三角形中的证明与计算问题（4类题型）-2025年中考数学二轮复习热点题型专项训练（解析版）

专题07三角形中的证明与计算问题

目录

热点题型归纳.............................................................................................1

题型01三角形全等的判定及性质应用.......................................................................1

题型02相似三角形的判定及性质应用.......................................................................9

题型03结合全等与相似进行三角形中的线段的计算.........................................................21

题型04结合全等与相似进行三角形中的角度的计算.........................................................40

中考练场.................................................................................................44

题型01三角形全等的判定及性质应用

01题型综述

三角形全等的判定及性质应用是初中数学几何领域的核心内容，是解决三角形相关问题、推导几何结论的关键工具，

在中考数学中分值占比约5%-10%o

1.考查重点：重点考查依据不同几何情境，精准选择全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明三

角形全等，并熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，进行线段和角度的证明与计算。

2.高频题型：高频题型包含直接给定三角形的部分条件，要求证明两个三角形全等；利用全等三角形性质，证明线段

相等、角相等或计算线段长度、角度大小；在复杂图形中，通过添加辅助线构造全等三角形，解决几何问题。

3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理的灵活运用，全等三角形性质在证明线段、角度关系及计算中的应用，

全等三角形与其他几何图形（如四边形、圆）的综合考查，以及全等三角形在实际问题（如测量距离）中的运用。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理规划全等证明路径；拥有敏锐的图形观察能

力，从复杂图形中识别全等三角形；掌握辅助线添加技巧，通过构造全等三角形突破解题难点；同时具备将实际问题

转化为数学模型的能力。

5.易错点：易错点在于判定三角形全等时，错用判定条件，如误将“SSA”当作判定依据；在运用全等三角形性质

时，对应关系混淆，导致线段、角度计算错误；添加辅助线时缺乏针对性，无法有效构造全等三角形；在综合问题中,

不能充分挖掘隐含条件，影响全等证明及后续计算。

02解题攻略

【提分秘籍】

全等三角形的判定:

①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的性质：

对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线等）相等

【典例分析】

例1.（2024•云南•中考真题）如图，在VABC和△AED中，AB^AE,NBAE=NCAD,AC=AD.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键.利用“SAS”证明

△ABC名△AED,即可解决问题.

【详解】证明：NBAE=/CAD,

ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,即ZBAC=ZEAD,

在VA2C和△AED中，

AB=AE

，ZBAC=NEAD,

AC=AD

AED(SAS).

例2.（2024.江苏南通・中考真题）如图,点。在VA3C的边AB±,DF经过边AC的中点E,且跖=DE.求证CF//AB.

【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得隹=EC,即可证明AED^CEF,

有ZDAE=ZFCE成立，根据平行线的判定即可证明结论.

【详解】证明：•••点E为边AC的中点，

:.AE=EC,

；EF=DE,ZAED=ZCEF,

AAED^ACEF（SAS）,

・•.ZDAE=ZFCE,

：.CF//AB.

例3.（2024.福建・中考真题）如图，在菱形ABC。中，点E、尸分别在BC、边上，ZBAF=ZDAE,求证：BE=DF.

【答案】见解析

【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明NBAE=/ZMF,再证明从

而可得结论.

【详解】证明：在菱形ABC。中，

AB=AD,ZB=ZD,

'：ZBAF=ZDAE，

ZBAE+ZEAF=ZEAF+ZDAF,

/.ZBAE=ZDAF,

NB=4D

在和△D4F中，AB=A。,

ZBAE=ZDAF

：.△RAF.g/\DAF,

：.BE=DF.

例4.（2024・四川乐山・中考真题）知：如图，4B平分NCAD,AC^AD.求证：NC=/D.

【答案】见解析

［分析】利用SAS证明AC4B2AZMB,即可证明NC=/D.

【详解】解：4?平分NCAD,

:.ZCAB^ZDAB,

在AC4B和AIMS中，

AC=AD

，ZCAB=ZDAB,

AB=AB

.-.ACAB^ADAB（SAS）,

:./C=/D.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS、AAS、ASA,SSS等全等三角形的判定方法是解题

的关键.

例5.（2024•江苏盐城・中考真题）已知：如图，点A、B、C、。在同一条直线上，AE//BF,AE=BF.

若,则A8=CD.

BCD

请从①CE〃DF；②CE=DF；③NE=4这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出NA=NEB3NO=NEG1,再由全等三角

形的判定和性质得出47=3。，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出

AEC=BFD(SAS),结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键.

【详解】解：选择①CE〃小；

VAE//BF,CE//DF,

：.ZA=ZFBD,ZD=NECA,

AE=BF,

：.AEC^.BFD(AAS),

AC=BD,

：.AC-BC^BD-BC,即AB=CD；

选择②CE=Z)产；

无法证明AAEC式ABFD,

无法得出AB=CD；

选择③NE=NP；

,/AE//BF,

,ZA=NFBD,

VAE=BF,ZE=NF,

：._AEC丝.BFD(AS0,

：.AC=BD,

：.AC-BC=BD-BC,即AB=C£＞；

故答案为：①或③(答案不唯一)

【变式演练】

1.(2025・陕西西安・二模)如图，E是AB上一点，AB=DE,CB=CE,EC平分NBED,求证：ZD=ZA.

【答案】见解析

【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角

形的性质可得"EC=N3,进而由SAS可得据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的

关键.

【详解】证明：：CB=CE,

ZB=/BEC,

,/EC平分NBED,

：./DEC=NBEC,

：.ZDEC=ZB,

在△OCE和△ACB中，

DE=AB

<ZDEC=ZB,

CE=CB

：.△DCE段AACB(SAS),

/.ZD=ZA.

2.（2025•福建泉州•一模）如图，在矩形中，点E是BC上一点，连接DE,A£>=DEt，点/是£见上一点,

ZAFD=90°.求证：AF=CD.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三

角形的判定与性质是解题的关键.

由矩形的性质可得AD〃3C,NDCE=90°,由两直线平行内错角相等可得/ADR=/DEC,再结合NAED=90。，可

得NAFD=NOCE,利用AAS可证得△AFD丝aDCE,由全等三角形的性质即可得出结论.

【详解】证明：四边形ABCZ）是矩形，

..AD//BC,ZDCE=90°,

:.ZADF=ZDEC,

又iZAFD=90°,

:.ZAFD=ZDCE,

在△AFD和△£>（“中，

ZAFD=NDCE

<ZADF=ZDEC,

AD=DE

AFD^DCE(AAS),

AF=CD.

3.(2025•广东广州•模拟预测)如图，点、B,C,D,歹在一条直线上，AB=EF,AC=ED,ZCAB=ZDEF,求证:

AC//DE.

【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的判定，先证1MBeREED(SAS),得出NACB=/皿，则

ZACD=ZEDC,再由平行线的判定即可得出结论.

【详解】证明：在VABC和右跖D中，

AB=EF

</CAB=/DEF,

AC=ED

：.ABC^EFD(SAS),

:.ZACB=ZEDFf

：.ZACD=ZEDCf

：.AC//DE.

4.(2025•陕西西安•二模)如图，在VABC中，点。是A5上一点，过点。作/位更=4,点石在A5上方，连接AE,

AE=AC,24)石与/E4C互补，求证：DE=BA.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键；由同角的补角相等可得

ZEAC=ZBDE,再证明ABC会ECM(AAS)即可得证.

【详解】证明：/位比与/E4c互补，

.\ZADE-vZEAC=18Q°f

ZADE+ZBDE=180°,

，/EAC=/BDE,

ZEAD+ZDAC=ZEAD+ZE,

:.ZDAC=ZE,

ZADE=NB,AE=AC.

ABC乌EDA(AAS),

DE-BA.

5.(2024•山东泰安・模拟预测)如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点，过点A作AD上AB交

AE的延长线于点。，CG平分/ACB交2D于点G,尸为48边上一点，连接且NACF=NCBG.求证：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.

(1)根据题意，则NACG=N3CG=45。，ZCAF=ZCBF=45°,等量代换，则NC4尸=NBCG,根据全等三角形的

判定和性质，即可；

(2)延长CG交A3于连接AG,根据题意，垂直平分线的性质，证明得到CH是的垂直平分线，则=

AG=BG,根据平行线的判定和性质，则AD〃CG,ZD=ZEGC,根据NGS4+ND=44G+NZMG=90。，推出

ND=NDAG,根据全等三角形性质，则△AFC2/XCGB,得到CF=3G,根据E为AC边的中点，全等三角形的判定

和性质，贝UADE丝_CGE(AAS),根据边的等量关系，即可.

【详解】(1)证明，如下：

VZACB=90°,AC^BC,

：.ZCAF=ZCBF=45°,

：CG平分/ACB交BD于点G

：.ZACG=ZBCG=45°,

：.NCAF=NBCG,

VAC=BC,ZACF=NCBG,

..AFC^CGB(ASA),

AF=CG.

(2)证明，如下:

延长CG交A3于"，连接AG,

・・•CG平分/ACS,AC=BC,

・•・CH是AB的垂直平分线，

：・AH=BH,AG=BG,

；・ZABG=/GAB,

ADJ.AB,

：.AD//CG,ZDAB=90°9

:・/D=/EGC,

:ZGBA+ZD=ZBAG+ZDAG=90°f

:./D=/DAG,

：.DG=AG=GB,

9：AAFC^ACGB,

:.CF=BG,

:.DG=CF,

*/E为AC边的中点，

：.AE=CE,

*：ZAED=ZCEG,

・・・乙AD石空CG石(AAS),

:・DE=GE,

JDG=2DE,

：.CF=2DE.

题型02相似三角形的判定及性质应用

01题型综述

相似三角形的判定及性质是初中数学几何领域中极为重要的内容，它主要研究三角形之间的相似关系，通过判定定

理确定相似性，并利用性质解决线段比例、角度关系等几何问题，在中考数学中分值占比约5%-10%o

1.考查重点：重点考查对相似三角形判定定理（如两角对应相等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的

准确运用，以及相似三角形性质（对应角相等、对应边成比例、对应线段成比例、面积比等于相似比的平方）在各类

几何情境中的应用。

2.高频题型：高频题型包含给定几何图形，判断三角形是否相似并说明理由；利用相似三角形性质计算线段长度、角

度大小、图形面积；通过构造相似三角形解决实际问题，如测量物体高度、距离等。

3.高频考点：考点集中在相似三角形判定条件的灵活选择，相似三角形性质在几何证明和计算中的运用，相似三角形

与函数、圆等其他知识的综合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的识别与应用。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理选择相似三角形的判定方法；拥有良好的图

形分析能力，从复杂图形中提炼出相似三角形；掌握一定的数学建模思想，能将实际问题转化为相似三角形模型求解。

5.易错点：易错点在于判定相似时错用条件，例如误将两边对应成比例且其中一边的对角相等当作判定依据；在运用

相似三角形性质时，对应关系混淆，导致线段比例、面积计算出错；对相似模型的特征把握不准，无法准确识别与应

用，在综合问题中不能有效整合相似三角形与其他知识解题。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.相似图形的概念:

把形状相同的图形称为相似图形。

2.相似三角形的概念：

如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似。

3.相似三角形的判定：

①平行线法判定：

平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。

②对应边判定：

三组对应边的比相等的两个三角形相似。

③两边及其夹角判定法：

两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。

④两角判定：

有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。

4.相似三角形的性质：

①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。对应边的比叫做相似比。

②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。相似三角形的对应线段（对应中线、对应角

平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。

【典例分析】

例1.（2024•广东广州•中考真题）如图，点E,尸分别在正方形A2CD的边BC,CD±,BE=3,EC=6,CF=2.求

证：△ABEs^ECF.

【答案】见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键.根据正方形的性质,

AR

得出々=NC=9O。，AB=CB=9,进而得出三二〜，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明.

ECCF

【详解】解：BE=3,EC=6,

:.BC=9,

四边形ABCD是正方形，

：.AB=CB=9,Z5=ZC=90°,

AB93BE_3

^C~6~29CF-2?

ABBE

,EC-CF

又•.ZB=ZC=90°,

ABEs,ECF.

例2.（2024・新疆中考真题）如图，在。中，是。的直径，弦交A5于点E,AD=BD-

(1)求证：AACD^AECB；

(2)若AC=3,3C=1,求CE的长.

【答案】(1)见解析

中

【分析】(1)利用圆周角定理可得出/ACD=/BCE,ZADC=ZABC,然后根据相似三角形的判定即可得证；

AF

(2)利用勾股定理可求出A3,AD,利用等面积法求出卡=3,可求出BE,然后利用(1)中△ACDs/XECB求解

BE

即可.

【详解】⑴证明：：仞二即，

ZACD=/BCE,

又ZADC=ZABC,

：.AACWAECB；

(2)解：：AB是C。的直径，

二ZACB=ZADB=90°,

,/AC=3,BC=1,

AB=^AC2+BC2=y/io.

;AD=BD，

：.AD=BD,

AD2+BD2=AB2=10,

：.AD=45,

,：ZACD=/BCE,

到AC、BC的距离相等，

设E到AC的距离为h,C到AB的距离为机，

••s11

QBCE-BCh-BEm

22

・..-A-E=-A-C=3.,

BEBC

：.BE=—AB=-yJ15

1+34f

AACD^AECB,

3二十

.ACAD

即法一河

'EC~EB

CE=-y/2.

4

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解

题的关键.

例3.(2024・江苏无锡•中考真题)如图，A3是。的直径，ACD内接于)0,CD=DB，AB，CD的延长线相交于

点E,且=

⑴求证：ACADsACEA；

⑵求/ADC的度数.

【答案】(1)见详解

(2)45°

【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握

这些性质是解题的关键.

(1)由等弧所对的圆周角相等可得出ZCAD=ZDAB，再由等边对等角得出ZDAB=NE,等量代换可得出Z.CAD=ZE,

又NC=NC,即可得出△QWSACEA.

(2)连接8£>,由直径所对的圆周角等于90。得出/ADB=90。，设/C4D=NZMB=a,即NC4E=2a,由相似三角

形的性质可得出/ADC=NC4E=2。，再根据圆内接四边形的性质可得出2“+2或+90。=180。，即可得出a的值，进

一步即可得出答案.

【详解】(1)证明：

ZCAD=ZDAB,

•；DE=AD,

ZDAB=ZE,

：.ZCAD=ZE,

又；NC=NC

(2)连接5D,如下图：

；AB为直径，

ZAD3=90°,

设/CAD=NDAB=a,

/CAE=2a,

由（1）知：^CAD^/\CEA

：.ZADC=ZCAE=2a,

:四边形ABOC是圆的内接四边形,

ZC4B+ZCZ）B=180°,

即2«+2«+90°=180°,

解得：a=22.5°

ZADC=ZCAE=2x22.5°=45°

例4.(2024・四川・中考真题)如图，在四边形A3。中，ZA=90°,连接80,过点C作CE1AB,垂足为E,CE交BD

于点/，Z1=ZABC.

C

⑵若N4=45。.

①请判断线段2C,8。的数量关系，并证明你的结论；

②若BC=13,AD=5,求EF的长.

【答案】(1)见解析

25

⑵①3C=3。，理由见解析；②历=五

【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性

质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

(1)由余角的性质可得H+N3=90。，Z2+ZABC=90°,根据/1=/ABC,可得N2=/3；

(2)①设N2=N3=X，可求ZBFE=90'x=ZDFC,可求ZBCD=ZBZJC=45。+.%,根据等腰三角形的判定可得BC=%>；

EFBE

②由勾股定理可求AB=12,由“AAS"可证"DB四△ESC,可得8E=AD=5,通过证明△EFBs&v汨，可得丁=「

ADAB

即可求解.

【详解】(1)证明：CE1AB,

.\ZCEB=90°=ZAf

.•.Nl+N3=90。，Z2+ZABC=90°,

Z1=ZABC,

.•.N2=N3；

(2)解：①BC=BD,理由如下：

设N2=Z3=x,

:.ZBFE=90°-x=ZDFC,

N4=45。，

ZCDB=180。—45°-(90°—x)=45。+%,

ZBCD=Z4+Z2=45°+x,

.\ZBCD=ZBDC,

BC=BD；

BC=BD=13fAD=5f

AB=yjBD2-AD2=V169-25=12，

BC=BD,ZA=ZCEB,N2=N3,

:.ADBWEBC(AAS),

BE=AD=5,

ZA=NCEB,Z3=Z3,

:NEFB^NADB,

.EFBE

,,一,

ADAB

.EF5

512，

“25

:.EF=——.

【变式演练】

1.（2025・广东广州•模拟预测）如图，VABC中，ZACB=9Q°,CD是AB边上的高，求证：AACD-ACBZ）.

DB

【答案】见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.根

据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】证明：：NACB=90。，

ZA+ZB=90°,

CD是A3边上的高，

ZADC=NBDC=90°,

ZA+ZACD=90°,

：.ZACD=ZB,

：./\ACD^Z\CBD.

2.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，将VABC绕点B逆时针旋转得到&|刎，连接MA,CN.求证：ABM^CBN.

M

【答案】见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键.

由旋转性质可得：AB=MB,BC=BN,ZABC=/MBN,进而可得又=幽，ZABM=ZCBN,由此根据相似三角

形的判定定理即可证明ABMs.CBN.

【详解】证明：I将VABC绕点B逆时针旋转得到AWSN,

二由旋转性质，得AB=MB,BC=BN,ZABC=ZMBN,

,ABMB

"BC~BN'

ZABC=NMBN,

ZABC+ZABN=ZMBN+ZABN,

即ZABM=/CBN,

:..ABMs,CBN.

3.(2024.四川乐山.模拟预测)如图，已知线段AB,CO相交于点。，ADCD,AO=2,AB=5.求

【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质.首先根据平行线的性质可证NO=NC,根据对顶

角相等可得NAQD=N50C，所以可证BOC,再根据相似三角形对应边成比例可求结果.

【详解】解：如下图所示，

../D=/C,

又・ZAOD=ZBOC,

AOD^BOC,

OP_OA

'~OC~~OB'

AO=2,AB=5,

:.OB=AB-OA=3,

.0。_OA_2

*OC-OB-3,

4.（2024•广西•模拟预测）如图，在等边三角形A5C中，BD=CE,BE、相交于点?求证：AE?=EFEB.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质，先证明

△ABD经△BCE(SAS)得到/BAD=NCBE,进而可证明NAEE=NB4E=60。，再证明,即可根据相似

三角形的性质证明结论.

【详解】证明：・・・VABC是等边三角形，

/.AB=BC,ZABD=ZC=ZBAE=60°,

又,：BD=CE,

JAABD^ABCE(SAS),

：・ZBAD=/CBE,

：./AFE=/BAD+/ABE=/CBE+NABE=/ABC=60。,

:.ZAFE=ZBAE,

XVZAEF=ZBEA,

Z\AEFSABEA,

.AEEF

••__—―~~,

BEAE

AE2=EFEB.

5.(2025・上海虹口•一模)如图，在Rt^ABC中，ABC=90,点。在边AC上，过点。作OE垂直AC交A5于点E,

连接EC、80交于点

(I)求证：AB"ACE；

(2)如果3c=BE,求证：^CE2=BFBD.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识：

AF)ApAF)Afi

(1)由NADE=NABC=90o,NA=NA,证明ADE^ABC,得——=——，所以——=——，贝hABDsACE；

ABACAEAC

(2)由相似三角形的性质得/ABD=NACE,推导出/BDC=/BEC,由3c=BE,NCBE=90°,得

NBCF=/BEC,CE?=BC?+BE?=2BC?,则/BCF=/BDC,BC?=；CE?,而NFBC=/CBD,所以_FBCsCBD,

则生=丝，所以BC2=BFBD,贝IJ=CE2=B/

BDBC2

【详解】(1)ZABC=90°,DE±AC

:.ZADE=ZABC=90°

ZA=ZA

/.ADEsABC

AD_AE

AD_AB

*AE-AC

ABDsACE

(2)AB，ACE

.\ZABD=ZACE

ZBFC-ZACE=ZBFC-ZABD

ZBDC=ZBFC—ZACE,ZBEC=ZBFC-ZABD

:./BDC=/BEC

BC=BE,NCBE=90。

，/BCF=NBEC,CE2=BC2+BE1=2BC2

ZBCF=/BDC,BC2=1CE2

/FBC=/CBD

：.FBCs.CBD

BCBF

"BD~BC

BC2=BFBD

1,

:.-CE2=BFBD

2

6.(2025・重庆大渡口•模拟预测)如图，在ABCD中，对角线AC与相交于点0,NC4B=NACB,过点3作6EAB

交AC于点E.

⑴求证：ABO^BEO；

⑵若AB=10,AC=16,求OE的长.

【答案】(1)证明见详解

9

(2)OE的长为5

【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角

形的判定和性质是解题的关键.

(1)根据题意可证平行四边形ABCD是菱形，则ACL3。，由垂直的定义可得NA03=/30E=90。，由同角的余角

相等可得NO必=NOEB,由此即可求解；

（2）根据菱形的性质得到AC，8RQ4=8,由勾股定理得到03=6,由（1）中的相似得到婴=婴，B|jf=-|-,

BOEO6EO

由此即可求解.

【详解】（1）证明：'：ZBAC=ZBCA,

；・BA=BC,

V四边形ABCD是平行四边形，

・・・平行四边形ABCQ是菱形，

・・・ACVBD,

・・・ZAOB=ZBOE=9Q0,

：.ZOBE^ZOEB=90°,

•；BE工AB,

：./OBE+/OBA=900,

：.ZOBA=ZOEB,

・•・ABO^BEO；

（2）解：・・•平行四边形A3c。是菱形，

ACJ_BD,OA=OC=—AC=—xl6=8,

22

在MAO5中，OB=7AB2-OA2=A/102-82=6,

由（1）可知.ABOsHEO,

.AOBO

••茄—访’

.8__^

••,一„,

6EO

9

解得，EO=/

9

・・・。£的长为

题型03结合全等与相似进行三角形中的线段的计算

01题型综述________________________________________

结合全等与相似进行三角形中的线段的计算是初中数学几何知识综合运用的关键内容，深度融合全等三角形与相似

三角形的核心性质，对学生综合分析与解决问题能力要求较高，在中考数学中分值占比约5%-8%o

I.考查重点：重点考查灵活运用全等三角形对应边相等、相似三角形对应边成比例的性质，在复杂几何情境下，通过

寻找、构造全等或相似三角形，实现对三角形中线段长度的精准计算。

2.高频题型：高频题型有在一个图形中，先证明三角形全等得到部分线段相等关系，再借助相似三角形对应边比例，

计算其他线段长度；或者先利用相似三角形求出部分线段比例，再通过证明全等三角形，确定关键线段长度，进而计

算所求线段。

3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与相似三角形判定定理（两角对应相

等、三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等）的准确运用，以及全等与相似三角形性质在串联线段关系、计算

线段长度过程中的综合体现。

4.能力要求：要求学生具备敏锐的图形观察能力，能从复杂图形中迅速识别全等与相似三角形的基本模型；拥有强大

的逻辑推理能力，依据已知条件合理规划全等与相似的证明顺序，搭建线段计算的桥梁；掌握扎实的运算能力，处理

复杂线段比例与长度计算。

5.易错点：易错点在于混淆全等与相似三角形的判定条件和性质，导致证明过程出错；在构造全等或相似三角形时,

辅助线添加不合理，无法有效建立线段联系；在利用相似三角形对应边成比例计算时，对应关系混乱，造成计算错误；

对题目中隐含的全等或相似条件挖掘不充分，影响解题思路。

02解题攻略

【典例分析】

例1.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）如图，AC,5。相交于点0,AB//DC,M是48的中点，MN//AC,交BD

于点N.若DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为（）

C.6D.8

【答案】B

从而得到=』再根据〃得到一从而得到

【分析】根据AB〃OC可得BAO,COOA,MNACBOA,

2

MN=-OA最后得到ACV=CO即可求解.

2f

【详解】解：AB//DC,

DCOBAO,

.DOCO_1

:.CO=-OA,

2

CO=-AC,

3

^：MN//AC,

BNMBOA,

BMMN

'~BA~~OA'

M是AB的中点,

BM_MN_1

,^A~~OA~2,

\MN=-OA,

2

:.MN=CO,

:.MN=-AC=-xl2=4,

33

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键.

例2.（2023•辽宁丹东・中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12,点E,尸分别在边5C,CD上，A石与所相交

于点G,若BE=CF=5,则BG的长为

【分析】根据题意证明△AB£与ABC"SAS）,EBGsFBC,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：四边形A5CD是正方形，

.\ZABE=ZC=90°,AB=BC,

BE=CF,

.・.AABE/ABCF（SAS）,

,\ZBAE=ZCBFf

ZCBF+ZABG=90°,

ZBAE+ZABG=90°,

ZBGE=90°,

:.ZBGE=/C,

又ZEBG=ZFBC,

EBG^FBC,

.BGBE

一~BC~1SF'

BC=AB=12fCF=BE=5,

:.BF=VBC2+CF2=A/122+52=13，

•BG_5

••=,

1213

BG=—.

13

故答案为：卷•

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关

键.

例3.（2024•四川眉山・中考真题）如图，VABC内接于《O,点。在上，AD平分ZB4c交.。于。，连接8。.若

AB=W,BD=2y[5,则BC的长为

【答案】8

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，

延长AC,BD交于E,由圆周角定理可得ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,进而可证明，极注,AED（ASA）,

得至1]BD=DE=2下,即得BE=4君，利用勾股定理得4。=4石，再证明△4?Os1^BCE,得到竺=翌，据此即

ABAD

可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：延长AC,BD交于E,

项是（:。的直径，

ZADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

平分NBAC,

:.ZBAD=ZDAE,

又：AD=AD,

：.aASD空A£D（ASA）,

BD=DE=2A/5,

.­.BE=475,

AB=W,BD=2s/5,

AD=J102_（2国=475,

ZDAC=ZCBD,

又：ZBAD^ZDAE,

：.NBAD=NCBD,

ZADB=ZBCE=90°,

ABDsBEC,

.BE_BC

「说一茄’

45/5_BC

BC=8,

故答案为：8.

例4.(2023・辽宁营口・中考真题)如图，在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,将AC绕着点C按顺时针旋转60。得到

AF

CD,连接BZ)交AC于在E,则==.

【分析】连接AD，证明，ACD是等边三角形，则AC=AD=CD,ZADC=ZCAD=60°,^AC=AD=CD=a,贝U

AB=AC=a,取AC的中点X,连接求出。//=且°,设AE=x,贝i|£W=1a-x,证明得到

22

(|=爵，解得x=(2-⑹°,即AE=(2-⑹a,再利用勾股定理求出OE?=3(2-⑹/，进一步即可得到答案.

【详解】解：连接AD,

将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD,

AC=CD,

•••,ACD是等边三角形，

二AC=AD=CD,ZADC=ZCAD=60°,

设AC=AD=CD=a,贝!JAB=AC=a,

取AC的中点H,连接。H,

AH=CH=—AC=—a,ZAHD=90°,

22

DH=—a,

2

设AE=%，贝=—AE=』Q—九,

2

ABAC=90°,

:.ZBAE=NDHE,

,:ZAEB=ZHED,

：.LAEBS_HED,

.AEAB

••一,

HEDH

x_a

•*,La-X百,

2昼〃

解得x=(2_V^)a,

即AE=(2-百)a,

・•・EH=AH-AE=-a-x=-a-(2-y/3}a=2^~3a,

22V)2

・・・。石2=3(2—

・AE_lAE2

(2—可a2

3

3

18-1273+6

4

3

_3A/2-76

=--------,

6

故答案为：3W.

6

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质等知识，数形结合

和准确计算是解题的关键.

例5.(2024・四川成都•中考真题)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AD是VABC的一条角平分线，E为AD中点,

连接BE.若BE=BC,CD=2,则3D=.

717+1

【答案】

-2-

【分析】连接CE,过石作。1。于尸，设BD=x,EF=m,根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质

证得CF=DF=；CD=1,NEAC=NECA,NECD=NEDC=NBEC,进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性

质得到NCEE»=2NC4E,AC=2EF=2m,证明11cB£s、血),利用相似三角形的性质和勾股定理得至lj〃广=3+2%；

根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明,EBE得到2m②=(x+l)(x+2),进而得到关于x的一元二

次方程，进而求解即可.

【详解】解：连接CE,过E作EF1CD于R设=EF=m,

VZACB=90°,E为AD中点,

CE=AE=DE,又CD=2,

ACF=DF=-CD=1,ZEAC=ZECA,/ECD=/EDC,

2

:.NCED=2NCAE,AC=2EF=2m,

■:BE=BC,

；・ZBEC=/ECB,则ZBEC=NEDC,又/BCE=/ECD,

:.CBEsCED,

.CECB

:.—=—,ZCBE=ZCED=2ZCAE,

CDCE

・•.C石2=CD.CB=2（2+X）=4+2X,

则m2=EF2=CE2-CF2=3+2%;

•・•是VABC的一条角平分线，

ZCAB=2ZCAE=ZCBE,又ZACB=/BFE=900,

：...C4BsFBE,

.ACBC

**BF-EF

.2rri_=x+2^则2裙=（x+l）（x+2）,

x+1m

2（3+2x）=（x+l）（x+2）,BP%2-x-4=0»

解得尤=晅±1（负值已舍去），

2

故答案为：姮±1.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角

形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相

关知识是解答的关键.

例6.（2024•山东・中考真题）如图，点E为ABCD的对角线AC上一点，AC=5,CE=1,连接。E并延长至点尸,

使得EF=DE,连接班则跖为（）

7

AB.3C.D.4

-I2

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关

键.

CFDFDCRFFG3

解法一：延长。方和AB,交于G点，先证得到==再证BGFsAGE,得至!）不二寸=:，

AEGEAGAEEG4

即可求得结果；

解法二：作FH//AB交AC于点H,证明出&CDE空HF£（AAS），得到HE=CE=1,9=8,然后证明出四边形ABFH

是平行四边形，得到陟=A"=AC—CH=3.

【详解】解：解法一：延长。方和A5,交于G点，

DC//AB,DC=AB^DC//AG,

DECsGAE

CEDEDC

AE-GE-AG?

AC=5,CE=1,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC1

*AE-GE-AG-4

DE_DE_1

又•・•EF=DE,

GE~EF+FG~4"

・竺」

*FG-3

..DCDC_1

DC=AB,

.AGAB+BG~4

.DC1

••—―，

BG3

.EFDC1

**FG-BG-3?

.BGFG3

**AG-EG-4

:.AE//BF,

:・BGFsAGE,

.BFFG_3

••5=4,

・・・BF=3.

解法二：作"/〃AB交AC于点”

:・/CDE=/HFE,/DCE=/FHE,

又＜EF=DE,

：.CDE^HFE(AAS),

/.HE=CE=19FH=CD,

•・,四边形ABC。是平行四边形，

ACD//AB,CD=AB,

HF//AB,HF=AB,

・・・四边形AB切是平行四边形，

・•・BF=AH=AC-CH=3.

故选：B.

【变式演练】

1.（2025•山西朔州•一模）如图，AB//CD,AC与30相交于点E,已知AE=4,CE=6,3E=5,则台£＞的长为

【答案】12.5

【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解.

【详解】解：：AB〃CD,

\ZA=ZC,ZB=ZD,

■.AABE^ACDE,

AEBE

'CE~DE'

45

即:

6DE

DE=7.5，

・•・50=5+7.5=12.5；

故答案为：12.5.

2.（2025•江苏苏州•模拟预测）如图，ABC中，AB^AC,点。是ASC的外心，且。4=2,延长8。交AC于点。,

若AD2=ABxDC,则OD=.

【答案】V5-1

【分析】本题主要考查三角形外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解三角形外心的性质,

掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

根据三角形外心得到OB=OC=OA=2,可证&AOB^AOC（SSS）,得到ZAOD=ZBAD,可证一AOD^BAD,则

器=喘=器，所以有OD（2+OD）,AB2W=（+Q©,运用等量代换可得

OD（2+or＞）=（75-1）（2+00）,由此即可求解.

【详解】解：：点。是ABC的外心，且。4=2,

OB=OC=OA=2,

：./OAB=/OBA,

：.ZAOD=Z.OAB+NOBA=2ZOAB,

AB=AC,OB=OC,OA=OA,

：.：.A0B^A0C（SSS）,

：.ZOAB=ZOAC,

：.NBAD=2NOAB,

：.ZAOD=ABAD,

NODA=ZADB,

^AOD^BAD,

.ODAD_OA

"AD-BD-AB?

：.AD2=ODBD=OD（2-^OD\AB?AD=OABD=-（+Q@,

・.,AD1=ABDC=AB（AC-AD）=AB（AB-AD）,

AB2-AD-AB-AD2=0,

.4nAD±ylAD2+4AD2AD±y/5AD

••AD=-------------------------------=-------------------,

22

AB=好±1A。或48=迷上1Ao（不符合题意，舍去）,

22

把AD代入ABAD=OABD=2（2+OD）,

：.J1±LAD2=2（2+OD）,

：.AD2=（75-1）（2+00）,S,AD2=OD-BD=OD（2+OD）

：.OD（2+OD）=（A/?—1）（2+OD）,

：2+ODHO,

OD=y/5-l,

答案为：V5-1.

3.（2025•陕西西安・一模）如图，在VABC中，ZBAD=2ZC,Z1=Z2