空间向量的数量积运算（9种常见考法归类）-人教版高二暑假专项复习

第07讲空间向量的数量积运算9种常见考法归类

☆

学习目标

掌握空间向量的数量积，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.

||雷基础知识

知识点1空间向量的夹角

如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作(5X=a,O6=b,则NAOB叫做向量

a,b的夹角，记作〈a,b>

------r——

0<〈a,b)<n

向量垂直如果〈a,b)=?,那么向量a,5互相垂直，记作小方

知识点2空间向量的数量积运算

1.(1)空间向量的数量积

已知两个非零向量a,b,则⑷网cos{a,b)叫做a,，的数量积,记作a协，即a协卜cos(a,b).零

向量与任意向量的数量积为0,即0也=0.

⑵运算律

数乘向量与数量积的结合律qayb=M(fb),1GR

交换律a・b=b・a

分配律a-(b+c)=a-b+a-c

2.投影向量及直线与平面所成的角

(1)如图①，在空间，向量。向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平

面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量力共线的向量c,c=|fl|cos〈a,b)由，向量c称为向量

a在向量6上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线/投影(如图②).

(2)如图③，向量a向平面0投影，就是分别由向量a的起点A和终点5作平面/?的垂线，垂足分别为

A',B',得到向量AB，,向量4朋称为向量。在平面”上的投影向量.这时，向量a,A'Br的夹角就是

向量a所在直线与平面/?所成的角.

注意点：

⑴向量“，》的数量积记为“协，而不能表示为ax方或者面.

⑵向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角。的范围决定.

①当，为锐角时，a-Z»O；但当时，。不一定为锐角，因为，也可能为0.

②当，为钝角时，a-b<0；但当。巧<0时，，不一定为钝角，因为，也可能为兀

(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.

知识点3空间向量数量积的性质

设力坂是非零向量，"是单位向量，则

①a・e=e-a=|4cos(a,e)；②aJ_Boa.B=0；

③=a-a或|a|=；④cos(a,=:?1；

1111、/卜阴

⑤限小同他当且仅当a,b共线时等号成立)

/■■

豳解题策略

---------------------iiiiiiiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiin-----------------------

1、求空间向量数量积的步骤

(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积;

(3)代入aS=|a||"cos(a,b)求解.

注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹

角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用

数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角.

2、求两个向量的夹角有两种方法:

①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围;

a»b

②先求。小，再利用公式cos[a,b)=厂而'求出cos(a,b)的值，最后确定〈a,b)的值.

m

3、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角.

4、利用空间向量解决垂直问题的方法

(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0

来判断两直线是否垂直.

(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量wz,〃垂直的方法：先用向量a,b,c表示向量wi,n,再求解

向量机，〃的数量积并判断是否为0.

5、求两点间的距离或线段长的方法

(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.

(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；

(3)因为a・a=|a|2,所以⑷=JH，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外，该公式还可以

推广为|a±"=而土4=y/a2±2a-b+b2，

I2—2，2一—一一,,

a+b+c^=^a+b+cf1

ya+b+c+2a-b+2a-c+2b-c-

(4)可用|a・e|=|a||cos，|(e为单位向量，8为a,e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投

影.

Q考点剖析

考点一：空间向量数量积的概念辨析

（-）空间向量的夹角

，1例1.（2023春•高二课时练习）如图，在正方体4BC。一49中，求向量无心分别与向量R耳,

瓦T，AD>CD>万万的夹角•

【答案】45°；135°；60°；120°；90°

【分析】由图形特征求向量夹角.

【详解】连接3，则在正方体ABCD—49中，ACLBD,ZBAC=45°,AC=AD'=CD',

所以5,W）=（AC,AB）=45°,

（就，苑）=180°-（正，通）=135°,

阿，码=NZZ4C=60。，

（记①）=120。，

/AC,W\=国,BD）=90°.

变式1.（2023春•高二课时练习）在正四面体ABC。中，起与前的夹角等于（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】D

【分析】根据正三角内角为60。求解.

【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，

<~BC,CD>=\80°-<CB,CD>=180°-60°=120°

故选：D

变式2.（2022.高二课时练习）如图，在长方体ABCD-AB'C。'中:

A'D'

（1）哪些棱所在直线与直线A4'互为异面直线且互相垂直？

⑵若48=百,AY=1,分别求向量^^与&7‘jyc''8；"，的夹角.

【答案】⑴CD,C'D,BC,?C'；

（2）具体见解析.

【分析】（1）由长方体的性质及异面直线的定义即可求得答案；

（2）由空间向量夹角的定义并结合线面垂直的性质定理即可求得答案.

【详解】（1）在长方体ABCD—AB'C'D中，易知A4U底面A8C£>,则A4UCD,AA!LBC,而

C'D'//CD,B'C'//BC,所以于是与直线AA互为异面直线且互相垂直的直线有

CD,C'D',BC,B'C'.

（2）易知AAJ_AB,而AB=y/3,AA'=1,所以tanZ.AA'B=y/3nZAA'B=—,Z.ABA'=—.

36

jr

因为CC//A4',所以/，与cZ，的夹角为=

jr

因为DC//AB,所以原，与庆，的夹角为448A=K；

TT

因为8'C」平面ABQA,54七平面所以胡』3'C',所以忌，与此，的夹角为万.

（二）空间向量的运算律

注2）例2・【多选】（2023春•高二课时练习）设Z,B为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确

的有（）

A-2门2a-bb

A.ci=\ci\B.~—~——

11a-aa

/-*—►\2—»2—»2/—»—»\2—»2—»—»-»2

C.[a-b]=a-bD.\a-b\-a-2a-b+b

【答案】AD

【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可;

【详解】解：对于A：a=a-a=|a|-|a|cosO=|a|,故A正确；

对于B：因为向量不能做除法，即2无意义，故B错误；

a

对于C：(a%)=(忖卡卜0$(°,矶=|a|-|&|cos2(^a,b^,故C错误；

对于D：(a-B)=(q-B).(a-B)=a-2a-b+b,故D正确；

故选：AD

变式1.(2023春•高二课时练习)对于任意空间向量£,b，c，下列说法正确的是()

A.若且切/",则Z//2B.a-(b+c^=a-b+a-c

C.若a•5=crc，且awO，则B=cD.(a-b^c=a(b-c^

【答案】B

【分析】根据空间向量共线的定义判断A,由数量积的运算律判断BCD.

【详解】若半=6,则由M区且切无，不能得出2/1，A错;

由数量积对向量加法的分配律知B正确；

若则a-(B-c)=。，当Z_L(B-K)时就成立，不一定有石=3，C错；

rr、rr,rr、

z力卜是与之平行的向量，是与Z平行的向量，它们一般不相等，D错.

故选：B.

变式2.(2022秋•湖北襄阳•高二校考阶段练习)设商，b,都是非零空间向量，则下列等式不一定正确

的是()

A.(商+5)+e=a+(5+@

B.(ji+b^-c=a-c+b-c

c.(u-b^-e=(b-c^-a

D.^a+b^-{a+c^=\a^+(b+S^-a+b-c

【答案】C

【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可.

【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若万，1不共

线且很氏5,不不垂直，则(1石)屯=同归卜05(第5"#(5・办万=忖同8$(5@1，故c不一定正确.

故选：c.

考点二：空间向量数量积的运算

（2023春・江苏盐城・高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量£，心向量"与£石

的夹角都是60。，且同=1,但卜2,忖=3,试求

⑴（N+2B-C）；

（2）（3商-25）・（6一3T）.

【答案】（1）11

2）4

【分析】（1）计算洒B=0,H=：,5?=3,展开计算得到答案.

2

（2）（3a-2b）\b-3c）=3a-b-3a-3c-2b2+2b-3c,代入计算得到答案.

【详解】（1）向量彼，向量，与Z石的夹角都是60。，且同=1,向=2,同=3,

a2=l,b2=4,c2=9,a-b=0,a-c=|a|•|c|cos60°=^,b-c=|/T|-|C|COS60O=3,

（5+2b-c^=a2+（2Z>j+c2+2a-2b-2a-c-4b-c=l+16+9+0-3-12=ll；

（2）（3a-2&）.（&-3c）=3a-^-3a-3c-2P+2^-3c=0-^-8+18=-1

变式1.（2023秋・广东揭阳•高二统考期末）在空间四边形A3CD中，荏.而+/.丽+和.而等于（）

A.-1B.0C.1D.不确定

【答案】B

【分析】令通=£,衣=a布=入利用空间向量的数量积运算律求解.

【详解】^-AB=a,AC=b,AD=c,

则AB>CD+AC-DB+AD>BC，

=a»c-a»b+b»a—b»c+cif-c<i=0•

故选：B

变式2.【多选】（2023春•高二课时练习）正方体ABCZ）-4B|GA的棱长为1,体对角线AC】与BD，相

交于点。，贝I（）

A.AB-4G=1B.ABAC[=-j2C.ABAO=^D.BCD^=1

【答案】AC

【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.

【详解】方法一：IB-AG=AB.（AB+AD）=AF=I,故A正确；

~AB-AC[=AB-[AB+Ab+AA^=A^=1,故B错误；

—.―,—.1___.1

ABAO=AB—AC=-,故C正确；

2l2

BCD4=BC-（B^+CB）=-BC?=-1,故D错误；

方法二：

刀•箝=病•雷=|同1陪上05（病,*）=1*应*孝=1,故A正确；

由正方体的性质可知，AC]=6，3G=收，

AB-Aq=|AB||AG|cos（AB,Aq）=|AB||Aq|-^L=lxV3x-^=l,故B错误；

.—..1.1

ABAO=AB—AC=-,故C正确；

2l2

0.西=而•西=lxgx[—曰]=—1,故D错误.

故选：AC.

变式3.（2023春•江苏常州•高二江苏省漂阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体A8CD-A462中,

M为棱CG上任意一点，则；W.前=.

【答案】1

【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.

【详解】如图，在正方体中，/为棱CG上任意一点，则成=彳忑=彳可，。这NW1,

AMBC=（AC+CM）-AD=（AB+AD+/IA^）-AD=O+AD2+0=1.

故答案为：L

变式4.（2023・全国•高三专题练习）如图，上4,面ABCD,ABCD为矩形，连接AC、5£>、PB、PC、?£>,

下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）

P

A.1与加B.有与次

C.而与羽D.西与前

【答案】A

【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证尸B_LD4、ABLPD,PA1CD,而瓦）不

一定与PC垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项.

【详解】由丛，面ABC。，A3CD为矩形，

A：4Du面ABCD,则R4_LAD,而AC与AD不一定垂直，不一定有面PAC,故不一定与PC垂

直，所以定与而数量积不一定为0,符合题意；

B：由A知以_LAZ）,又且ABp|Bl=A,则加_1面必由，又PBu面P4B,所以PB_LZM,即丽

与函数量积为0,不合题意；

C：由上易知R1_LAB,又ZM_LAB且D4n上4=4,则AS2面尸4£）,又PDu面E4B,所以

即而与羽数量积为0,不合题意；

D：由上知而AB//CD,所以B4_LCD,即两与前数量积为0,不合题意；

故选：A.

变式5.（2023春・江苏常州・高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为2的四面体ABCO中CE=

丽，/=2丽，则向量赤（

A

BD

E

【答案】A

__i_____.__i__,2__»

【分析】由向量的运算可得而=5（血+而k），CFk=-BAk-BC+-BD,由向量数量积的定义即可得到答案.

【详解】由题得丽，或夹角，而，阮夹角,而，丽夹角均为三，

■.■CE=ED,AF=2FD,

__1_____>__kk2__►

:.BE=-(BC+BD),AF=^AD,

:.CF=BF-BC=BA+AF-BC

_2__,__k.2__►__►__►1__»__.2__►

=WL+-AD-BC=BA+-(BD-BA)-BC=-BA-BC+-W,

3333

:.BECF=^(BC+BD)-^BA-BC+^W}

X-------,,1---»21-------■-1---,----1---»2

=-BABC——BC——BCBD+—BABD+—BD

62663

=—1x2cx2cx-1-----1x2-2—1x2cx20x—1+—1x2^x2x—1+—「x222=—

2262623

故选：A.

变式6.（2023春•四川成都・高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体A8CQ-A4GA

JT九

中，E,尸分别为棱AA，C£>的中点，记阮=£,BA=b，BBx=c,满足ZBIBC=jBA='，ZCBA^-,

\AB\=\BC\=2,|BB,|=3.

（D用a，b>c表示FE；

⑵计算反?•丽.

、­.1一一1一

【答案】⑴尸6=53+<?-万。

(2)1

【分析】(1)根据空间向量对应线段的位置关系，用丽，瓯,正表示出苑；

(2)应用向量数量积的运算律得配.屈=：品•丽・瓯-g而・南，结合己知即可求数量积.

___k1__________1_____________.]__]_

【详解1(1)FE=FD+DD.+D[E=—BA+BBX—BC=—b+c—a；

112222

(2)BCFE=BC^BA+BB[-^BC^=^BCBA+BCBB^-^-BCBC

=||BC||BA|COS^+|BC||B<|COS^-1|BC|2=0+3-2=l.

变式7.(2023春•高二课时练习)如图所示，已知正四面体04BC的棱长为1,点E,尸分别是。A,OC

的中点.求下列向量的数量积：

WOAOB

(2)EFCB

⑶(次+历)•户+国

【答案】(/

⑵-：

(3)1

【分析】(1)正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为60。，再结合空间向量数量积的运算法则，得解；

―.1—.

(2)由EF=]AC,代入运算，即可得解；

(3)取A3的中点D,连接DO,DC,可推出(函+砺>(E+国)=4而•。方，再在AOCD中，利用余弦

定理求出cos/ODC的值，从而得解.

【详解】(1)OA-OB=|oA|-|OB|cosZAOB=lxlxcos600=1

----------1―.—.11

(2)£F-CB=-AC-CB=-xlxlxcosl20°=——；

224

(3)取A8的中点。，连接DC,则两+砺=2砺，CA+CB=2O5,

在AOCD中，DO=DC=—,OC=1,

2

由余弦定理知,cosZODC=

2DODC

V3V31

所以(函+函停+函=4EE=4X-------XX—=1.

223

变式8.(2023•全国•高三对口高考)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于°,点E、尸分别

是BC、的中点，则通的值为()

A.a2B.-a2C.-a2D.昱a1

244

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算运算律可得荏•赤=”(丽・亚+正・同，在根据数量积的定义求其值.

4

【详解】由题意，血,而和衣，赤之间夹角均为60。，结合平面向量线性运算有

AE-AF=^(AB+ACy^AD

=^(ABAD+ACAD)

=

—(a2cos60+12cos60)——Q2

44

D

故选：c

变式9.（2023春•江苏盐城•高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体ABC。-中，以顶点A

为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。，求西•彩的值是.

【答案】1

【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出国，衣，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得

答案.

【详解】由题意得的=丽+通+皿=而-通+M，AC=AB+AD,

则西./=（而-丽+丽）.（通+而）=而2-启+环荏+环砺

=l-l+lxlxcos60°+lxlxcos60°=1,

故答案为：1.

r）ic

变式10.（2023春•高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-4B|G（即平面ABC）,AC==明=应,

BC=2AE=2，求乐•卡

4C,

【答案】1

【分析】直三棱柱中可得4A，4B，AA，AC,根据AC=AB=A4J=A/2,由勾股定理可知AB人AC,由

向量的线性运算可得顺=g（南+记，从而有理•辛转化为荏+*）•（正-羽0化简即可求得答案.

【详解】平面ABC,.-.^AIAB^AIAC.

AC=AB=A4,=应,BC=2,:.AB2+AC2=BC2AC.

又2C=2AE=2,二£为BC的中点，AE=-（AB+AC）.

2

相二应,•.AC=2,又福=0,通通=0,丽蓝=0

.•.AE-4C=1（AB+AC）-（AC-A4I）=|AC2=1.

考点三：空间向量数量积的最值问题

例4.（2023・陕西西安•校考模拟预测）己知点P在棱长为2的正方体ABCD-A4G。的表面上运

动，则丽•丽的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】取A8中点0,连接尸。，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得.

【详解】取A8中点。，连接尸。，如图，

贝“丽・丽=（而+西.（而+砺）=防_次=后,

当p在正方体表面上运动时，运动到自或G处时，PO最大,

222

所以反瓢=D1D+DA+AO=9,

所以可•方的最大值为8.

故选：C

变式1.（2023春・山西运城・高二康杰中学校考阶段练习）已知点尸在棱长为2的正方体表面上运动，AB

是该正方体外接球的一条直径，则丽.丽的最大值为（）

A.-2B.-3C.-1D.0

【答案】D

【分析】根据空间向量的加减法运算和数量积的运算律求解.

【详解】由题可得，正方体外接球的直径|钻|=2』，

设。为正方体外接球的球心，则。为AB的中点，

则有双=_屈，且|词=|西=百，

PAPB=（OA-OP）（OB-OP）=OAOB-（dA+OB）OP+OP2

=-|OA|.|OB|+|OP|2=|OP|2-3,

由于|砺|4手1=6，所以西.丽的最大值为0,

故选:D.

变式2.（2023春•四川资阳•高二统考开学考试）如图，已知正方体的棱长为2,点尸是四

边形4与GR的内切圆上一点，。为四边形ABQ）的中心，则苏•丽的最大值为（）

A.5B.6C.5+72D.5+A/3

【答案】C

【分析】运用向量加法、相等向量将而与而分别表示为丽=的+型，赤=4瓦+西+印，代入数

量积运算即可.

【详解】由题意知，IQ尸|=1,

设正方形A4G2的中心为0,连接。。八DO、。4,如图所示,

则加=羽，|西|=2,I竭|=&,oox1®ABCD,OQ_L面

OOi±O,B,,OOt±QP

.•.西•丽=0,西•即=0,

又；丽二西+印,DP=DO+OO^(\P=(\B.+OOl+(\P,

：.丽丽=(西+印)(加+西+印)

----------**►2*►►►►►*2

=OO]+OO]+OO]-O,P+OiPO]B]+O]POO[+O]P

=o+22+o+iaxixia?icos<ax，a^>M)+i

=5+V2cos<O1B1,(91P>

*.*<O1B],O1P>G[0,TI],

当<O]B],O^P>=0时，cos<QBp印>3=1,

，（彼•苏）1mx=5+"

故选：C.

变式3.（2023秋・江西萍乡•高三统考期末）已知球。是棱长为1的正四面体的内切球，A8为球。的一条

直径，点尸为正四面体表面上的一个动点，则而.丽的取值范围为.

【答案】0,1

【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得

萍尸。邛，再根据西•丽=（而+网•回+网即可求解.

如图所示，在边长为1的正四面体CD所中，设四面体内切球球心为。,

内切球半径为人取跳'中点为G,

则DG=》。。1=^DG=^-,^^COt=J—=乎,

因为匕-DEF=^O-CDE+^O-CDF^Q-CEFO-DEF，

所以2xCQ=4、4皿/xOQ，所以。。|=，=逅，

3312

因为点尸为正四面体表面上的一个动点，

所以rWPOVCO,即尸O4』CO[=逅，

12414

因为西.旃=（附+旅）•（而+砺）=用。+而.况+而.9+次.历，

因为48为球。的一条直径，所以况=-历.

所以所2+所.砺—而.弧—加=po2_J_,

因为如VPOV逅，所以

124248

所以OWPO2-J_VL

243

故答案为：of.

考点四：利用空间向量的数量积求夹角

例5.（2023秋•高二课时练习）如图，已知正方体ABCD-AB'C'D'的棱长为a,设

AB=a,AD=b,AA=c,贝=（）

C.90°D.120°

【答案】D

【分析】根据题意取得口用=缶,|西=&。，且丽=-4,结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，正方体ABCD-A4GA中，棱长为a,S.AB=a,AD=b,AA=c,

可得A'B=a—c,B'D'=b—a,可得1Aq='-c卜•S/2G,|B,Z）,|=|^—=,

且AB-B'D'=^a—c^-{b-a^=a-b-a-b-c—a-c=-a2,

贝1cos（赤师）=i

即|加|

因为0。“碇西）V180。，所以（碇丽）=120。.

故选：D.

变式1.（2023春•甘肃金昌・高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中,

AB=2,AD=2,M=2,ZBA4,=ZDAA,=60°,ZBAD=90°,则8G与C4所成角的余弦值为（）

D.叵

44

【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.

【详解】设通=3,AD=b，A^=c,

因为z石工向量不共面，故｛z,反斗可构成空间的一组基底,

结合忖=2,忖=2,卜卜2,ZBA4,=ZDA4,=60°,ZBAD^90°,

1--1

所以7B=0，a^c=2X2X-=2,b^c=2x2x-=2f

贝fjBq=。+c,=—a—Z?+c,

可得的."=e+。«-£-石+2

=-a-b—a'C—b-b-c+c-b+c

=0-2-4+4=-2,

yjb2+2b-c+^2=J4+2/2+4=2出,

―2—2——————

+b+c+2a'b-2a-c-2b-c

=-x/4+4+4+0—4—4=2,

瓯4__2_

函叵「2@2一6

又因为异面直线所成角的范围是（o,,

所以8G与CA,所成角的余弦值为由.

6

故选：B.

变式2.（2023•河南郑州•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱ABC-A4G中，底面边

长和侧棱长均相等，ZBA41=ZCM=60°,则异面直线A片与BG所成角的余弦值为（）

G

3

A

rV2

A

-T34D.4

【答案】A

【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向

量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线A片与BG所成角的余弦值即可.

【详解】设AB=a,~AC=b,棱长均为1,

由题意，tz-^=1x1xcos60°=—,b-c=—,a-c=—,

222

,,,ABX=a+c,Bq=b-a+c,

••・异面直线A片与BC1所成角的余弦值为逅,

6

故选：A.

变式3.（2023・河北・统考模拟预测）点“、N分别是正四面体ABC。棱BC、AD的中点，则cos（初,西）=

2

【答案】

【分析】以而，林，亚为基底，AM=1（AB+AC）,GV=1AD-AC,即可求解.

【详解】解：以通，正，砺为基底，它们两两之间均为60°,设正四面体ABC。棱长为2,则

AM=1（AB+AC）,aV=|AD-AC,

加.西1（福+砌［而一回而";3恁”"正.正

=1(1+1-2-4)=-2

+2AB-AC+

22

|ov|=IQAO-ACJ=^AD-AD-AC+AC=73,

所以8S（加前”端向Y，

变式4.（2023春・江苏镇江•高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体A3CQ-4301，中,

AB=AD=AAlf且NR4O=441AD=NAAB=60。，则/。仙区的余弦值是.

【答案】回《底

33

【分析】利用空间向量基本定理，得到离=阳+正+瓯，求出|苑］,属■•荏，再由向量夹角公式求“AB

的余弦值.

【详解】由题设，可得如下示意图，

：.Aq=AD+AB+Cq=AD+AB+AA^,

设网=a,则西卜|网=。，X^BAD=AA,AD=Z^AB=60°,

所以荏.布=1/,AB-AA=-a2,AD-AA=-a2,

222

所以以|蒲卜|通+砺+网

=^AB+AD+AA^

I222.

=++AD+离+2ABAD+2ABAA^+2ADAA^

=J/+〃2_|_42+2x—I2+2X—4+2X—Cl2

V222

=y[6a•

而.荏=(而+而+湎).南=#+/+#=2/,

所以c、Cs匹码=启瑞=及邛

故答案为：逅.

3

变式5.(2023春•江苏扬州•高二统考期中)如图：正三棱锥A3CD中，E/分别在棱AB、AD上,

AE:EB=AF:FD=1:2,且行.而=0，则/BAC的余弦值为.

【答案】|3

.1—.—.1—.

【分析】设ZBAC=e,由AE:E3=AF:FD=1:2可得AE=]A&AP=]A，又泰.丽=0,得

(CA+AE)-(BA+AF)=O,利用数量积的运算律可得cos6>=^.

【详解】正三棱锥ABCD中，设ZR4C=e,且侧棱长相等，

因为AE:EB=AF:FD=1:2,

—►1—«—.1―.

所以AE=5AB,AF=]A。，又屈.丽=0，

所以（场+荏）•（而+宿=0,

:.CABA+CAAF+AEBA+AEAF=Q

/.|CA|x|BA|cos6>+|CA|x||AD|COS（TI-6>）-||AB|x|BA|+1|AB|x||AP|cos^=0

即cos^-—cos^--+—cos^=0,

339

33

解得cos。==，即/B4C的余弦值为三.

77

3

故答案为：—

变式6.（2023春.山东淄博•高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量=明=1,（谪=60。,

贝I使向量Z+彳石与-2石的夹角为钝角的实数力的取值范围是.

【答案】（-1-也,-1+上）

【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得0+篇）・（。-2历，«+痛『，卜］2邛关于彳的表达式，

再由两向量夹角为钝角得到关于九的不等式组，解之即可得解.

【详解】因为自=地=1,而〉=60。，

所以分否=忖卡卜05（4万）=2xlx；=1,a=|a|=4,片=埠=1,

故+—2B）=2。+^A2-2^a-b—2A,b=44+（4——2）—24=4~+22—2,

1+/LZ?|=a~+22a•b+b~=%-+2彳+4,

|/la-2*|2=A2a2-42a-fe+452=422-42+4=4（A2-A+l）,

因为向量Z+'与茂-2石的夹角为钝角，

(a+M)-(Aa-2b)<0（4+焉）,（4万-25）<0

所以：二，即

cosa+Ab,Aa-2bw-1（a+Ab）•（2a—2b）w—卜+同以守一2.'

22+22-2<0

则2n--------n------，

U2+22-2^-2V22+22+4+l

解得一1—v2<—1+,BPZG（—1—>/3,—1+A/3）.

故答案为：（-1-A/3,-1+A/3）.

考点五：利用空间向量的数量积解决垂直问题

例6.（2023春・福建莆田•高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知I,e；为单位向量，且

若£=2^+3心Z=k4-短,a-Lby则实数左的值为（）

A.-6B.6

C.3D.-3

【答案】B

【分析】由£和石的数量积为0,解出女的值.

【详解】由题意可得2%=o,42=0,同=同=1,

所以（2q+3e2）•（左G-4或）=0,即2攵-12=0,得攵=6.

故选：B.

变式1.（2023•江苏•高二专题练习）已知空间向量£,石，同=1,忖=0,且与2垂直，则£与石的

夹角为（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

【答案】D

【分析】根据已知可得仅-分4=0,根据数量积的运算律即可求出cos卜,,进而求出结果.

【详解】因为［刃与£垂直,所以1词•£=（）,

即a_〃•/?="-16z|•|/?|cos=1-42cos（a,b^=0,

所以cos（Z,B）=

又0。源％180。,所以@,®=45°.

故选：D.

例7.（2023春•高二课时练习）已知：如图，。8是平面a的斜线，。为斜足，ABLa,A为垂足，

CDua,且CD，Q4.求证：CDLOB.

【答案】证明见解析

【分析】要证CD_LQB,只要证说，丽，即证说.丽=0,结合空间向量分析运算.

【详解】因为CD_LQ4,所以团•况=0，

因为ABLa,CDua,所以ABLCD,CDAB=0.

5LOA+AB=OB,所以①说=①•(函+通)=诙,函+E.通=。，

故CDLOB.

变式1.(2023•全国•高三专题练习)如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD为矩形，且"=2AD=2,

(D求线段PC的长度；

(2)求异面直线PC与50所成角的余弦值；

(3)若E为AB的中点，证明：PA±ED.

【答案】(1)6

⑵噜

(3)证明见解析

【分析】(1)由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示定再进行模长计算即可；

(2)由基底表示正、BD，再代入向量夹角公式计算即可；

(3)由而.诙=衣.(亚-;W)计算即可得结果.

【详解】(1)因为定=可+/=丽+南+而，

所以定2=PA+AB2+AD2+2PA-AB+2PA-AD+2AB-AD=4+4+l-2x2-2xl=3^

|PC|=A/3,

所以线段PC的长度为6.

(2)PCBD=(PA+AB+AD)(AD-AB)=PAAD-ABAB+Al5AD-PAAB+ABAl5-ADAB

=-1x2x——2x2+lxl+2x2x—F0-0-—2,|BD|=y/5,

_PCBD-2_25/15

,・.cos<PC,BD

"RR百x石一15

故异面直线PC与3。所成角的余弦值为近.

15

（3）因为E为的中点，所以A£>=AE,

又:APDE=AP.(AE-AD)=APAE-AP-AD=2xlx^-2xlx^=0,

AP±DE<即上4J_ED-

考点六：利用空间向量的数量积求距离（即线段长度）

例8.（2023春・安徽•高二校联考开学考试）已知31均为空间单位向量，且它们的夹角为60。，则

卜+20=

【答案】V7

【分析】根据条件可求出然后根据,+24=标可进行数量积的运算即可求解.

【详解】因为同咽=1,仅%60。，

所以75=砸即伍®=J,口+2囚=,（£+20=\la2+4a-b+4b2=J1+2+4=近,

故答案为：不

变式1.（2023春•四川成都•高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知£,b,2均为空间单位向量,

它们之间的夹角均为90。，那么B-2B+34=（）

A.2B.y/13

C.714D.6

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答.

【详解】因为b,"均为空间单位向量，它们之间的夹角均为9