竖直面内的圆周运动（轻绳与轻杆模型）解析版-2024-2025学年高一物理（人教版必修第二册）

竖直面内的圆周运动（轻绳与轻杆模型）

【提升01轻绳模型】

1.如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做

圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。

轻绳模型

弹力特征在最高点弹力可能向下，也可能等于零

\mg'\mg"

受力示意图

•0；。

V2

动力学方程F~\~mg=m一

r

^2__

临界特征/=0,即加g="—,得是小球能否通过最高点的临界速度

r

2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系

⑴。=历时，mg=m-,即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力（或轨道的压力）为零。

r

济

（2）0<J7时，mg>m—,即重力大于小球所需要的向心力，小球不能通过最高点。

r

（3）吟质时，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力（或轨道的支持力），重力

r

v2

和拉力（或轨道的支持力）的合力充当向心力，^mg+F=m-

ro

【学霸练01一轻绳模型】2024年五一小长假期间，某同学随父母一起来到达州市宣汉县巴山大峡谷景区体

验了悬崖秋千，该同学坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，则（）

A.秋千对该同学的作用力大小等于其自身重力

B.该同学所受的合外力不为零

C.该同学此时的速度为零，加速度也为零

D.此时秋千的钢绳所受的拉力最大，最容易断裂

【答案】B

【详解】AB.该同学坐在秋千上摆动到最高点时，秋千对该同学的作用力大小等于其自身重力沿半径方向

的分力，即秋千对该同学的作用力大小小于其自身重力；该同学所受的合外力等于其自身重力沿切线方向

的分力，不为零，故A错误，B正确；

C.该同学此时的速度为零，由于该同学所受的合外力等于其自身重力沿切线方向的分力，所以加速度不为

零，故c错误；

D.设绳子与竖直方向的夹角为仇根据牛顿第二定律可得

T-mgcos0=m——

r

可得

V2

T=mgcos0+m——

r

在最高点时，速度最小，e最大，则秋千的钢绳所受的拉力最小，最不容易断裂，故D错误。

故选Bo

【学霸巩固01】（多选）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点。在竖直面内做圆周运动,

小球经过最高点时的速度大小为V,此时绳子的拉力大小为尸T，拉力号与速度的平方V2的关系图像如图乙

所示。图像中的数据〃和b,包括重力加速度g都为已知量，假设小球质量为加,则以下说法正确的是（）

A.a=2gr

br

C.—=—D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径

am

【答案】BD

【详解】在最高点时由牛顿第二定律可知

v2

4+mg=m—

r

解得

-mg

r

当产产0时

a=v2=gr

当v2=2a时

b=Ff=mg

可得

b_m

ar

可得小球的质量

b

m=—

g

故选BDo

【提升02轻杆模型】

1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆（管道）的弹力作用下在竖直

平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。

轻杆模型

弹力特征在最高点弹力可能向下，可能向上，也可能等于零

一"节,、卜"、、尸"?

受力示意图*•1'•,img

•0i。i0

V2

动力学方程mg^F=m一

'r

临界特征。=0,即尸向=o,止匕时b=Mg

的意义尸表现为方向向上的支持力还是方向向下的拉力（或压力）的临界点

2.小球在最高点时杆上的力（或管道的弹力）随速度的变化

浮

（l）o=J7时，mg=m—,即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆（或管道）与小球间无作用力。

r

时，mg>m—,即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力尸，mg—F=m—,即尸=

rr

v2

mg—m—,o越大，尸越小。

r

v2

（3）0>J，时，mg<m—9即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力（或压力）产。重力和拉力

（或压力）的合力充当向心力，mg+斤=加一，即尸=加---mg,。越大，尸越大。

rr

【学霸02-轻杆模型】如图所示，质量为L6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，

小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为

加A=lkg、mB=2kgo某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为%=3m/s,此

时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小％为（取g=10m/s2）（）

A.2m/sB.4m/sD.8m/s

【答案】B

【详解】对A分析，根据牛顿第二定律有

F片

可得，圆管对小球A的弹力为

4=28N,方向向上

则小球A对圆管的弹力为

片=4=28N,方向向下

对圆管分析，则有

F2=Fx+mg

解得，则小球B对圆管的弹力为

B=44N,方向向上

则圆管对小球B的弹力为

"=g=44N,方向向下

对小球B分析，有

F+mg=m

BBBr

解得，小球B的速度为

vB=4m/s

故选B。

【学霸巩固02】如图所示，半径为尺的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴。转动。在轮上沿相互垂直的直径方

向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为加的A、B、C、D,4个小球，球心与。的距离均为2尺现让鼓形

轮匀速转动，若某时刻8、。两球所在直杆恰好位于水平方向，小球B的速度大小为v,不计空气阻力，重

力加速度为g,下列说法正确的是（）

A.鼓形轮的角速度为2B.杆对小球C的作用力一定竖直向上

C.杆对小球D的作用力为网E

D.杆对小球A的作用力一定大于mg

R

【答案】D

【详解】A.鼓形轮的角速度为

v

CD=——

2R

故A错误；

B.小球C所需的向心力大小为

F=

2R

若

v2

F=m—>m父

2R

则杆对小球c的作用力竖直向下，故B错误;

C.对于小球D,竖直方向有

Fy=mg

水平方向有

F=m—

x2R

则杆对小球D的作用力为

FD=J月2+岑=J(mg)2+(m

故C错误;

D.对于小球A,根据牛顿第二定律可得

FA-mg=m^>0

可知杆对小球A的作用力一定大于mg,故D正确。

故选D。

1.（23-24高一下•河南南阳•期中）如图所示，一位游客沿水上乐园的滑梯下滑，当滑至尸点时恰好脱离滑

道。已知滑道的"N段为一段处于竖直面内的半径为尺的圆弧，。点为圆弧的圆心，"。连线竖直，。尸与

的夹角为a,重力加速度为g,由此可知该游客运动至尸点时的速度大小为（）

【答案】C

【详解】依题意，游客在尸点时，有

mgcosa=

解得

v=y/gRcosa

故选Co

2.（23-24高一下•浙江杭州•期中）2022年3月23日15：40分中国空间站第二次授课正式开始，在本次

授课中宇航员王亚平、叶光富向我们展示了水油分离试验。如图宇航员叶光富正用手握住绳子的一端并将

装有水油混合物的瓶子系在另一端，让其在竖直平面内做圆周运动，通过离心作用将水油分离。等效模型

如图。假设当瓶子运动到最高点时速度为V,做圆周运动的半径为心水油混合物的及瓶子的总质量为加,

则此时绳子的拉力为（）

A.F=--------mg

rJ

【答案】C

【详解】因空间站内的物体处于完全失重状态，则当瓶子运动到最高点时绳子的拉力

F=——

r

故选Co

3.（23-24高一下•新疆伊犁•期中）如图所示，用长为£=lm的轻质杆连着质量为加=lkg的小球在竖直平面

内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）

A.若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率为lm/s

B.小球在圆周最高点时所受的向心力可能仅由重力提供

C.小球过最低点轻杆对小球的拉力可能小于小球的重力

D.小球在最高点时轻杆受到作用力不可能为零

【答案】B

【详解】A.若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时，由于轻杆能对小球提供支撑力，可知

速率为零，选项A错误；

BD.小球在圆周最高点时所受的向心力可能仅由重力提供，此时轻杆受到作用力为零，此时的速度满足

v

mg=m—

选项B正确，D错误;

C.小球过最低点时根据

T-mg=m—

可知，轻杆对小球的拉力一定大于小球的重力，选项c错误；

故选Bo

4.（23-24高一下•江西萍乡•期中）如图所示，长为2m的细绳，上端系在一高架天车上，下端拴一质量为20kg

的重物。天车与重物一起以4m/s的速度匀速运动，当天车突然急刹车并停止运动时，取g=10m/s2,下列

说法正确的是（）

□

A.重物所受合力为0B.重物处于失重状态

C.重物的加速度为2m/s2D.绳子的拉力为360N

【答案】D

【详解】A.当天车突然急刹车并停止运动时，重物因为惯性会继续做圆周运动，停止瞬间合外力提供向心

力，合力不为零，故A错误；

B.当天车突然急刹车并停止运动时，重物向心加速度竖直向上，则处于超重状态，故B错误；

C.重物的加速度为

V22

a=——=8m/s

R

故C错误；

D.根据牛顿第二定律

T—mg=ma

解得

T=360N

故D正确。

故选D。

5.（23-24高一下•河北,期中）如图甲所示，质量为M的人站在体重计上，手持轻绳一端，另一端系着质

量为加的小球。小球在竖直平面内做半径为工的圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点。用频闪相机

拍出小球运动的轨迹如图乙所示，。、6两点分别为轨迹的最高点和最左侧点，则（）

甲

A.小球运动到最高点的速度为零

B.小球在0、6两点时，体重计示数相同

C.小球运动到最低点时体重计的示数最小

D.小球运动到6点时，人不受摩擦力的作用

【答案】B

【详解】A.绳子只能产生拉力，为使小球做完整的圆周运动,小球在最高点的向心力大小应该满足

F=

则可知小球在最高点的速度大小满足

v>Vgi

当小球在最高点的速度为疯，故A错误；

B.小球在0、6两个位置时，竖直方向的加速度均为g,小球处于完全失重状态，体重计示数相同，故B正

确；

C.小球在最低点时，绳子拉力最大，体重计示数最大，故C错误。

D.小球运动到6点时，绳子对人有向左的拉力，故人应受到向右的摩擦力，D错误

故选Bo

6.（23-24高一下•河北邢台•期末）如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为尺的圆轨道。一质量

为加的游客坐在座椅上随过山车一起匀速转动，当游客经过圆轨道最低点时，对座椅的压力恰好为自身重

力的2倍，重力加速度大小为g,游客及座椅整体可视为质点，则游客经过圆轨道最高点时（）

A.速度大小为庾B.处于超重状态

C.处于平衡状态D.向心力大小为2加g

【答案】A

【详解】A.当游客经过圆轨道最低点时，有

FN-mg^m

K

其中

Fz=F=2mg

解得

v=y[g^

由于过山车匀速转动，因此游客经过圆轨道最高点时速度大小为旅，选项A正确；

BC.游客经过圆轨道最高点时有竖直向下的加速度，处于失重状态，选项BC错误；

D.结合前面分析可知游客所需向心力大小为

V2

m—=mg

选项D错误。

故选Aa

7.（23-24高一下•河北保定•期中）建筑工地上有一种小型打夯机，其结构原理如图所示，一个质量为M

的支架（含电动机）上有一根长为Z的轻杆，一端固定一个质量为加的铁块（视为质点），另一端固定在

电动机的转轴上。电动机带动铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，当转动的角速度达到一定数值时，支架

抬起然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。若重力加速度为g,空气阻力不计，则（）

A.铁块做圆周运动的线速度始终不变

B.铁块转动到最低点时处于支架对地面的压力小于（M+机）g

c.若使支架离开地面，则电动机的角速度。」陛

VmL

D.若使支架离开地面，则电动机的角速度02

mL

【答案】D

【详解】A.铁块做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向沿圆的切线，因此线速度不断变化，故A错误;

B.铁块转动到最低点时，有竖直向上的加速度，故杆对铁块的拉力大于其所受的重力，铁块处于超重状态,

即支架对地面的压力大于+故B错误；

CD.铁块转动到最高点时对支架有向上的拉力使其离开地面，支架刚离开地面时，对铁块的拉力有

T=Mg

其转动到最高点时，由牛顿第二定律可得

T+mg=ma>2L

解得

*回+小

VmL

即若使支架离开地面，则电动机的角速度

VmL

故C错误，D正确。

故选D。

8.（23-24高一下•河北邯郸•期中）如图甲所示为一种叫"魔力陀螺”的玩具，其结构可简化为图乙所示。铁

质圆轨道用支架固定在竖直平面内，质量为加、可视为质点的陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转，半径均

为陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道半径的方向，大小恒为6〃陪。不计摩擦和空气阻力，重力加速

度为g。下列说法正确的是（）

圆轨道

陀螺

甲

A.陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度最小值为我

B.陀螺在轨道内侧运动的过程中，无论速度取何值，均不会脱离轨道

C.当陀螺在轨道外侧运动时，只要速度不超过即可保证其始终不脱离轨道

D.若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为^则其所受合外力的大小为2加g

【答案】B

【详解】A.陀螺在轨道内侧运动到最高点时，由于

F喙=6mg>mg

可知速度最小值可以为0,此时轨道弹力大小为

N^F^-mg^Smg

故A错误；

B.陀螺在轨道内侧运动的过程中，由于陀螺离开轨道只能做近心运动，而在最高点的最小速度可以为0,

所以无论速度取何值，均不会脱离轨道，故B正确；

C.当陀螺在轨道外侧运动时，在最低点的弹力刚好为。时，则有

LUV2

FVL-mg=5mg=m—

可得

v=y15gR

可知要保证陀螺始终不脱离轨道，其速度不能超过同，故C错误；

D.若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为任无，陀螺受到磁吸引力和轨道弹力处于水平方

向，重力处于竖直方向，则合外力的水平分力为

v2

rx=m—=2mg

合外力的竖直分力为

Fy=mg

则所受合外力的大小为

Fa=+F；=#mg

故D错误。

故选Bo

9.（23-24高一下•湖南邵阳•期中）如图所示，我国男子体操运动员张成龙用一只手抓住单杠，伸展身体,

以单杠为轴做圆周运动。如图甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小

为F,用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v,得到尸-v?图像如图乙所示。g取lOm/s"则下列说

法中错误的是（)

甲

A.张成龙的质量为65kg

B.张成龙的重心到单杠的距离为0.9m

C.当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上

D.当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向下

【答案】C

【详解】A.由图乙可知，当v2=o时，有

F=mg=650N

可得张成龙的质量为

m=65kg

故A正确；

B.由图乙可知，当/=9m2/s2时，F=0,则有

v2

mg=m—

r

可得张成龙的重心到单杠的距离为

v2

r-——=0.9m

g

故B正确；

CD.当张成龙在最高点的速度为4m/s时，设张成龙受单杠的弹力方向向下，根据牛顿第二定律可得

V2

mg+F=m—

r

解得

V242

F=m-----mg=(65x-------650)N>0

r0.9

可知张成龙受单杠的弹力方向向下，故C错误，D正确。

本题选错误的，故选C。

10.(2024高一•全国•专题练习)水流星是一项中国传统民间杂技艺术。杂技演员用一根绳子兜着两个碗,

里面倒上水，迅速地旋转着做各种精彩表演，即使碗口朝下，碗里的水也不会洒出来。用可视为质点的小

球替代水碗，可将水流星抽象为竖直平面内的圆周运动，轻质细绳长为3重力加速度为g。小球通过最高

点时，绳对小球的拉力/与其速度的二次方俨的关系图像如图所示，图线与纵轴的交点坐标为。，下列说

法正确的是（）

A.利用该装置可以得出重力加速度g='

a

B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的俨-尸图线斜率更小

C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的v2-尸图线斜率更小

D.绳长不变，用质量较小的球做实验，v2-F图线与纵轴的交点坐标变小

【答案】B

【详解】小球通过最高点时，有

v2

F+mg=m~£

可得

V2=—F+gL

m

结合V?-尸图像可知

gL=a

解得重力加速度为

a

g=z

图像的斜率为

k=—

m

则绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的俨一F图线斜率更小，图线与纵轴的交点坐标与质量无关。

故选Bo

二、多选题

11.（23-24高一下•广西钦州•阶段练习）如图所示，长为/的悬线固定在。点，在。点正下方有一钉子

C,OC距离为g,把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下

方时悬线碰到钉子，则小球的（）

\\\\\\\\\_________Qtn

ii

ii

/f//

◎J

A.线速度突然增大为原来的2倍

B.角速度突然增大为原来的2倍

C.向心加速度突然增大为原来的2倍

D.悬线拉力突然增大为原来的2倍

【答案】BC

【详解】A.悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与球运动方向垂直，不改变小球线速度大小，故小球的线

速度大小不变，故A错误；

B.当半径减小时，由

。=一V

r

知半径减小为原来的g倍，。变大，0为原来的2倍，故B正确；

C.由

V2

CI——

r

知半径减小为原来的■倍，。变大，。为原来的2倍，故C正确；

D.在最低点

厂wv2

卜-mg=-----

r

故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，故D错误。

故选BC。

12.（2024•重庆•模拟预测）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所

示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触

点/、8接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点8与车轮圆心距离为R,车轮静止且气嘴灯在最低点时触

点）、8距离为d,d<R,已知P与触点力的总质量为加，弹簧劲度系数为b重力加速度大小为g,不计接

触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点/、8均视为质点，则（）

接

块p

小物触

式

开

触点A

关

触点B

丙

能发光

置一定

其他位

光，

能发

低点

在最

嘴灯

A.气

光

定能发

位置一

，其他

发光

点能

最高

灯在

气嘴

B.

、风

度为

角速

最小

动的

速转

轮匀

，车

发光

灯能

气嘴

要使

c.

VmR

羽旦

为、性

速度

小角

的最

转动

匀速

车轮

光，

直发

灯一