三角形全等、相似及综合应用（三角形全等、三角形相似、折叠问题、旋转问题探究）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

重难点05三角形全等、相似及综合应用（三角形全等、

三角形相似、折叠问题、旋转问题）

题型解篌।模型构建.।真题强化制练।模拟通关试练

［模型01三角形全等及其应用

模型02三角形全等及其应用

模型03三角形折叠问题探究

模型04三角形旋转问题探究

口时我解读

三角形的相关知识是解决后续很多几何问题的基础，所以是中考考试的必考知识点。在考察题型上，

三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质

等。特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角

形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。直角三角形的出题类型可以是选择填空题

这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

④摸翅狗建

模型01三角形全等及其应用

浮.....................................

三角形全等的判定及应用该题型近年考试中综合性较高，在各类考试中以解答题为主。解这类问题的关

键是准确迅速的在全等三角形的5种判定方法中，选用合适的方法，取决于题目中的已知条件，若已

知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，

且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边。

答|题|技|巧

1.认真分析题目的已知和求证；

2.分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系;

3.在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；

4.最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角

形中的边角关系是关键.

［题型守停I

1.（2024•上海）如图，点尸是他上任一点，ZABC=ZABD,从下列各条件中补充一个条件,

不一定能推出=的是（）

A.BC=BDB.ZACB=ZADBC.AC=ADD.ZCAB=ZDAB

【答案】C

【详解】解：A、补充=先证出AABC三AABD,后能推出AAPC=AAPD,故此选项错误;

B、补充NACB=NADB,先证出AASCvAASD,后能推出AAPC=AAPO,故此选项错误.

C、补充AC=AD,不能推出AAPC=AAPD,故此选项正确；

D、补充NC4B=NZMB,先证出AABC=AABZ）,后能推出AAPC=AAPO,故此选项错误；

故选：C.

）支式

1.如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍■摆出VABC,再将木棍AC

绕A转动，得到△ABZ）,这个实验说明（）

A.有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等

B.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等

C.有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形不一定全等

D.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

【答案】D

【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.

根据全等三角形的判定方法求解即可.

【详解】解：由题意可知：AB=AB,AC^AD,ZABC^ZABD,

满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是，ABC和「43。不全等,

，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

故选：D.

2.下面是"作角的平分线"的尺规作图方法：

（1）如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交OB于点D,E；

（2）分别以O,E为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于点C；

2

（3）作射线OC.

所以射线OC即为所求.

上述方法通过判定△OCE四得到/3OC=NAOC,其中判定△OCE四的依据是（）

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

D.三边分别相等的两个三角形全等

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及基本作图，由作图可得EO=DO，EC=DC,根据三

角形全等的判定方法"SSS"解答，熟练掌握三角形全等的判定方法，读懂题目信息是解题的关键.

【详解】解回连接EC,DC,

由作图可得EO=DO,EC=DC,

在△OEC和二ODC中，

EC=DC

<CO=CO,

OD=OE

0OEC空ODC(SSS),

0ZA(9C=ZBC>C,

130。平分ZAg

故选：D.

3.综合探究

问题情境：VABC是等边三角形，点。是AC上一点，点E在2C的延长线上，且AZ)=CE,连接AE,DE.

图1图2图3

猜想证明团

(1)如图L当点。是AC的中点时，DBDE-,(填"V"或"=")

(2)若点。为AC边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与.a圮

全等来证明.以下是他们的部分证明过程：

证明：如图2,过点£＞作小〃BC,交于点E.(请完成余下的证明过程)

问题解决：

(3)如图3,当点。是AC边上任意一点时，取3。的中点尸，连接AF.求的度数.

【答案】(1)DE=DB；(2)见解析；(3)60°

【分析】(1)根据等边三角形的性质得出NABC=NACB=NA=60。，再由"三线合一”的性质及角平分线得

出ZDBE=ZDEB,再由等角对等边即可证明；

(2)如图2,过点。作小〃BC,交AB于点厂.证明△相＞/是等边三角形，可得BF=DC,证明

ZBFD=ZDCE,BFD四DCE,可得结论，

(3)延长AF至G,使AF=FG,连3G,根据全等三角形的判定得出."D四一GEB(SAS),

ABG^..ACE(SAS),再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果.

【详解】证明：(1)在等边VABC中，AB^BC^AC,

ElNABC=NACB=N4=60。，

回。是AC的中点，

S\AD=CD,8。平分NABC,

0AD=CE,

团CD=CE,

团ZDEC=ZCDE=-ZACB=30°,ZDBC=ZABD=-ZABC=30°,

22

⑦ZDBE=ZDEB,

©DB=DE.

(2)DE=DB,

理由如下：如图2,过点。作。尸〃5C,交于点尸.

/.ZAFD=ZABC,ZADF=ZACB

一ABC是等边三角形

/.AB=BC=AC,ZABC=ZACB=ABAC=60°

:.ZADF=ZAFD=6Q0,

.;4。厂是等边三角形,

.\AD=DF=AF，

^.\AB-AF=AC-AD,^BF=DC

ZAFD=ZACB=60°,

；./BFD=/DCE,

AD=CE,

:.DF=CE,

在和△OCE中,

BF=DC

<NBFD=ZDCE,

DF=CE

BFDNDCE,

BD=DE，

(3)如图所示，延长"至G,使AF=FG,连6G,

团尸为此的中点，

⑦BF=DF,

在△AFD和二GFB中,

FD=BF

</DFA=/BFG,

FA=FG

0AFD^GFB(SAS),

SAD=BG,ZADF=Z.GBF,

^BG//AC.

0Z.GBC=ZACB=60°,ZABG=ZABC+ZGBC=120°,ZACE=180°-ZACB=120°,

^}ZABG=ZACE

又E1AD=CE,

B1BG=CE

在，ABG和"CE中，

AB=AC

，ZABG=ZACE,

BG=CE

0ABG^.ACE(SAS),

0ZBAG=ZC4E,

0ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+ZBAF=Z.BAC=60°.

4."综合与实践"课上，老师将一张长为4,宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形

纸片,表示为VA2C和0砂(如图①)，然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点8与点E

重合(标记为点B),在点B处订个钉子，将尸逆时针旋转.在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮

忙解答：

(1)如图②，若。即旋转的角度为90。时，延长。尸交AC于点G,试判断四边形BCGb的形状，并说明理

由；

(2)如图③，若。呼旋转的角度为锐角，。产的延长线交48于交AC于K,若一AHK为等腰三角形，

求CK的长；

⑶将旋转一周，点M为DF的中点，点N为AM的中点，请直接写出AN的最大值是多少.

【答案】(1)四边形BCGF为正方形，理由见详解

(2)而'一1或1.

⑶5+

【分析】⑴由旋转的性质可得/FBC=90。，BC=BF,由正方形的判定可求解；

⑵分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解，

⑶由勾股定理可求的长，则点M在以8为圆心，8M为半径的圆上运动，即可求解.

【详解】(1)解：四边形3CG/为正方形，理由如下回

回旋转角度为90。，

=90°,BC=BF,

0ZBFD=90°,

13/MG=90。，

又回NC=90°,

回四边形BCG/为矩形，

又I3BC=BF,

回四边形BCG/为正方形.

(2)解：依题意得3C=M=3,AC=DF=4,

0AB=BD=5,

①若=则ZAKH=ZAHK=NDHB,

由旋转的性质可知NA=ND,

gNDHB=NKHA,

回NDBH=NDHB,

13DH=BD-5,

^HF=DH-DF=1,

在/如中，BHZBF+HP=如，

^\AK=AH=AB-BH=5-J10>

SCK=AC-AK=y(10-1

②若即=A?/,则NDK4=NA=ND

^\BD//AC,

BZDBA=ZA=ZD,

^BH=DH,

^\DK=AB=BD=5,

SKF=DK-DF=1,

如图，连接BK,

D

SBC^BF,BK=BK,

0RtBCK乌RtBFK（HL）

SCK=KF=1,

③若此=印。则NAH^=NA,

同理①可得旋转角

NDR4=/HK4=180。—2NA>90。，不为锐角不合题意.

综上所述，若二AHK为等腰三角形，CK的长为丽-1或L

（3）解：如图，连接AM,

团点M为。厂的中点，点N为AM的中点，

11

SMF=DM=-DF=2,AN=-AM,

22

⑦BM=4FB?+FM。=,4+9=/，

团点M在以8为圆心，8M为半径的圆上运动，当点M在AB的延长线上时，40有最大值为5+屈，

0AN的最大值是5+..

2

5.在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的中

线有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论.根据此想法和思路，完成以下作图和填空：

（D如图，在VA2C中，AB=AC,点。是A8的中点，连接CD.用尺规作AC的垂直平分线分别交AC,AB

于点E,F,连接8E.（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)已知：在VA5c中，AB=AC,点。是A3的中点，跖垂直平分AC,求证：CD=BE.

证明：AB=AC

•••①

点。是A3的中点，E尸垂直平分AC

:.BD=-AB,②

2---------------

:.BD=CE

在△BCD和△CBE中

BD=CE

<ZABC=ZACD

,一③

BCD^CBE(SAS)

CD=BE.

进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④.

【答案】⑴见解析

(2)®ZABC=ZACB；@CE=1AC；③BC=CB；④等腰三角形的两底角的平分线相等

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和画法，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题

的关键.

(1)按照线段垂直平分线的尺规画法画图，再连接对应点即可.

(2)根据等边对等角得=根据垂直平分线的性质可得CE=3AC,结合3C=CB即可证明

BCD£CBE(SAS),同理得出等腰三角形的两底角的平分线相等，据此填空即可.

【详解】(1)解：如图，即为所作，

ZABC=ZACB,

.点。是AB的中点，EF垂直平分AC

:.BD=-AB,CE^-AC,

22

:.BD=CE

在△BCD和△€»£中

BD=CE

</ABC=ZACD,

BC=CB

.•二BCD空CBE（SAS）

CD=BE.

进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：

等腰三角形的两底角的平分线相等.

故答案为：①ZABC=ZACB②CE=gAC③3C=CB④等腰三角形的两底角的平分线相等.

模型02三角形相似及其应用

—......................................................................

三角形相似的判定及综合应用该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或

者利用相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。解这类问题的关键是熟练应用三角形的

判定方法，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组

边对应成比例，两个三角形相似。解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理以及数形结合和方程

思想的应用.

答|题|技|巧

1.认真分析题目的已知和求证；

2.分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系；

3.在应用三角形相似的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形

4.最后把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角

形中的边角关系是关键。

［题型守停I

1.（2024•山西）如图，AB//CD,AE//FD,AE,FD分别交8c于点G,H,则下列结论中错

误的是（）

，B

D

.DHCHGECGAFHGFH_BF

A-----------B----------

FHBH'DFCB~CE~~CGAG-FA

【答案】D

【详解】解：MB回CD,

DHCH

*FH-BH'

.A选项正确，不符合题目要求；

•团CGE二团CH。，团CEG二回。，

.^CEG^CDH,

GECG

EGDH

'~CG~~CH'

F8回CD,

CHDH

'~CB~~DF'

DHDF

GEDF

'~CG~~CB'

GECG

•市一司'

.B选项正确，不符合题目要求；

'AB^CD,AE^DF,

.四边形4EDF是平行四边形，

.AF=DE,

DEGH

*CE-GC?

AF_HG

9~CE~~CG;

・,・C选项正确，不符合题目要求;

9

\AE^DFf

・••回BF”酿BAG,

.FHBF

••而一耘’

9

：AB>FAf

.FHBF

--w-----

**AGFA

・,・D选项不正确，符合题目要求.

故选D.

'支K

1.如图，在VABC中，ZB=60°,AB=6,BC=8,将VABC沿下列各图中的DE剪开，剪下的阴影三角

形与VABC不一定相似的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.根据相似三角形

的判定逐一判断即可.

【详解】解：A、.■ZC=ZC,ZDEC=/B=60。,

DECsABC,

故A不符合题意；

B、j/C=NC,ZCDE^ZB,

CDEs,CBA,

故B不符合题意；

C、由图形可知，BE=AB-AE=6-2=A,

BD=BC-CD=8-5=3,

BE41BD31

8"2'AB-6-2'

.BE_BD

"BC-R4'

又，；/B=NB,

:.ABDEs/xBAC,

故c不符合题意；

D、由已知条件无法证明VAZ）E与VABC相似，

故D符合题意，

故选：D.

2.如图，点。在VA2C的边AC上，添加一个一条件，使..ADBsABC,以下是嘉嘉和淇淇的做法.下列

说法不正确的是（）

淇淇的做法：添加条件怨

嘉嘉的做法：添加条件=ACCn

证明：0ZABD=ZC,NA=NA.

证明：回N4=N4,—=—

ACCB

团ADBsABC（两组角对应相

0ADBsABC（两组对应边成比例及一组

等的两个三角形相似）

对应角相等的两个三角形相似）

B

A.嘉嘉的做法证明过程没有问题B.淇淇的做法证明过程没有问题

C.嘉嘉的做法添加的条件没有问题D.淇淇的做法添加的条件有问题

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键.

根据题意已知NA=NA,故添加两组对应边成比例夹角为NA或者添加一组对应角相等，即可求解.

【详解】解：依题意，44=4,添加一组对应角相等，可以使得ADB^ABC,故嘉嘉的做法以及过程

没有问题，淇淇的做法添加的条件有问题，应为黑=喂，说法正确；证明过程中用到两组对应边成比例

ABAC

及一组对应角相等，不能证明两个三角形相似，证明过程错误，故B选项符合题意；

故选：B.

3.如图，在矩形ABC。中，AB=12cm,BC=6cm,点P由点A出发沿A3方向向点8匀速移动,速度为2cm/s,

点。由点D出发沿ZM方向向点A匀速移动，速度为lcm/s,如果动点P、Q同时从A、。两点出发，连接尸。、

PC,设运动的时间为［sX0WrW6）.若以。、A、P为顶点的三角形与，3PC相似时，贝仔的值为.

D

AP-------►B

3

【答案】|■或9-3石

【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是学会用分类讨论的思

想思考问题.△APQ与3PC都是直角三角形，两个三角形相似时，AP的对应边是或BC.分两种情形

构建方程，分别求解即可.

【详解】解：由题意，。在上运动最大时间为6+l=6（s）,尸在A3上运动最大时间为12+2=6（s）,

DQ=tcm,AP=Item,AD=BC=6cm,

分两种情况：

①当_时域=越

BPBC

口口6—t2t

即-----=——，

12—216

3

或，=6（舍去），

2

.2.

,f=T

②当APQs8PC时，器号,

口n6—A2t

即---=------，

612-2t

t2—18?+36=0,

.\t=9—3A/5或/=9+3^5，

经检验，r=9-36是分式方程的解，f=9+3若不符合题意，舍去，

.•・当/或9-3逐时，以。、4尸为顶点的三角形与3PC相似.

3

故答案为：;或9-3

4.在菱形ABC。中，NZMB=60。，点E在射线上，连接CE、BD.

D

DD

⑴如图1,当点E是边AB的中点，求/ECD的正切值；

(2)如图2,当点E在线段的延长线上，连接OE与边BC交于点R如果AD=6,ENC的面积等于3如，

求斯的长；

⑶当点E在边上，CE与BD交于点H,连接OE并延长OE与CB的延长线交于点G,如果AO=6,Va〃

与以点E、G、B所组成的三角形相似，求AE的长.

【答案】⑴3

2

(2)近

(3)9-3乔

【分析】(1)连接证△m£>和△CBD均为等边三角形，再由点E为A5的中点得

ZEDB=^ZADB=3Q°,贝i」NCDE=90°,设=则AD=CZ)=2a,DE=^a,进而在Rt^CDE中可

求出/EC。的正切值；

(2)过点。作DMIAB于先求出口0=3小，则SQCE=：Q>BW=9g,从而得S%E：SEFC=3,

进而得DE:£F=3,则。F=2EF,EF:DF=1:2,证AEFBs^DFC得BE:CD=EF:DF=1:2,则

BE=gcD=3,ME=MB+BE=6,再由勾股定理求出Z)E=3A/7,进而可得ER的长；

(3)过点E作EN，CG于N,先证点C只能和点G是对应点得NG=NECG,则EG=EC,从而得GN=CN,

设AE=x,则BE=A5-AE=6—x,在RtABEN中由cos/EBG=空得BN=((6-x),进而得

BE2

GB=GN+BN=12—x,再证，4)屏&氏龙得4):56=46:班；，即6:(12-x)=x:(6-x),由此解出x即

可得AE的长.

【详解】(1)解：连接。E,如图1所示：

图1

团四边形ABCD为菱形，ZDAB=60°,

BAB=BC=CD=AD,/BCD=/ZMB=60°,AB//CD,AD//BC,

团△ABD和△8£)均为等边三角形，

0ZADB=ZCDB=60°,

回点E为A8的中点，

0DEJ.AB,ZEDB=-ZADB=30°,

2

0ZCDE=ZCDB+ZEDB=90°,

设AE=af则AD=CD=2a,

由勾股定理得：DE=dAD。-AE?=岛,

团在Rt^CDE中，tan/ECD=^=叵=M

CDla2

(2)解：过点。作于M,如图2所示：

图2

团AD=6,△ABD和均为等边三角形，AB//CD,

团AD=AB=BD=6,

BDMJ.AB.

BAM=MB=-AB=3

2f

由勾股定理得：DM=yjAD2-AM2=373，

团SDCF=_CD,DM=—x6x3A/3=9\/3,

22

又团nEFC的面积等于3g,

回SDCE：SEFC=96:3百=3，

EIADCE的边。E和EFC的边EF上的高相同，

团S：SEFC=DE:EF=3,

0EF=-£)£■,

3

国DF=2EF,

即防：叱=1:2,

B1AE//CD,

HAEFB^ADFC,

BBE:CD=EF:DF=1:2,

SBE=-CD=-x6=3,

22

^\ME=MB+BE=3+3=6,

在中，由勾股定理得：DE=7DM2+ME2=377>

0EF=-DE=A/7；

3

(3)解：过点E作ENLCG于N,如图3所示：

团△ABD和△CBD均为等边三角形，AD=6,AB//CD,AD//BC,

0NEBG=NHBC=60°,AB=BC=AD=6,

又自/GEB=/EBD+/EDB>3,ZHCB<NBCD=6U。,

⑦/GEBw/HCB,

aVBCH与以点、E、G、3所组成的三角形相似，

团点C只能和点G是对应点，

⑦NG=NECG,

团EG=EC,

又回石NLCG,

由GN=CN,

设AE=x,

^BE=AB-AE=6-x,则xv6,

在RtZkBEN中，cosNEBG==,

0BN=BE-cosNEBG=（6-x）-cos60°=g（6-x）,

0GN=CN,

aGB=GN+BN=CN+BN=BC+2BN=6+2x；（6-x）=12-x,

QAD//BC,

0ADEs,BGE,

^\AD:BG=AE:BE,即6乂12-力=x:（6—x）,

整理得：X2-18X+36=0,

解得：=9—3^5,x2=9+3y/5（不合题意，舍去），

故AE=9-3B

5.如图1,在四边形ABC。的边AB上任取一点E,点E不与A,8重合，分别连结ED,EC,可以把四

边形ABC。分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们把E叫做四边形边AB上的相似点;

如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABC。边A8上的强相似点.

（1）如图1,若ZA=/B=/DEC=40。，试判断点E是不是四边形ABC。的边上的相似点？（填"是"

或"不是"）；

（2汝口图2,在VABC中，NACB=90。，直角顶点C在直线DE上，分别过点A,8作于点O,BEJ.DE

于点E,试判断点C是不是四边形ABED边OE上的相似点？并说明理由；

（3）如图3,AD//BC,OP平分/ADC,CP平分/BCD交DP于点、P,过点P作AB,AD于点A,交BC于

点、B,求证：点尸是四边形ABCD边上的一个强相似点.

【答案】⑴是

（2）是，见解析

⑶见解析

【分析】本题考查的是相似三角形的综合应用，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.

（1）根据题意证明NADE=/3EC和NA=N3,得到二ADE。BEC.

（2）证明△ADCs^c防即可；

(3)分别证明ADPS-PDC和△PDCS2\JBPC即可得出结论.

【详解】(1)解：是

^ZA=ZDEC=40°,

^ZADE+ZAED=\AQ0,ZBEC+ZA£D=140。,

⑦ZADE=/BEC,

又团NA=NB,

0ADEsBEC,

团点E是四边形ABCD的边A3上的相似点；

故答案为：是；

(2)解：点。是四边形边OE上的相似点，

理由：

ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCE=90°.

AD±DE,

/.ZADC=90°.

:.ZACD+ZDAC=90°.

:.ZDAC=ZECB.

BELDE,

:.ZBEC=ZADC=90°.

/.ADCsCEB.

点C是四边形ABED边DE上的相似点.

(3)证明：DP平分，ADC,

2ZADP=2ZPDC=ZADC.

CP平分/BCD,

2NBCP=2/PCD=/BCD.

AD\BC,

:.ZADC^ZBCD=180°.

2ZPDC+2ZPCD=180。.

:.ZPDC+ZPCD=90°.

:.ZDPC=90°.

ABLAD,

.\ZA=ZDPC=90°.

ZADP=ZPDC,

:./\ADPs/\PDC.

同理：APDCsABPC,

:./\ADPs/\PDCs/\BPC.

，点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点.

模型03三角形折叠问题探究

¥rsiwi'.................................

与三角形的性质有关的折叠问题，该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型

问题，难度系数较大。三角形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，准

确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合三角形相关的性质及判定定理与推论和其它几何的相关

知识点进行解题。

答I题I技I巧

1.运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；

2.在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为X,将此

直角三角形的三边长用数或含有X的代数式表示出来；

3.利用勾股定理列方程求出x；

4.进行相关计算解决问题.

|题型三例

（2023•山东）对于题目：“如图，点〃，“分别是长方形加口的边相和比'上的点，沿榔折

叠长方形46缪，点6落在点夕处，若/MNB'与/CNB'两个角之差的绝对值为45°,确定/时的所有

度数甲的结论是/〃为45°,乙的结论是/SW=60°.下列判断正确的是（）

A.甲的结论正确

B.乙的结论正确

C.甲、乙的结论合在一起才正确

D.甲、乙的结论合在一起也不正确

【答案】D

【详解】解：由折叠的性质可知：ZMNB'=ZBNM,

①当Z.MNB'与4CNB'两个角之差为45。，即/用〃=ACNB'+45°Ht,ACNB'=4MNB'-45°=4BNM

-45°,

ZMNB'+AMNB^ACNB'=180°,

：.ABNM^ABNM^ABNM-45°=180°,

解得：4BNM=73°,

②当NCNB'与NMNB'两个角之差为45°,即NJW'=ZCNB'-45°时，ZCNB'=AMNB'+45°=Z

曲册45°,

VAMNB'+AMNB^ACNB'=180°,

胡册/曲明NEWH5°=180°,

解得：Z^W=45°

综上所述：/飒仁75°或45°.

故选：D.

＞麦K

1.如图，将三角形纸片ABC沿直线OE折叠后，使得点B与点A重合，折痕分别交3C、AB于点。、E.如

果AC=4cm,△ADC的周长为10cm,那么BC的长为（）.

A

B

A.8cmB.6cmC.5cmD.4cm

【答案】B

【分析】本题考查了翻折变换的性质，由翻折变换的性质得出4）=3£）是解题的关键.

由翻折变换的性质得出4。=血，进而由AD+CD=3C即可解答.

【详解】解：回将VA3C沿直线OE折叠后，使得点8与点A重合，

13AD=BD,

0AC=4cm,AADC的周长为10cm,

0AD+CD=BC=lO-4=6cm.

故选:B.

2.如图，在VABC中，AB=15,BC=12,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E

处，折痕为8。，若NC=2ZBDE,则OE的长为.

【分析】本题考查了折叠性质，角平分线的性质，等面积法的灵活运用，同角的补角相等，先过点A作

3c延长线于点过点。分别作。TL54于点T,作延长线于点连接WD,结合折

叠且/C=2NBDE,得出">=AE=3,然后结合折叠以及角平分线的性质得=最后结合等面积

法进行列式化简，即可作答.

（详解］解:过点A作AW，BC延长线于点M,过点。分别作。T，54于点T,作，3c延长线于点H,

连接WD,如图所示：

'磐"

ATEB

团在VABC中，AB=15,BC=12,沿过点5的直线折叠这个三角形，使点C落在A5边上的点石处，折痕

为BD,

BEB=CB=12,AE=AB-BE=15-12=3,

ZCDB=ZEDB,ZCBD=ZEBD,ZC=/DEB,DC=DE,

团NC=2/BDE,

团Z.DEB=2Z.BDE=ZCDE,

贝ij180°-/DEB=180。一ZCDE,

^ZAED=ZADE,

团AD=AE=3,

国DHLBC,DHYBA,且NCBD=NEBD,

国DH=DT,

iii27

贝IJS板=-ABxDT+-BCxDH=-（AB+BC）xHD=—HD,

团AW_L5C,BC=12,

则5ABC=^BCXAW=6AW，

27

团6AW=——HD,

2

9

i^AW=-HD

4f

回S“w=；AWxWC,SDCW^^DHxWC,

Socw_DH_4

回

SiAW9

回SAcw=gaC*AC边上的高，Sww=^OCxOC边上的高，且AC边上的高=DC边上的高,

SDCW_DC_4

团

SACWAC9

团DC=DE,AD=3,

DC4

团-----=—,

3+DC9

12

解得oc=《,

12

故答案为：—

3.如图，将一张长方形纸片AB。沿对角线BO折叠后，点C落在点E处，连接8E交AD于尸，再将三角

形DEF沿。/折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分4DB,那么4DB的度数是

【答案】36。/36度

【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，根据折叠可得/3£心=/班见,

NEDF=NGDF,由角平分线的定义可得N3D4=NGOR+/3£)G=2NGE>b,然后根据长方形的性质及角

的运算可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键.

【详解】解：由折叠可知，ZBDC=ZBDE,ZEDF=ZGDF,

EIDG平分NADB,

S1NBDG=NGDF,

®/EDF=/BDG,

0ZBDE=ZEDF+NGDF+Z.BDG=3ZGDF,

0ZBDC=ZBDE=3NGDF,ZBDA=ZGDF+ZBDG=2ZGDF,

0ZBDC+ZBDA=90°=3ZGDF+2ZGDF=5ZGDF,

SZGDF=18°,

BZADB=2ZGDF=2x18°=36°,

故答案为：36°.

12

4.如图，在平行四边形中，AB=9,AD=\?>,sinA=—,尸是射线AD上一点，连接PB,沿PB将

三角形APB折叠，得三角形AP3.

⑴当N9%'=10。时，ZAPB=度；

（2汝口图，当时，ZAPB=度，并求此时线段E4的长度；

⑶当点A，落在平行四边形ABC。的边所在的直线上时，直接写出线段E4的长度.

【答案】⑴85或95或5

,、-45—117

⑶9或万或手

【分析】（1）分两种情况，利用折叠的性质求解即可；

（2）作由于H,由sinA=U,可得粤，再利用勾股定理求出AH=,48?=兽,

即可解决问题；

（3）分三种情形分别求解即可.

【详解】（1）解：如图，当点P在线段A£>上时,

当点PA'在直线4。的左侧时，如图,

DC

乙

当点P在AD的延长线上时，

AB

由折叠知，NAPB=ZA'PB=-ZDPA'=5°；

2

故答案为：85或95或5；

(2)解：如图1中，

DC

.四边形A2CD是平行四边形,

:.AD//BC,

PAUBC,

.\PA±AD,

,

ZAPA=90°f

:.ZAPB=ZAPB=45°；

作BHJ.AD于H,

12

sinA=——,AB=9,

13

…“n・4八12108

BH=AB,sinA=9x——,

1313

在RtABHP中，ZBPH=45°,

...BH=PH=幽,

13

在RtZXABH中，AH7AB「BH?=竺,

13

153

AP=AH+PH=—

139

故答案为：45；

（3）解：①当点A在AD上时，

DC

图2

AB=ArB=9,PA=PA

.\BP.LAD.

・A%

sinA=—,

13

nn125108

BP=—AB=——,

1313

在RtAB尸中，

PA=\IAB2-BP2=—；

13

②当A在BC上时，

DC

图3

由折叠可知，AB=8A=9,AP=PA,

又：AD//BC,

ZAPB=ZPBA=ZABP,

:.PA=AB,

四边形W尸为菱形,

:.PA=9.

③当A在AB的延长线上时，==

图5

设尸3=尤，

sinA=—,

13

sinA12

在RtAB尸中，P^=AB2+BP2^

108—108

解得:x=----或1=-------（舍去）,

55

》=2=电

125

综上，尸A的长为9或3或子.

模型04三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）

.............................................

三角形旋转问题探究（手拉手、半角模型）该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，

本专题重点分析旋转中的两类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与

不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的

综合解题能力。

答।题।技।巧

1.找准旋转中心；

2.确定以旋转中心为顶点的旋转角，旋转角所在的两个三角形不是全等就相似，全等的常用方法SAS；

3.学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；

4.数形结合进行分析、解答。

|题型不例

1.如图所示，在RtZSABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上的两点，且NDAE=45°,将4ADC

绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB,连接EF,有下列结论：①BE=DC；②NBAF=NDAC；③

ZFAE=ZDAE；④BF=DC.其中正确的有（）

C.②③④D.③④

【答案】C

【详解】解：「△ADC绕A顺时针旋转90°后得到aAEB,

.,.△ABF^AACD,

NBAF=NCAD,AF=AD,BF=CD,故②④正确,

AZEAF=ZBAF+ZBAE=ZCAD+ZBAE=ZBAC-ZDAE=90°-45°=45°=NDAE故③正确

无法判断BE=CD,故①错误，

故选：c.

,支式

1.通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整.

【原题】如图1,点E,尸分别在正方形ABC。的边3C、CD上，ZEAF=45°,连接E尸，试猜想砂、BE、DF

之间的数量关系.

【模型】我们把这种模型称为“半角模型"，在解决半角模型问题时，"旋转"、"截长补短”均是常用的方法.

(1)思路梳理：

A旋转法：把，睡绕点A逆时针旋转90°

至△ADG,可使48与AD重合，则

BE=DG,ZADG^ZB^90°,可以得到

NFDG=180。，即点尸、D、G共线.

A截长补短法：延长CD至点G,使得易证,AFG0一，故EF、BE、DF之间的

DG=BE,由ZB=ZADG=90°,数量关系为一

AB^AD,即△ABE/AADG,可以得到

AG^AE.

(2)类比引申

如图2,点E,尸分别在正方形ABC。的边CB、。。的延长线上，ZE4F=45°.连接政，试猜想砂、BE、DF

(2)DF=EF+BE.

【分析】(1)把ABE绕点A逆时针旋转90。至,ADG,可使A8与AD重合，根据四边形A3CO为正方形，

ZADC=ZB^ZADF=90°,AB=AD,可得点足D、G共线，由旋转N7MG=N54E,AE=AG,可

证cAFG9ME。得出砂=RG即可；

(2)把，ABE绕点A逆时针旋转90。至.ADG,可使A8与AO重合，可证点C、。、G在一条直线上。由旋

转EB=OG,AE^AG,NEAB=NGAD,可证4.E4厂丝式潜，得出EF=PG即可.

【详解】(1)解：四边形ABCD为正方形，

：.ZADC=ZB=ZADF^9G°,AB=AD,

把，ABE绕点A逆时针旋转90。至△ADG,可使A3与AD重合，

NFDG=NADG+NADF=180。,

，点尸、D、G共线，

ADG^ABE,

:.ZDAG=ZBAEfAE=AGt

:.ZFAG=ZFAD+ZGAD=ZFAD+ZBAE=9G°-A5°=^°=ZEAFf^ZEAF=ZFAG,

在；AFG和.,4名中，

AF=AF

<NGAF=ZEAF,

AG=AE

AFG^AFE(SAS),

:.EF=FG,

EF=DF+DG=DF+BE,即EF=BE+DF,

故答案为：AFE,EF=BE+DF；

(2)DF=EF+BE,理由如下，

如图所示，

/i.AB=ADf

FCGD

，把_ABE绕点A逆时针旋转90°至；ADG,可使AB与AT>重合,

^ADC=^ABE=90°,

.,•点C、D、G在一条直线上，

AEB^AGD,

;.EB=DG,AE=AG,NEAB=NGAD,

ZBAG+ZGAD=9G0,

:.ZEAG=ZEAB+ZBAG=ZGAD+ZBAG=9Q0,

,\^EAG=^BAD=90°f

/E4尸=45。，

/.ZFAG=NEAG-NEAF=90°-45°=45°,

:.ZEAF=ZGAF,

在歹和G4月中，

EA=GA

<NEAF=ZGAF,

AF=AF

:.^EAF^GAF（SAS）f

.，EF=FG,

FD=FG+DG,

:.DF=EF+BE.

2.如图1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2BC=8,点。、E分另1J在边5C、AC上，^DE//AB,将CDE

绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为

⑴问题发现

①当&=0。时，煞=；②当。=180。时，强=；

⑵拓展探究

Ap

试判断：当0°〈。＜360°时，"的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明