人教版八年级数学下册期末必刷题4（压轴选填60题12个考点专练）解析版

人教版八下期末真题必刷04（压轴选填60题12个考点专练）

动点问题的函数图象（共4小题）

1.（2023春•海安市期末）如图1,口/2C。中，Zr>=150°,两动点N同时从点/出发，点M在边48

上以2c加/s的速度匀速运动，到达点3时停止运动，点N沿/-D-C-8的路径匀速运动，到达点3时停

止运动.AAW的面积S（an［）与点N的运动时间f（s）的关系图象如图2所示，已知48=4cw,则下列说法

正确的是（）

①N点的运动速度是kro/s；

②AD的长度为3cm；

③。的值为7；

④当S=1c/时，/的值为五或9.

【分析】由点”的速度和路程可知，/=2时，点”和点8重合，过点N作NEL4B于点E,求出NE的

长，进而求出NN的长，得出N点的速度；由图2可得当仁3时，点N和点。重合，进而可求出的长;

根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当S=lc加2时，有两种情况，根据图象分

别求解即可得出结论.

【解答】解：：48=4加，点”的速度为2cm/s,

当点M从点/到点B,用时7=4+2=2（s）,

当，=2时，过点N作NELN8于点E,

在口N3CD中，ND=150°,

Z.A=30°,AB=CD=4cm，

AN-2NE=2cm,

，N点的运动速度是1c加/s；故①正确；

.•.点N从。到C,用时"4s,

由图2可知，点N从4到。用时3s,

/.AD=3cm,故②正确；

q=3+4=7（s）,故③正确；

当点〃未到点5时，过点N作于点

:.S=-AM-NE=--2i--t=l,

222

解得％=行，负值舍去；

当点N在5c上时，过点N作48交延长线于点尸，

-,NF=-BN=5--t，

22

S=-AB-NF=^x4x(5-1r)=1,

解得，=9，

.•.当S=lc«?时，f的值为正或9.故④正确；

故选：D.

【点评】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含30。直角三角形的性质，熟练掌握各图形

的性质，分别列出关于/的方程是解题的关键.

2.（2023春•望奎县期末）如图，边长为2的等边AABC和边长为1的等边它们的边8C,B'C

位于同一条直线/上，开始时，点C'与点8重合，A48c固定不动，然后把△HB'C'自左向右沿直线/平移,

移出A48C外（点9与点C重合）停止，设平移的距离为x,两个三角形重合部分的面积为y,

则y关于x的函数图象是（）

AfAf

A/公

B'B(C')B'CC'1

A.。[123B.O\TT

h41

C.。「12>，xD.0[^

【分析】分为0<%，1、1<%，2、2<%,3三种情况画出图形，依据等边三角形的性质和三角形的面积公式,

求得〉与X的函数关系式，进而求解.

【解答】解：如图1所示：当0<x,1时，过点。作。

B'BECC

副

•••NABC和△4夕。均为等边三角形，

.•.AT>8。为等边三角形.

・•,DE=RBC=%.

]h

:.y=-BCDE=—x2.

24

/?

当x=l时，y=^,且抛物线的开口向上.

4

如图2所示：1<匕2时，过点H作夕。，垂足为E.

/4\

BB,ECC

图2

.•.函数图象是一条平行于X轴的线段.

如图3所示：2<X,3时，过点。作DE_LQC,垂足为E.

y=-B'CDE=^（x-3）2,函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上.

-24

故选：C.

【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键.

3.（2023春•丰台区校级期末）如图，扇形的半径。4=6,圆心角//O2=90。，C是就上不同于4、

2

B的动点，过点C作CD，。/于点。，作CELO3于点E,连接。£,点〃在线段上，且E8=—.设

3

EC的长为x,ACE”的面积为y,选项中表示y与x的函数关系式的图象可能是（）

【分析】根据已知得出四边形ODCE是矩形，再根据矩形的性质得出。E=OC=6,进而得出9=4,

HD=2,从而得出C£=x,EF=-x,表示出尸77的长，进而得出ACE”的面积，根据图象得出符合要求

3

的图象.

【解答】解：连接。C,作HFLEC于一点厂，

•.,扇形O4S的半径。4=6,圆心角乙4。8=90。，。。，。么于点。，

CELOB于点、E,

二.四边形ODCE是矩形,

DE=OC=6,

'：EH=-DE,

3

;.EH=4,HD=2,

_12,36--

••^&CEH=5*-X,

x^36-x1

3

A.结合解析式得出只有4图象符合要求;

■：B.图象是一次函数与二次函数一部分，

二.不符合上面解析式，故此选项错误；

vC.是反比例函数图象，

二.不符合上面解析式，故此选项错误；

■：D.图象是两部分一次函数，

二.不符合上面解析式，故此选项错误.

故选：A.

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，得出函数解析式进而得出符合要求的图象是解决问题的关

键.

4.（2023春•岳阳县期末）如图①，在矩形MNP0中，动点R从点N出发，沿NrPfQrM

方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x,AMM?的面积为y,如果y关于x的函数

图象如图②所示，则矩形尸0的面积是，

o

【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解.

【解答】解：由图象可知，x=4时，点R至u达尸，x=9时，点R至U。点，则PN=4,QP=5

：.矩形MN尸0的面积是20.

【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变

化.解答时，要注意数形结合.

二.一次函数图象上点的坐标特征(共8小题)

5.(2023春•岚山区期末)如图放置的△O48,与4,△4与4，…，纥4+1，都是以4，4,

4，…，4为直角顶点的三角形，点4，4，4，…，4都在直线>=区上，

=44=44=…=44+1，点8在y轴上，02=2,,则点与必的坐

OB=A1B1=A2B2=...=AnBn

A.(1012,1012>/3)B.(2024,202473)C.(202473,4048)D.(101273,3038)

【分析】由应定理可证明各直角三角形全等，进而证明O8//4⑸//4生//…//44.由三角函数求出

4的横坐标，由了=&求出其纵坐标，进而求出用的坐标.同理，可求出生、鼻的坐标，由规律写出

8”的坐标，是关于〃的代数式，从而求出当"=2024时3,的坐标.

【解答】解：

OAt=AXA2==...=AnAn+l,OB=AtBt=A2B2=...=AnBn,

Rt△OAXB=Rt/\ARA=五，△A2B2A3=...=•△AnBnAn+l.

】=

/BOA=/BZAA=…=Z.BnAnAn+x.

/.OB11AXBX/IA2B2I/.../IAnBn.

•・•里（90。-ZBOAJ=上=也，

x

90°-ABOAX=60°,

/BOA】=30。.

/.OA,=O5cos30°=2x——=唐,

12

.•.点4的横坐标为O4-sin3（r=Gx；=等，纵坐标为百x*=|,即4（，，|）.

.•.点4的横坐标为纵坐标为g+2=（,即耳（与，1）.

同理，4（百，3）,与（6，5）；&（竽，|）,四（孚，^）；•••

，用（'，（），,5）,%…B”（与"，2+|-«）•

.•.当“=2024时，—X2024=1012V3,2+-x2024=3038,

22

.•..（10126,3038）.

故选：D.

【点评】本题考查一点的坐标及一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键通过点司、鸟、员的坐

标找到规律，将以坐标表示为"的代数式.

6.（2023春•青山区期末）如图，已知点P（6,2）,点M,N分别是直线4:y=x和直线4"=gx上的动点，

连接PM,MN.贝!1PM+MV的最小值为（）

A.2B.275C.V6D.273

【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形O48C,得点尸关于4:y=x的对称点P（2,6）,连接PM,P'N,

飒PM+MN=P'M+MN..PN,当且仅当P,M,N三点共线时，PM+MN=P'N,即尸M+MV的最

小值为PN的长，根据点到直线，垂线段最短，过点P（2,6）作PN垂直直线/2：y=gx于点N,即PNLOH

于点N,交直线4：y=x于点“，此时PN最小，利用等积法求出PN的长即可.

【解答】解：如图，在正方形O48C中，0C=CB=BA=AO=6,

•.・直线4:y=x经过点。(0,0),2(6,6),

直线ll-.y=x是正方形OABC的对称轴，

•.•点尸(6,2)在上，

可得点P关于4:y=x的对称点P(2,6),

当x=6时，y=—x=3,

•2

即直线:y=gx经过点8(6,3),

过点P(2,6)作PN垂直直线：y=；x于点N,即PNLOH于点N,交直线(：、

x于点M，

V尸(6,2)和P'(2,6)关于关于《：y=x对称,

PM=P'M,

PM+MN=P'M+MN=P'N,IPPM+MN的最小值为PN的长，

OH=A/62+32=3A/5，

=-OHP'N=^-P'N

.Q&POH22

S"OH=S正方形0Z8C_S"OA~S"BH_SbcOH=6x6-—x2x6-—x4x3-—x6x3=15,

222

...孚…,

解得P'N=2A/5，

PM+MN的最小值为26，

故选：B.

【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相

关性质和数形结合是解题的关键.

7.(2023春•南部县校级期末)如图，已知直线=乎x+卮分别交x轴、》轴于点5、Z两点，C(3,0),

D、E分别为线段/。和线段4C上一动点，交》轴于点H,且=当5Q+8E的值最小时，则

A.(0,等)B.(0,5)C.(0,4)D.(0,755)

【分析】首先证明4B=4C=8,取点/(3,8),连接CP,EF,BF.由A£C产三S45(S4S),推出M,

推出5。+8£=8£+斯，因为BE+EF..BF,推出BQ+BE的最小值为线段8月的长，推出当B,E,F

共线时，5O+8E的值最小，求出直线5厂的解析式即可解决问题.

【解答】解：由题意4(0,后)，5(-3,0),C(3,0),

AB=AC=8,

取点尸(3,8),连接W,EF,BF.

vC(3,0),

:.CF//OA,

NECF=ZCAO,

AB=AC,AOLBC,

ZCAO=ABAD,

/.ABAD=NECF,

在£CF和AD/5中，

CF=AB=S

</BAD=ZECF,

AD=EC

\ECF=\DAB(SAS),

:.BD=EF,

BD+BE=BE+EF,

■：BE+EF...BF,

:.BD+BE的最小值为线段BF的长，

.•.当8,E,尸共线时，3D+3E的值最小，

4

•.•直线AF的解析式为：y=-x+4,

3

当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为(0,4),

故选：C.

【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决

问题，属于中考选择题中的压轴题.

8.(2023春•潮南区期末)如图，一次函数y=x+4的图象分别与x轴、y轴交于/,B两点,过原点。作

垂直于直线48交48于点4，过点4作4瓦垂直于x轴交x轴于点及，过点用作44垂直于直线48

交48于点4，过点4作垂直于x轴交x轴于点鸟…，依此规律作下去，则点4的坐标是()

【分析】根据一次函数y=x+4的图象分别与X轴、y轴交于4-4,0),3(0,4),可得A4O8是等腰直角三

角形，进而得出四边形48QC是正方形，可求出点4的坐标，进而可以得出四边形4与与。，四边形

4耳与石也是正方形，求出点4的坐标，点4的坐标，根据点4，点4，点4的坐标呈现的规律，可以得

出点4的坐标.

【解答】解：过4、4、4、…分别作4c，BO，A,D±4A'A3E1AiBi-…垂足分别为c、D、E、

•••一次函数y=x+4的图象分别与X轴、y轴交于/（-4,0）,3（0,4）,

OA=OB=4,

OAX_LAB,

NAQB=NOBA=NOAB=45°,

;.OC=A.C=BC=-OB=2,

12

可得四边形4耳。c是正方形，

同理可得四边形4生与。，四边形4质与石也是正方形，

.•.点4（-2,2）,即，4（-2\,2）,

可求4。=AB2==1，

.•.点4（一2—1,1）,即，4（-2'-2°，2°）,

同理4（-2-1一3，；）,即，4（-21-2°-2-，2-），

23

4（-2-1-1-^-1,；）,即，A5（-2'-2°-2-1-2--2-,2方，也就是（一2，

故选：D.

【点评】考查一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形、正方形的性质，点的坐标与线段长度之

间的互相转化是解决问题的关键.

9.（2023春•德城区校级期末）如图，平面直角坐标系中，直线/:了=-百尤+2G分别交x轴、y轴于点B、

A,以N8为一边向右作等边A48C,以N。为一边向左作等边A4。。，连接。C交直线/于点E.则点E的

坐标为（）

【分析】求出点C、点D的坐标，得到。的表达式，将CD的表达式与直线/的表达式联立，即可求解.

【解答】解：y=_拒x+2班①,

令x=0,贝!Jy=2G，令y=0,贝！］x=2,

故点4、8的坐标分别为：（0,25（2,0）,

即OS=2,AO=26=OD,贝(1/3=4=3。，

AC)7-

tan/LABO=——=J3,故ZABO=60°,

BO

而AABC为等边三角形，则3C与x轴的夹角为180。-乙伤。-乙42。=180。-60。-60。=60。，

则=SCsin60°=4x—=2A/3,

c2

xc=xB+BCcos60°=2+4x；=4,

故点C(4,2V3),

同理可得点。的坐标为：（-3,百），

,百

k=——

设直线的表达式为则一弘+'

COy=fcv+6,，解得:7

[245=4k+b,106

7

故直线C。的表达式为：y=@x+竺也②,

77

联立①②并解得：x=i,丫=巫

22

故点E的坐标为：（；，孚）,

故选：A.

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是求出点。、。的坐标，进而求解.

10.（2023春•永定区期末）如图，过点4（1,0）作X轴垂线交直线y=x于点/以4耳的长为边在月内右侧

作正方形4耳。14；延长4G交直线y=x于点层，以A2B2的长为边在4与右侧作正方形A2B2C2A3；延长

4c2交直线y=x于点名，以44的长为边在4名右侧作正方形483c34……则c?。?。的坐标为（）

A.(22020,22019)B.(22020,22020)

C.(22019,2刈，D.(2刈32刈3

【分析】由点4（1,0）作x轴垂线交直线y=x于点与，求出片（1,1）,再以耳⑸的长为边在4片右侧作正方形

44G4，求出G（2,l）,同理求出。2（4,2）,C3（8,4）,即可得出规律求出C2020的坐标.

【解答】解：■.・过点4（1,0）作x轴垂线交直线y=x于点与，

，四（1,1），

•••以AXBX的长为边在4片右侧作正方形481G4，

，G(2,1),

同理，可得。2（4,2）,。3（8,4），

，。②侬的坐标为⑵侬，22019）,

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数，通过求出前三个点C的坐标找出规律是解决本题的关键.

11.（2023春•宝清县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数＞=2彳和》=-》的图象分别为直线12,

过点0,0）作X轴的垂线交乙于点4,过点4作7轴的垂线交于点4，过点4作X轴的垂线交/1于点4，

过点4作》轴的垂线交4于点4，…依次进行下去，则点4g的坐标为_（-2诬_2研）_.

【分析】根据题意，先求得前至少8个点的坐标，然后找到规律即可.

【解答】解：当x=l时，y=2,

.•.点4的坐标为（L2）；

当y=-x=2时，x=-2,

.•.点4的坐标为（-2,2）；

同理可得4(一2,-4),4(4,一4),4(48)，4(-8,8),4(-8,-16),^8(16,-16)

...4+C),

2+,2+,

A4n+2(-2",2"),

2+12+2

4„+3(-2",-2"),

4“+4(22"+2,-222)(〃为自然数),

2022=505x4+2,

505x2+1

:.点4O22的坐标为(-2.2505*2),

即点小嫡的坐标为（一*匕21011）.

故答案为：（-2皿,21011）.

【点评】本题考查的是坐标系中点的规律，解题的关键是对前几个点作出分析，找到规律.

4

12.（2023春•清河区校级期末）如图，正方形O/BC的对角线03在直线y=上，点/在第一象限.若

正方形O/8C的面积是50,则点A的坐标为_(1,7)

【分析】如图作。9_LO3,交A4的延长线于尸，作的W_Lx轴于M,FV_Lx轴于N.首先证明ASOF是

等腰直角三角形，可得/8=//，求出3、歹的坐标即可解决问题；

【解答】解：如图作。尸_L03,交加的延长线于尸，作8M_Lx轴于引V_Lx轴于N.

•.•四边形48CD是正方形,

ZOBA=45°,

ZBOF=90°,

是等腰直角三角形，

OB=OF,

由A5(W=ACW,可得BM=ON,OM=FN,

正方形OABC的面积是50,

.-.05=10,

,4

二，点B在直线y=_］上，

.•.8(—6,8),F(8,6),

...BA=AF,

4(1,7),

故答案为(1,7)

【点评】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

三.待定系数法求一次函数解析式（共3小题）

7

13.（2023春•定州市期末）如图所示，直线y=]X+2分别与x轴、y轴交于点/、B,以线段为边,

在第二象限内作等腰直角A45C,NA4c=90。，则过8、C两点直线的解析式为（)

A.y——x+2B.y——x+2C.y——x+2D.y=-2x+2

【分析】过。作CM垂直于X轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及4c=4B,

利用//S得到三角形/CN与三角形加。全等，由全等三角形对应边相等得到CA/=CM,AM=OB,由

4W+O/求出。”的长，即可确定出C坐标，然后根据待定系数法即可求得过8、。两点的直线对应的函

数表达式.

【解答】解：对于直线丁=§、+2,令x=0,得到＞=2,即5（0,2）,OB=2,

令＞=0,得至l」x=—3,即4（—3,0）,OA=3,

过C作CM_Lx轴，=ZBOA=90°,

:.ZACM+ZCAM=90°,

•.•AA8C为等腰直角三角形，即NA4C=90。，AC=BA,

ZCAM+ZBAO=90°,

ZACM=ZBAO,

在AG4M和NABO中,

ZAMC=NBOA=90°

<ZACM=NBAO

AC=BA

:.\CAM=\ABO{AAS),

AM=OB=2,CM=OA=3,即OM=OA+AM=3+2=5,

/.C(-5,3),

设直线5C的解析式为y=Ax+6，

•・・5(0,2),

b=2

-5k+b=3

解得

.•.过3、C两点的直线对应的函数表达式是y=-《x+2.

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定

与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键.

14.（2023春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，8为x轴上一点，菱形/O5C的边

长为2,乙4OB=60。，点D是OB边上一动点（不与点。，8重合），点E在8c边上，且下列

结论：

①AAOD三AABE；②NADE的大小随点。的运动而变化；

③直线8C的解析式为>=岳-26；④。E的最小值为6.

其中正确的有①③⑷.（填写序号）

【分析】根据菱形NO5C的边长为2,ZAOB=60°,可得A4O3为等边三角形，又OD=BE,可证

\AOD=NABE；由A4OD=AA8E,可以证出A4DE为等边三角形，所以N/DE大小不变；求出B,C的

坐标可以求出直线8C的解析式为了=屈-26；根据垂线段最短，当时有最小值百.

【解答】解：•.•菱形NO3C的边长为2,ZAOB=60°,

AAOB,A42c为等边三角形，2（1,6），

OD=BE,ZAOD=NABE=60°,

\AOD=\ABE,(故①正确)，

ZOAD=NBAE,AD=AE,

NOAB=ZDAE=60°,

A4OE为等边三角形，

NADE=60°,

ZADE的大小随点D的运动是不变化的，(故②不正确)，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

•••115(2,0),C(3,同

y=V3x-2A/3(故③正确)，

根据垂线段最短，

当4D工OB时AD有最小值V3,

的最小值为6，(故④正确).

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明

确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

15.(2023春•德州期末)如图，四边形/BCD的顶点坐标分别为4-4,0),5(-2,-1),C(3,0),D(0,3),

当过点8的直线/将四边形/BCD分成面积相等的两部分时，则直线/的函数表达式为=+

"42

【分析】根据题意画出直线3",再设解析式，代入点坐标，分别求出。C和得解析式，根据铅垂高x水

平宽+2等于ASMC的面积，即可求出加的值，再代入2、”点坐标即可求出解析式.

【解答】解：如图所示，作直线8M交CD于点过点"作轴，交BC于点、N.

y

设直线BM将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，

设直线DC的解析式为y+4,代入点。(0,3),C(3,0),

得y=­x+3,

设直线8c的解析式为>=左/+4，代入点8(-2,-1),C(3,0),

得了=4一3,

55

、13

设M(冽，一冽+3),则N(加加一?，

(4+3)x3(4+3)X1

•.•四边形ABCD的面积为S=SMDC+SMBC=+=14,

/\riiDL22

13

S耶MC=(—m+3——+-)x5+2=7,

,2

解得m=—,

3

Af点坐标为(g,：),

27

设3M的解析式为y=fcr+6，代入B(-2,-l)和

解得4,

b=>

[2

53

BM的解析式为7=-x+-.

【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出A5MC的面积是解决本题

的关键.

四.一次函数的应用（共4小题）

16.（2023春•辛集市期末）容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量

都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽.现水池内有水250升,

先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完.这一过程中蓄水池中的蓄水量y（升）随

时间x（分）变化的图象是（）

【分析】根据实际意义进行图象的判断，注意特殊点的寻找.

【解答】解：因为进水速度是1500+30=50升/分，单开出水管20分钟可把满池的水放尽，则出水速度是

1500+20=75升/分，

所以先打开进水管10分钟，水池中有250+50x10=750升的水，两管同时开放，直至把水池中的水放完共

用了750+（75-50）=30分钟，

故10+30=40（分钟）

故选：A.

【点评】本题主要考查了根据实际意义读图的能力.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函

数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.

17.（2023春•抚顺县期末）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从/地出发前往8地，

甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟.甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行,

经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往2地.在此过程中，甲、乙两人相距的路程»（单位:

M与甲骑行的时间x（单位：加"）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（）

A.甲的骑行速度是250〃?/B.A,8两地的总路程为22.5左〃?

C.乙出发60加"后追上甲D.甲比乙晚5加"到达8地

【分析】根据函数与图象的关系以此计算即可判断.

【解答】解：甲5加"骑行1250机，故速度为1250+5=250加，

故/正确；

设乙的速度为xmlmin，则有20x250-15x=2000，

解得：x=200,

乙的速度为200机/min,

甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即1.5x200=300机继续骑行，

乙先到达3地，

由题意可得48两地的总路程为15x200+（85-20）x300=22500w=22.5km,

故B正确；

乙出发切”〃后追上甲，

贝1|（1+5）x250=15x200+（-15）x300,

解得/=55,即乙出发55加"后追上甲，

故。错误.

85min甲的路程为85x250=21250。〃），

甲比乙晚------------=5min到达B地，

250

故。正确.

故选：C.

【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题.

18.（2023春•新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度

匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向

终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间x（秒

）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有50米.

【分析】乙从开始一直到终点，行1000米用时200秒，因此乙的速度为1000+200=5米/秒，甲停下来，

乙又走150+5=30秒才与甲第一次会和，第一次会和前甲、乙共同行使150-30=120秒，从起点到第一次

会和点的距离为5x150=750米，因此甲的速度为750+120=6.25米/秒，甲行完全程的时间为

1000+6.25=160秒，甲到终点时乙行驶时间为160+30=190秒，因此乙距终点还剩200-190=10秒的路程，

即10x5=50米.

【解答】解：乙的速度为：1000+200=5米/秒，从起点到第一次会和点距离为5x150=750米，

甲停下来到乙到会和点时间150+5=30秒，之前行驶时间150-30=120秒，

甲的速度为750+120=6.25米/秒,

甲到终点时乙行驶时间1000+6.25+30=190秒，

还剩10秒路程,即10x5=50米，

故答案为50米.

【点评】考查函数图象的意义，将行程类实际问题和图象联系起来，理清速度、时间、路程之间的关系是

解决问题关键.

19.（2023春•禹城市期末）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的/,8两处同时

出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开4处后行走的路程y（单位：加）与行走时间x（单位：min）

的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：小）与甲行走时间x（单位：加"）的函数图象，则-6=

£

2~'

图2

【分析】从图1，可见甲的速度为与=60,从图2可以看出，当x=g时，二人相遇，即：（60+吃）xg=120,

解得：乙的速度七=80,乙的速度快，从图2看出乙用了6分钟走完全程，甲用了。分钟走完全程，即可

求解.

【解答】解：从图1，可见甲的速度为17什0=60,

2

从图2可以看出，当》=^时，二人相遇，即：（60+^）x|=120,解得：乙的速度％=80,

•.•乙的速度快，从图2看出乙用了6分钟走完全程，甲用了。分钟走完全程,

,1201201

a-b=--------

60802

故答案为;.

【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法

求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间X速度.

五.一次函数综合题（共2小题）

20.（2023春•和平区校级期末）如图，直线尸-7+6分别与x、y轴交于点/、8,点C在线段CM上,

线段03沿8C翻折，点。落在N8边上的点。处.以下结论：

①/8=10；

②直线BC的解析式为y=-2x+6；

③点D咛，y）；

④若线段BC上存在一点尸，使得以点P、O、C、。为顶点的四边形为菱形，则点尸的坐标是（?，（）.

正确的结论是（）

C.①③④D.①②③④

【分析】先求出点4,点B坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；由折叠的性质可得。2=2。=6,

OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,由勾股定理可求OC的长，可得点C坐标，利用待定系数法可求3C解

析式，可判断②；由面积公式可求。X的长，代入解析式可求点。坐标，可判断③；由菱形的性质可得

PDHOC,可得点尸纵坐标为上，可判断④，即可求解.

5

【解答】解：・.•直线＞=-；x+6分别与工、歹轴交于点/、B,

.•.点4（8,0）,点5（0,6）,

OA-8,OB=6,

AB=yiOB-+OA2=V64+36=10,故①正确；

•.,线段08沿3C翻折，点。落在N8边上的点。处,

OB=BD=6,OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,

AD=AB-BD=4,

AC2=AD2+CD2,

(8-OC)2=16+OC2,

OC=3,

.•.点C(3,0),

设直线5C解析式为：y=kx+6,

0=3左+6,

/.k——2,

二.直线5c解析式为：y=-2x+6,故②正确;

如图，过点。作。H_L4C于〃，

:.CA=5,

■：S.,cn=-ACxDH=-CDXAD,

端CD22

55

当12叶123A

554

24

.0.x=—,

5

点。(g,y),故③正确；

•.•线段3C上存在一点P,使得以点P、。、C、。为顶点的四边形为菱形，且。C=CD,

PDHOC,

19

.•.点P纵坐标为上，故④错误，

5

故选：B.

【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性

质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

21.(2023春•禹城市期末)如图，已知点/是第一象限内横坐标为2省的一个定点，轴于点”，

交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，ZAPB=30°,BA±PA,则点P在线段ON上运

动时，/点不变，3点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点3运动的路径长是—272

c

【分析】（1）首先，需要证明线段练片就是点3运动的路径（或轨迹），如答图②所示.利用相似三角形可

以证明；

（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△/纭纥S&4ON,求出线段纭纥的长度，即点8运动的路径

长.

【解答】解：由题意可知，。河=26，点N在直线y=r上，NCLx轴于点则AOMN为等腰直角

三角形，ON=41OM=V2x273=276.

如答图①所示，设动点P在。点（起点）时，点8的位置为线，动点P在N点（终点）时，点B的位置为

B"，连接B°B,

­：AO±AB0,AN±ABn,ZOAC=NB°AB”,

又：48。=/CMan30°,48“=NN・tan30°,AB0:AO=ABn:AN=tan300（此处也可用30°角的及△三边

长的关系来求得），

△AB0Bn^\AON,且相似比为tan30。,

-0N加30。=2痣x事=2班.

现在来证明线段纭纥就是点8运动的路径（或轨迹）.

如答图②所示，当点尸运动至ON上的任一点时，设其对应的点3为瓦，连接4P,ABt,B°B，

■：AO_LAB0,AP1ABi,NOAP=AB0ABi,

又•••AB0=AO-tan30°,ABt=/尸・tan30°,AB0:AO=ABi:AP,

：.△AB0B^\AOP,AAB0Bi=NAOP.

又­,■△ABaBn^\AON,NAB°B"=NAOP,

ZAB0Bi=ZAB0Bn,

.•.点4在线段线纥上，即线段纥片就是点5运动的路径（或轨迹）.

综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段纬纥，其长度为2亚.

故答案为：2亚.

【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大.本题的要点有两个：首先，确

定点2的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关

系求出点2运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中.

六.勾股定理的证明（共2小题）

22.（2023春•东西湖区期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形N8CD与正方形

EFGH.连结EG,2。相交于点。、2。与相交于点尸.若GO=GP,则黑也的值是（）

A.1+B.2+A/2-C.5—V2D.—

【分析】先证明A5PG三ABCG(/£4),得出尸G=CG.^lOG=PG=CG=x,则£G=2x,FG=瓜,再

由勾股定理得出3。2=（4+2/即可得出答案.

【解答】解：•.•四边形斯G8为正方形,

/.ZEGH=45°,/FGH=90°,

OG=GP,

ZGOP=ZOPG=67.5°,

/./PBG=22.5°,

•・•NDBC=45°,

:.ZGBC=22.5°,

ZPBG=AGBC,

•・•ZBGP=ZBGC=90°,

在MPG和ABCG中，

/PBG=ZCBG

<BG=BG,

/BGP=/BGC=90。

\BPG=\BCG{ASA),

/.PG=CG.

设OG=PG=CG=x,

•；O为EG,的交点，

；.EG=2x,FG=42X,

•・•四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，

.e.BF=CG=x,

/.BG=x+V2x,

BC2=BG2+CG2=f(/+1)2+f=(4+2回f,

黑*士S(4+y)x、2+殍

S^EFG1PQ2(J2x)~

2

故选：B.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟

练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.

23.(2023春•丰台区期末)勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明

的重要数学定理之一.如图，在RtAABC中，ABAC=90°,以RtAABC各边为边向外作正方形48PG、正

方形ACHI、正方形BCDE.连接G/、EF、DH,若EF=5,DH=4,则这个六边形灰）印G厂的面

积为（）

C.32D.30

【分析】根据£尸=后，DH=4,想法把a,b,c求出来，想到作辅助线，构造直角三角形.

【解答】解：设=AB=b,BC=c,过E作作用的垂线，垂足为过。作的垂线，垂足为

N,

•・•ZEBM+ZCBM=90°,/ABC+ZCBM=90°,

/./EBM=ZABC,

在ABME与ABAC中，

/EBM=NABC

<ABAC=BME,

BE=BC

ABEMtABCA(AAS),

BM=AB=b,EM=AC=a,

同理可证ACA©=AC/B,

/.CM