四川省成都市邛崃市某中学2025届高三年级下册二模考试数学试题（含答案）

2025年四川省邛珠市第一中学校高2022级高三二模考试

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.考试结束后，只将答题卡交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={-1,01}‘8={0』,4},则AB=（）

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1,4}

2.函数/(尤)=cos1+的最小正周期是（)

,兀

A.—C.兀D.2兀

4

3.若圆C:炉+产=4恰有3个点到直线x-y+册=0的距离为1,则加二（）

A.4B.16C.2D.8

7+y2V4

则目标函数z=x-/

4.若变量羽〉满足限制条件■x-2y+2>0,的最大值为（）

y>0

A.2B.-1.36C.1.36D.-2

2

5.已知点尸为椭圆。:]+看「=l（a>6>0）上一点，K，尸2分别为C的左，右焦点，若半径。的圆M同时

4

与可尸的延长线、与工的延长线以及线段P&相切，若tan/P4舄=§,则椭圆。的离心率为（)

A一4D.正

B.一L.---

5522

6.已知函数〃x）=2sin（0x+9）（o>O,|9|<。将/（无）的图象向右平移器个单位后，关于V轴对称，此时

与y轴最接近的一个极大值坐标为2）,下列说法错误的是（）

A.“X）的一条对称轴为x=B.〃x）=l在（0,兀）有2个根

C./(X)与直线y=x有3个交点D.“X)关于[石■,())中心对称

7.在锐角三角形ABC中，若A=%贝山一L—+1]+1」一+「的最小值为()

4(tan3)(tanC)

A.4B.5C.6D.8

8.己知函数〃x)=g无2-ox+lnx,aeR.若/(x)有两个极值点再,马，且/(占)+〃%)<2(占+当)恒成

立，则实数2的取值范围为()

A.—1,+^^B.C[-①+句D.["+(»)

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知产(2,0)是抛物线C:/=2px的焦点，M是C上的点，。为坐标原点.则()

A.p=4

B.\MF\>\OF\

C.以〃为圆心且过尸的圆与。的准线相切

D.当/由1=120。时，△0E似的面积为2道

10.cos[20+]]=-*,夕(0，3,下列说法正确的是()

A.。有1解

B.。有2解

C.sin^26>+^=:y

D./(x)=cos^2x+^,将向右平移、万个单位得到g(x),g(x)为奇函数

11.已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，若弘e(O,+e),使得四,

s[a,b],都有|〃%)-/(工2)归左国-司，则称函数y=/(x)是区间[名句上的“人类函

数下列说法正确的有()

A.函数f(x)=x2-x是区间上的“3类函数”

B.函数/(x)=sinx-xco&r是区间l,g上的“2类函数”

C.若函数y=f(x)是区间[a,6]上的“k类函数”，则方程/(x)=(^+l)x在区间[a,6]上至

多只有一个解

D.若函数/(%)是区间［0,1］上的“2类函数”，且/(O)=f(l),则存在满足条件的函数

/(X),肛，x,e［0,1］,使得|〃西)-〃%)|=2

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在二项式］苫?+2：的展开式中，/项的二项式系数为.

13.在三棱锥S-ABC中，底面AABC是正三角形且S4=SB=SC,〃是SC的中点，且底面

边长A3=2及，则三棱锥S-ASC外接球的表面积为.

22

14.双曲线E：三-斗=1(。>6>0),焦距为20，左、右焦点分别为耳，F2,动点尸在双曲线右支上，过

尸作两条渐近线垂线分别交于M,N两点.若1PMi+归凰最小值为3,则|PM|+|PN|的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

nC

15.(本题13分)记AABC的内角AB,C的对边分别为a,b,c.已知一+-=l+2cosB,O为边AC的中点，

ca

且BDsinZABC—asinC.

(1)求证：BD=b；

(2)若匕=4,求aABC的面积.

16.(本题15分)记数列｛4｝的前〃项和为S”.

(1)设q=1,若S.=2a,「l,求｛%｝的通项公式；

(2)记"x)=l+x+x2+丁+...+x",设4=/42),求S“.

17.(本题15分)恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙

两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在

甲、乙两位驻村干部的直播间(下简称甲直播间、乙直播间)购买的情况进行调查(假定每人只在一个直

播间购买大米)，得到以下数据：

在直播间购买大米的情况

网民类型合计

在甲直播间购买在乙直播间购买

本地区网民

外地区网民3045

合计20100

(1)补全2x2列联表，并判断依据小概率值以=0.005的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买

大米与网民所处地区有关；

(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有100000名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选

择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X,求使事件“X=K'

的概率取最大值时k的值.

2n^ad-bcy

附:,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.005

Xn2.7063.8416.6357.879

18.(本题17分)如图，在三棱柱A2C-A4G中，侧面ACCH为

菱形，N&4c=60。，底面ABC为等边三角形，平面ACGA，平面

ABC,点£＞,E满足==点F为棱C。上的动

点(含端点).

(1)当尸与C重合时，证明：平面平面ABC；

(2)是否存在点尸，使得直线AC与平面ZJEF所成角的正弦值为四？若存在，求出票的值；若不存在,

4cic

请说明理由.

19.(本题17分)已知函数〃x)=〃花工一彳2-2%(切/0),尸(%,%)与。值，为)在函数/(x)的图象上，回答

下列问题：

(1)当机＜0时，证明曰三］＞心°;

⑵“X)上有人(不,另),35,%),。(电,％)三点(占,马,£均不为0且互不相等),满足占,超产3成等差数列且

①若不存在A,3,c三点，使%,%，%成等差数列，求机的取值范围;

②若，〃<0,g(x)=—，证明：g(m)+g(-m)>2.

参考答案

题号12345678910

答案CDCAAAAAABCAD

题号11

答案ABC

12.20

13.12%

14.逑

25

ac

15.(1)证明：由一+—=l+2cos8,^a2+c2=ac+2accosB

ca

即a2+c2-2〃ccosB=ac=b29

因为BDsinZABC=asinC,

由正弦定理得，BDb=ac,

则=gpBD=b.

(2)在AABC中，由余弦定理得廿=片+。2-2〃ccos3=a2+。2-2/COSZABC,①

因为。为AC的中点，所以25D=5C+84，

则4BD2=BC+BA+2BC-BA，

即41M2=阿1+网2+2IBC|-|BA|-cosZABC,

即4b2=片+。2+2〃ccosZABC=a2+c2+2b2cosAABC,②

3

联立①②，得3"=*。sZABC,解得COSNABCR,

所以sinNA3C="一cos?NA5C=立,

4

所以AABC的面积为L〃csinZABC=-b2sinZABC=-x42x—=2A/7.

2224

16.(1)当〃上2时，=S〃一=2%-2%T,整理得j-=2,当〃=1时，有q=l=S].

an-\

数列｛%｝是以q=2为公比，以4=1为首项的等比数列，所以。"=2"一.

(2)当xwO时,

xn+l-l

f(X)—1+X+%2+/+...+x'1

x-1

所以rG)=

所以4=/'⑵=("+1)2"_(2"+1_1)=〃2"_2"+1,

令2=小2",其前〃项和为1，

A7；,=lx21+2x22+3x23+4x24+...+(w-l)-2n-1+w2,'®

27；,=lx22+2x23+3x24+4x25+(n-l)-2,,+w2,,+1(2)

①-②得：-7；=2+1x2?+1x2、…+1x2-2+1

=(1-«)-2"+1-2.

1=(1)-22+2.

令%=2",其前〃项和易知为:2*+1-2,

所以5"=(〃-1).2同+2-(26-2)+"=(〃-2*2向+"+4

17.(1)因为网民人数合计为100,外地区网民人数为45,所以本地区网民人数为55,

在甲直播间购买的外地区网民人数为30,外地区网民人数为45,

所以在乙直播间购买的外地区网民人数为45-30=15,

又在乙直播间购买的网民总人数为20,

所以在甲直播间购买的外地区网民人数为5,

所以在甲直播间购买的本地区网民人数为50,

所以列联表如下：

在直播间购买大米的情况

合

网民类型

在甲直播间购在乙直播间购

计

买买

本地区网50555

民

外地区网

301545

民

合计8020100

提出零假设“。：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联,

2

100x(50xl5-30x5)100

经计算得/=9.091>7.879=%^

80x20x55x45IT

依据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断Ho不成立,

即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.

(2)利用样本分布的频率估计总体分布的概率，

可知网民选择在甲直播间购买大米的概率为尸=瑞=，，

则X~2(100000,。］,记“=100000,P=g，

则p(x=k)=C\pkp)n~k(k=0,1,2,•••,100000),

则问题等价于求当k取何值时P(X=k)=取最大值,

P(X=k)Ckpk(l-r(〃一女+1)P(〃+1)p-k

因为。<”1,--------4=—D―PT-r=1+

尸X="lCr"i(l_p广日

4

X(w+l)p=100001x-=80000.8,

所以当k<(〃+l)p=80000.8时，尸(X=k)>P(X=々—l)；

当左=(〃+l)p=80000.8时，P(X=k)=P(X=k—l)；

当%>(〃+l)p=80000.8时，P(X=k)<P(X=k—1)；

所以p(X=80000)>尸(X=79999)>>P(X=1),

P(X=100000)<-<P(X=80001)<P(X=80000),

所以当X=80000时，P(X=外取最大值，

即使事件"X=《'的概率取最大值的k的值为80000.

18.(1)如图，取AC中点。，连接A。,

因为侧面ACGA为菱形，ZAAC=60°,

所以AQLAC,

又因为平面ACC]A，平面ABC,平面ACC】A一平面ABC=AC,

AOu平面ACGA，所以A。！.平面ABC,

又因为E为AG的中点，所以四边形4。包为平行四边形，所以40〃口,

所以£F_L平面ABC,又EFu平面DEF,所以平面DEF_L平面ABC；

B

(2)连接03,因为AABC为等边三角形，则OBLOC,

所以08,OC,04两两垂直，则以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示:

令三棱柱的棱长为2,所以03=04,=若，

故O（O,O,O）,A（O,T,O）,B（6O,O）,

A（0,0,招）,C（O,1,O）,£（0,1,百）,G（0,2,由），

又AC=gAB,所以

设C[P=XC]C,2e[0,l],

则OF=XOC+（1-X）OC\=（0,z0）+（0,2-2%退-&）=（0,2-46-6l）,

即F（0,2-Z百-屈I）；

又r）E=j-g,I，o],EF=（0,l-4-g/l）,

设平面DEF的法向量为m=(无,y,Z),

则产一2y=0

m-DE=0则>=*=*-%),

则取x=A/3A

m-EF=0|^(l-2)y-732z=0

故平面DEF的法向量可为机=[⑨,京,母(1-㈤

又AC=(0,2,0),设直线AC与平面DE尸所成角为6,

仁|w-AC|__________|3£|_________y/6_

由题可得sin"卜os，即\m\\AC\'L2+9A2+32-丁,

1\44

整理得：62-3=0,解得2」，

2

故当弁=；时，直线AC与平面D砂所成角的正弦值为好.

CjC24

19.(1)由/(x)=me"-x2—2x(mw0),

则/(%)=me-2x-2,又？(%,%)与。(%,%)在〃%)上.

.xi+x2

则/d2%)=me2一(七+々)-2；

R二、(兀2)/a)二加八一〃9(以一%;)2(%2―石)

/、c

=m--------(玉+X2)—2；

x2—xi一

要证/(五产]一既硬e号-兰二B＞。,

I2J2Ix2-x1J

国+巧e当_3无1

因为相＜0,即证e2------------＜0,

不妨设玉＜%2，令马-玉=兀，＞°,贝|元2=工1+，，

则e退一次士＜0oe久老匚。"一1+1＜0,

tt

故只需证言-8+1＜0・

令g(f)=te?-e'+1，t＞0,

则g，(t)=e2+：e2-d

x

再令"(x)=e-x-l,x>0f

则”(x)=e'-1>0,则(p(x)在(0,+8)上单调递增,

故0(%)>。(0)=0,故当％>0时，l+x<e*恒成立，

由，>0,—>0,得l+人一e，<0,

22

则g'⑺=e[l+；-e[<0,所以g⑺在(0,+8)上单调递减，

故g⑺<g(0)=0,得证.

(2)①由士,马,尤3等差数列且％3=3尤1,则2工2=占+%=%+3玉=4为,

解得无2=2占，

下面先研究若存在AB,C三点，使％成等差数列的充要条件.

3%12

故X+%=机e*一片一2%i+me-(SxJ-6x1=机(e国+。用)一10%；—8石；

又2%=2(me2x*_4,_4xj,

X，%%成等差数列0X+%=2%om(e3^+e^-2e2x')=23

m

由e3%1+9一2e2A1=e"(e2x*+1-2e、')=T>0

m

存在A民C三点，使%,上，为成等差数列=〒有解.

m

当石>。时，e再一1>0,故~2a

e2

m一须