球的切、接问题及截面、翻折问题（3种考法原卷版）

重难点06球的切、接问题及截面、硼折问题

（3种考法）

【目录】

考法1：球的切、接问题

考法2：截面问题

考法3：翻折问题

延二、命题规律与备考策略

一、外接球题型归类：

（1）三线垂直图形

计算公式：三棱锥三线垂直n还原成长方体n2R=Ja?+9+/

（2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型:

j-------------------------I袱2+勿2.?2

①三棱锥对棱相等.=^>2R=\a2+b2+c2=J-------------------------,m,〃，/是三个对棱棱长.

②等边三角形与等腰直角三角形连接.

③投影为矩形.

（3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆

半径是广，满足正弦定理）.

（4）面面垂直型

一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型

（5）垂线相交型

等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心.

直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心.许多情况下，会和二面角结合.

二、求多面体的外接球的半径，常用方法有：

（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半

径；

（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线

的中点，再根据勾股定理求球的半径；

（3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球

心.

三、立体几何中截面的处理思路：

（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是

找交线的过程；

（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点

找直线的平行线找到几何体与截面的交线；

（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后

借助交点找到截面形成的交线；

（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.

a工菽方法

考法1：球的切、接问题

选择题（共4小题）

1.（2023•嘉定区二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为R1,与该正方

体每条棱都相切的球半径为R2,过该正方体所有顶点的球半径为R3,则下列关系正确的是（）

A.Ri：R2：氏3=&：V3：2B.RI+R2=R3

CR；+R§=R§D.R；+R尸钻

2.（2023春•浦东新区校级期中）著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容

球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和

侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值

为（）

A.AB.Ac.3D.2

2343

3.（2022秋•普陀区校级期中）已知球。的体积为空二，高为1的圆锥内接于球O,经过圆锥顶点的平

6

面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为Si,&,若Si=2空，则52=（）

8

A.2B.V5C.V6D.2A/2

4.（2023•虹口区校级三模）已知圆锥SO是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为遥，高为1,

尸、0为底面圆周上任意两点.有以下三个结论：

①三角形SPQ面积的最大值为2；②三棱锥O-SPQ体积的最大值为2；③四面体SOPQ外接球表面积

3

的最小值为9n.

以上所有正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

填空题（共5小题）

5.（2023春•杨浦区校级期末）如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有

一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在

这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为

6.□（2023•徐汇区校级三模）在012c中，AC=2«,顶点8在以AC为直径的圆上.点P在平面A8C上

的射影为AC的中点，PA=2,则三棱锥尸-ABC外接球的半径为.

7.（2023•嘉定区模拟）如图，直三棱柱ABC-A出1。中，AC±BC,AC=F,BC=3,点P在棱BBi上，

且B4LPC1,当△APCi的面积取最小值时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

8.（2023春•浦东新区校级期中）已知在四面体V-A8C中，VA=VB=VC=2,AB=\,NACB=，-，则该

6

四面体外接球的表面积为一.

9.（2022秋•金山区校级期末）如图，在四棱锥P-4BCZ）中，POJ_平面ABC£）,AB//DC,AD1AB,DC

=2,AD=AB^1,直线方与平面ABC。成45°角.设四面体外接球的圆心为。，则球的体积

为—.

考法2：截面问题

一、单选题

5兀

1.（2022春•上海静安•高三上海市市西中学校考阶段练习）若圆锥的侧面展开图是半径为4,中心角为三

的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）

A.血B.4C,8D.生叵

99

2.（2022秋・上海嘉定•高二上海市嘉定区第一中学校考期中）下列说法中正确的是（）

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D.若球。的半径为2,球心到平面a的距离为1,则球。被平面a截得的截面面积为加

3.（2023秋•上海浦东新•高二上海市建平中学校考期末）用一个平面截正方体，截面图形可能是（）

A.钝角三角形B.直角梯形

C.有两个内角相等的五边形D.正七边形

4.（2021•上海徐汇•位育中学校考三模）如图，正方体ABC。-A46A中，E、P分别是A3、BC的中

点，过点2、E、f的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为乂,%（乂＜%）,则

匕：匕=（）

5.（2022•上海•高二专题练习）为提高学生数学学习的积极性，复旦附中联合浦东分校、青浦分校、复旦

中学组织了复旦附中月度数学学科知识竞赛.本次比赛的年度总冠军奖杯由一个铜球。和一个底座组成,

如图（1）所示，已知球的体积为36万，底座由边长为12的正三角形铜片ABC沿各边中点的连线垂直向上

折叠成直二面角所得，如图（2）所示.则在图（1）所示的几何体中，下列结论中正确的是（）

O

以

D'EA

图⑴图⑵

A.CD与是异面直线

B.异面直线AB与CD所成角的大小为45°

C.由A、B、C三点确定的平面截球所得的截面面积为3万

D.球面上的点到底座底面的最大距离为3+6+

6.（2022秋•上海普陀・高二上海市晋元高级中学校考期中）已知球。的体积为空，高为1的圆锥内接于

6

25兀

球O,经过圆锥顶点的平面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为岳,$2,若，则邑=（）

O

A.2B.75C.y/6D.25/2

7.（2023春•上海杨浦•高一复旦附中校考期末）过正四面体ABCD的顶点A作截面，若满足①截面是等腰

三角形；②截面与底面BCD成75。的二面角，这样的截面个数为（）

A.6B.12C.18D.24

二、填空题

8.（2023秋•上海静安•高二校考期末）在棱长为。的正方体ABCD-A耳GA中，M,N分别是正方形

ABCD、正方形B瓦的中心，则过点A,M,N的平面截正方体的截面面积为.

9.（2022秋•上海普陀•高二上海市晋元高级中学校考期中）若圆锥的侧面展开图是半径为1,圆心角为

180。的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于.

10.（2021秋,上海浦东新,高二上海市建平中学校考阶段练习）如图，正方体ABC。-A耳6A的棱长为

I,瓦P分别是M，CG的中点，那么正方体过2,E,歹的截面图形的面积是

11.（2022春•上海浦东新•高二校考期末）己知正三棱锥尸-ABC底面面积sABC=6,点。在高尸。上且

2PQ=QO,则经过点。且平行于底面的截面面积为.

12.（2022秋・上海徐汇•高二位育中学校考期末）正方体ABC£>-$耳GR的棱长为4,瓦尸分别为8C、

CG的中点，则平面AEV截正方体所得的截面面积为

13.（2021秋,上海普陀,高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）如图，在棱长为。的正方体

ABCD-ABGR中，P,Q分别是正方形AB5'BCC；旦的中心，R在线段次）上，DR=3RB,则过点

尸,。,尺的正方体的截面的面积是

14.（2022・上海•统考模拟预测）己知圆锥的母线长为5,侧面积为20万，过此圆锥的顶点作一截面，则截

面面积最大为

15.（2022春•高二单元测试）正方体ABC。-的棱长为1,E、B分别为2C、CG的中点，则平

面AEE截正方体所得的截面面积为

三、解答题

16.（2022秋・上海静安•高二校考期末）由曲线丫=，/,丁=-!/,了=4,了=-4围成的封闭图形绕，轴旋转

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一周所得的旋转体的体积为匕；满足1+y2Vl6,V+（y-2）224,V+（y+2）224的点（苍y）所组成的封闭图

形绕，轴旋转一周所得的旋转体的体积为匕

⑴当y=fJw[0,4]时，分别求出两旋转体的水平截面的面积，，邑；

（2）求匕与匕的关系，并说明理由.

17.(2023春•上海奉贤•高一上海市奉贤中学校考阶段练习)已知四棱锥尸的底面为直角梯形,

ABDC,ZDAB=90°,以回平面ABCD,PA=AD=DC=^AB=1,M是棱PB上的动点.

⑴求证：。回平面B4D；

(2)若PC=PM,求点M到平面ABCD的距离;

PN

(3)当M是PB中点时’设平面MM与棱尸C交于点M求标的值及截面的面积.

18.(2020•上海•统考模拟预测)正四棱锥尸-ABCD的底面正方形边长是3,0是在底面上的射影,

PO=6,。是AC上的一点，过。且与上4、8。都平行的截面为五边形EFGHL.

(1)在图中作出截面跳Gffi,并写出作图过程;

(2)求该截面面积的最大值.

考法3：翻折问题

一、解答题

1.（2021春•上海普陀•高二曹杨二中校考期末）如图，在直角梯形A3CD中，AD//BC,ZABC=90°,

AB=BC=4,AD=2,E、尸分别是AB、的中点，沿即将梯形AEFD翻折至A'EFD’,使得平面

WEED'_L平面BEFC.

（1）求证：AE1.BE；

（2）设G为E尸上的动点，当AG+GC取最小值时，求异面直线3D与CG所成角的大小;

（3）求多面体ABCD'EF的体积.

2.（2021秋•上海奉贤•高二校考阶段练习）如图1,在直角梯形ABCD中，ABUCD,AB±AD,且

AB=AD=^-CD=1,现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边A。将正方形翻折，使

2

ED1DC,M为即的中点，如图2.

图1图2

（1）求证：4W〃平面BEC；

（2）求证：平面BCD_L平面8DE；

（3）若£>E=1,求点D到平面3EC的距离.

3.（2022・上海•高二专题练习）如图1,在边长为4的菱形ABC。中，0Z）AB=60°,点M,N分别是边

BC,CQ的中点，ACBD=OltACMN=G.沿MV将△CVW翻折到的位置，连接B4,

PB,PD,得到如图2所示的五棱锥PABMNZX

图1图2

⑴在翻折过程中是否总有平面平面PAG?证明你的结论；

（2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；

⑶在（2）的条件下，在线段以上是否存在一点。，使得二面角Q-MN-P的平面角的余弦值为画？若

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存在，试确定点。的位置；若不存在，请说明理由.

4.（2022秋•上海宝山•高三统考期末）如图是矩形ABCD和以边为直径的半圆组成的平面图形，

AB=2AD=2a.将此图形沿AB折叠，使平面A3CO垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆。

上异于A，3的点.

TT

（团）若异面直线和。。所成的角为:，求三棱锥O-ACE的体积.

6

5.(2023・上海•高三专题练习)如图，将边长为2的正方形ABC。沿对角线8。折叠，使得平面与平

面C3D所成二面角为直角，/场，平面&8。，且AE=0.

⑴求证：直线EC与平面A3。平行;

⑵求点C到平面BED的距离.

6.(2020春•上海宝山•高二上海交大附中校考期中)已知梯形A8CD中，AD//BC,ZABC=ZBAD=-,

2

G是8C的中点.AB=BC=2AD=4,E、/分别是A3、CD上的动点，豆EFHBC,设AE=x

(xe[0,4]),沿所将梯形ABC。翻折，使平面AEEDL平面EBCF,如图.

(1)当x=2时，求证:

(2)若以8、C、D、F为顶点的三棱锥的体积记为/(X),求/■(x)的最大值;

(3)当/'(x)取得最大值时，求二面角的余弦值.

7.(2023•上海奉贤•校考模拟预测)如图，将边长为2的正方形沿对角线3。折叠，使得平面43。回

B

⑴求证：直