三角函数 易错训练与压轴训练（4易错+7压轴）原卷版-2024-2025学年高一数学

三角函数易错与压轴训练（4易错+7压轴）

01思维导图

目录

易错题型一、弧长的有关计算................................................................1

易错题型二、已知角，求三角函数值..........................................................2

易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算..................................2

易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程...........................................3

压轴题型一、扇形中的最值问题..............................................................3

压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值.............................................4

压轴题型三、三角函数在生活中的应用........................................................5

压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值一一诱导公式.................................7

压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题.............................................8

压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性.................9

压轴题型七、函数零点的个数求参数范围.....................................................10

02易错题型

易错题型一、弧长的有关计算

例题：（24-25高一上•江苏•阶段练习）若扇形面积为1cm"圆心角为2rad,那么该

扇形的弧长为.

巩固训练1.（24-25高一上・吉林・期末）已知扇形的周长是8cm,半径为2cm,则

该扇形所对圆心角的弧度是（）

A.IradB.4radC.3radD.2rad

2.（23-24高一上•四川凉山•期末）已知扇形的周长为15,圆心角为3弧度，则扇

形的半径是（）

A.2B.3C.4D.5

3.（24-25高一上•吉林长春・期末）扇形圆心角为2,弧长为12cm,则扇形的面

积为（）

A.12cm2B.24cm之C.36cm2D.48cm2

易错题型二、已知角，求三角函数值

例题：（24-25高一上•新疆伊犁•期末）COS765。的值是（）

A.YB.C.告D._当

巩固训练1.（22-23高二下•贵州黔东南•期末）已知cos&=-；,0<a<n,则tane=

（）

A.V3B.且C.-V3D.一是

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2.（24-25高三上•北京•开学考试）在平面直角坐标系'Oy中，角。以。分为始边，

且终边经过点（-4,3）,则cos2W=.

易错题型三、已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齐次式的计算

例题：（23-24高一下•上海•阶段练习）已知tanO=2,求下列各式的值

、sin6+2cos。

（）sin0-cos0

（2）sin20+2sinOcos0+1

巩固训练1.（22-23高二下•贵州遵义•阶段练习）已知sintz-cosa=；,则sinacosa=

2.（广西玉林四校（玉一玉实北高容高）2023-2024学年高一上学期12月联考数

学试题）已知5出。+85戊=38$6^11。，则cc^atana-1=（）

A1-42C3

A.--B.--C.~~D.--

易错题型四、描述正（余）弦型函数图象的变换过程

例题：（24-25高三上・重庆渝中•阶段练习）为了得到卜=532-的图象，只需把

正弦曲线7=sinx上所有点的（）

A.横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变

B.横坐标缩短到原来的X纵坐标不变

C.纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变

D.纵坐标缩短到原来的?，横坐标不变

巩固训练1.（2024高二下•天津河东•学业考试）要得到函数〃x）=cos2x,xeR的图

象，只需将函数g（x）=cosx,xeR的图象（）

A.所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变

B.所有点横坐标缩小—纵坐标不变

C.所有点纵坐标缩小横坐标不变

D.所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变

2.（2024高二上•贵州•学业考试）为了得到函数y=cos1+T的图象，只需把函数

y=cosx的图象上所有的点（）

A.向左平移:个单位长度B.向右平移:个单位长度

C.向左平移联个单位长度D.向右平移联个单位长度

03压轴题型

压轴题型一、扇形中的最值问题

例题：（24-25高一上•重庆万州•阶段练习）已知一扇形的周长为40,则这个扇形

面积的最大值是.

巩固训练1.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）周长为40的扇形的面积取

到最大值时，扇形圆心角的大小是.

2.（23-24高一下•陕西渭南•阶段练习）已知扇形的圆心角是a,半径为r,弧长

为/;

（1）若a=105。/=8cm,求扇形的弧长/;

（2）若扇形的周长为10cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大,

最大值是多少？并求出此时的半径「

压轴题型二、三角函数值、三角函数的化简、求值

例题：（24-25高一上•云南大理•阶段练习）（1）已知角。的终边上有一点

P（x,-l）,（x^O）,且tan<9=-x,求sin6,cos。.

（2）已知函数心〜小-母+8s"S+tan3,设tag1,求〃0的值.

J⑺一J

COSX

巩固训练1.（24-25高一上•江苏无锡•阶段练习）下列说法正确的有（）

A.。为第三象限角的充要条件为sin0tan0<0

B.若。为第二象限角，则?为第一或第三象限角

C.sin（万+a）=sina

D.sin（-1071°）sin99°+sin（-171°）sin（—2610）=0

2.（24-25高一上•江苏镇江•期末）（1）若cosg0=—,a为第一象限角，求cos^+a

的值；

（2）若cos*'=；,求cos]g+“sin皆一a1的值.

压轴题型三、三角函数在生活中的应用

例题：（24-25高一上•全国•课后作业）如图是两个齿轮旋转的示意图，被动

轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.45两

点分别位于该齿轮的主动轮与被动轮上，初始位置如图①所示，42两点到两

齿轮中心GO所在直线的距离随时间的变化满足如图②所示的函数图象，已知

主动轮转动一圈的时间小于被动轮转动一圈的时间，则42两点再次同时回到

初始位置所经过的时间为S.

-------0

主动轮被动轮

图①

巩固训练L（24-25高一上・甘肃兰州•期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械

建筑设施，许多地方的摩天轮已成为当地的地标性建筑，如天津永乐桥摩天轮

号称天津之眼，深圳快乐港湾摩天轮是亚洲最大的摩天轮.游客坐在摩天轮的

座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度

为110m,转盘直径为100m,开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距

离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动出in后距离地面的高度

为Hm,转一周大约需要30min.

⑴已知H关于t的函数关系式满足"（，）=然山（祝+。）+8（其中4>0,。>0,帆|若），

求摩天轮转动一周的解析式”⑺；

（2）若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行

一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？

2.（24-25高一上•全国•课后作业）某地区的一种特产水果最早一批在每年11月

上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐

下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格/⑺（单位：元/千克）随着

月份X的变化满足函数〃x）=/sin[%-：]+2（xe[l,10],xeN*,其中1表示^一月份,

2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，

五月份该水果的平均销售价格为6元/千克.

⑴求函数的解析式；

⑵若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则

每年哪几个月份需要采取外销策略？

3.（24-25高一上•福建龙岩•阶段练习）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工

语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的

是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾

醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规

定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒

后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒

后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型

40sin—x+13,0<x<2.___—一上一3,厂，、一、▼…人

〃x）=（3）,%表示时间，车辆驾枝t人员血液酒精含量测值：

90.e-05x+14,x>2

驾驶行为类别阈值(mg/100mL)

饮酒驾车[20,80)

醉酒驾车[80,+8)

70-

50-.,*

30/

io-•・・•・••..................

0246810121416

时间（h）

根据上述条件，回答以下问题：

（1）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是

多少？

（2）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考

数据：Inl5s2.71,ln30®3.40）

压轴题型四、三角函数值、三角函数的化简、求值一诱导公式

例题：（24-25高一上•吉林长春・期末）已知。角的顶点在坐标原点，始边与x轴的

非负半轴重合，终边经过点尸（-4,3）.

(1)求sina,cosa,tana；

cos上+a+2cosa

2

⑵求f(a)=一的值.

'7sin(兀一a+2cosa

巩固训练1.（（24-25高一上•甘肃・期末）已知。角的顶点在坐标原点，始边与工

轴的非负半轴重合，终边经过点尸（5-2）.

⑴求sin。，cosa,tan(兀一a)；

11兀3兀

cos-------a-sin—+a

(2)求〃a)=22的值.

2sin(-a)+cos(兀-a)

2.（24-25高一上・江苏扬州•阶段练习）如图，以3为始边作角》与£（0＜夕＜。＜兀）,

它们的终边分别与单位圆相交于点尸，。,已知点尸的坐标为（H）.

3sin(7i-a)+5sin(a----)

(1)求------------7^——tan(无+a)的值;

2cos(-a)-cos(a+—)

⑵若£求2sin夕cos夕-2cos/7的值.

压轴题型五、弧长的有关计算、扇形中的最值问题

例题：（21-22高一上•江苏苏州•期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如

图），该扇环面由以点。为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点。的两条直线段

围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小

圆环所在圆的半径为x米，圆心角为6（弧度），当"g时，x=米；现

要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧

线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用m的最小值为

总费用

花坛总面积

O

巩固训练1.(23-24高一上•陕西西安•阶段练习)如图1所示的是杭州2022年第

19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱塘江潮头是会徽的形象核心，绿水青

山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精

神气质，整个会徽形象象征善新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是

会徽的几何图形，设行的长度是/,前的长度是广，几何图形相。的面积为s,

扇形20c的面积为S,已知苒2,ZBOC=a.

19thAsianGames

Hangzhou2022

⑴求得；

(2)若几何图形488的周长为4,则当a为多少时，S最大?

巩固训练2.（23-24高一下•北京•阶段练习）（1）一条弦功的长等于它所在圆的

半径R,求弦和劣弧库所组成的弓形的面积；

（2）一扇形的周长为10cm,那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇

形的面积最大?并求出最大值？

压轴题型六、正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调

性

例题：（24-25高一上•内蒙古鄂尔多斯•期末）设函数/（x）=7cos（4x-3-2.

（1）求/（x）的最小正周期，图象的对称中心；

（2）求“X）的单调递减区间.

巩固训练1.（21-22高一•全国•课后作业）已知函数〃x）=2sin]20x+T（0>O）的最小

正周期为冗.

⑴求。的值；

⑵将函数的