三角函数 易错训练与压轴训练（4易错+7压轴）解析版-2024-2025学年高一数学

三角函数易错与压轴训练（4易错+7压轴）

01思维导图

目录

易错题型一、弧长的有关计算................................................................1

易错题型二、已知角，求三角函数值..........................................................3

易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算..................................4

易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程...........................................6

压轴题型一、扇形中的最值问题..............................................................8

压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值.............................................9

压轴题型三、三角函数在生活中的应用.......................................................12

压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值一一诱导公式................................17

压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题............................................20

压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性................23

压轴题型七、函数零点的个数求参数范围....................................................26

02易错题型

易错题型一、弧长的有关计算

例题：（24-25高一上•江苏•阶段练习）若扇形面积为1cm"圆心角为2rad,那么该

扇形的弧长为.

【答案】2cm

【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算

【分析】根据扇形的弧长与面积公式求解即可.

【详解】设该扇形的半径为『，则;x2x严=1,则I,故弧长为lx2=2cm.

故答案为：2cm

巩固训练1.（24-25高一上・吉林・期末）已知扇形的周长是8cm,半径为2cm,则

该扇形所对圆心角的弧度是（）

A.IradB.4radC.3radD.2rad

【答案】D

【知识点】弧长的有关计算

【分析】设扇形所对圆心角为agd）,根据弧长公式得到方程，解得即可.

【详解】设扇形所对圆心角为C（川），依题意可得2x2+2a=8,解得a=2,

即该扇形所对圆心角的弧度是2rad.

故选：D

2.（23-24高一上•四川凉山•期末）已知扇形的周长为15,圆心角为3弧度，则扇

形的半径是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【知识点】弧长的有关计算

【分析】根据扇形周长和弧长公式求解即可.

【详解】因为扇形的周长为15,所以"2-15,

又因为/=0,«=3,所以/=3r,

所以5r=15,解得尸=3,

故选：B.

3.（24-25高一上•吉林长春・期末）扇形圆心角为2,弧长为12cm,则扇形的面

积为（）

A.12cm2B.24cm2C.36cm2D.48cm2

【答案】c

【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用

【分析】根据扇形的圆心角和弧长求出半径，再根据扇形的面积公式即可求解.

【详解】因为扇形圆心角为2,弧长为12cm,

所以扇形的半径厂=£=6cm,

所以扇形的面积为S=gxl2x6=36cm2.

故选：C.

易错题型二、已知角，求三角函数值

例题：（24-25高一上•新疆伊犁•期末）COS765。的值是（）

A.7B.C.告D.当

【答案】C

【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一

【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值得解.

【详解】cos765°=cos（720°+45°）=cos45°=半，

故选：C

巩固训练1.（22-23高二下•贵州黔东南•期末）已知cosa=-；,0<a<兀，则tana=

（）

A.6B.也C.-V3D.一是

33

【答案】c

【知识点】特殊角的三角函数值、已知弦（切）求切（弦）

【分析】由余弦值和角的范围求出特殊角，再求角的正切.

177T

【详解】已知cosc=-],o<a<7i,则a=§,所以tana=-6

故选：C

2.（24-25高三上•北京•开学考试）在平面直角坐标系X。中，角a以Ox为始边，

且终边经过点（-4,3）,则cosg-'=.

【答案】-1/-0・6

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导

公式

【详解】•••角a的终边经过点（-4,3）,则一帆4八32=5,sin«=|,

cos（亚-.=-3俨-==N

I2JU）5

故答案为：-1.

易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算

例题：（23-24高一下•上海•阶段练习）已知tand=2,求下列各式的值

c、sin+2cos0

()sin0-cos0

(^2)sin20+2sin0cos0+1

【答案】（1）4

(2)y

【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算

【分析】（1）分子分母同时除以cose将弦化切即可求解.

（2）利用sm»+cos2e=l将式子进行变形为分式齐次式形式，再进行弦化切即可求

解.

sin0+2cos0(sin9+2cos6)+cos9tan0+22+2

-----=44

【详解】（1）由题sin0-cos0(sinO-cos+cos0tan0-12-1

(2)因为ta*=2,

sin20+2sinOcos0+l

^sin20+2sinOcos0+l=

sin20+cos20

Zsin?9+2sin°cose+cos2°=(ZsiYO+ZsinOcose+cos?M+cos?9

sin20+cos20(sin26+cos20)+cos20

2tan20+2tan0+12x22+2x2+113

tan20+l_22+l-I"

巩固训练1.（22-23高二下•贵州遵义•阶段练习）已知sina-cosa=g,则sinacosa=

（）

A.B.Ic.|D.平

【答案】c

【知识点】sina土cosa和sina,cosa的关系

【分析】把sina-cos&q左右两边进行平方，再根据同角三角函数基本关系即可得

到答案.

【详解】sina-cosa=；,，（sina-cosa）2=-^,l-2sinofcos6r=^-,/.sinacosa=~^.

故选：c.

2.（广西玉林四校（玉一玉实北高容高）2023-2024学年高一上学期12月联考数

学试题）已知sina+cosa=3cosatana,则cos2atana-1=（）

1c4-2c3

A4.--B.-yC.--D.--

【答案】D

【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算

【分析】根据给定条件，可得tana],将co/atana切化弦，再利用齐次式法计算

即可.

[详解】因为sina+cosa=3cosatana=3sina,

则coso=2sincr,所以tana=；,

j_

.sinacosatana72

贝日cos2atana=cosasina=——；------------=；-------=-—,

sina+cosatancr+1，+]5

4

所以cc^atana—1=（一1=一].

故选：D.

易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程

例题：（24-25高三上•重庆渝中•阶段练习）为了得到歹=51小”1i的图象，只需把

正弦曲线7=sinx上所有点的（）

A.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的X纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的?，横坐标不变

【答案】B

【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程

【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果.

【详解1由。=3>1,

因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变.

故选：B.

巩固训练1.（2024高二下•天津河东•学业考试）要得到函数〃x）=cos2x,XCR的图

象，只需将函数g（x）=c。双xeR的图象（）

A.所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变

B.所有点横坐标缩小）纵坐标不变

C.所有点纵坐标缩小：，横坐标不变

D.所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变

【答案】B

【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程

【分析】根据函数图像伸缩变换规则即可解决.

【详解】根据函数图像伸缩变换规则,g（x）=c网图像所有点纵坐标不变，横坐标缩

小为原来的！即可得到/（x）=cos2x.

故选:B.

2.（2024高二上•贵州•学业考试）为了得到函数y=cos（x+T的图象，只需把函数

尸COSX的图象上所有的点（）

A.向左平移?个单位长度B.向右平移9个单位长度

C.向左平移己个单位长度D.向右平移方个单位长度

【答案】A

【知识点】相位变换及解析式特征

【分析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可.

【详解】因为函数尸COSX的图象上所有的点向左平移?个单位长度得到

y=cos]x+j的图象.

故选：A

03压轴题型

压轴题型一、扇形中的最值问题

例题：（24-25高一上•重庆万州•阶段练习）已知一扇形的周长为40,则这个扇形

面积的最大值是.

【答案】100

【知识点】扇形中的最值问题

【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于厂的二次函数，求

最值.

【详解】设扇形所在圆的半径为「，弧长为/,则2r+/=40,0<r<20,

119

贝|]$=5>=5（40-2/上=-r+20/=一（一10）2+100,

当厂=10时，扇形面积最大，最大值为1。0.

故答案为：10。

巩固训练1.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）周长为40的扇形的面积取

到最大值时，扇形圆心角的大小是.

【答案】2

【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题

【分析】设出扇形所在圆半径，借助扇形面积公式建立函数关系，再求出最大值

即得.

【详解】设扇形所在圆半径为厂，则该扇形弧长/=40-2/，。。<20,

于是该扇形的面积S=g"=r（20-r）=-（，T0）2+100V100,当且仅当厂=1。时取等号，

所以当"10时，扇形的面积最大，此时扇形的圆心角等于'=2.

r

故答案为：2

2.(23-24高一下•陕西渭南•阶段练习)已知扇形的圆心角是明半径为『，弧长

为/;

⑴若a=105。/=8cm,求扇形的弧长/;

⑵若扇形的周长为10cm,当扇形的圆心角。为多少弧度时，这个扇形的面积最大,

最大值是多少？并求出此时的半径

【答案】⑴孕cm)

小、八2525

(2)a=2,ycm-,r=-cm

【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题

【分析】(1)利用弧长公式可得答案；

(2)利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.

【详解】(1)

I=6rr=-x8=^^(cm)

123I八

(2)由已知得，/+2/=10,

25

所以S=；＞=；(10-2+=+一yo,5),

4

所以当一gem时，面积S取得最大值mcm)

此时/=5cm,r=：cm,所以a=:=2.

,2r

压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值

例题：(24-25高一上•云南大理•阶段练习)(1)已知角。的终边上有一点

P(x,-l),(x^0),且tan<9=-x,求sin。,cos。；

(2)已知函数〃)_lrm[x-E]+cos[x+S+tanw%,设tana=[,求/(&)的值.

J1町—3

COSX

【答案】(1)答案见解析；(2)|

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导

公式

【分析】(1)由条件利用任意角的三角函数的定义，求出si",cos。的值.

(2)由条件利用诱导公式可得/(x)=TTanx,再结合tana一1求得〃a).

【详解】解：⑴••・已知。的终边上有一点尸(x，T)，(x*0),••.tan。4，再由tan6»=-x,

可得?=-x,求得x=±l.

由于r=|OP|=啦，当x=l时，cosd=：=\=岑,sin6*=，=£=一亨.

当龙=-1时,sin6*=—=—；X=-^-,cos0=—=—X=-^-.

rV22r及2

⑵「已知函数小)「"-"+35+9+1年万一OSXEXT「皿,

COSXCOSX

441

,/tana=-—,贝口f(a)=-l-tana=-1+—=—,

巩固训练1.(24-25高一上•江苏无锡•阶段练习)下列说法正确的有()

A.。为第三象限角的充要条件为sin6tan6<0

B.若夕为第二象限角，则?为第一或第三象限角

C.sin(a+a)=sina

D.sin(-1071o)sin99°+sin(-171°)sin(-261°)=0

【答案】BD

【知识点】探求命题为真的充要条件、已知角或角的范围确定三角函数式的符号、

由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角函数的化简、求值——诱导公式

【分析】利用三角函数角在各象限三角函数值的正负，以及角在各象限范围，诱

导公式，同角三角函数基本关系，判断四个选项即可.

【详解】对于A,当。为第三象限角时，sin6»<0,tan。>0,所以sindtan。<0,

反之，当sindtanOvO时，则有

①当sin"0,tan0>0,。为第三象限角，

②当sin0>O,tan"O时，。为第二象限角，故A错误;

对于B,若。为第二象限角，即■|+2®<6<无+2反，keZ,

则>hZ,则g为第一或第三象限角，故B正确；

对于C,sin(兀+a)=-sina,故C错误；

对于D,sin(-1071o)sin99o+sin(-171o)sin(-261o)--sinl071osin99o+sinl71osin261o

=-sin(1080°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)sin(180°+81°)

=sin9°cos9°-sin9°sin81°

=sin9°cos9°-sin9°cos9°=0,故D正确；

故选：BD.

2.(24-25高一上•江苏镇江•期末)⑴若cos(兀+a)=_；,a为第一象限角，求cos《+”

的值；

(2)若cos[-“=g,求cos(g+“sin]g_“的值.

【答案】(1)-冬(2)

【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式

【分析】(1)利用诱导公式求出cosa=；,结合给定条件求出具体角度，再代入得

到所求式子的结果即可.

(2)利用诱导公式对给定式子合理变形，结合给定条件代入求解即可.

【详解】（1）因为cos（兀+a)=-g,所以-cosa=-g,解得cosa=；

因为a是第一象限角，所以一左eZ,

所以cos—+a=cos—+—+2ht

5兀兀1(71}.(71

(2)因为cos

6JUJI6JI3

.(2K)(71兀

所以cos(g+asinI----aI=-cosI——aIsinI—+a

因为cosJ-a

71兀]_

=——sm|-----\-a

269

cosP«sin

所以+

(6J9,

压轴题型三、三角函数在生活中的应用

例题：（24-25高一上•全国•课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动

轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.45两

点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，42两点到两

齿轮中心a,&所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知

主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则43两点再次同时回到

初始位置所经过的时间为S.

主动轮被动轮

图①

【答案】4

【知识点】三角函数在物理学中的应用

【分析】根据题意有被动轮和主动轮同时转动，转动时间相同，据此可以得到周

期，由此可得42两点再次同时回到初始位置的时间.

【详解】设主动轮、被动轮的周期分别为4Z，则%=ls，I=ls,

故7]=+Z=2s,所以37]=2%=4s,故需要经过4s,42同时回到起点.

故答案为：4

巩固训练1.（24-25高一上・甘肃兰州•期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械

建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮

号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的

座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度

为110m,转盘直径为100m,开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距

离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动出苗后距离地面的高度

为Hm,转一周大约需要30min.

⑴已知〃关于1的函数关系式满足"。）=然皿&+°）+3（其中/>0,。>0,冏节），

求摩天轮转动一周的解析式”⑺；

⑵若游客在距离地面至少851n的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行

一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？

【答案】（l）“0=5Osin[]fqJ+6（V«O,3O]

（2）10min

【知识点】解余弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角

函数在生活中的应用

【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出42,根据转一周的时间计

算出叫再结合初始位置计算出。，由此可求H”）；

（2）化简H"），根据“（心85求解出，的范围，由此可知结果;

【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面HOm,最低点距离地面

110-100=10m,

B+A=U04=50

所以所以

B-A=10B=60

又因为转一周大约需要30min,所以。手吟弋,

所以〃（。=50sin['+°）+60,

又因为H（0）=50sine+60=10,

所以sin°=-l且帆归所以联

所以"⑺=50sinj|t-3+60je[0,30]；

(2)因为"⑺=50sin]■^7-3+60=-50««普+60,

令-50cos里+60285,贝cos卫4---,

M15z152

又因为fe[0,30],则.式0,2可，所以年4,4午,

所以10W/W20,且20-10=10min,

故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有lOmin最佳视觉效果.

2.（24-25高一上•全国•课后作业）某地区的一种特产水果最早一批在每年11月

上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐

下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格〃x）（单位：元/千克）随着

月份x的变化满足函数y（x）=/sin「x-tj+2（xe[l,10],xeN,,其中1表示^^一月份,

2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克,

五月份该水果的平均销售价格为6元/千克.

⑴求函数/'(X)的解析式；

(2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则

每年哪几个月份需要采取外销策略？

【答案】(l)〃x)=2singx-力+8

(2)每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略

【知识点】三角函数在生活中的应用

【分析】(1)根据“3)=1。,"7)=6,代入运算求解即可;

(2)令〃x)<7,可得结合正弦函数运算求解即可.

/⑶=/sin

【详解】(1)由题意可得:角军得/=2,8=8,

/⑺=/sin

所以f(x)=2sin[%-费+8.

⑵令〃x)=2sinCx_T+8<7,即

贝|2ht+V<—：<2kit+^^-,keZ,解得8k+?<x<8后+胃,上eZ,

1775

因为xe[l,10],xeN*,则丁<x〈至，故x可取6,7,8,

因此每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略.

3.(24-25高一上•福建龙岩•阶段练习)电影《流浪地球》中反复出现这样的人工

语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的

是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾

醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规

定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒

后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒

后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型

40s.in(—万x、+13,0Vx<2,、_,.,.,..人.,,,.

〃x)=(3),X表示时t间，车辆驾枝t人员血t液酒精t含量测值:

90.e-°5x+14,x>2

驾驶行为类别阈值(mg/100mL)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+oo)

IC

0E

I070-

&

£50-.,*

*30/

如

爨io-•・・••••....................

®

0246810121416

时间(h)

根据上述条件，回答以下问题：

(1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是

多少？

(2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？(时间x以整小时计)(参考

数据：lnl5«2.71,ln30®3.40)

【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升

(2)6小时

【知识点】三角函数在生活中的应用

【分析】(1)在0。<2时，/(x)取得最大值，由正弦函数性质求解；

(2)在a2时，解不等式〃x)<20可得.

【详解】(1)由图可知，当函数/(x)取得最大值时，0<x<2.

此时/(幻=40金仁1+13.

当与片方时，即x=T时，函数/(x)取得最大值为九,x=40+13=53,

故喝一瓶啤酒后L5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是53毫克/百毫升；

(2)由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此

时x>2,

x>2

由彳90xe«5，+i4<20,即

-0-5x<—^

e15

解得x>21nl5»2x2.71=5.42,

•rxeN*,."的最小值为6,故某人故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.

压轴题型四、三角函数值'三角函数的化简、求值——诱导公式

例题：(24-25高一上•吉林长春・期末)已知。角的顶点在坐标原点，始边与x轴的

非负半轴重合，终边经过点尸(-4,3).

(1)求sino,cos©tana；

(Ji)

cos—+a|+2cosCL

(2)求…乜J_________.的值.

\7sin(兀-a)+2cosa

［答案］(l)sina=|,cosa=—g,tana=一?

⑵？

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导

公式

【分析】(1)利用三角函数的定义即可求得结果.

(2)用诱导公式化简完将(1)的结果代入即可.

【详解】(1)因为角。的终边经过点「(-43),由三角函数的定义知

x_-4_4

/J（-4）2+325?

sma3

tana=----

cosa4

(2)由诱导公式，得

cos[2+a|+2cosa-sina+2cosa一^十?"，711

f（。）=~~7-----\_------sina+2cosa3,z45

'7sin-crj+2cosa-+9y2x（-y）

巩固训练L（（24-25高一上・甘肃・期末）已知。角的顶点在坐标原点，始边与x

轴的非负半轴重合，终边经过点尸(512).

(1)求Sina,COS«,tan(兀-a)；

⑵求/()V/12J的值.

2sm(-a)+cos(兀一

［答案］(l)sina=-^|,cosa*,tan(n-a)=y

⑵得

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导

公式

【分析】(1)根据三角函数定义结合诱导公式求解;

(2)利用诱导公式化简/(0,从而得解.

【详解】(1)因为角。的终边经过点玖5,-12),由三角函数的定义知

12

s.m。=一y

r13'

x55

COSa=—=/,=■=—

r7（-12）2+5213'

sin6z12/、12

tana=----=----,tan(7i-a)=—tana=--

coscr55'

(WTI).(3%

cos----a-sm——+a

（2）由诱导公式，得/g）=I2JI2

2sin(-a)+cos(4-a)

一sma+cosa

一2sina-cosa

125

---1---

1313_17

519-

13

2.（24-25高一上•江苏扬州•阶段练习）如图，以必为始边作角。与须＜/?＜。＜兀）,

它们的终边分别与单位圆相交于点尸，0,已知点尸的坐标为

3sin(兀一a)+5sin(a----)

(1)求------------7^——tan(兀+a)的值;

2cos(-a)-cos(a+—)

(2)若a=£+5,求2sin£cos£-2cos我的值.

【答案】⑴条

⑵

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、三角函数的化

简、求值——诱导公式

【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数的定义及诱导公式化简计算得解.

（2）由已知及（1）中信息，利用诱导公式求出si”,cos/?即可得解.

【详解】（1）依题意，cosa=-|,sina=1,tan«=-p

]]兀

3sin(7i-a)+5sin(a———)

/、3sina+5cosa

-tan(7i+a)=--------------tana

所以2cosa-sina

2cos(-a)-cos(a+

3《+5x(-|)449

-------1---

330,

(2)依题意，B=a*,贝!jsin^=-cosa=：,cos^=sina=1,

所以2sin£cos£-2cosy5=2x—x--2x—=--1

压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题

例题：（21-22高一上•江苏苏州•期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如

图），该扇环面由以点。为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点。的两条直线段

围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小

圆环所在圆的半径为X米，圆心角为6（弧度），当"。时，"米；现

要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧

线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用m的最小值为

一总费用、

花坛总面积

【答案】5g/3g

【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应

用、基本（均值）不等式的应用

【分析】由题意可得，30=W+100+2（10-X）,当0=g时，解得x,再结合换元法，以

及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】由题意可得，30=e+100+2(10-x),解得八黑三,

当。=g时，解得》=5,

S花=；xlOx6>xlO-g.6>.x2=?(100—x==—x2+5x+50(0<x<10),

装饰费为9仇x+l0)+2(l°-x).4=9xd+9°'+8(l°-x)=170+10x

故?°+l°x=_；°(17+x),

—x+5x+50x~—5x—50

令f=17+x,17<t<27,

M___________10?_________10/_10

贝lj一—(7-17)2-5(17)-50--Z2-39/+324":第।324,

t

—>2》号=36，当且仅当公芈，即「18,即x=l时，等号成立,

二,的最小值为一七罟，

花坛每平方米的装饰费用m最小为三元.

故答案为：5;y.

【点睛】关键点点睛：题意可得，30=/+10。+2(10-x),得人节展是解决本题的关

键.

巩固训练1.(23-24高一上•陕西西安•阶段练习)如图1所示的是杭州2022年第

19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青

山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精

神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是

会徽的几何图形，设防的长度是/,前的长度是厂，几何图形相。的面积为s,

扇形20c的面积为S,已知g=2,ABOC=a.

（2）若几何图形的周长为4,则当a为多少时，S最大?

【答案］⑴3

（2）t

【知识点】扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用

【分析】（1）通过弧长比可以得到以与。5的比，再利用扇形面积公式即可求解;

（2）由题意得2O8+3/J4,S$OB,然后利用基本不等式求最值即得.

【详解】（1）由40C=a,贝=/'=/。8,

aOA

所以公—=2,即04=208,

aOB

-IOA--1'OB--2l'-2OB--r-OB

=2222

-I'OB-I'OB

22

(2)由(1)知，AB=CD=0B,

几何图形/BCD的周长为，8+/+/'+CO=2O8+3r=4,

S=-l-OA--l'-OB=--2l'-2OB--I'-OB=-!,-OB=--(3l'Y(2OB]

2222241八'

31'=2OB

当且仅当即a=g时，S最大值为1.

1—I=a•OB

巩固训练2.（23-24高一下•北京•阶段练习）（1）一条弦神的长等于它所在圆的

半径R,求弦相和劣弧N8所组成的弓形的面积；

（2）一扇形的周长为10而，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇

形的面积最大?并求出最大值？

【答案】（1）”芋及2；0）扇形半径［由，扇形圆心角为2,扇形面积最大值

12/

4.

【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题

【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧N8所对的圆心角，再求出扇形面积及三角

形面积即得.

（2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得.

【详解】（1）如图，在圆。中，弦AB=R,则△水加是正三角形，^AOB=~,4B边

上的高为5汽，

因此5-斗争=»，而扇形,面积为*小港，

所以弦N2和劣弧居所组成的弓形的面积是加-32="2上

6412

（2）设扇形的半径为『，则扇形弧长/=10-2,,

扇形面积5="=孑+5_一（一孑+=4不，当且仅当“：时取等号,

所以扇形半径厂=gem,扇形的圆心角为（=2时，扇形面积取得最大值意加2.

压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调

性

例题：（24-25高一上•内蒙古鄂尔多斯•期末）设函数/（x）=7cos]4x-3-2.

（1）求的最小正周期，图象的对称中心；

（2）求/（X）的单调递减区间.

【答案】（1）7、；自+。,-2,eZ）.

/一、「左兀兀祈兀

（2）[2+1了+?，5

【知识点】求COSX型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期、求

COSX（型）函数的对称轴及对称中心

【分析】（1）根据周期公式求周期，令4x/=E+W，逅Z,求得对称轴；

（2）根据余弦函数单调区间求法求出单调区间.

【详解】⑴仆）的最小正周期为T4=会

令4x\=加+枭左eZ,解得x=兀，kwZ,

故/（x）的图象的对称中心为之+（兀，-21eZ）.

（2）令2kli<4x-—<2kji+7i,左£Z,

解得£+考+：,选Z,

故的单调递减区间为「+2将+不，"Z.

巩固训练1.（21-22高一•全国•课后作业）已知函数〃x）=2sin（2s+£j（0>O）的最小

正周期为冗.

⑴求。的值；

⑵将函数〃x）的图像向左平移巳个单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短

到原来的g（纵坐标不变），得到函数g（x）的图像，求g（x）的单调区间.

【答案】（1）0=1

⑵单调递增区间为佟-荒，一盘］（壮为，单调递减区间为2M割加Z）.

【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由正弦

（型）函数的周期性求值

【分析】（1）利用三角函数的周期公式可得答案；

（2）利用三角函数图像平移规律、伸缩变换得到函数g3的图像的解析式，再利

用正弦函数的单调性可得答案.

【详解】（1）由题意，知？=§/=兀，所以。=1；

ICOCD

（2）由（1）,知/（x）=2sin］2x+3,

将函数〃x）的图像向左平移5个单位长度后，得到函数

y=2sin21+:+三=2sin（2x+g］的图像，

再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的！（纵坐标不变），得到函数

g（x）=2sin（4x+,的图像，

^--+2fai<4x+—<-+2foc优eZ）,—-

™232V6仔224224V八

由3+2而V4x+/45+2加（"eZ）,得弓一最+（左eZ）,

故函数g（x）的单调递增区间为忤-3有一4］任"）,单调递减区间为

巩固训练2.（23-24高一下•云南红河•开学考试）已知函数〃x）=2sinxcosx+2cos2xT,

XGR,

（1）求函数/（x）的单调递减区间；

⑵求函数/（X）在-go上的值域.

【答案】⑴《+伍涉也代团

⑵RM.

【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)

函数的值域和