,即同明,无法得出3=3或£=/，

例如a=（i,o）石=（0,1）,满足同=W，但且力与，可知充分性不成立；

综上所述，“,+孙（”3=0”是“力刃且i3”的必要不充分条件.

故选：B.

2.（2022•北京西城•二模）己知工是单位向量，向量1满足;41工41,则口的取值范围是（）

A.(0,+oo)B.(0,1]C.[|,+®)D.1,1

【答案】C

【详解】设Z,工的夹角为。，由;VeeVl及单位向量配得gw|a|cos（941,

显然|。上0,且。直。,1）,于是"WcosOW严，而期日式。』，

因此解得内2上

2\a\2

所以H的取值范围是［g,+8）.

故选：c

3.（2022•北京海淀•三模）在△4BC中，/C=4,8C=3,点p是48的中点，则强.而=（）

77

A.-B.7C.—D.—7

22

【答案】A

【详解】在A/BC中，点P是的中点，所以3=+在），茄=第一而，

所以说•万=（0-而）'（而+而）=/寸-而2）=g（42-32）=：

故选：A

4.（2023•北京朝阳•一模）如图，圆E为△/BC的外接圆，AB=4,AC=6,。为边5。的中点，则赤•冠=

()

A

【答案】B

—1——

【详解】由于。是3c边的中点，可得+

•••E是△4BC的外接圆的圆心，

I4E-35=|AE||l45|cosZ5^£=||2B|2=1x42=8,

同理可得冠•就=?太「=18,

AD-AE=-（AB+AC）-AE=-AE-AB+-AE-AC=-xS+-xl8=13.

22222

故选：B

5.（2023•北京通州•三模）已知等边三角形/2C的边长为2,。/的半径为1,尸。为。/的任意一条直径,

则丽.诙_芥豆=________.

【答案】1

【详解】

=BA-CA+BA-AQ+AP-CA+APAQ-APAB+AP-AC

=^-(M-~BA-AP+AP-CA-AP-AP-APAB+APAC

=|^HC3|COS60°-A4-1P+2P-C4-12-2P-Z8-ZP-C3

=2X2X-+AB-AP+AP-CA-12-APAB-AP-CA

2

2X2X--12+(AB-AP-AP-AB)+(AP-CA-AP-CA)

=2

=2X2X!-F

2

=1.

故答案为：L

题型4向量的垂直

!00❽百

两向量垂直，数量积为0

I________________________________________________________「一二一二一;_____________________________

1.(2023・全国•高考真题)已知向量£=(1,1)1=(1,-1),若(£+苏)乂"+闷，则()

A.4+//=1B.X+/J,=—\

C.沏=1D.沏=-1

【答案】D

［详角军］因为Q=,所以4+丸石=(1+丸,1_丸)，Q+4g=(l+//J_"),

由(Q+_L(Q+〃否)可得，(Q+4可•(〃+=0,

即(1+几)(1+4)+(1-几)(1—〃)=0,整理得：〃/=—1.

故选：D.

2.(2024•北京•模拟预测)已知向量@=(1,2)3=(7,-i),(a-附，a,则斤=.

【答案】1

【详解】由题意己=(1,2)3=(7,-1)口一疡=(1,2)-(7左,-左)=(1-7左,2+左)，

因为-%)J_»,

所以“,(a—粉)=1—7斤+2(2+左)=5—5k=0,解得k=\.

故答案为：1.

3.(2022・北京•模拟预测)已知点4-2,0),3(0,2),动点M满足而.标=0，贝U点M到直线N=x-2的

距离可以是.(写出一个符合题意的整数值)

【答案】1(答案不唯一)

【详解】由题设知而_L标，即“在以48为直径的圆上，且圆心为(-U),半径为2,

所以M的轨迹为(x++3-1)?=4,

而(一1,1)至l］〉=x-2的距离为d=g=2后＞2,即直线与圆相离，

所以M到直线P=x-2的距离范围［2(72-1),2(V2+1)］,

故答案为：1(答案不唯一)

4.(2023•北京顺义•二模)设向量之=(%,3)花=(1,2),工=(1,-1),若0-初L北则实数加=.

【答案】2

【详解】由向量的坐标运算得：a-6=(m-l,l),

因为所以("4C=0,即：(m-l)xl+(-l)xl=m-2=0,解得机=2.

故答案为：2

【点睛】方法点睛：已知。=(%,必)3=(马,%),若£_1_3,则75=翦+%%=0

5.(2023・北京•模拟预测)已知点5(1,1).若点C在函数了=-3/+2的图象上，则使得△ZBC

为直角三角形的点。的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【详解】•••点N(TT)，如果点C在函数夕=一3/+2的图象上，则设点C(a,-3/+2),旦△NBC

为直角三角形，分以下情况讨论：

①若A为直角顶点，则有28=(2,2),就=(a+1,-3/+3),

贝!J15・%=24+2-6a2+6=—6a2+2a+8=0，即3/一。-4=0，

4

因为点A在曲线了=-3/+2上，贝/3-1,解得。="

②若B为直角顶点，则有8CL48,SC=(a-l,-3«2+l),石=(2,2),

则漏灰=2"2一6。2+2=-6/+2。=0，求得。=0或。=；；

③若C为直角顶点，则有/CL8C,就=(。+1,-3/+3),SC=(a-l,-3a2+l),

此时，ACBC=(a+l)(a-l)+(-3a2+3)(-3«2+1)=(a2-l)+3(a2-l)(3a2-1)

=(a2-l)(9a2-2)=0,

2

因为点A在曲线y=-3尤2+2上，贝！JaW-l,解得。=1、±-.

故满足。的不同的值共有6个，

此时，点C共有6个.

故选：C.

题型5向量的模

00e图

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用f=同［勿忘记开方.

(2)若Z=(x，"则茄=7叩『=/+「于是有KF了；

1.(2024•北京门头沟一模)在△N2C中，AB=4,AC=3,且回+狗=|运-就则益衣=

()

A.16B.-16C.20D.-20

【答案】B

【详解】因为|万+74=|万一所以(存+就『=(在一就『，

即45+2AB-AC+AC=AB-2ABAC+AC，

所以益•！？=()，即/，

所以君.反;\万国_砌二方.元_希=0-4?=76.

故选：B

2.(2022•北京东城•三模)已知a,5是两个非零向量，贝产存在实数4,使得书=彳7'是“|£+,=问-同的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】解：当存在实数3使得%笳，口+相(1+彳问=|1+叫，同第=(1-彳洞,显然|1+川同与

(1-⑷时不一定相等，故充分性不成立；

反之，当B+*同-W时，2。％=-2砸所以cos«,*T,即*B共线反向，故“存在实数彳，使得

b=Aa，故必要性成立.

故“存在实数彳，使得石=彳7’是"。+4=忖-忖的必要而不充分条件

故选：B

3.(2023•北京丰台•三模)已知屋务、工都是平面向量，且同=随-+1,若(词吟贝中-1的最小

值为().

A.1B.V3C.2D.3

【答案】A

【详解】依题意可设£=而=(1,0),b=OB=(x,y),c=OC，

贝1]4"方=(4一x，r),又拒一*1,

所以](4-x『+(-才=1,BP(X-4)2+/=1,则点8在以。(4,0)为圆心，半径厂=1的圆上运动，

因为所以点。在了=±[工(%>0)上运动，根据对称性不妨令点C在了=fx(x>0)上，

则|»|表示圆。上的点B与y=(x>0)上的点C连线段的长度忸C|,

/7d=____-____=2

因为圆心。到y=]x(X>0)的距离-J向+F-，

所以=\BC\的最小值为15cLn=d-r=\,即B的最小值为1.

O^A

故选：A

4.(2024•北京海淀•三模)已知点/(1,2),8(2,0),。(2,2),|舒卜|君-就|,。为坐标原点，则而.方的取

值范围是.

【答案】[5-275,5+275]

【详解】设点尸(2)/万口词=J()2+(o-2『=2,

所以加_1)2+(—)2=2,即(X+()-2)2=22,

所以x=2cos6+1,y=2sin0+29

OPOA=(x,^)-(l,2)=x+2>=2cos6+1+2(2sin<9+2)=5+4sin。+2cos0

=5+2V^sin(6+9)

因为sin(O+e)e[-1,1],

所以OPOAe[5-26,5+2V5].

故答案为：[5-275,5+275]

5.(2024•北京•模拟预测)已知向量。=(1,-石)，£在刃上的投影向量为白邛+@=近，则问=.

【答案】历

2

【详解】向量方=(1,-出)，同=2,

_一1-晨-|_.2

.在6上的投影向量为万6,贝1^下「同=5°，得2展6=卜|,

\a+b\=^i,则,+耳^a2+2a-b+b2=时+2同=4+2麻=7,

解得忖卜手.

故答案为：近

2

题型6向量的夹角

100混

（1）求向量的夹角的关键是计算7B及|矶耳，在此基础上结合数量积的定义或性质计算c0s'=帝，最

后借助。€[0,刈,求出。值；

（2）在个别含有问,W与黑B的等量关系式中,常利用消元思想计算cos0的值.

J■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一■一

1.（2024•北京•三模）若⑷=1,向=2,5-应17,则向量8与B的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【详解】因为所以（方-3）园=0,

即7一75=0,所以鼠5=7=1，

又0°4落石4180°,

所以向量a与B的夹角为60。.

故选：B.

2.（2023・北京•模拟预测）平面向量£,g满足口=3M，且口-可=4,则£与屋g夹角的正弦值的最大值为

（）

A.；B.|C.yD.|

【答案】B

【详解】如图所示：设2=力，b=OB^则H诙，设恸=能，忖=3加，1＜加＜2,

A

当;=二，即加=亚时等号成立，故NO/B/O，M，

33m\27

当cos/CMB最小时，sin/CM5最大，

故。与aJ夹角的正弦值的最大值为人）=;.

故选：B

3.（2024•北京海淀•一模）已知向量Z3满足@=23=（2,0）,S.\a+b\=2,则&花〉=（）

71712兀5兀

A.—B.一C.—D.

633~6

【答案】C

【详解】由已知团=2荆=2,

所以(Q+B)=a+2b-a+"b=4+2x2x2xcos〈〃,B〉+4=4,

得cos〈a》〉=-g,又〈〃，杨武。,兀］,

―—?71

所以〈0,6〉=1

故选：C.

4.（2024・北京•模拟预测）已知扇B为不共线的两个单位向量，为非零实数，设12+以,则“4”

是“伍可=（瓦司”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】已知方石为不共线的两个单位向量，4〃为非零实数，设"而+//B,

Za+jua'b2+jua•b

则此时4=4=cos（G,己）=二

同E•同£[

〃+荷•Bpib+Aa-b

同同

而向量夹角范围是［o,兀］,当6e［0,可时，cos。严格单调递减，

从而cos〈或己）=cos（b,c^=（扇3）=（彼,己），

综上所述，在题设条件下“％=〃”是“伍己〉=但寸”的充要条件.

故选：C.

5.（2023•北京延庆一模）。为坐标原点，点A,B的坐标分别为（2,-1）,（-1,3）,则tan乙408等于（）

A.1B.-1C.—D.--

55

【答案】B

【详解】由已知点A,B的坐标分别为(2,-1),(-1,3),

则刀=(2,-1),05=(-1,3),

OA-OB2X(-1)+(-1)X3_V2

所以…EM+E…

37r

[0,^-1,所以403二一，tan4O8=—1,

4

故选：B.

题型7投影向量

"ul'

将已知量代入）在3方向上的投影向量公式同cos夕工6是与各方向相同的单位向量，且工=力）中计算

即可.

1.（2024•黑龙江二模）已知同=5,^=（-1,2）,£在让的投影向量为碗=（-2,4）,则向量"与否夹角余弦

值为（）

A.坡B."C.-D.一正

5555

【答案】A

一f

【详解】z在石上的投影向量为|。卜丽a-b附b故配干/今‘八）'

a-bplplcos

而B=故乔=2,故

,5COS(6Z,M/一一、7A/?

故———二2即cos(a,b\=会&

V5'/5

故选：A.

2.（2023•北京•模拟预测）已知。是△"C的外心，外接圆半径为2,且满足2万=方+就，若瓦I在前

3—»

上的投影向量为V。，则与友=（）

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】A

【详解】^2AO=AB+AC，故。为BC中点，又。是"BC的外心，

易知：ABAC=90°,且所=4,

I--IBC3—►|^|cos53

由加在前上的投影向量EHcosB•扇=%3。，即

所以说.数=|强卜数cosB=:数『=12,

由图，AdBC^（Bd-BA）BC^BOBC-BABC^S-n^-4.

故选：A

3.（2023•北京•模拟预测）在平面直角坐标系工。中，单位圆上三点4,B,C满足：4点坐标为（1,0）并且

AB=BC,05在。4上的投影向量为，，。［，则.

【答案】J7

【详解】根据题意可知如下图所示:

=1,设OB与OA的夹角为ZAOB=0,

八1^111

所以cos6=-——p=-

\OB\3

又因为=所以N4OC=26,

_7

由二倍角公式可得cosZAOC=2cos20-1=

9

所以O4»GC=|ft4|-|oc|cosZAOC7

9

故答案为：-七7

4.（202323-24高一下•湖北武汉•期中）已知向量1=（0,1）,彼=（1,石），贝频在B上的投影向量为（）

B.JbD.序

4

【答案】B

【详解】设3与B的夹角为巴

a-bba-bbA/3

则）在另上的投影向量为：口b

侬叫我网TH同4

故选：B.

5.（2022•北京通州•一模）在矩形48。中，AB=2,8C=6,点P在边上，则向量静在向量在上

的投影向量的长度是—，屈.丽的最大值是.

【答案】百-2

【详解】由题意可得||四|-cosNPC8|=|。|=6,

即向量而在向量在上的投影向量的长度是6；

如图，以/为坐标原点，为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系,

设尸（X,0）,（0VxW2）,则40,0）,3（2,0）,。（2,6）,。（0,6）,

%

D

A

故屈=（x-2,-行），丽=（一x,6），

则声与=_尤2+2工_3=_屏_1)2_2,

当x=le[0,2]时，近.而取最大值为-2,

故答案为：V3;-2

题型8平面几何与数量积的最值

!一工

!0O后©

基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、

基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论；

坐标法：①根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；②将平面向量的运算坐标化；

!③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等求解

I_____________________________________________________________________________________________________-_______\

1.（2024•北京•三模）已知点N在边长为2的正八边形4,4,…,4的边上，点M在边44上，则A^M-A^N

B.[-4,4+272

C.[-272,4+272]D.[-272,4]

【答案】C

【详解】以4为原点，44为x轴，44为了轴建立平面直角坐标系,

设N（XQJ,M（X2，。），则4初=（々⑼，4N去（玉,%）,

所以A{M•A[N=xxx2,

TT

由于正八边形的每个外角都为7;

则々£[0,2],国£]一行,2+收],

所以丽.旃=玉々©[-2后,4+2a]

故选：C

2.（2023•北京丰台•二模）已知4B,C是单位圆上的三个动点，则次.就的最小值是（）

1

A.0B.——C.-1D.-2

2

【答案】B

【详解】以8。的垂直平分线为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则/+/=l,m2+n2=1,

2

i^LAB'AC=^m-a,n-by^-m-a,n-b^=a1-m2+n2-2nb+b2=2n2-2bn=2

~2

当”时，方.就=2（〃一。1一且取得最小值，最小值为一

212）22

A121

由于故当6=±1时，最小，故最小值为-

此时〃=土;，满足要求,

故选：B

【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：

①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的

特征直接进行求解；

②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解

等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.

3.(2023•北京东城•一模)己知正方形N8CD的边长为2,P为正方形内部(不含边界)的动点，且

满足沙屈=0，则而.而的取值范围是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

【答案】D

【详解】以中点为原点建立如下直角坐标系；

则4(f0),3(l,0),C(l,2),2)(-1,2),

设尸(x,y),则尸/=PB=(\-x,-y},

则莎・丽/=0,

BPx2+y2=1,则/一1=-丁，其中0<J<1,

贝Q=(X_1J_2)M=(X+1J_2),0<y<l

贝！]而•丽=x2_]+(")2=_/+(")2=_4j,+4e[0,4),

故选：D.

4.(2022•北京•模拟预测)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张

由卷曲纹和回纹构成的正六边形前纸窗花.图2中正六边形跖的边长为4,圆。的圆心为该正六边

形的中心，圆。的半径为2,圆。的直径CD,点P在正六边形的边上运动，则可7.丽的最小值为

()

AF

D.8

【答案】D

【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，△049、AOBC.AOCD、.ODE、AOEF、均

为边长为4的等边三角形，

当点P位于正六边形/BCDEV的顶点时，F4取最大值4,

当点尸为正六边形各边的中点时，|丽|取最小值，即『而L=4sin2=2VL

所以，PA7-P2V=(PO+OAf)(PO+O2V)=(PO+OA7)(PO-OA7)=FO2-4e[8,12].

丽•丽的最小值为8.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

(1)利用定义：

(2)利用向量的坐标运算；

(3)利用数量积的几何意义.

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.

5.(2022•北京•三模)△4BC为等边三角形，且边长为2,则衣与数的夹角大小为120°，若阿|=1,屈=9,

^AD-BE的最小值为.

【答案】-3-6

【详解】因为△/8C是边长为2的等边三角形，且。=成，则E为NC的中点，故8EL/C,

以点B为坐标原点，砺、方分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，

则/（月,1）、E（6,0）、5（0,0）,设点。（cos。,sin。）,

星=（g,0）,ZD=（cos6»-V3,sin<9-l）,

所以，石灰=E（cos。-匈2-出-3,当且仅当cos6=T时，等号成立，

因此，近•赤的最小值为-3.

故答案为：-6-3.

限时提升练

1.（2024•北京•模拟预测）已知单位向量1和3,若〃卜+2行），贝乖+耳=（）

A.2B.1C.V2D.V3

【答案】B

【详解】因为+东=I,片=I，

所以展,+2B）=齐+2展彼=0,

所以2az=-1，

所以归+可=（H+B）=a2+b2+2a-b=1,

所以B+q=i,

故选：B

2.（2024•北京大兴•三模）已知平面向量£=（1,加），5=（2,-2m）,则下列结论一定错误的是（）

A.a//bB.albC.恸=2卜|D.a-b

【答案】D

【详解】对于A：若"〃小则1x（-2加）=2%解得加=0,故A正确；

对于B：若£_1刃，则73=1x2—2加2=0，解得加=±1,故B正确；

对于C：因为1|=J1+冽2,W="2+（—2加）2=,4+4—2=2川+川,

显然W=2同，故C正确；

对于D：a-b=（l,m）-（2,-2m）=（-1,3m）,故D错误.

故选：D

3.（2024•北京海淀•二模）在△N8C中，NC=］,C4=CB=2五，点尸满足坛=40+（1-刈屈，且

CP-AB=4,贝1M=（）

1133

A.—B.-C.—D.—

4444

【答案】B

【详解】由题可知，CACB=0,

故声而=［宓+（1-彳）赤］•（而-可=-文同+（1-初可=-82+8（l-A）=-162+8,

故一162+8=4,解得彳=」.

4

故选：B.

4.（2024•北京丰台•一模）已知向量£,否满足加=（6」），S=^（2eR）,且力=1，贝葭=（）

C.2D.4

【答案】D

【详解】-：a-b=\,

Gw0，

又・焉=然石=（百,1）,

「.4=4.

故选：D.

5.（2024•北京延庆一模）已知正方形Z8CD的边长为2,点尸满足万5=g（/+诟），贝U万.就=（

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【详解】建立坐标系如图，正方形43。的边长为2,

则4（0,0）,C（2,2）,0（0,2）,可得起=（2,2）,石=（0,2）,

点P满足万=；（*+亦）=（1,2）,所以后.就=卜2+2、2=6.

故选：C.

6.（2023•北京海淀•二模）已知标是平面内两个非零向量，那么“£〃『'是"存在2力0,使得

1+疝|=|）+|疡的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】若£〃九则存在唯一的实数〃wo,使得Z=

故旧+万|=|而+4|=|〃+刈|司,

而后+4I=I//S।+1is|=（|A।+m）।^।-

存在/Iwo使得l〃+2H〃l+IR成立,

所以2功力是“存在彳=0,使得|£+万|=|2|+|万I'的充分条件,

若彳w0且|”+加上⑷+1泥I,则£与沈方向相同，

故此时所以“工〃斤’是"存在存在4*0,使得|£+力|=0+1旎「'的必要条件，

故“2〃否”是“存在4*0,使得|Z+4|=|Z|+1与］”的充分必要条件.

故选：c.

7.（2024•北京通州•二模）在梯形中，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,则在.衣

A.4百B.8C.12D.8A/3

【答案】C

【详解】

如图，取48的中点£,则/E//DC,且NE=7X?=2,

所以四边形4ECO为平行四边形，

则/O=EC=8E=3C=2,所以ACEB为正三角形，

过C作于/，

则/尸=3,

所以益.衣=|刀口就|・《«/。8=|万口万卜4乂3=12.

故选：C.

8.(2024•北京东城•二模)已知平面向量I，1

e3,04是单位向量，且G_Le2，贝！］“q-03=e2-64”是

呢£=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】因为平面向量,，e2,e3,e”是单位向量，且1

不妨设4=(l,0),e2=(0,1),

,.,一(V2V2V2V2

el-e3=e2-e4,例如63二—5

I22.V2

满足q-Cm=e?，但=1w0,即充分性不成立;

V2V2

若例如也包1

e?-e4=0,63=T2

满足=0,但q=-孝,02=1；，即q-03Ne?，即必要性不成立；

综上所述：”是“AW=0”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

9.(2024•北京朝阳一模)在△4BC中，AB=AC=2,BC=2日点尸在线段2c上.当苏.而取得最小

值时，PA=()

A."B.aC.-D.-

2244

【答案】B

【详解】如图，以3c所在直线为x轴，以sc的垂直平分线建立了轴，建立平面直角坐标系，

由/8=/C=2,5C=2^/3,则。/=/22-

所以B（-V3,o）,C（V3,0）,设尸（无,0）,

则用=（-x,i）,诙=3

3

则方.方=_尤•（一百一x=f+y[^X一，

2J4

、

―日时’万屈取得最小值,此时"二+1=]

当

\7

故选：B

10.（2024•北京顺义•二模）若非零向量