平面向量小题全面梳理与分类（讲义）-2025年高考数学二轮复习提升

专题08平面向量小题全面梳理与精细分类

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧...........................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破...........................................................13

题型一：平面向量基本定理及其应用13

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用16

题型三：平面向量的数量积20

题型四：平面向量的模与夹角23

题型五：等和线问题26

题型六：极化恒等式31

题型七：矩形大法36

题型八：平面向量范围与最值问题40

题型九：等差线'等商线问题45

题型十：奔驰定理与向量四心50

题型十一：阿波罗尼斯圆问题56

题型十二：平行四边形大法61

重难点突破：向量对角线定理66

差情;奏汨•日标旦祐

平面向量的数量积、模和夹角是高考中的重点和热点内容，它们通常以选择题或填空题的形式被考察。

这类题目经常以平面图形作为背景，来测试学生对数量积、夹角以及向量垂直条件的理解和应用。此外，

这些内容还容易与平面几何'三角函数、解析几何以及不等式等其他数学知识相结合，作为解题的工具或

手段。近年来，高考中主要围绕平面向量的坐标运算、模的最大或最小值问题，以及向量的夹角等问题进

行考察。这些问题与三角函数'解析几何等知识点紧密相关，难度适中。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2025年高考中，平面向

平面向量基本定理及

理解定理，掌握应用2022年I卷第3题，5分量的数量积预计将继续成

其应用

为重点考察内容，可能会单

独出现，也可能与平面图形

2024年II卷第3题，5分

2023年北京卷第3题，4分等其他知识点相结合。考察

平面向量的数量积、理解概念，应用解决

2023年甲卷第4题，5分内容将涵盖平面向量数量

模、夹角实际问题

2023年I卷第3题，5分积的定义、性质及其应用，

2023年II卷第13题，5分特别是利用数量积来计算

向量的夹角、模以及判断向

2024年天津卷第14题，5分

量的垂直关系等问题。这些

2023年天津卷第14题，5分

掌握范围求解，最值题目的难度可能会涵盖基

平面向量范围与最值2022年北京卷第10题，4分

方法，提升解题能力础题、中档题乃至难题，并

2022年浙江卷第17题，4分

2022年天津卷第14题，5分且以选择题或填空题的形

式呈现。

〃用识导图•思维引航\\

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

1、平面向量的应用考向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，

总的思路有：

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相

应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程

进行求解.

2、平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：

①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图

形的特征直接进行判断；

②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

0

心真题砒标•精御皿\\

1.(2024年北京高考数学真题)设a，♦是向量，则“,+研，-彼)=0”是弓=。或1户的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为,+可.k-q=片一/=0,可得/=片，即同=代，

可知(a+B).(a_B)=o等价于同叫，

若或L，可得同=忖，即(a+孙但-B)=o,可知必要性成立；

若尼+孙卜-3)=0,即同=可，无法得出IB或2=1,

例如。=(i,o)石=(o,i),满足同=|可，但"从且力工，可知充分性不成立；

综上所述，“但+行》,-彼)=°”是“工片3且2*1”的必要不充分条件.

故选：B.

2.(2024年天津高考数学真题)已知正方形48。的边长为1,瓦=2及，若砺=2或+〃就，其中4〃

为实数，则4+〃=;设尸是线段BE上的动点，G为线段/尸的中点，则方•砺的最小值为.

【答案】4一亮5

3lo

I.I.,)>I))

【解析】解法一：因为CE=]OE,^CE=-BA,则8E=8C+CE=§R4+8C,

i4

可得丸=4,4=1，所以4+〃=W；

由题意可知：|就1=1豆卜1,加•瑟=0,

因为尸为线段BE上的动点，^~BF=kBE=^kBA+kBC,k^,\\,

则万:=75+而=万+左砺左一1)瓦5+左灰，

又因为G为月尸中点，则砺=刀+就=一元+；/=3]；无一1到+左一1)正,

^k-\\BA+kBC

可得AF-DG=

又因为上可知：当左=1时，刀.砺取到最小值-工；

1O

解法二：以5为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

可得函=(-1,0),第=(0,1),砺=(一,”,

因为BE=ABA+/jBC=(―4〃)，贝3,所以文+〃=—；

A=13

因为点尸在线段8£：了=-3x,xe-1,0上，设F(a,-3a),ae-1,0

且G为/尸中点，则

可得AF=(a+\,—3a),DG=1—-—,——a—1],

则病55=^^-+(_34)]_|"11=5,+|)一:，

1-I15

且ae--,0,所以当。=一三时，》.0G取到最小值为-；7；

_3J31o

45

故答案为：~.

3.(2024年新课标全国II卷数学真题)已知向量”满足忖=加+2+2,且贝小

A.yB.—C.—D.1

222

【答案】B

【解析】因为仅-2可言,所以2)”=0,即片=2"，

又因为忖=1,1+2可=2,

所以1+4Q.B+4B=1+66=4,

从而w=q.

故选：B.

4.(2023年北京高考数学真题)已知向量落不满足)+3=(2,3)而-3=(-2/)，则⑷2_行『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】向量用$满足万+1=(2,3)Q-A=(—2,1),

所以|汗-⑻2=0+W.0-W=2*(-2)+3xl=-l.

故选：B

5.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)正方形的边长是2,E是的中点，则反•丽=(

A.VsB.3C.275D.5

【答案】B

【解析】方法一：以｛石，而｝为基底向量，可知网=|阕=2,方.赤=0,

--->-->--->I-->--->--->-->--->I-->--->

贝l|EC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=——AB+AD,

22

---*---*(1---*----(1---*----1----------->2--->2

所以石。£。=匕/5+力叶［-务力台+力力厂-=台+AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则矶1,0),42,2,。(0,2),可得反=0,2),方=(-1,2),

所以左质=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=GCD=2,

DP2-4-CE2-DC25+5-43

在KDE中，由余弦定理可得cosNDEC="：二/j厂=4,

IDE-CE2xV5xV55

所以反.丽=|反‘丽kosZDEC=V^x^x|=3.

故选：B.

6.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量Q=(3,1),3=(2,2),则+=()

A.—B.叵C.—D.2

171755

【答案】B

【解析】因为£=(3,1)范=(2,2),所以£+刃=(5,3),"/=(1,-1),

则|Z+q=J52+32=扃,/_,=7^1=应,R+即(Z-@=5xl+3x(T=2,

/一一7\a+b\\a-b\2717

所以cos(a+b,q-分=]暴，=缶后=*•

'/卜+@卜-囚V34x17

故选：B.

7.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)已知向量瓦瓦1满足同=忖=1洞=&，且,+彼+,=。，则

COS〈d-C1一C〉=()

4224

A.一一B.一一C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因为2+B+1=0,所以3+B=—万，

即必+庐+2无B=12,即1+1+2落日=2,所以万石=0.

如图，设02=色砺=女1=万，

c

由题知,CM==1,OC=近gOAB是等腰直角三角形,

AB边上的高。。=e,/〃=e,

22

所以CD=8+OD=0,=当，

tanZACD=—=~,cosZACD=-1=

CD3M

cos(a~c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2Z.ACD-X

故选:D.

8.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知。。的半径为1,直线尸/与。。相切于点力,直线尸3与。。

交于B,C两点,。为BC的中点，若归。|=&，则方.而的最大值为（）

.1+V201+2血

22

C.1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】如图所示，|。旬=1,|。尸|=也，则由题意可知：//尸。=：，

由勾股定理可得|尸a=』OP2-OT=1

B

TT

当点4。位于直线尸。异侧时或依为直径时，设/"C=a,OVa<"

则：B4.PD=1I-IIcosla+j

=1x^2cosacosa+—

I4

(V2拒.

cosa——cos6r------sma

22

=cos2a-sinacosa

1+cos2a

——sin2a

22

------sin

22

八兀L\兀〜7171

0<a<—,贝U<2a----<—

4444

jr

当点4。位于直线R?同侧时，设NQ尸Ca,0<a〈丁,

4

则：强.而=尸/•尸。cos([-仪]

=lx.y/2

fcosa在cosa+在sina

22

=cos2a+si.nacosa

1+cos2a1.c

------------+—sin2a

22

—+——sin2a+一

22I4

_7Ce,7C_TC3〃"

0<6r<—,则一W2aH——<——

4444

二当加++?寸，沙.丽有最大值

综上可得，强.而的最大值为庄旦.

故选：A.

9.（2023年天津高考数学真题）在△/3C中，BC=\,ZA=60°,AD=^AB9CE=^CD,记

AB=ajAC=b,用扇B表示次=;若BF=；BC,则通.万的最大值为.

・小心、1-113

【答案】—«+—/7）—

4224

___\AE+^D=AD

【解析】空1：因为E为。的中点，则研）+EC=0，可得（一.一一，

AE+EC=AC

两式相加，可得到2万=诟+就,

-----*I-f-----*I—►I—»

即2/£=—。+6,则/E=—a+—6；

242

_1___[AF+FC=AC

空2：因为毋'=：8C,则2b3+尸C=0，可得〈———一

3[AF+FB=AB

得至|用+定+2（万+网=就+2万，

—►2一1一

即3善=2々+九即4尸二针+《.

于是超赤=[%+/）序+5]=曰2/+5a4+2片

，己AB=x,AC=y,

在AABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=1,

于是万.万=]2个+早+2>出手+2不

由/+j?一盯=］和基本不等式，％2+歹2_Xy-1>2xy-xy=xy,

故盯W1,当且仅当%二歹=1取得等号,

13

则％=尸1时，4£.4尸有最大值五.

1一1一13

故答案为：—a+—b•--.

4224

C

10.（2023年新课标全国n卷数学真题）已知向量方，[满足归_可=5B+*怩一可,则问=

【答案】G

【解析】法一：因为卜+可="_可,即，+q=（21_炉

^a+2a-b+b=4a-4a.b+b^整理得/=0，

又因为归一1=5即（万一4y=3,

则片一2>3+片=片=3,所以|可=6.

法二：^c=a-b»则卜|=J3,a+b=c+2b,2a-b=2c+b,

由题意可得：长+2q2=（2]+小则r+症/+47=4r+4»片，

整理得：了=/，即9=|4=G.

故答案为：V3.

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：平面向量基本定理及其应用

―►1—►

【典例1-1］如图，在A/BC中，AN=-AC,P是5N的中点，若AP=mAB+nAC，则加+〃=()

【解析】因为左=；就，所以丽二万▽—砺=；%—方，

―►1—►1—►1—>

因为P是3N的中点，所以BP=^BN=：AC—}AB,

242

—►—•—►—►I—•I—►I—•I—»

所以4P=4B+BP=4B+—4C一一AB=-AB+—AC,

4224

____113

乂AP=mAB+71AC，所以机=5，〃=W'w+??=—.

故选：D.

【典例1-2】(2024•河南商丘•三模)如图，在△48C中，点。，£分别在边48,5C上，且均为靠近8的四

等分点，CD与4E交于点F,若丽=+则3x+y=()

【答案】A

【解析】连接

A

由题意可知，软—所以DE〃C,DEBD1

贝nUi—=——=—

ACBA4

DPr)F1__►1_________►_____►3__.

所以——=——=—,所以5。二一一AB,DC=AC-AD=AC一一AB,

FCAC444

—>1—>1—>3—>

则。咒=—DC=—4C—345,

5520

i^BF=BD+DF=--AB+-AC-—AB=--AB+-AC.

452055

__,__,__k2i

XBF=xAB+yAC,所以％=贝lJ3x+y=_l.

故选：A

巧

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘

运算.

2、用基底表示某个向量的基本方法：（1）观察各向量的位置；（2）寻找相应的三角形或多边形；（3

运用法则找关系；（4）化简结果.

【变式1-1］（2024・广东•模拟预测）已知等边的边长为1,点分别为/民8。的中点，若

~DF=3EF,则万=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2426

1—>3—>

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【答案】A

【解析】在A/BC中，取｛%,而｝为基底,

B/

因为点分别为的中点，DF=3EF，

―►1―►1—►

所以斯=—D£=—/C,

24

—,■—*—*1/•—►\1—►1,3—*■

所以/尸=4E+M=—/5+/C+—4C=—/B+—4C.

2、7424

故选：A.

【变式1-2］（2024・新疆•模拟预测）在平行四边形ABCD中，MN分别在边CD,AD±,DM=MCyAN=2ND，

相交于点p,贝！］后=()

1―►1—►

A.-AB+-ADB.-AB+-AD

4224

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

3343

【答案】A

由题意可得：AD^-AN,DM=-DC,

22

AM=AD+DM=AD+-~DC=AD+-AB,

22

设万二九芬7,

贝I］万=2诟万=』彳肝万,

222

31

又瓦RN三点共线，所以2+372=1,

22

解得

2

—►1—►1—►

所以4P=—/。+—/5,

24

故选：A

命题预测T

1.如图，在平行四边形中，点E满足屉=：反，点尸为的中点，则瓦+静=

)

3—►5―►1—►5—►

C.-AB+-ADD.-AB+-AD

23242424

【答案】B

【解析】因为屉=；沅，所以质=灰+废=方】15.

因为点尸为CQ的中点，所以方=N万+万斤=N万+=方，

2

—>—►3—►1—►

所以。E+/尸=—/B+—40.

24

故选：B.

题型二：平面向量共线的充要条件及其应用

【典例2-1]在△4BC中，M、N分别在边/8、AC±,且布=2商，AC=4AN，。在边8C上（不

__.___.12

包含端点）.若亚=xN应k+忆石，则一+一的最小值是（）

xy

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】因为。在边8c上（不包含端点），不妨设筋=2前，其中

即而一方=*％-珂，

所以，AD^（1-A）AB+AAC^2（1-A）AM+4A.AN,

又因为力=》而+>不，贝l]x=2-2"y=4A,其中x、了均为正数，

且有2x+y=4,

所以，L2=；（2x+y）[+2]=j4+空+小小+2户口=2,

Xy4yxy）4^yx）4^\yxj

4x_y

yx

当且仅当2X+>=4时,即当时,等号成立,

x>0,j>0

故则工+2的最小值是2.

xy

故选：A.

【典例2-2】已知£花是平面内两个不共线的向量，AB=a+Ab,AC=^a+b,A,〃eR,则4S。三点共线

的充要条件是（）

2

A.X-4=1B.丸+〃=2C.加=1D.一=1

A

【答案】C

【解析】由4民。三点共线的充要条件是方=加就且加ER,

即a+=mjLia+mb,由靛是两个不共线向量，

[mu=1

所以，，故加=1.

[4=加

故选：C.

国国国

1、平面向量共线定理：己知刀=2砺+〃反，若彳+〃=1,则45,C三点共线；反之亦然.

2、两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若向量3=（再,乂），B=则）/方的充要条件

是X1%-%必=0；（2）若a//B（B/o），则》=彳,.

【变式2-1]如图，已知点G是△/8C的重心，过点G作直线分别与NC两边交于M,N两点,设

AM=xAB'7而=y就，则x+9y的最小值为（）

23

【答案】C

A

如图，延长/G交2C于点。，因点G是△Z2C的重心,

—12—.21—>—.1—，1—>

因M,G,N三点共线，则子＞0,使就=/而+(1-。

因而=xM，AN^yAC,代入得，AG=txAB+(1~t)yAC,②

1

tx――]]]

由①，②联立，可得，＜3,消去,即得，£(一十一)=1,

八、13xy

2鸿。。+产

则x+9y=

当且仅当x=3y时等号成立，

4416

即x=§/=g时，x+9y取得最小值，为

故选：C.

【变式2-2］如图所示，△4BC中，点。是线段2。的中点，£是线段4D上的动点，若靛二说+y豌,

A.1B.3C.5D.8

【答案】D

【解析】因为点。是线段BC的中点，则前=2而,

贝！]BE=xBA+yBC=xBA+2yBD,

因为4瓦。三点共线，所以x+2y=l(x>0,y>0),

则2+，=(工+，j(x+2j?)=4+—+—>4+2—■—

=8,

xyy)xy\xy

也311

当且仅当(XV时，即x=T，y=:时，等号成立,

24

[x+2y=l

所以2+'的最小值为8.

xy

故选：D

1命题预测J

1.已知。是zUBC所在平面内一点，若方+历+碇=6,万7=x：秀通=y就，流=彳丽,X）均为正数,

则孙的最小值为（）

14c.4

A."B.-C.1D.一

293

【答案】B

【解析】因为刀+砺+反=6，所以点。是△48C的重心，

所以击L（刀+可=；（次+就）.

___kk_.1_►1►

因为/M=xA8,/N=y/C,所以N3=—/M,/C=—/N,

xy

1—.1—►

综上，AO=——AM+——AN

3x3y

因为=2砺所以M,O,N三点共线，则丁+丁=1,即—+—=3.

3x5yxy

因为X/均为正数，所以，虬,4，

xyyxy,孙2

41132

所以孙2人（当且仅当一=一=7，即x=V=:时取等号），

9xy23

4

所以犯的最小值为

故选：B

题型三：平面向量的数量积

【典例3-1］如图，在平行四边形中，分别为NC,BC的中点，F为AE上一点,且=

AD=2AB=4,贝1|而砺=

【解析】

如图，连接。2,在平行四边形N2C。中，分别为/C,8C的中点,

则瓦。，。三点共线，且。为5。的中点，所以历=所.

过点尸作尸G1/8于点G,设NFAB=O,

由融=必，AD=2AB=4,

得/G=；/8=l,贝五同=二=，.

2।।cos0cos。

由QE分别为/C,BC的中点,

则的=|■第，|砺|=|万|=2,所以=

所以万.历=万.诙=万•（屁+的）

=AF-BE+AF-W=AF-BE--AF-AB

2

=---2-cos6,------—2-cos6*=1.

cos。2cos。

故答案为：1.

【典例3-2】已知向量入.满足口一24=|2a-4=2,且忖=1,则£%=.

【答案】］/0.25

4

a2-4a-b+4b2=4

【解析】由|&-2不|=|2人在|=2得-

4a2-4a-b+b2=4

两式相减得-3同，3问=0=忖=何=1,

_一一1

所以1一4展3+4=4,贝1小6二二.

4

故答案为：

巧

1、向量的数量积：设两个非零向量扇B的夹角为6,则同•［B|・cos。叫做万与B的数量积，记作展心

2、数量积的几何意义：数量积限B等于G的长度|引与B在G的方向上的投影|B|cos8的乘积.

3、设向量5=（%1，乂），^二仁,%），则］/=%/,由此得到：

⑴若万=（%/）,则।万『=。+,2或团卜旧+/•

⑵设/（%,必）,5（//2），则4，5两点间的距离45=|方|=j（%2—芯）2+（为—弘）2

（3）设两个非零向量痴,且不=（项/1）,3=（々/2），则万_1否OX/2+乂歹2=0

（4）若用不都是非零向量，。是a与B的夹角，贝＜cosg=曰=拳

⑷田收+/在+货

【变式3-1］如图，在△N2C中，^BAC=^，AD=2DB，尸为。上一点，且满足/=〃?k+＜在，若因=2,

词=3,则/而的值为.

【答案】1

【解析】由赤=2丽，可得而=|方，

又C,P,。三点共线，

—,—•—■—.2—2m—,

贝I］有/尸=TM/C+（1—m）AD=mAC+—-—AB,

由于4尸二加/C+—/5（mER）,所以〜竺=上，即冽=—,

2324

____________2___

XCD=G4+Zo=-^C+-18,

且|JC|=2,画=3,

——►—►1—.1——►—.2—►

i^AP-CD=(-AC+-ABy(-AC+-AB)

=-LAC2+-AB2--AC-AB

433

=—1x4,+—1x9八—1x2cx3cx—1=1I

4332,

故答案为：1.

【变式3-2］如图，在平面四边形4BC。中，。为BD的中点，且。4=3,OC=5.若与.而=-7，则

BCDC=.

【答案】9

【解析】如图，在ZU3C中，。为8C的中点，下面证明结论：荏•就=fZ5＞三国1

因为。为8c的中点，

所以次+元=2。，所以|益就『+2君•就=4|而『①

又万一就=Q，所以|加『+|就『一2万•太=|赤『②

①-②得4刀.刀=41而『-\CB^,所以益•/=卜

因为在平面四边形A8CD中，。为BD的中点，且CU=3,OC=5.

____1K_____,Dr)2

所以君•亚=0/2--------=-7,解得3。=8,

4

_D7^2

则就•皮=0C2--------=9.

4

故答案为：9

命题预测

I.己知△NBC是边长为4的等边三角形，点。，£分别是边/B,8c的中点，连接DE并延长到点尸.使

得DE=2EF，则万.数=.

【答案】2

【解析】如图：

以｛BC,8N｝为基底，则8c.8/=4x4xcos60。=8，|fic|=卜/|=16.

所以。£=2(BC—B/),DF=-DE=-(BC-BAJ,

所以箫=诟+丽=-^-BA+^-(BC-BA\=-^-BA+^-BC.

24、'44

所以万灰第+上就］.就=_工强炭+。前2

=_1X8+2XI6=2.

(44)4444

故答案为：2

题型四：平面向量的模与夹角

【典例4-1］（2024•黑龙江佳木斯•模拟预测）已知向量万，B满足己=（3,4）,展彼=6,卜-可=7,则忖=.

【答案】6

【解析】由方=（3,4）可得同=律彳=5,

归-可=止+庐一2展［=7=，25+庐-2乂6=7,解得问=6,

故答案为：6

【典例4-2】（2024•全国•模拟预测）如图，在ZU08中，ZAOB=120°,。3=2。/=2后，尸在以。为圆心,

半径为1的圆上运动，则当莎・丽取最大值时，cos乙4PB=.

B

【答案】

【解析】

如图所示，以。为坐标原点，以方向为x轴，垂直。/方向为〉轴，建立平面直角坐标系,

因为408=120。，OB=2OA=273,所以4-①。），8（道,3）.

设P（x,y）,圆O方程为/+/=1,

贝!］历=（_百一羽一少卜PB=（s/3-x,3-y）,

ffiVXPA-PB=^->/3--xj-y（3-y）=x2+y2-3y—3=-3y-2.

因为一IWyWl,当>=一1时，（万•丽）=1,

\/max

此时尸（0,-1）,且莎=卜百,1）,而=（6,4）,

1—1|—1r-PAPBIM

所以网=2,网=M，则34/AD必O=^^=市=4―

故答案为：叵.

38

巧

(1)向量的夹角要求向量“共起点”，其范围为[0/].

(2)求非零向量7B的夹角一般利用公式cose=亘邑=/X'十注」先求出夹角的余弦值,然后求

㈤⑸后石亚淳

夹角.也可以构造三角形，将所求夹角转化为三角形的内角求解，更为直观形象.

/\TT/i0Q

【变式4-1](2024・高三・重庆•期末)已知非零向量用在满足：｛a,b)=-,且R+B3-丹=§兀，则亍=

【答案】聂

3

【解析】Va,b=^,:.\a+b|=|a-b\=(小时.

,/<a+b.a-b>=yTr,/.cos(Z+-Z2

=cos—兀,

3

22

3|-6|—；，解得师=3同2,

归+服一可一乔

故答案为：4-

【变式4-2］已知平面内两个向量3=(2左,1),彼若“与万的夹角为钝角，则实数上的取值范围

是.

【答案】(-s,-l)U(-l,0)

—k

【解析】由题意，a-b=2k+—<0,:.k<0.

2k1八

—=—v0

当B反向时，有1人，解得人=-1,

2

所以上的取值范围是(-8,-l