山东省临沂市2025届高三2月一模考试数学试卷（含答案解析）

山东省临沂市2025届高三2月一模考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.—=（）

2-1

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

2.已知集合/=同2》-〃40},8=同1<无<2}.若/。2=0,贝匹的取值范围为（）

A.（-℃,!）B.C.（-℃,2）D.

3.直线2尤-3y+l=0的一个方向向量是（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（2,-3）D.（3,-2）

4.圆G：尤?+了~=1与圆。2：厂+/-6x-8y+9=0的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

—►—►1—»

5.在V45C中，点。是48的中点，点尸在上，若=+则2=（）

,1124

A.-B.—C.-D.一

6333

6.（1+》严的展开式中的一项是（）

A.45xB.90x2C.120/D.240/

7.已知/（x）=tanx,若对任意实数ae（-1,1）,be（-1,1）,贝!]“a+6>0”是"/（。）+/（6）>0

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.设数列{叫的前〃项和为S,,,且S“+”=l,则满足S,>0.99时，〃的最小值为（）

A.49B.50C.99D.100

二、多选题

9.甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下:

试卷第1页，共4页

甲组：244,245,245,246,248,251,251,253,254,255,257,263

乙组：239,241,243,245,245,247,248,249,251,252

则下列说法正确的是（）

A.甲组数据的第60百分位数是252

B.乙组数据的中位数是246

7

C.从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为工

D.甲组中存在这样的成员，将他调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提高

io.圆柱的轴截面是正方形，a，o?分别是上、下底面的圆心，48是下底面圆周上两

个不同的点，8c是母线，若圆柱002的侧面积为16兀，则（）

A.圆柱的体积是16兀

B.圆柱内切球的表面积是8兀

C.AOlBC=16

D•点3到直线距离的最大值为百

11.将曲线。。=色+述经过旋转可得到双曲线£：工-?=1,若直线＞=加与C只有

一个公共点，与E交于43两点，则（）

A.m=2V2B.a=2-\/3

C.b—2D.\AB\=2^6

三、填空题

12.设随机变量J~N（2,5）,若「«＜〃?）=尸偌＞加一1）,贝打"=.

13.2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦

让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规

则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就

不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移

动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是.

14.点加）在直线了=加+〃（〃€川）上，点？/C2，加）在抛物线了2=4》上，记MN两点

试卷第2页，共4页

n-29

N

间的最小距离为服(”,),若nq.=a1a2a3,,,则n《，(M,N)=.

z=ln=2

四、解答题

15.已知a,6,c分别为V/3C三个内角42,C的对边，且GacosC+csii/-扬=0.

⑴求A；

(2)若c=3,asinS=2百，求

16.已知函数/(x)=(2x+l)e1

⑴求曲线y=/(x)在点(oj(o))处的切线方程；

⑵若函数g(x)=〃x)-履在(-90)上恰有两个零点，求左的取值范围.

17.《教育强国建设规划纲要(2024-2035年)》中指出深入实施素质教育，健全德智体美

劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为了解学生每天参加综合体

育活动的情况，随机调查了100名男生和100名女生，统计他们周一到周五在校期间的运动

步数，数据如下表所示：

运动步

合

数(万(2,3)口，4)[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)

计

步)

人数

12a]a2a394100

(男)

人数

144b2272100

(女)

表中数据%,出，的，9成等差数列；4也也成公比为正整数的等比数列.

(1)若周一到周五在校期间的运动步数达到5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生体育

锻炼的达标率；

(2)为进一步了解女生每天参加综合体育活动的情况，在步数位于(2,5),[5,8)两组内的女生中,

采用等比例分层抽样的方法抽取10人,现从这10人中随机抽取3人进行访谈，记步数在[5,8)

内的人数为X,求X的分布列和期望.

试卷第3页，共4页

18.在zJVSC中，NB=90°,4D//BC,NA=CD=2AB=2,如图将VM1。沿4D翻折至

△PAD.

(1)证明：平面尸8C_L平面尸/B；

(2)若二面角8大小为120°.

(i)求PN与平面P8C所成角的正弦值；

(ii)在线段尸。上是否存在点E,使得平面N8E与平面PDC所成角的余弦值为g?若存在,

确定点£的位置；若不存在，说明理由.

22/7

19.已知椭圆氏二+3=1仅>01>0)的离心率为空，片，巴是£的左、右焦点，且

ab3

由周=4近，直线《过点力与E交于43两点.

(1)求E的方程；

(2)若|明=2后,求4的方程；

(3)若直线4过点月与E交于C,。两点，且4,4的斜率乘积为-,W,N分别是线段AB,CD的

中点，求A0W面积的最大值.

试卷第4页，共4页

《山东省临沂市2025届高三2月一模考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案ADBCBCCDBCDAC

题号11

答案BC

1.A

【分析】运算复数除法的运算法则进行求解即可.

55（2+i）5（2+i）、.

【详解】二=（2_i）（2+i广匚可=2+1，

故选：A

2.D

【分析】由/口3=0,可得即可得解.

2

【详解】={x|2x-a<0）=jxr<-|j,

因为/ng=0,

所以解得a42,

所以”的取值范围为

故选：D.

3.B

【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可.

【详解】2x-3^+l=0^j=|x+1,所以该直线的一个方向向量为

因为（3,2）=3m,所以向量（3,2）与向量［1,£|是共线向量，

其他选项的向量与向量不是共线向量，

故选：B

4.C

【分析】根据给定条件，求出圆心距即可判断.

【详解】圆G：尤2+/=1的圆心q（o,o）,半径11,

2

HC2:x+/-6x-8y+9=0,即C?:（x-3）?+（y-4了=16,圆心。2（3,4）,半径々=4,

答案第1页，共14页

则|GG|=V?*=5=4+2，所以两圆外切.

故选：C.

5.B

【分析】由题意存=「一仆石+2.，丽=g9+；而，根据点P在C。上，即可列方

程求解.

—►1—►1—>

【详解】由题意点。是45的中点，所以。。二7口+大口，

22

又不=2万+;就，所以刀+反=2函+西+g就，

^CP=X^CA+XCB,

又因为点尸在CD上，

1

所以--=1,解得久「或％=-；(舍去).

--2233

3

故选：B.

6.C

【分析】由二项式定理展开式通项即可验算.

【详解】(1+»°的展开式通项为&|=。。，，对比选项依次代入厂=1,2,3,4得对应项，

(1+方°的展开式中的项可以是10》,45/,120/,210/.

故选：C.

7.C

【分析】综合利用正切函数的单调性和奇偶性分析判定.

【详解】因为/'(x)=tanx是内的单调递增函数，并且是奇函数，

所以tana+tan6>0otan〃>一tanb=tana>tan(-Z))OQ>-Z?O〃+6>0,

所以“a+6>0”是“/⑷+/9)>0”充分必要条件，

故选：C.

8.D

【分析】根据S,,。,的关系求出a“,S”的表达式，进一步解不等式即可得解.

答案第2页，共14页

【详解】因为S,+〃a“=l,所以%=；,

当“22时，S"+"%=1,所以+,

即&=曰，此时%=2x—x吐…X&X生X4

aa

n-\〃+1n-2%-3a2%

n-1n-2n—332111

=----------X------------X----------X•••X—X—X—X—=--------------------〃=1也满足该式,

n+1nn-15432〃（"+1）

七总二1一'町

故4=

n+1

若s“=l--1->0.99,解得”>99,故所求为100.

n+1

故选：D.

9.BCD

【分析】对于A直接利用百分位数计算公式即可；对于B根据公式计算中位数和平均数；

对于C根据古典概率公式计算即可；对于D,求出两者平均数判断即可.

【详解】对于选项A,因为12x60%=7.2,所以甲组数据的第60百分位数是第8个数，即

253,故A错误;

对于选项B,因为10x50%=5,所以乙组数据的中位数是第5个数与第6个数的平均数,

口口245+247,,-I-T-ZZ.

即--------=246,故B正确;

2

对于选项C,甲组中跳远成绩在250厘米以上的有7人，乙组中跳远成绩在250厘米以上的

有2人,

所以从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在250厘米以上的概率为

727

____V_____—____故C正确;

1210-60（

对于选项D,甲组的平均成绩为

244+245+245+246+248+251+251+253+254+255+257+263……

---------------------------------------------------------------------------------------=251厘米,

239+241+243+245+245+247+248+249+251+252

乙组的平均成绩为=246厘米,

W

所以将甲组中跳远成绩为248厘米的成员调派到乙组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都有提

高，故D正确.

故选：BCD.

10.AC

【分析】根据圆柱体积公式、侧面积公式，结合空间向量数量积的坐标公式、点到线距离公

答案第3页，共14页

式逐一判断即可.

【详解】设圆柱。。2的底面半径为「，所以母线为2八

因为圆柱。1。2的侧面积为16兀,所以2兀r-2r=16兀=>r=2.

因为圆柱。。2的体积是7i-22x2x2=167t,所以选项A正确；

因为圆柱。。2的底面半径为2,所以母线为4,所以圆柱内切球的半径为2,

所以圆柱。。2内切球的表面积是4兀=16兀，因此选项B不正确；

建立如图所示的空间直角坐标系，

Q(0,0,4),8(0,2,0),C(0,2,4),设

------->-v

(2cos0,2sin0,0),sin6>#1,

AOi»；(-2cos0,-2sin0,4),W=(0,0,4),

JQ-SC=(-2cos6»,-2sin(9,4).(0,0,4)=12co的卜N92si坦*岳4x4=16,

所以选项C正确；

设。=AB-(-2cos9,2-2sin8,0),

直线的单位方向向量为

答案第4页，共14页

〃=।§=/(-2cos。，-2sin^,4)=-(-cosa-sin。,]

\AO]V4cos^+4sin^+16V一小

所以点3到直线/Q距离为

I_4.232._"I36I_4/.~"I__~~?2__77

=J-—sm0n--sin0+—=J-y(sin0+4)+20,

o/F

由题意TVsinJvl,所以当sin6=-l时，41ax=三一，选项D不正确,

故选：AC.

【点睛】关键点睛：求点3到直线/Q距离的最大值的关键是利用点到直线距离的向量公式

写出表达式，根据正弦函数与二次函数的性质求出最值.

II.BC

【分析】由双曲线定义、对勾函数性质以及旋转的性质依次求得优,进一步只需联立

22

»=2后与5:^--匕=1即可判断D.

124

【详解】对于BC,由题意将曲线。:了=县+西夹在中间的两条渐近线方程为

3x

V3

y=——x.x=0，

3

兀71

所以这两条渐近线所形成的那个锐角的一半为〃_5一7—兀，

(7二-----=一

26

曲线C:y=叵+空的两条渐近线y=Bx,x=0的中间那条直线为y=Qx,

3x3

联立尸氐以及c：尸县+也，解得卜=8或

3%卜=3》=-3

由旋转的性质可得，—=tan0=,2a=2J3+9=46,解得。=2百,6=2,故BC正确,

a3

对于A,若直线丫=皿与c：y=^+这只有一个公共点，由对勾函数性质可得切=±2百，

3x

故A错误；

22

对于D,要求以同，由双曲线的对称性可知，只需联立＞=2后与£:£-亍=1,

fx—6[x——6..

解得]-20或h，-2Vr即"同=12,故D错误，

答案第5页，共14页

故选：BC.

【分析】由正态分布的性质即可得解.

【详解】由题意〃=2,P^<m）=P^>m-l）,所以竺芳二1=2,解得机=看

故答案为：

2

13.-

5

【分析】由条件概率知识即可求解.

【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三

个东西，

例如s妨代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，

一开始的状态有skb,sbk,bks,bsk,ksb,kbs六种情况，我们用->表示一次调换，

那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：skbfksb,

第二种初始状态下的变换过程为：sbkTskb,

第三种初始状态下的变换过程为：bksfkbsfksb,

第四种初始状态下的变换过程为：bskTbksTkbs,

第五种初始状态下的变换过程为：ksbTksb,（本质上没有调换），

第六种初始状态下的变换过程为：kbsTksb,

从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状

态共5种情况，

在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是求6（对应的初始状态是第二

种初始状态），

故所求概率为。

故答案为：

1013

14.----

2025

【分析】本题可先求出M、N两点横坐标的关系，进而得出的表达式，然后求出

,最后根据的表达式计算n4（M,N）的值.

n=2

【详解】已知点“（尤”加）在直线y=〃尤+"（〃eN*）上，

答案第6页，共14页

则将点M代入直线方程可得加=〃%+”①.

点N6,⑼在抛物线『=4尤上，则将点N代入抛物线方程可得加2=4%②.

因为M、N两点纵坐标相同，所以|跖V|=|尤2-X]|.

222

由①可得玉=1,由②可得％=二，贝1MV1=1仁一匕]！1=1乜-4+”.

〃44〃4〃

令t==,贝|]|皿|=产一0+11,将其转化为顶点式：

2n

22

|jWHf-—+1|=|?-—+-fU+1|^C_0+1_Li,

nn\n)\n)\nJn

因为（/二）220,所以当/=,时，取得最小值，lAWIminqi-Al.

nnn

(1)0+1)

因为〃WN*,所以1----F＞°，则“〃(MN)=|MV/=1---T=~~2~

nnn

咨7，一“、1x32x43x52024x2026

口4,(“川)=干*丁*下＞＜一^^025T-，

可以发现上式中相邻两项的分子分母可以约分，约分后可得:

2025120261013

rp〃"N)—x--------

n=2220252025

1013

故答案为:

2025

【点睛】方法点睛:

对于求平面直角坐标系中两点间距离最值的问题，先根据点所在的曲线方程得到坐标之间的

关系，再将距离表示为关于某一变量的函数，通过函数的性质（如二次函数的顶点式）来求

解最值.在处理连乘形式的式子时，要善于观察式子中各项的规律，通过约分等方法简化计

算.

TT

15.⑴、

⑵汨

【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得tan/=百，由此即可得解；

（2）由正弦定理得6=4,再由余弦定理即可求解.

【详解】（1）由正弦定理边化角可得百sin/cosC+sinCsin/-，§sin8=0,

即6sinZcosC+sinCsinN=V^sinj3=V^si《/+。=i3sinZcosC+7_3cosZsin（,

答案第7页，共14页

所以sinCsinN=6cosNsinC，因为sinC>0,cos/=上^>0,

所以tan/=百，又Ne(O,兀)，解得N=g；

(2)若。=3,asinB=2>/^,贝!josin5=2Rsin4sin5=6sin4=——b=2和，这里H是三角形

2

45。外接圆的半径，

解得6=4,

由余弦定理可得。=J/+c2-26ccos/=，42+32-2x4x3xg=g.

16.(l)3x->+1=0

⑵卜:]

【分析】(1)求导，再根据导数的几何意义即可得解；

(2)分离参数可得l=(2x+l)e：构造函数M%)=(2x+l)e',x.(_QO,o),利用导数求出函

XX

数的单调区间，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.

【详解】⑴由〃x)=(2x+l)e"得r(x)=(2x+3)e)

则"0)="(0)=3,

所以曲线>=/(》)在点(。，/⑼)处的切线方程为>-1=3无，即3x-y+l=0；

(2)令g(x)=/(x)—丘=0,则2=幺"=(2x+l)e.,

XX

令Mx)=(2x：l)e：xe(_8,o),

z(2x2+x-1)ex(2x-l)(x+l)ex,、

则miI/(x)x=A——p)=，----%一」，了《_%0)，

令//(x)〉0,贝令/(x)<0,贝

所以函数力⑴在(-巴-1)上单调递增，在(TO)上单调递减，

所以'(XU=〃(T)=：，

V

(2x+l)e'=2/+巨,当xfe时，”(尤)一o,

XX

当X.0时，//(%)-»-<»,

如图，作出函数〃(x)的大致图象，

答案第8页，共14页

因为函数g(x)=y(x)-foe在(-oo,0)上恰有两个零点，

所以函数y=Ky=Mx)的图象恰有两个交点，

所以上的取值范围为[o.]

17.(1)30%

3

(2)分布列见解析，£(X)=|

【分析】(1)需要根据等差数列的性质求出男生运动步数达到5万步的人数，进而计算达标

率；(2)先根据等比数列性质求出相关人数，再利用分层抽样确定抽取人数，最后通过古典

概型求出随机变量X的分布列和期望.

【详解】(1)已知q,外，%，9成等差数列,设公差为d,则q+3d=9.

又因12+4]+?+。3+9+4=1009即%+出+的=75.

由等差数列性质q+。2+。3=3%=75,可得4=25.

(a,+d=25

联立方程组11C，解得d=-8,1=33,“3=25+(-8)=17.

[6+3d=9

男生运动步数达到5万步(即[5,6)、[6,7)、[7,万这三组)的人数为17+9+4=30人.

30

所以男生体育锻炼的达标率为—xlOO%=30%.

(2)因为4也在成公比为正整数的等比数列，设公比为^("N+),

且14+4+仇+Z?]+7+2=100,即4+仇+4=77.

答案第9页，共14页

所以4+639+6342=77,即4(1+1+/)=77.

因为q£N+，4GN+,

77

当4=1也=?，舍去；当夕=2,4=11,打=224=44满足题意；

7711

当9=3,4=5，舍去.当9=4,a=§,舍去.

7777

当9=5,63=3^,舍去.当夕=6,4=ZJ,舍去.

7777

当夕=7,a=为，舍去.当夕=8,63=1^，舍去.当^=9,&<1,舍去.

步数位于(2,5)内的女生人数为14+44+22=80人，步数位于［5,8)内的女生人数为

11+7+2=20A.

QA

采用等比例分层抽样抽取10人，则从步数位于(2,5)内抽取10X言=8人，从步数位于［5,8)

内抽取10-8=2人.

随机变量X表示步数在［5,8)内的人数，X的可能取值为0,1,2.

r37C2cl7121

P(X=0)=W=,；尸(x=l)=^^=,；P(X=2)=^CC^=上

333

JCo15JJcoI2SJco15

所以X的分布列为：

X012

771

P

151515

77193

期望颐X)=0x，+lx，+2x—=Z=」

151515155

18.(1)证明见解析

/n114

(2)(i)与(ii)存在点E,当。£=不。「或。£=—DP时满足题意

1425

【分析】(1)只需证明8C_L平面尸48,注意到/D//BC,故只需证明4。_L平面尸,由

AD1AP,AD14B即可证明AD1AP,AD1AB；

(2)(i)由题意得/尸即二面角尸的平面角，结合解三角形知识求解即可；(ii)

建立适当的空间直角坐标系，引入参数彳市=2赤,2e(0,1),将平面/BE与平面尸DC的法

向量表示出来，结合平面N3E与平面PDC所成角的余弦值为(列出关于％的方程，判断该

答案第10页，共14页

方程的解的情况即可得解.

【详解】(1)因为/5=90°,/D//3C,所以,

因为P/c48=A,PA,ABu平面PAB,所以/£>_L平面PAB,

所以3C_L平面尸又BCu平面尸BC,所以平面尸5C_L平面P43；

(2)(i)在四棱锥P-/8CD中，由(1)知即二面角尸的平面角，

故NP48=120。，因为M4=CD=2/3=2,所以NC=6,NB=3,

从而BC=36,ZDCB=30°,

过点A作4F_LPB,交PB于点、F,又因为4FJ8C,可得/尸_L平面P8C,尸/与平面尸8C

所成角即为N/尸尸.

在△尸48中，由余弦定理可得：PB=y/PA2+AB2-2PA-AB-cos1200=V7>

PA-AB-sinl20D而AF

由等面积法，AF=2——---------=2,sinNAPF=—,

iPBAP14

2

所以尸工与平面尸5c所成角的正弦值为叵；

14

(ii)如图，建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),尸(—1,0,75),用1,0,0H0,小,q,qJ,

丽=卜1,-2亚6),

设丽=X丽,;le(0,1),可得4-九26(1-/1),收)，

设平面M3E的法向量为成=(x,y,z),平面POC的法向量为五=(。,4c),

m-AB=0x=°

应.4E-0~Ax+(1-2+九z—0

答案第11页，共14页

令y=可得玩=（0,42（2-1））,

n-DP=Of—a-2回+&=0

一，即厂，

n-DC=O|a+j3，=0

令a=0>,可得为=（后,一>1）,

132-2|1

设平面ME与平面PDC的夹角为6,cos3='==-,

V5-V5A2-8/l+45

14

解得2=万或W,

14

所以存在点£,当。£尸或。£=《。尸时满足题意.

【点睛】结论点睛：若直线/,加的方向向量分别为Z3,平面名△的法向量分别为£3,则

（4\a-b

①两异面直线/,加所成的角为cos6=k$;

（兀、\a-u\

②直线,与平面夕所成的角为夕。《。4彳，smJ=帛；

I2）\a\\u\

③二面角a-/-尸的大小为61（0464兀），|cose"丽•.

22

19.⑴」匕二1

124

（2）x-J/+2V2=0,或x+y+2后=0；

声

3

【分析】（1）根据椭圆焦距公式。椭圆离心率公式，结合椭圆标准方程中的关系进行

求解即可；

（2）根据直线《的斜率是否为零，结合椭圆弦长公式分类讨论进行求解即可

（3）根据一元二次方程根与系数关