空间向量与立体几何（解答题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编

4<06室间向量与鱼体几何(解答盘J

五年考情♦探规律1

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2023甲乙卷空间几何体表面积体积问题一般采

考点01求空间几何体表2022甲乙卷

2021甲乙卷用等体积法或者是空间向量解决，一

面积体积

2021乙甲卷般出现在第一问。

2020全国III卷

2024甲n卷

2023II乙卷二面角的正弦余弦值是高考空间几

2022III卷何体的高频考点，也是高考的一盒重

考点02求二面角

2021甲乙II卷要的趋势。

2020I卷

2023甲卷

线面角问题是高考中的常考点，方法

考点03求线面角2022甲乙卷

是方向向量与法向量的夹角

2020IIIIII卷

2024I卷

求距离问题是高考I卷的一个重大

考点04已知二面角，求2023I卷

趋势，容易与动点问题相结合

点，距离2021I卷

2024甲卷点到平面的距离问题是高考的一个

考点05求点到面的距离

2021I卷重要题型，应加强这方面的练习

分考点•精准练

考点01求空间几何体体积表面积

1.(2023•全国•统考高考甲卷)如图，在三棱锥尸-Z8C中，AB1BC,AB=2,BC=2亚,

PB=PC=46,8尸,/尸,3。的中点分别为2E,。，点尸在ZC上，BFLAO.

A

(1)求证：E尸〃平面M)。；

⑵若NPO尸=120。，求三棱锥尸的体积.

【答案】(1)证明见解析⑵辿

3

【详解】(1)连接。E,。尸，设/厂=〃。，则而=诙+存=(1—)诙+/就，AO=-BA+^BC,

BF1AO,

贝!]而•瓦=[(1_f)茄+tJC]-(-BA+^BC)^(t-l)BA2+；tB(?=4(f-l)+4?=0,

解得则尸为/C的中点，由。,瓦。,尸分别为尸民尸42C,4C的中点，

2

于是DE//AB,DE=LAB,OF"AB,OF=LAB,即DE"OF,DE=OF,

22

则四边形ODEF为平行四边形，

EF/IDO,EF=DO,又EF<Z平面幺。。,。。u平面/。。,

所以及V/平面

(2)过尸作尸M垂直尸。的延长线交于点

因为尸8=PC,。是BC中点，所以「0/8C,

在Rt△尸80中，PB=V6,BO--BC=V2,

2

所以尸。=SJPB2-OB2=7^2=2，

因为AB_L3C,OP〃/5,

所以。尸_LBC,又POcOF=0,2。,。/(=平面尸0尸，

所以BC)平面尸。尸，又PA/u平面尸。尸，

所以BCLPM,5LBCHFM=O,BC,FMABC,

所以尸M_L平面48C,

即三棱锥P-48c的高为PM,

因为NPOF=120°,所以ZPOM=60°,

所以PM=POsin60°=2x@=V^，

2

y.S,=-AB-BC=-x2x2y/2=2^,

/八AZIZRJLC22

2.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱柱中，4CL平面ABC,乙4c2=90。.

(1)证明：平面/CG4,平面34GC；

(2)设AB=A.B,44|=2,求四棱锥&一BBgC的高.

【答案】⑴证明见解析.(2)1

【详解】(1)证明：因为4。，平面48C,5Cu平面N8C,

所以4CLBC,

又因为44。5=90°,即/C/3C,

平面

4C,NCu4CG4,A1CnAC=C,

所以5C1平面4CQ4，

又因为8Cu平面BCC4,

所以平面，平面8CC由.

(2)如图，

因为平面/CC/11平面BCCB,平面ACCXAXn平面BCC\B\=CCt,Afiu平面ACCXAX,

所以4。，平面8CG4，

所以四棱锥4-BBgc的高为4。.

因为4C，平面A8C,NC/CU平面N3C,

所以4CL8C,4c_L/C,

又因为43=BC为公共边,

所以。8c与A48c全等，所以4C=/C.

设4c=AC=x,贝ij4G=x,

所以。为eq中点，oq=；44=i,

又因为4CL/C,所以4c2+NC2=441，

即4+3=22,解得x=&,

所以4。=口0：-0C；=^(V2)2-l2=1,

所以四棱锥4-24GC的高为1.

3.(2022•全国•统考高考乙卷题)如图，四面体N3CD中，AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的

中点.

⑴证明：平面2E0_L平面/CD；

(2)设N8=8O=2,N/C8=60。，点尸在8。上，当的面积最小时，求三棱锥歹-/8C的体积.

【答案】(1)证明详见解析⑵也

【详解】（1）由于/O=CD,E是/C的中点，所以/C_LDE.

AD=CD

由于,所以三△CD2,

ZADB=ZCDB

所以N8=C3,故/CJ.8E,

由于。£cBE=£,DE,BEu平面BED,

所以NC_L平面BE。，

由于/Cu平面/CD,所以平面BED_L平面/CD.

（2）［方法一］:判别几何关系

依题意/2=AD=5C=2,ZACB=60°,三角形48c是等边三角形，

所以NC=2,/E=CE=1,8E=G

由于所以三角形/CD是等腰直角三角形，所以DE=1.

DE2+BE2=BD2-所以

由于/CcBE=E,NC,8Eu平面48C,所以。EJ.平面48c.

由于△408三△CDB,所以NFB4=/EBC,

BF=BF

由于<ZFBA=ZFBC,所以AFBA=^FBC,

AB=CB

所以/尸=CF,所以

由于S/“=；ZC・斯，所以当E尸最短时，三角形/FC的面积最小

过E作垂足为尸，

11/T

在RtZ\2即中，—BE-DE=—BDEF,解得£尸=31

222

13

所以。尸==—,BF=2—DF=—，

22

由“IBF3

所以而=a

FHBF3

过尸作FH_LB£,垂足为〃，则FH//DE,所以W_L平面48C,且——二——=—,

DEBD4

3

所以

4

所以/SFHXX2XX

r—ABC=3-'A.AbBLC'=3-2-^-4=-4-

［方法二］:等体积转换

:AB=BC,ZACB=60°,AB=2

.•.M8C是边长为2的等边三角形，

BE<

连接E尸

•••\ADB三4CDBAF=CF

EF1AC

二在ASEO中，当EFJ.B。时，好FC面积最小

•••AD1CD,AD=CD,AC=2,£为4（7中点

/.CE=1vDE2+BE2=BD2

BE1ED

若EF18。,在ABED中,EF=BEiPE=B

BD2

BF=>jBE2-EF2=-

2

.«1*M13636

..SARFF=—DF•EF=-----------=-----

皿22228

•77TZ、/1Q_13-\/3V3

VF-ABC=，A-BEF+-C-BEF=飞、hBEF'AC=—,.2=

4.（2022•全国・统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示:

底面/BCD是边长为8（单位：cm）的正方形，AEAB,AFBC,AGCD/HDA均为正三角形,且它们所在的平

面都与平面/8CZ）垂直.

(1)证明：EF//平面ABCD；

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

【答案】⑴证明见解析；（2）与g.

【详解】（1）如图所示：

分别取的中点M,N,连接MN,因为AE/8,AEBC为全等的正三角形，所以EM工4B,FN工BC,

EM=FN,又平面£/8_L平面N8CD,平面创8c平面48CD=48,EA/u平面比18,所以平面

ABCD,同理可得平面/BCD,根据线面垂直的性质定理可知EM//7W,而EM=FN,所以四边形

EM2VF为平行四边形，所以EF//MN,又砂.平面/5C。，"Nu平面4BCZ）,所以所〃平面23co.

（2）［方法一］:分割法一

如图所示：

分别取4）,OC中点K,£,由（1）知，EFIIMN旦EF=MN,同理有，HEIIKM,HE=KM,

HG//KL,HG=KL,GFIILN,GF=LN,由平面知识可知，BD±MN,MNVMK,

KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体KMNL-EFGH的体积加上四棱锥B-MNFE体积的

4倍.

因为MN=NL=LK=KM=45，EM=8sin60°=46,点3至U平面脑VFE的距离即为点8至1J直线M7的距

离d,d=2/，所以该几何体的体积

厂=（4应J*46+4x）x4五*4昌2后=128百+苧6=与后

［方法二］：分割法二

如图所示：

连接AC,BD,交于0,连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的4

倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍.容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P,连接APQP.则EH垂直平面

APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积

K=--4V3.（4V2y+4---4V2--45/2-4V3+4---4V3--4V2-4V2=-^^.

31,32323

5.（2021•全国,统考高考乙卷）如图，四棱锥尸-/BCD的底面是矩形，底面/BCD,M为8C的中点,

5.PB1AM.

（1）证明：平面尸4/1.平面P&D；

（2）若尸。=DC=1,求四棱锥P-48co的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）正.

3

【详解】（1）因为尸。，底面/BCD,/Mu平面NBCD,

所以尸。//“，又PBLAM,PBCPD=P,

所以⑷//平面P3D,而/Afu平面P4W,所以平面尸J.平面尸8。.

（2）［方法一］:相似三角形法

/Z）AB

由（1）可知于是AABDS3BMA,故一二——.

ABBM

因为==所以gBC'l,即3C=0.

故四棱锥P—ZBCD的体积忆=」48・2。・尸。=也.

33

6.（2021•全国•高考甲卷题）己知直三棱柱/BC-4耳G中，侧面为正方形，AB=BC=2,E,F分

别为4C和CC,的中点，BF1/田.

C

（1）求三棱锥尸-E8C的体积；

（2）已知。为棱44上的点，证明：BF1DE.

【答案】（1）；；（2）证明见解析.

【详解】（1）由于8/ABHA.B,,所以4B_L8尸，

又ABLBBj,BB、cBF=B,故48人平面8。6；81,

则N3/3C,小8C为等腰直角三角形，

S^BCE=^SAABC=1X[|X2><2^=1,/*C=；*5出〃。尸=31*1=（.

（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体-44G"I，如图所示，取棱/M,5c

的中点〃,G,连结48,8G,G瓦，

正方形BCC4中，G,尸为中点，则5FJ_8Q,

又8尸，&81，4月「8。=与,

故8尸，平面4耳G”,而DEu平面48。〃，

从而BF1DE.

7.（2020•全国•统考高考I卷题）如图，D为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，“8C是底面的内接正三

角形，尸为。。上一点，NAPC=90。.

D

（1）证明：平面PAB1平面PAC；

（2）设。0=后，圆锥的侧面积为公兀，求三棱锥P-ABC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）四.

8

【详解】（1）连接。4。民。。，为圆锥顶点，。为底面圆心，.1O。，平面/8C,

...P在。。上,OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

,.,△4BC是圆内接正三角形，:.AC=BC,△尸/C三APBC,

ZAPC=NBPC=90°,即尸8_LPC,PAPC,

P/nP8=P,.IPC_L平面尸4B,PCu平面尸/c,平面尸48_L平面尸/C；

（2）设圆锥的母线为/,底面半径为「，圆锥的侧面积为）〃匹〃=VL

OD2=l2-r2=2,解得r=l,/=G，/C=2rsin60°=G,

在等腰直角三角形"C中，AP=^-AC=^-,

22

在氏中，PO=yjAP2-OA2=J--1=—,

V42

.•.三棱锥尸的体积为L/BC」PO,SMC=L^X@X3=".

r—ADl^3LXADl^3248

8.（2020•全国•统考高考II卷）如图，已知三棱柱ABC-4B】Q的底面是正三角形，侧面BBQC是矩形，M,

N分别为BC,的中点，P为A/W上一点.过&G和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)证明：AAi//MN,且平面44WML平面EB】GF;

71

(2)设。为的中心，若A0=AB=6,A。〃平面EBQF,且N/WPA/=§,求四棱锥B-EBQF的体积.

【答案】(1)证明见解析；(2)24.

【详解】(1)•；分别为2C,3G的中点，

MN//BB1又AAX//BB,：.MN//AA1

在等边中，”为8c中点，贝

又•.・侧面B8CC为矩形，

BC1BBl-：MN//BBlMN1BC

由=AGV,/Mu平面44W

：.BC工平面A&MN又：B^CJ/BC,且31cl0平面4BC,BCu平面48C,

〃平面/8C

又；B£u平面EBgF,且平面EBgFc平面ABC=EF

：.BXCJ/EFEFUBC

又8C平面A.AMN£尸［平面A、AMN所u平面EBgF

：.平面EB£F1平面A.AMN

(2)过〃•作PN垂线，交点为b,

画出图形，如图

/。〃平面典G尸

AOu平面A{AMN,平面A、AMNc平面EB&F=NP

AOHNP5L--NO//AP

A0=NP=6--。为△44G的中心..ICW=；4Gsin60°=；x6xsin60°=g

故：ON=AP=43,贝lj=3/尸=3后，

平面EBgF±平面A.AMN,平面EBXC{Fc平面A^AMN=NP,

MHu平面AXAMNMH±平面EBgF

ApAPBCV3x6

又•••在等边A/3C中一=——^EF=

BCAMAM373

由（1）知，四边形防夕建为梯形

•••四边形E4G斤的面积为：S四边形EB©F=EF+^'C'-NP=^X6=24

一VB-EBGF=四边形尸.h,

力为“至IJ/W的距离MH=26・sin6()o=3,

厂=」x24x3=24.

3

考点02求二面角

1(2024,全国•高考II)如图，平面四边形48CD中，48=8,CD=3,AD=5y/3,ZADC=90°,

__2_____.___i__

NBAD=30°,点、E,尸满足四=1而，AF=-AB,将△/斯沿斯翻折至尸，使得PC=46.

⑴证明：EF工PD；

⑵求平面PCD与平面PAF所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析⑵返

【详解】(1)^AB=S,AD=5yl3,AE=^AD,AF=^AB,

得/E=2G,N尸=4,又NB4D=30°,在△/£尸中，

由余弦定理得EF=ylAE2+AF2-2AE-AFcosABAD=^16+12-2-4-2A/3-^=2,

所以/£?+£尸2=/歹2,则/E_LE尸，即斯上40,

所以EFJ.PE,EF_LOE,又PERDE=E,PE、OEu平面尸。£,

所以斯上平面POE,又尸。U平面PDE,

故EF_LPD；

⑵连接C£,iZADC=90",ED=3y/3,CD=3,贝l]CE?=ED?+5=36,

在APEC中，PC=4瓜PE=2区EC=6,EC2+PE2=PC1,

所以尸£_LEC,由(1)知PE_LEF,又ECPlEF=E,EC、EFu平面/BCD,

所以PE_L平面48cD,又EDu平面48cD,

所以尸E_LEZ),则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

贝1|£(0,0,0),P(0,0,2V3),0(0,3V3,0),C(3,3V3,0),F(2,0,0),^(0,-273,0),

由尸是48的中点，得8(4,26,0),

所以定=(3,36,-26),PD=(0,373,-273),PB=(4,273,-273),PF=(2,0,-2百),

设平面尸C。和平面PBF的一个法向量分别为"=(X],必,z)机=(x2,y2,z2),

n-PC=3再+3A/3-2-j3zl=0m-PB=4x2+2出y「2A/3Z0=0

则"j一l'L，彳——"L~'

旦•尸。=3j3必-2j3Z]=0[m-PF=2x2-2y/3z2=0

令必=2,%=6，得%=。,2]=3,%=-1,2?=1,

所以1(0,2,3),菊=(G,-1,1),

所以k°s而刮=需=.=筹，

设平面PCD和平面尸3尸所成角为凡则sin0=Vl-cos20=生叵,

65

即平面尸。和平面尸8尸所成角的正弦值为遏.

65

2（2024•全国•高考甲卷）如图，在以N,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形与四边形NZJEF

均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=y/lQ,FB=2y[3,又为4D的中点.

⑴证明：8M//平面CDE；

（2）求二面角尸-的正弦值.

【答案】⑴证明见详解；⑵逑

13

【详解】（1）因为斯=2,/。=4,川为月。的中点，所以BC〃MD,BC=MD,

四边形8CDM为平行四边形，所以的W7/CD,又因为8Mtz平面CDE,

CDu平面CDE,所以8血〃/平面CDE；

（2）如图所示，作8。，/。交/。于O,连接。尸，因为四边形/BCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4,

AB=BC=2,所以CD=2,结合（1）8CW为平行四边形，可得8M=。=2,又AM=2,

所以A/A攸为等边三角形，。为中点，所以。8=6，

又因为四边形4D所为等腰梯形，M为中点，和以EF=MD,EFHMD,四边形MW）为平行四边形,

FM=ED=AF,所以△，下1/为等腰三角形，A/AW■与△，河底边上中点。重合，。尸_L/M,

OF=SIAF2-AO2=3＞因为O^+O尸2=瓦?2,所以_L。尸，所以08,0。,。「互相垂直，

以05方向为无轴，。£＞方向为y轴，。尸方向为z轴，建立。-盯z空间直角坐标系,

*0,0,3）,S（A0,0）,M（0,l,0）,£（0,2,3）,就=卜6,1,0）,而=上百,0,3）,

8£=卜君,2,3）,设平面的法向量为应=（无“九句）,

平面EA"的法向量为元=（%，%/2），

m•BM=0-+必=0

则—即《令X]=C,得必=3,4=1,即沅=（百,3,1）,

布,BF=。—x/3Xj+3Z]—0

n-BM=0Hnf-V3x2+y2=0

则即1r令％2=6,得％=3/2=-1,

n-RE=0—A/3%2+2%+3z2=0

/i-\一一m-n1111AAK

即方=（J3,3,-1）,c°s"?’〃=同?同=屈.而二m，贝bin成4=皆，故二面角尸一的0-£的正弦值为

4g

~w

3.(2023全国•统考新课标II卷)如图，三棱锥4-3C。中，DA=DB=DC,BDLCD,

ZADB=ZADC=60°,E为BC的中点、.

(1)证明：BC工DA；

(2)点尸满足丽=万2，求二面角。-N2-尸的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵心.

3

【详解】(1)连接因为E为8c中点，DB=DC,所以。EJ_8c①，

因为。/=O8=OC,AADB=AADC=60°,所以A/C。与△43。均为等边三角形，

AC=AB,从而8c②，由①②，AEC\DE=E,平面ADE,

所以，8cl平面4DE,而4Du平面4DE,所以8C_L。/.

(2)不妨设DA=DB=DC=2,vBDVCD,:.BC=2&DE=AE=母.

AE2+DE2=4=AD2.AEIDE,又,：AE工BCQEP\BC=E,DE,BCu平面BCD_L平面BCD.

以点E为原点，所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

设D@,0,0),A(0,0,V2),5(0,V2,0),E(0,0,0),

设平面与平面48尸的一个法向量分别为4=(xi,yi,zl),n2=(x2,y2,z2),

二面角0-48-尸平面角为。，而NB=(0,后,-收)，

因为彷=方=卜后,0,力)，所以网-a,0,0)，即有方=卜血,0,0),

bi+J2Z1-0—►

加0,取再=1,所以々=(1,1,1)；

—V2z?=0一

-,取%=1，所以%=(04，1)，

2=0

2V6

所以，Icos^l=

㈣网瘁近—3

所以二面角。-48-尸的正弦值为口.

3

4.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱锥尸-48。中，AB1BC,AB=2,BC=2®，

PB=PC=屈,BP,AP,BC的中点分别为D,E,0,/。=同。，点尸在/C上，BFVAO.

A

(1)证明：〃平面400；

(2)证明：平面4DO_L平面3£F；

⑶求二面角D-40-C的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵证明见解析；⑶e.

2

【详解】(1)连接尸，设4尸=〃。，贝1］丽=茄+而=(1一。曲+f数，AO=-BA+^BC,

BFLAO,

贝U丽•粉=[(1_f)茄+tJC]-(-BA+1sC)=0-l)&42+1tBC1=4(r-l)+4f=0,

由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点,

于是DE/【AB,DE=；AB,OF//AB,OF=^AB,即DEHOF,DE=OF,则四边形ODEF为平行四边形,

EF/IDO,EF=DO,又EF亡平面ADO,DOu平面ADO,

所以班V/平面/DO.

（2）法一：由（1）可知EF〃。。，则/。=的,。0=",^AD=45DO=—,

22

因止匕=?,则。。_L/。，有£F_L/。，

又AOLBF,BFP\EF=F,BF,E尸u平面BEF,

则有/O_L平面AE7"又49u平面400,所以平面40。_L平面AEF.

法二：因为过点A作z轴，平面A4C,建立如图所示的空间直角坐标系,

^（2,0,0,）,S（0,0,0）,C（0,2V2,0）,

3.15

222+

7nnjDB+AB-DA2~1

在△皿中，“BA=2DB-AB=_7T一4

2x2x----

2

在△尸8/中，PA2=PB2+AB2-2PB-ABcosZPBA=6+4-2yf6x2x\--=14,

PA=y/\4（x-2）2+/+z2=14

设尸（x,%z）,所以由尸3=病可得:<x2+y2+z2=6

PC=ax2+^-2-72j+z2=6

可得：x=—l9y=V2,Z=VJ,所以尸卜1,^/5,百）,

则（g，卓方），所以《年¥）尸"M，

40二卜2,后,0）,/。=-eF，F

设平面4D。的法向量为々=（芭,必,马）,

（^-AO=012再+何=0

则,一，得5五百，

nxAD-0——x+——u+^—z,=0

iI212121

令石=1,则必=后,4=百，所以々=（1,后,6）,

设平面AEF的法向量为%=（々，％/2）,

，—►—>.

电•BE=0

则」一,得

n2-BF=0

X2+近丫2-0

令毛=2,则%=_后心=0,所以晨仅，-0,0),

“1•〃2=2x1+5/2x(―+0=0,

所以平面ADO±平面BEF；

(3)法一：过点、。作OH//BF交AC于点、H,^AD[}BE=G,

由/。_L8P,得且=

又由(2)知，OD1AO,则NDO”为二面角。一/O-C的平面角,

因为。,E分别为尸瓦P4的中点，因此G为JAB的重心,

1113

即有。G=—/D,GE=—BE,又FH=—AH,即有D〃=—G尸,

3332

/315

…4+6-PA2L痴

cosZABD=---------J=-=2x°x«，解得PA=A，同理得BE=3~

2X2X~

5

于是BE?+EF?=BF2=3,即有尸，则GF?

3

从而6=浮,。"=|,浮=孚

在―中，*洌邛3邛,如半

62_12

于是cosNDOH='京友=一孝,sinZDOH=£

一2

2x——x-!——

22

所以二面角D-/O-C的正弦值为YZ.

2

p

n

G

B

法二：平面40。的法向量为4

平面/CO的法向量为%=(o,o,i)，

3

所以cos伊%片

«1-«3

因为乐为”［。,兀］,所以sin,%)=J1-cos?V2

2

故二面角。-Z。-C的正弦值为注.

2

5.(2022・全国•新课标I卷)如图，直三棱柱4BC-4耳G的体积为4,4/田。的面积为2收.

⑴求/到平面&BC的距离;

⑵设。为4c的中点，AAl=AB,平面平面求二面角。的正弦值.

【答案】⑴亚吟

【详解】(1)在直三棱柱Z8C中，设点/到平面42c的距离为队

则匕ARC=L$ARC，k=—■h=V,4RC4

-S-A.A=-V

A—4[力C334]-ABC3AADBCC.13AADBt9I-481G.3

解得力=拒,

所以点4到平面48c的距离为亚；

(2)取48的中点E,连接NE,如图，因为虫=/2,所以“石工/田,

又平面AtBC1平面ABB.A,,平面ABCc平面ABB^=A1B,

且/Eu平面4844，所以NEL平面4BC,

在直二棱柱48C-44cl中，AB〕_L平面48C,

由2Cu平面42C,2。匚平面48。可得/£_13。，BBJBC,

又AE,BBXu平面ABBXAX且相交，所以3C/平面ABBXAX,

所以2C,A4,2巴两两垂直，以2为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得/£=行，所以44]=45=2,A1B=2g,所以BC=2,

则/(0,2,0),4(022)3(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点D(LU),

则BD=(1,1,1),BA=(0,2,0),芯=(2,0,0),

设平面43。的一个法向堇加=(x,y,z),贝叫力，

'/)[m-BA=2y=Q

­/、一/、「五，BD=a+b+c=0

可取加=(1,0,-1),设平面助。的一个法向量〃=(a,b,c),贝以一方，

[n•BC=2a=0

一/---\m-n11I77

可取〃=(0』,-l),则cos(a,|编剧=夜x6=5'所以二面角/-5D-C的正弦值为、“一卜

6.(2022全国•统考新课标II卷)如图，尸。是三棱锥P-48C的高，PA=PB,AB1AC,E是尸8的中点.

(1)证明：OE//平面尸4C；

(2)若//BO=/C8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-4E-8的正弦值.

【答案】⑴证明见解析⑵《

【详解】(1)证明：连接8。并延长交/C于点。，连接。么、PD,

因为尸。是三棱锥尸-48C的高，所以尸。/平面/8C,AO,BOcz^ABC,

所以PO_L/。、PO1BO,

又PA=PB,所以304三APOB,即。N=OB,所以NO48=NOA4,

又ABJ.AC,即Z8/C=90。，所以NCM8+NO/£>=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以/OD1=/O4D

所以/。=。。，即/。=。。=。3,所以。为AD的中点，又£为依的中点，所以OE//PD,

又。£0平面尸/C,PZ>u平面尸NC,

所以0E〃平面尸/C

（2）解：过点A作4z〃OP,如图建立空间直角坐标系，

因为尸。=3,AP=5,所以0/=JAP?-P0。=4，

又NOBA=ZOBC=30°,所以8。=2。/=8,贝iJ/D=4,AB=4y/3,

所以4c=12,所以。（2人,2,0）,5（473,0,0）,尸（2。,2,3）,C（0,12,0）,

所以E（36,l,1）,

贝ljAE=,AS=（473,0,0）,衣=（0,12,0）,

元.亚=36+>>0,令-2,则-3,x=。，所以

设平面ZEB的法向量为〃=（x,y,z）,贝!!<

n-AB==0

n=（0,-3,2）；

则卜亚=3儡+">。

设平面AEC的法向量为加=（〃,b,c）

m-AC=12b=0

令a=M1则c=-6,6=0,所以加=；

n-m_-12_46

所以cos（凡加

„Vr3xV3913.

4V3

设二面角c-/£-8的大小为e,则|cosq=卜05（n,m

13

所以sind=Jl—cos2/=!，即二面角C-/E-8的正弦值为?.

7.（2021•全国,统考高考乙卷）如图，四棱锥P-23C。的底面是矩形，如，底面/BCD,PD=DC=1,M

为8c的中点，且尸.

（2）求二面角/-PM-8的正弦值.

【答案】（1）V2;（2）场

14

【详解】（1）［方法一］:空间坐标系+空间向量法

•.•尸平面/BCD,四边形/BCD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.DC、。尸所在直线分别为x、

＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-肛z,

设BC=2a,则。(0,0,0)、尸(0,0,1)、8(24,1,0)、M(a,l,0)、4(20,0,0),

则旃=(2a,l,—1),AM=(-a,1,0),

PB1AM,贝I丽.旃=一2/+1=0，解得q=故BC=2a=。,

2

［方法二］【最优解】：几何法+相似三角形法

如图，连结AD.因为尸D_L底面/BCD,且/Mu底面/BCD,所以

又因为尸8_L4W,PBCPD=P,所以平面PBZ».

又80u平面尸8。，所以/M_LAD.

从而ZADB+ADAM=90°.

因为NMAB+ADAM=90°,所以NMAB=NADB.

A］~)RA1

所以“DBSABAM,于是F==.所以：5。2=1.所以3。=也.

ABBM2

［方法三］:几何法+三角形面积法

如图，联结8。交于点N.

由［方法二］知AM1.DB.

ANDA2

在矩形/BCD中，有ADANS^BMN,所以——=——=2,gpAN=-AM.

MNBM3

令BC=2(>0),因为M为8C的中点，则=DB+1，AM+T.

由S，D4B=gD4•4B=；DB,4N,得/=；+1,解得/=；,所以gc=2f=板.

(2)［方法一］【最优解】：空间坐标系+空间向量法

设平面的法向量为比=(4M，zJ,则孤=［孝,1,0,AP=(-72,0,1),

r—72

由21Z1,取匹=Q,可得而=(j2J2),

m-AP=一6%］+4=0

设平面尸瓦1/的法向量为万两=-空,0,0,5P=（-V2,-1,1）,

取为=1，可得力=（0,1,1）,

m-n33A/14

cos（涌力=,所以，sin（沅，力=J1一cos2（沅,力）二

网•同一乃义亚—14

因此，二面角/-尸的正弦值为场.

14

［方法二］:构造长方体法+等体积法

如图，构造长方体/BCD-&耳CQi，联结/昂4凡交点记为〃，由于/用工/田，所以AHL

平面48cA.过〃作2M的垂线，垂足记为G.

联结NG,由三垂线定理可知

故乙4GA为二面角/-的平面角.

易证四边形是边长为正的正方形，联结HM.

SAD'HM=3口2,HG,S&D、HM=$正方形4加0—SAR&H-SAHBM-SAMCD、1

由等积法解得》G=2低.

10

在用小〃G中，AH=~,HG=^^~,由勾股定理求得/G=叵.

2