平面向量及其应用 章末题型归纳总结（培优篇）（10大题型）原卷版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

平面向量及其应用章末题型归纳总结

（培优篇）

【题型归纳目录】

题型一：向量的线性运算

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

题型三：向量范围与最值问题

题型四：余弦定理、正弦定理

题型五：平面向量的实际应用

题型六：解三角形范围与最值问题

题型七：图形类问题

题型八：三角形形状判断与多解问题

题型九：解三角形的实际应用

题型十：中线、角平分线、高问题

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点1:向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)向量的模：向量在的大小，也就是向量下的长度，记作|而

(3)特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：6与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点2：向量的线性运算

(1)向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

①交换律

求两个向量和的a+b=b+a

加法厂丁

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求@与B的相反

向量的和的

减法ci—b=6Z+(~b)

运算叫做I与Ba

的差三角形法则

(1)|Aa|=|21|51

4(4万)=(2//)3

求实数X与向量(2)当几>0时，23与万的方向相同；当

数乘(A+/Li)a=Aa+jLta

@的积的运算2<0时，25与万的方向相同；

4(万+B)=Aa+Ab

当2=0时，23=0

知识点3：平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果3=篇(力eR),贝lU/区；反之，如果方/区且则一定存在唯一的实数;I,使G(口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘).

2、平面向量基本定理

如果［和1是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量3,都存在唯一的一对

实数4,4,使得+我们把不共线向量I，I叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

{0g},+4«2叫做向量)关于基底,勺}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量［与最不共线，平面内的任一向量值都可以分解成形如

3=+的形式，并且这样的分解是唯一的.叫做1的一个线性组合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若+44=4乌+402,则4=4"2=九4.

推论2：若不=46+40,=0,则4=4=o.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△N8C中，若点。是边BC上的点，MBD=ADC(A^-l),则向量

+

AD=ABMC.在向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”

1+2

之功效，建议熟练掌握.

4、三点共线定理

平面内三点B,C共线的充要条件是：存在实数尢〃，使反=2次+〃砺，其中2+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A.B、C三点共线

o存在唯一的实数；I,使得正=彳方；

。存在唯一的实数4,使得云=厉+2万；

o存在唯一的实数;I,使得云=(1-⑷次+2砺；

=存在彳+〃=1,^OC=WA+juOB.

5、中线向量定理

如图所示，在△/BC中，若点。上边BC的中点，则中线向量H5=g(方+%)，反之亦正确.

知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与X轴，V轴正半轴方向相同的两个单位向量f,7作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量万，有且只有一对实数X/使5=■+百，我们把有序实数对(X/)

叫做向量石的坐标，记作不=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y)、一对应、向量04、一对应、点A(x,y).

(3)设)=(再,%),b=(x2,y2),则Q+B=(%I+々,必+%)，a-b=(xt-x2,yx-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若d=(xj),%为实数,则=即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

(4)设，(石,必),B(x2,y2),则45=05-04=(%-/,%-%)，即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

①已知点4>1，%)，5(%2，»2)，则/5=(>2-％1，歹2-%)，I45|=J(%2—%)2+(%—%)2

②已知a=(再，必)，b=(x2,y2),则5±B=(再±'2，必±%)，4G=(一石乂必)，

5-b=xxx2+必%'\5\="・

a//bxxy2-x2yx=0,a-Lboxxx2+y1y2=0

知识点5：平面向量的数量积

(1)平面向量数量积的定义

已知两个非零向量3与对我们把数量I列B|cos。叫做)与石的数量积(或内积)，记作小石，即

a-b=\a\\b\cos0,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：值|cosd叫做向量3在Z方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角时,

它是负数；当。为直角时，它是0.

②2f的几何意义：数量积2f等于2的长度|石|与3在方方向上射影|司cosd的乘积.

③设3,B是两个非零向量，它们的夹角是0,3与B是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过罚

的起点力和终点8,分别作画所在直线的垂线，垂足分别为4,耳，得到不瓦，我们称上述变换为向量@

向向量B投影，葩叫做向量彳在向量B上的投影向量.记为|即cos6»@.

知识点6：数量积的运算律

已知向量方、i、3和实数4,则：

@a-b=b-a；

@(Aa)-b=A(ab)=a-(Ab')；

@(a+b)-c=a-c+b-c.

知识点7：数量积的性质

设方、3都是非零向量，2是与3方向相同的单位向量，。是2与2的夹角，则

(l)e-a-a-e=\a\cos0.②Z_L6oZ-6=0.

③当方与Z同向时，a-b=\a^b\；当方与Z反向时，a-b--\a\\b\.

特别地，a.a=|a/或|°|=Jz•°.

④cos0=.02(|o||/j|^0).@|a-5|^|a||5(.

I«ll^I

知识点8：数量积的坐标运算

已知非零向量2=(再，％),b=(x2,y2),6为向量d、6的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a\=y/a-a1a|=sjx2+y2

数量积

a-b=\a^b\cos。a-b=xtx2+yty2

a-bcos”,二+产

夹角

cose--------亚+弁.收+货

|石||6|

的充要

a'b=0X]%+必力=°

条件

a//b的充要

a=4从bw0)王％~x2yt=0

条件

|<|aZ>（当

属工1与

1-+氏

且仅当2〃Z时等号成；；

1甸同1的关系Jx+y

立）

知识点9：正余弦定理

（1）正余弦定理：在A48C中，角/,B,C所对的边分别是a,b,c,R为A48C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

工="上

公式=2Rb2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)a=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

nhcc2+a2-b2

常见变形(2)sinA=——,sinB=—,sinC=—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

万a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面积公式：

SABC=—absinC=—bcsinA=—acsinB

A222

SAABC=^-=^a+b+cyr。是三角形内切圆的半径，并可由此计算尺，八）

知识点10:正余弦定理的相关应用

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边O夫：b:c=sin4:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边

q>b04>8<=>sin/>sin5=cosA<cosB

a+b+c_a+bb+c_a+c_〃_b

③合分比:=2R

sin/+sin5+sinCsin^4+sinBsin5+sinCsin4+sinCsinZsinBsinC

(2)△45。内角和定理：A+B+C=TT

①sinC=sin(4+5)=sinAcosB+cos4sin5<=>c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

人、i一Ak,一八/,八、tan^4+tanB

③斜二角形中，一tanC=ta.n(A+B)=-------------------=tan4+tanB+tanC=tan4•tanB•tanC

1-tan/♦tanB

«../A+B、C.C

⑷sm(---)=cos—；cos(---)=sin—

⑤在A48C中，内角4B,C成等差数列+

知识点11:解三角形的实际应用

1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

图①图②图③图④

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为a（如图②）.

3、方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

4、坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，？.为坡度）.坡度又称为坡比.

【典型例题】

题型一：向量的线性运算

【例1】如图，已知点G是△N8C的重心，过点G作直线分别与42,4C两边交于"，N两点，设

~AM=xAB>~AN=yAC<则x+9y的最小值为（）

D.3

【变式1-1］如图，在平行四边形N5CD中，M是45的中点，DM与AC交于点、N,设方二，AD=b^

【变式1-2］如图，48是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点，不=g方，点”为线段/C中点,

B.-DC+-DN

3223

1—、1—►2—►1—►

C.-DC+-DND.-DC+-DN

2332

【变式1-3］如图，在△NBC中，点。是8C的中点，AC=3MC=4NC,分别连接MO、N。并延长，与边

45的延长线分别交于尸，。两点，若布=-2。网，贝！J〃=()

A

A.2B.1C.-2D.-1

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

【例2】已知向量a与B的夹角o=且同=3,W=2.

⑴求卜+班

(2)3在&上的投影向量；

⑶求向量a与)+3夹角的余弦值.

【变式2-1］在平行四边形/BCD中，AB=3,4D=2,若M,N分别是边BC,CD所在直线上的点，且

(1)当/。/3=90。，4=g时，求向量痂和而夹角的余弦值;

(2)当/。48=60。时，求万7•前的取值范围.

【变式2-2】已知非零向量B满足同=1,且(21+孙侬-B)=3,b\a-b)=-^.

⑴求W的值；

(2)证明：a；

(3)设B与3-3的夹角为。，求归-同及cos。的值.

【变式2-3】已知|讣&，向=1,Z与日的夹角为45。.

⑴若23+3在与位共线，求实数/的值;

(2)求|1+231的值;

(3)若向量(21-花)与(然-3治的夹角为锐角，求实数几的取值范围.

题型三：向量范围与最值问题

【例3】如图，在方格纸(每个小方格边长为1)上有aB,C二点,已知向量£以4为始点.

：A

____I_____

T4cT

0x

⑴试以8为始点画出向量否，使g在£方向上的投影向量为％,且同=26，并求7g的值

(2)设点。是线段/C上的动点，求丽.丽的最大值.

【变式3-1］如图，四边形48。是正方形.E在边48上运动，尸在边BC上运动，力尸与DE交于点G.

⑴若E是48的中点，BC=3BF,AG=AAF,求实数几的值;

(2)若AE=BF,DG=mDA+itDF.求一的最大值.

m

【变式3-2］如图1所示，在△4BC中，点。在线段8c上，满足3函=丽,G是线段48上的点，且满足

3AG=2GB，线段CG与线段40交于点。.

(1)若H5=x^+.y：无，求实数x,y的值；

(2)若刀=/诟，求实数/的值；

(3)如图2,过点。的直线与边/C分别交于点E,F,^AE=XAB,AF=juAC,(2>0,〃>0),求2+〃的

最小值.

【变式3-3]如图，在菱形48c。中，AB=2,E是C。的中点，且/EZC=9.

⑴求C0S//E8；

(2)以A为圆心，2为半径作圆弧，点尸是弧。8上的一点，求定.而的最小值.

题型四：余弦定理、正弦定理

71c9

【例4】在△/3C中内角4昆C所对边分别为a/,c,^B=-,b=~ac,贝I]siiU+sinC=()

A.-B.V2C.—D.-

222

【变式4-1]△4BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,△4BC的面积为且6=1,C=；,

43

则边c=()

A.7B.3C.V?D.V13

【变式4-2]在△48C中，a,6,c分别是角45c的对边，若6cosc+(c-2a)cos2=0.

⑴求角8的值；

⑵若森•於=-2，且满足siiU+sinC=2sin8,求△A8C外接圆的半径R.

【变式4-3］已知△/5C的内角4瓦。的对边分别为。也。，且ccosB+bcosC=---------

2cosZ

（1）求角/的大小；

Q）若4ABC的面积为4右,.=34，求△ABC的周长和外接圆的面积；

题型五：平面向量的实际应用

【例5】一条河的两岸平行，河宽600m,一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的

大小为4km/h,水流速度的大小为2km/h.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）

为（）

A.0.17hB.0.15hC.0.13hD.0.1Oh

【变式5-1］如图，一条河的南北两岸平行.游船在静水中的航行速度元的大小为10km/h,水流的速度元的

大小为4km/h,则游船要从/行到正北方向上位于北岸的码头3处，其航行速度的大小（）

A.2⑨km/hB.2用km/hC.2厢km/hD.14km/h

【变式5-2】有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15km/h,方

向为北偏西30。，河水的速度为向东7.5km/h,求小船实际航行速度的大小与方向（）.

A.^V3km/h正北B.，百km/h与水流方向夹角为63.4。

C.5J7km/h与水流方向夹角为41。D.蓝瓜m/h垂直于河岸

【变式5-3】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为

G，作用在行李包上的两个拉力分别为耳，耳，且同=|同，耳与瓦的夹角为凡给出以下结论:

①e越大越费力，e越小越省力；②。的范围为［o,兀］;

③当时，闾耳卜同；④当时，园=1

其中正确结论的序号是()

A.①③B.①④C.②③D.②④

题型六：解三角形范围与最值问题

■—I■—t心，屹qA-上八r八nI、rTna+ccosA+cosC

【例6】已知△4BC的内角A、B、C的对।边分别为。、b、c,且丁丁=1_1工

2abca"+c"-b"

⑴求8;

(2)设。为NC的中点，6=2；求：①ZUBC面积的最大值；②的最大值.

【变式6-1】在△N8C中，a,b,c分别为内角45c所对的边，且满足acosC+ccosZ=2bcos8.

⑴求B;

(2)若6=2a，求△4BC周长的最大值.

【变式6-2】已知△48C的内角4昆C的对应边分别为。c,在①J^cosC(acos2+6cos/)=csinC；②

asin---=csinA；③(sinfi-sin^f=sin2C-sinBsin4.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知

(1)求角C大小；

⑵求sirU-sin5的最大值.

【变式6-3】在锐角△4BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,满足/一〃=儿.

⑴求证：A=2B；

(2)若6=1,求。边的范围;

(3)求」^--L+2sin/的取值范围.

tan3tanA

题型七：图形类问题

【例7】如图所示，在△48C中，设分别为内角4反。的对边，已知6+c=3a,b=4(c-a).

A

(1)求角C；

⑵若c=7,过5作/。的垂线并延长到点。，使48,C,。四点共圆，4c与8。交于点E,求四边形/8CD

的面积.

【变式7-1］如图，。为A/BC所在平面内一点且点8,。位于直线/C的两侧，在△NDC中,

(1)求NADC的大小；

IT57r

(2)若NB4D=—,NABC=—,AB=\,DC=2,求/C的长.

【变式7-2］如图，四边形48。中，cosZBAD=~,AC=AB=3AD.

⑴求sin/48Z)；

(2)若/BCD=90。,求tanNC&).

【变式7-3］如图，在梯形4BCD中，已知/O〃8C,40=1,BD=2屈,ZCAD=^,tan/ADC=-2,

Q)ABCD的面积.

题型八：三角形形状判断与多解问题

【例8】在A/BC中，若1-cosfjjcos/则△/吕。的形状为（）

c-cosBb-cosC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【变式8-1】已知a,b,c是ZUBC的三边，若满足〃+62=02△/2C为直角三角形.

类比此结论：若满足a"+b'=c"（"eN,〃23）时，aNBC的形状为（）.

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能

【变式8-2】在△ABC中，a=x,6=2,3=60。，若三角形有两解，则x的取值范围是（）

A.2<x<2y/3B.2<x<y^3C.>/3<x<2D.2<x<

TT

【变式8-3】记△ASC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,B=b=6后,若△45C有一解，则。的

4

取值范围是（）

A.（0,6]B.{12}u（O,6]C.（0,6近]D.{12}u仅,6©

题型九：解三角形的实际应用

【例9】如图，为测量山高选择/和另一座山的山顶C为测量观测点，从点/测得点M的仰角

/MAN=45。,点C的仰角/C18=60。，以及/MZC=75。.从点C测得/MC4=45。，已知山高

BC=300m.

（1）求两点4。间的长度;

（2）求山"N的高度.

【变式9-1】某海域的东西方向上分别有43两个观测点（如图），它们相距1。（3+石）海里.现有一艘轮船

在。点发出求救信号，经探测得知。点位于A点北偏东45。，8点北偏西60。，这时，位于8点南偏西60。且

与5点相距406海里的C点有一救援船，其航行速速为30海里/小时.

(1)求5点到。点的距离8。；

(2)若命令C处的救援船立即前往。点营救，求该救援船到达。点需要的时间.

【变式9-2】如图，某沿海地区计划