三角形中的范围与最值问题（原卷版）-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

三角形中的范围与最值问题

【题型归纳目录】

题型一：周长问题

题型二：面积问题

题型三：长度问题

题型四：转化为角范围问题

题型五：倍角问题

题型六：与正切有关的最值问题

题型七：最大角问题

题型八：三角形中的平方问题

题型九：等面积法、张角定理

【方法技巧与总结】

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。解决这类问题,

通常有下列五种解题技巧：

(1)利用基本不等式求范围或最值；

(2)利用三角函数求范围或最值；

(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；

(4)根据三角形解的个数求范围或最值；

(5)利用二次函数求范围或最值.

要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，

转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围

限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

(1)求角的最值；

(2)求边和周长的最值及范围；

(3)求面积的最值和范围.

【典例例题】

题型一：周长问题

【例1】记锐角4ABC内角C的对边分别为a,6,c,c=2且(a?+/-c2)(acosB+bcosN)=abc4l]/\ABC

周长范围为()

A.(2+273,6]B.(2+V3,6]

C.(2A/3,6]D.(2+2A/6,6]

【变式1-1】在△48。中，A=60°,AB=3,则锐角△/BC周长的范围是.

【变式1-2］设△N2C的内角4瓦。的对边分别为a,6,c,且bsin/=百acosB.

(1)求5的大小

(2)若6=3,求ZUBC周长的范围

【变式1-3】在锐角△4BC中，a=2石，(26-c)cosN=acosC,

⑴求角/;

(2)求△4BC的周长/的范围.

题型二：面积问题

【例2】已知a,6,c分别为锐角ZUBC的三个内角N,3,C的对边,a=2,且(2+3(sin/-sinB)=(c-6)sinC,

则△48C的面积的范围()

A.(。词B.事用C1半目口.序道

【变式2-1】已知函数/(x)=sinx-2cosx.

(1)若X。为函数/(X)一个零点，求cos2%.

(2)锐角△N8C中，角A,B,C对应边分别为。，b,c,/(4)+cos/=0,3c上的高为2,求aNBC面

积范围.

cB

【变式2-2】在△45。中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且sinCu§cos^,6=3.

(1)求3；

(2)若△/吕。为锐角三角形，求△ZBC的面积范围.

【变式2-3］已知a/BC的内角A、B、C的对边分别为。、b、C,且共£=学2篝£.

2abca+c-b

⑴求5；

(2)设。为4c的中点，6=2；求：①△4BC面积的最大值；②8。的最大值.

题型三：长度问题

【例3】已知锐角ZUBC内角4B,C的对边分别为a,b,c.^bsinB-csinC=(b-a)sitU.

⑴求C;

(2)若0=石，求。-6的范围.

【变式3-1】在△ZBC中,角4式C所对的边分别为,V3(c-acosB)=bsinA.

⑴求角A；

(2)若q=0,求b+c的范围.

■-—4八cos5b11sinC-

【变式3口在①。二市］②商7+而万=而F；③设△"C的面积为S,且

4V35+3(62-a2)=3c2.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.

在△/BC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且,b=2y/j.

(1)若a+c=4,求A/BC的面积；

(2)求△NBC周长的范围

(3)若△NBC为锐角三角形，求竺的取值范围.

a

2siib4+^21—cos2C

【变式3-3］已知在a/BC中，角N,B,C所对的边为a,b,c,且满足2cos/_&=-「无”

cos—+2C

(2

(1)判断角2与角C的关系，并说明理由;

⑵若呵罟］,求泊范围.

题型四：转化为角范围问题

【例4】已知△45。的内角4瓦。的对应边分别为见仇。，在①VJcosC(4COs3+bcos4)=csinC；②

j।R

qsin---=csinA；③(sinS-sirv!)?=siYC-siaSsin^.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：已知

(1)求角。大小；

(2)求siiL4-sin8的最大值.

亚sin/+1sin2C

【变式4-1】记△45。的内角。的对边分别为见仇。，已知

1-V2cosAl+cos2C

(1)若3=2,求C；

o

…、什n兀兀qSinCs.R

(2)右Be—,—,求^—^的氾围.

64sin3

【变式4・2】已知Q,b,。为锐角△45C的内角/,B,。的对边，满足acosZ+6cos5=c.

⑴证明△ZHC为等腰三角形；

(2)若A/BC的外接圆面积为万，求362+6+4c的范围.

a

JT

【变式4-3］在△NBC中，角4SC所对的边分别为a,6,c.若8=(a=4,且该三角形有两解，则6的范围

是()

题型五：倍角问题

【例5】己知锐角A48c的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,若4=2B,则这卢丝的取值范围为_____.

b

c2b

【变式5-1］已知A43C的内角4B、C的对边分别为a、6、c,若4=28,则:+式的取值范围为________.

ba

【变式5-2】在锐角△/8C中，44=2/8,则b岑+c的范围是（）

2b

题型六：与正切有关的最值问题

【例6】已知锐角AA8C中，角48,C的对边分别为"，瓦。"=62+6c,贝！］taMtanB的取值范围为（）

【变式6-1】在中，角/、B、C的对边分别为a、b、c,已知acos8+6cos/=2ccos/.

⑴求角/；

（2）若。=2,△4BC周长为6,求△4BC的面积；

（3）若△/BC为锐角三角形，求一的范围.

b

题型七：最大角问题

【例7】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角N/Q8的一边QN上的两点，试在。8边上

找一点P,使得最大.”如图，其结论是：点P为过/,N两点且和射线02相切的圆与射线”的

切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xQv中，给定两点点P在x轴上移

动，当取最大值时，点尸的横坐标是（）

A

2PB

A.1B.-7C.1或-1D.1或-7

3

【变式7-1]设△48C中，内角A,B,。所对的边分别为b,c,且acosB-bcosZ=1，贝!Jtan（4-5）

的最大值为（）

31「33

A.-B.—C."D.一

5384

【变式7-2】设“BC的内角/,B,C所对的边长分别为a,b,c,且6a<0$。+2c•cos/=56,则tan（N-C）

的最大值为（）

A.y/3B.1C.2A/3D.走

3

题型八：三角形中的平方问题

777

【例8】05C的内角aB,C的对边分别为a,b,c,若4?=已，A=~'则”3C面积的最大

值为（）

A.正B.史C.述D.百

555

【变式8-1]己知实数a,b,c满足/+4/+2°2=5,则2M+3c的最大值为.

【变式8-2]△4BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,满足/一仅一6尸Wbc,则角A的范围是

（）

A.[%]B.（0,1]C.D.

题型九：等面积法、张角定理

【例9】在A43C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=U0°,zABC的平分线交/C于点

D,且AD=1,则4a+c的最小值为（）

A.8B.9C.10D.7

【变式9-1】在中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.ZABC=120°,N4BC的平分线交/C于

点、D,且AD=1,则4a+3c的最小值为（）

A.7+473B.7+2⑺

C.12+277D.12+4百

【强化训练】

（兀兀、c

1.在UBC中，若sinC=2sin8cos8,且Be二,二，则一的范围为（）

（64）b

A.（V2,V3）B.（V3,2）C.（0,2）D.（后,2）

2.在△NBC中，AB=3,AC=2,BC>a，则cos/的范围是（）

3.在△/BC中，的对边分别为。也c,若QCOS5+6COS/+2CCOSC=0,贝ljC=；cosAcosB

的范围__________.

4.已知锐角△/片C,角4民。所对的边分别为。,仇。，若sin?B-sin?/=sin/sinC,c=4f则Q的取范

围是.

5.在△NBC中，角4B,C所对的边为0,4，且满足八苗/（：05。=（扬-凝吊0««/.

⑴求A；

（2）当。=2时，求2c边上中线期的范围.

6.在锐角△4BC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,满足/一/=船.

（1）求证：A=2B；

⑵若6=1,求。边的范围;

⑶求熹一高+2sm/的取值范围.

7.若A4BC中，角4,B,。所对的边分别记作a,b,c.^a=sinBfb=sinC,且。=然(4£R+).

(1)若4=2,求cosB；

JT

(2)证明：B<--

(3)求4的范围.

8.在①tanXtanC-百taiL4=l+百tanC;②(2c-岳kos3=Acos/；③(a-限卜irL4+csinC=6sin5这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：在△/8C中，角4瓦。所对的边分别为。也。，且.

⑴求角8的大小；

⑵已知c=6+l,且角A有两解，求b的范围.

9.记△4BC内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且(a?+〃-c2)(acos8+6cos/)=abc.

⑴求C；

(2)若△4BC为锐角三角形，c=2,求△48C周长范围.

TT―

10.如图，已知扇形。48的半径为2,ZAOB=-,P是标上的动点，M是线段04上的一点，且

2兀

ZOMP=—

3

(1)若3尸=石，求尸”的长;

(2)求的面积最大值.

11.△48C中，角4,B,C所对应的边分别是a,b,c,且acosC+V3asinC-b+

⑴求力;

(2)若a=2,求8c边上高的最大值.

12.已知△/BC中，角4瓦。所对的边分别是。也。，其中，a=4&,tan/=2行.

(1)求△ABC的外接圆半径；

(2)求△ABC周长的最大值.

13.已知应=(sin2x,sin2x),n=(l,2),/(x)=m.

⑴求/(x)的最小正周期；

(2八/2。中，角4、B、C所对边分别为。、b、c,且〃/)=2.

①求角A的大小；

②若△ABC为锐角三角形，且“=也，求6+缶的最大值.

14.在锐角△4BC中，分别是角42,C的对边，1+¥=幺.

tanCc

⑴求角B的大小；

⑵求siih4+sinC取值范围；

(3)当sin4+sinC取得最大值时，在DBC所在平面内取一点D(D与B在4c两侧),使得线段。C=2,DA=1,

求△5CD面积的最大值.

15.已知△/2C的三个内角48,C的对边分别为。也c,且/=/-。2+庆.

(1)求A；

⑵若△/3C的面积是6,c=2b,求〃；

/___\

—•—►~ABBD

(3)若。为边ZC上一点，且满足+2尸=]——+=---------,°=2K