四川省南充市2025届高三年级下册高考适应性考试（二诊）数学试题（含答案解析）

四川省南充市2025届高三下学期高考适应性考试（二诊）数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

<o|,B-[y\y-x!

1.若集合/=，则/riB=（）

[x-3JL>

A.(2,3)B.[0,3]c.[0,2)D.(2,3]

2.已知复数z=i+i。，则匕,i|=()

A.0B.41C.2D.2V2

3.在递增的等比数列｛%｝中，%%=8,%+%=9,则数列｛%｝的公比为（）

A.1B.2C.3D.4

Jra

4.已知V/5C的内角/,B,。所对应的边分别为a,b,c,若4=彳,sinC=2sin8.则一=

3b

（）

A.2B.3C.V2D.V3

5.已知非零向量入B满足彼=（2,o）,若®贝！u在B方向上的投影向量坐标为（）

A.（1,0）B.（2,0）C.（V2,0）D.（0,2）

6.若直线/：y=x+〃z与曲线C:x=3-"77有公共点，则实数加的取值范围为（）

A.（-3,272-1]B.[-272-1,-3]

C.|^—3,2-\/2—1JD.|^—2^/2—1,2-72--1J

2兀

7.已知正三棱锥/-BCD底面边长为2,其内切球的表面积为三，则二面角的

余弦值为（）

A.-B.—C.—D.—

3332

8.已知函数/（无）=/（无）=上有5个不相等的实数根，从小到大依次为

|lnx|,（x>0）

试卷第1页，共4页

X],x2,X3,x4,xs,则一J的取值范围为（）

X4X5

A.（0,4）B.（0,2）C.（-2,0）D.（-4,0）

二、多选题

9.如图所示为函数/(x)=sin(s+0)(。＞0,0＜。＜无)的部分图象，则下列说法正确的

B./(x)在区间向用上单调递增

C.将f(x)的图象向右平移自个单位可以得到g(x)=cos2x的图象

D.方程〃x)=0在(0㈤上有三个根

10.数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出

来，即将一个量算两次，从而建立相等关系.根据波利亚的思想，由恒等式

(1+x)"'+=(l+x)"""(切，〃eN*)左右两边展开式/(其中reN*,r＜n,r＜m)

系数相同，可得恒等式c：c：+c：c;「+…+c；c：=c1,，我们称之为范德蒙德恒等式，下列

关于范德蒙德恒等式说法正确的是()

A.C：C：=CXB.C；葭+C；C；+…+C；C；=C'

C.C»oc；o+c；C°+…+c：°c；；=c；。D.(cJ+©)2+…+(c：)2=G,_1

11.已知抛物线C:/=4y的焦点为凡过X轴下方一点尸(%,%)作抛物线c的两条切线，

切点为N,B,直线P8分别交x轴于N两点，则下列结论中正确的是()

A.当点尸的坐标为(O,T)时，则直线方程为了=1

B.若直线48过点尸，则四边形尸为矩形

试卷第2页，共4页

C.当片+/-2%-8=0时，\AF\-\BF\=3

D.|/a=4时，面积的最大值为4

三、填空题

12.某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则

至少选到1名女生的概率.

13.已知4，4为双曲线C：三-3=1的左、右顶点，直线y='(x-a)与双曲线C的左

支相交于一点满足/砌44=4/324,则双曲线c的离心率的值为.

14.若函数〃x)=e'+(a+l)x+6(其中0>0),方程/(/(x))=x在上有解，则/+〃

的最小值为.

四、解答题

15.某公司在年终总结大会上开展了一次趣味抽奖活动.活动规则为：先在一个密闭不透光

的箱子中装入6个标有一定金额的球(除标注金额不同外，其余均相同)，其中标注金额为

10元、20元、50元的球分别有3个、2个、1个.若员工甲每次从箱子中随机摸出1个球，

记下摸出的球上的金额数，摸机次.规定：摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的抽奖

奖金总金额.

(1)若加=1,设员工甲获得的金额2求J的分布列和数学期望；

(2)若m=2,采用有放回方式摸球,设事件X="员工甲获得的总金额不低于40元”,求尸(X).

16.如图,三棱柱/8C-4耳。中，侧棱底面且各棱长均为2.及尸分别为

棱/5,5C，4q的中点.

(1)证明：E产〃平面4。；

试卷第3页，共4页

(2)求直线8g与平面4。所成角的正弦值.

17.已知°>0,函数/(x)=ax2-4x,g(x)=lnx.

(1)若a=；,求函数>=/(x)+3g(x)的极值；

(2)设6>0,/'(X)是/(x)的导数，g")是g(x)的导数，Mx)=/(x)+@(x)+4,〃(x)图

像的最低点坐标为(2,4),对于任意正实数天，x2,且再+%=1,〃(无1)〃仁)2加恒成立.求

实数m的最大值.

18.已知F、尸分别是椭圆C:］+/=l(a>b>0)的左、右焦点，点在椭圆C上，

3

且ANFF'的面积为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点7(4,0)的直线/与线段/9相交于S,与椭圆交于P、。两点.

(I)证明：NPFS=NQFS；

(II)若S塘QS=SAPFS，求点尸的坐标.

19.对于无穷数列｛%｝和函数/(X),若x“+i=/(%*€N*),则称/■(%)是数列｛%｝的生成

函数.

⑴定义在R上的函数g(x)满足：对任意”eN*,都有8(2角)=28(2")+2",且g(2)=l；

又数列｛%｝满足%=g(2").

(I)求证：/(x)=x+；是数列］畀的生成函数；

(II)求数列｛与｝的前〃项和s..

(2)已知/(x)="空兽是数列也｝的生成函数，且，=2.若数列”］的前〃项和为7；,

x+2026IA+2J

求证：25(1-0.99")<7；<250(1-0.999")(〃eN*,«>2).

试卷第4页，共4页

《四川省南充市2025届高三下学期高考适应性考试(二诊)数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ACBDBCADACBCD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】解分式不等式、求二次函数的值域确定集合45,再由集合的交集运算求结果.

【详解】由/=]X|£|<O|={X[(X-2)(X-3)<O}={X[2<X<3}=(2,3),

B={y\y=x2^={y|y>0}=[0,+co),

所以/ng=(2,3).

故选：A.

2.C

【分析】通过复数的运算求出z,进而根据模长公式计算即可.

【详解】因为z=i+i=2i,

所以z-i=2i-i=-2,所以匕/|=卜2|=2.

故选：C.

3.B

【分析】由等比数列的性质有的3=的4=8,易知%是方程*-9x+8=0的两个根，再

由已知及等比数列的通项公式求公比.

【详解】由题设%%=4%=8,易知为”是方程Y-9x+8=0的两个根，

又{%}为递增的等比数列，所以q=1,%=8,故公比g=('=2.

故选：B

4.D

【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角3,进而

利用正弦定理得解.

【详解】由于三角形的内角和为兀，即：/+B+Cf已知/=(,所以：B+C卷，

代入C=至l」sinC=2sinB中，得至九：sin仁一4=2sinB,

答案第1页，共15页

2712兀.............巧]

展开并化简：sincosB-cossinB=2sinB，即——cosB+—sinB=2sinB,

3322

整理得到：YaCOSB=-^-sinB,即V^cos8=3sin8,tanB=^>8=.

2

absi.n—兀

3

根据正弦定理:.兀「7,即巴=

sin—Sm.兀

36bsin—

62

故选：D.

5.B

【分析】根据一个向量在另一个向量方向上的投影向量的公式计算.

【详解】首先，向量B的坐标为(2,0),其模长为2,因此|而2=22=4,

根据条件®-q丁，即它们的数量积为零：(b-a\b=Q

展开数量积：3.3-沆1=0,即:b2-a-b=0

因此：万石=|讦=4,代入已知条件:

而a-b扃b=第B=B=(2，0)

因此，方在B方向上的投影向量坐标为(2,0),

故选：B.

6.C

【分析】确定曲线是半圆，作出曲线C,由图形可得直线/与曲线有公共点时参数范围.

【详解】由x二3——y2得(x—3)2+(歹—2)2=4(x<3),

因此曲线C是圆(x-3y+(y-2)2=4的左半部分(直线x=3左侧),

加=一3,

|3-2+m|

当直线/：＞=x+机与圆相切时,=2,加=+2^/2—1，

V2

答案第2页，共15页

由图知当直线/：v=x+，w与曲线。相切时，机=2行-1，

所以机的范围是[-3,21],

故选：C.

7.A

【分析】先根据内切球的表面积求出内切球半径，再利用等体积法求出正三棱锥的高，最后

找出二面角/-的平面角，进而求出其余弦值.

【详解】已知内切球表面积S=4口2=：,则/=：,解得”巫.

366

设正棱锥/-BCD的顶点A在底面8C。上的射影为。，取8C中点£,连接

AE,OE,AO.

因为正棱锥的性质，ZO_L平面BCD,0E_L3C,根据三垂线定理可得NE_L3C,所以NNE。

就是二面角的平面角.

底面△BCD是边长为a=2的正三角形，则OE=lx2xL也

233

设正棱锥/-BCD的体积为K，表面积为S表.

底面ABCD的面积,皿=中。2=字x22=^.

侧面V/BC中，BC=2,AE=yjAO2+OE2=,则侧面面积

s皿=gxBCx4E=；x2*

3

正棱锥A-BCD的表面积S表=S.BCD+凡ABC=6+3002+1

■AO,即:（用3小02+；）关=gCxAO

根据等体积法厂==

3

Cx/0,即*乎2

化简AO+^=43XAO,

=岛。-

两边平方：整理得至IJ-|NO2+CNO=O,即/0（一|/0+"）=0,解得40=0（舍去）或

AO-巫

3

OE_________

在RtA4E0中，cosZAEO=—,AE=^AO-+OE2=

AE+3

答案第3页，共15页

V3

所以//kcOE石1.

cosZAEO=——==-

AEC3

二面角N-8C-。的余弦值为:.

故选：A.

8.D

【分析】利用导数可得函数在(-8,0］上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得

0<斤<4,再由对数函数的性质可得匕％=1,结合4，x2,£是方程9+6工2+外：+后=0的三

个根，可得不马马=-左，即可求得答案.

【详解】因为当x40时，/(x)=-x(x+3y=-9-6f-9x,

所以/,(X)=-3X2-12X-9=-3(X+3)(x+1),

所以当xe(-甩-3)时，r(x)<0,7(x)单调递减；

当xe(-3,-1)时，r(x)>0,〃x)单调递增；

当xe(-1,0)时，f'(x)<0,当x)单调递减;

所以/(x)极小值=/(-3)=0,所以〃x)极大值=/(-1)=4,

-lux,0<x<1

当X>0时，/(x)=|lnx|=

lnx,x>1

所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

作出函数的图象，如图所示:

答案第4页，共15页

当x«0时，令一%（尤+3）2=4,解得％=T或、=一1,

所以一4<玉<-3<x2<-1<x3<0<x4<1<x5vg,

又因为|皿|=|皿|,

所以lnx4+lnx5=lnx4x5=0,

所以工落=1；

由题意可得为，x2,/是方程左=-丁-6%2一9、，即d+6/+9%+后=0的三个根，

所以d+6x2+9x-k=（x-）（x-%）（x

3232

BPx+6x+9x+k=x-（xj+x2+x3）x+（xrr2+x1x3+x2r3）x-x1¥2r3,

所以左二-1也刍，

即x1x2x3=-k&（-4,0）,

所以^^_=%/2/=一左£（—4,0）.

*415

故选：D.

【点睛】关键点点睛：关键点是画出图象，根据根的个数确定解的范围，再结合对数运算性

质和对数函数，得到五％=1，即可解题.

9.AC

【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出函数解析式，再逐项求解判断.

7TTT27r

【详解】观察图象，得/（X）的最小正周期7=4弓-（-力]=三，解得。=2,

612。

由/（一；^）=1,得2x（—与+0=5+2巧I,左£Z,而0<。<兀，解得0=；-,

12z3

对于A,/（X）=sin（2x+韦，A正确；

rr-r-、r,广兀r—27T5?T871..2715兀ari11兀>

对于B,当—，兀]时，2xH---G[—,—],当2XH----=—，即％=---时，

23333212

JT

“X）取得最大值，因此/（尤）在区间向无]上不单调，B错误；

对于C,/（x—^"）=sin[2（x—=sin（2+—）=cos2x,C正确；

对于D,当％6（0,兀）时，2x+—7TTe2,71871由/（幻=0,得2x+2臼71=兀或2x+2二7c=2兀，

33333

因此方程/（幻=0在（0,兀）上有2个根，D错误.

故选：AC

10.BCD

答案第5页，共15页

【分析】依据范德蒙德恒等式C：C：+C；CT+…+C©=C'（机,〃cN*,reN\r<n,

r<m｝，适当对赋值来判断各个选项的正确性.

【详解】根据范德蒙德恒等式C：C„+C；C；1+.••+&《=C；+,“，而不是C；C；“=C：：〉

例如〃=2,〃z=3/=1时，左边C；C；=6,右边C；=5,此时C；C；产C：二，A错误.

对于《建+C；C：+­­­+C泣,这里〃=5,加=6/=6.

根据范德蒙德恒等式，此时〃+加=5+6=11,r=6.

所以《建+c；c；+•••+c沮=CMy,B正确.

对于C：oC；0+C；。。+…+C：°C；；,这里〃=10,机=10b=9.

由范德蒙德恒等式，n+m=10+10=20,r—9.

所以C»0C；0+//+••.+Cc；»=c：0Hoy,c正确.

对于©>+©）2+.••+©》,可以看作c：cL+QcF+…+c：c；（因为c：=c：«）.

这里〃=加，r=n,根据范德蒙德恒等式C：C：+C；C：T+…+C：C=C：+〃=CM而C：C：=1.

所以©y+©）2+...+（C：）2=就“YC；=就“-1,D正确.

故选：BCD.

II.ABD

【分析】设/（国,%），5（%,%）,由导数的几何意义可得切线P4,尸3的方程，进而可得直

线的方程，把尸（O,T）代入即可判断A；再由直线NB与抛物线方程联立得韦达定理，利

用韦达定理即可判断B；取P满足的轨迹上的特殊点即可判断C；由弦长公式得天和为满足

的方程，再求出P到直线N8的距离，代入三角形面积公式，结合不等式即可判断D.

r2

【详解】方程变形为y=—,则y=5.设/（西，%），8（%,%），

42

直线4的方程：一兀=方”玉），即>

同理可得直线形的方程乙：y=^-x-^~,

点尸在直线尸8和尸B上，.'.为二五%-%,%=工%-9，

024024

答案第6页，共15页

AB的方程为y=g汽产-,

.J._

联立，得Y一2x0x+4为=0①,

x1=4y

由韦达定理得，x,+x2=2x0,出=4%②.

对于选项A,当尸为（0,-1）时，y=l,故A正确;

对于选项B,若直线N8过点歹（0,1）时，为=-1,即尸

X"=f，尤"三，利用韦达定理，则心知=%一=「心=“"

22~2~X°u-2-

：.PM//FN,同理心

由②得X1%=4%=-4,FN-FM=^-+1=0,；.四边形/WN为矩形，故B正确;

4

对于选项C,当需+了：-2%-8=0时，取尸（0,-2）,方程①变为，=8,

即得4卜2亚,2）,5（2后,2）,|">可=（乂+1）（%+1）=9,故C错误；

对于选项D,当|AB|=4时，由弦长公式得|/回=「^.也焉-16典=4,

即（4+x；）（x；-4%）=16,

4yoi

点尸到直线48的距离为4=+4>0,：.d<2,

Jx；+4

：.S=^\AB\d=2d<A,当x0=0取等号，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基

本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

7

12.—/0.7

10

【分析】根据题意，首先分析从5人中选出2人，再分析可得若选出的2人中至少有1名女

生，即包括1男1女和2女分别担任正、副班长两种情况，分别计算其情况数目，由等可能

答案第7页，共15页

事件的概率公式，计算可得答案.

【详解】根据题意，从3名男生和2名女生中选出2名学生，有A；=20种选法，

若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女两种情况，

147

共有C；C；A；+A：=14种选法，则选出的2人中至少有1名女生的概率为尸=^=77.

2010

故答案为：木7

13.V2

【分析】由直线方程可得=30°,贝匕4刖4=30°,所以|"|=2a,过〃作尤

轴于点表示出点M的坐标，代入双曲线方程化简可求出离心率.

【详解】由直线了=，口一°),可知直线的斜率为理，且过点4(“，0)，

所以NK&4=30°,

因为=4ZMA2At,所以乙044=120°,

所以乙州八=30。，所以=阕=2%

过M作W_Lx轴于点〃,

则NM4"=60。，14M=a,\MH\=^4a2-a2=^3a,

所以点M的坐标为(-2a,-Ga),

22

因为点M在双曲线C:=-==l上，

ab

所以喉一£=1,得/=/,

a2b2

所以02=“2+°2=2屋，所以c=0q,

所以离心率e=£=&.

a

故答案为：V2

答案第8页，共15页

14—

2e2

【分析】根据题意，将/+*的最小值为原点到直线_0+6+1=0的距离的平方，从而求解.

e

【详解】令/(%)=£,则要〃I(x))=x,BP/(O=x,两式相加得/⑴+%

令g(x)=/(%)+X,贝(1g(x)=g(0,

又因为g'(x)=/'(%)+1=寸+a+2>0,所以为X)单调递增,

所以x=%,即/(x)=x,

即/z(x)=/(x)—x=e*+ax+b=0在［—1,2］上有解.

/z(-l)<0

hf(x)=exa>0,所以〃(%)在［-1,2］上单调递增,所以要

+A(2)>0

—a+b<0

即《e

e2+2a+b>0

11

则a2+b2的最小值为原点到直线-a+b+—=0的距离的平方，即=_£.

eW"2?

故答案为：.

15.(1)分布列见解析，20；

⑵令.

12

【分析】(1)由题设有J的可能取值为10、20、50并求出对应概率值，即可得分布列，进

而求期望;

(2)根据题设，分析事件X所含的基本事件组成，再应用独立事件乘法公式、互斥事件加

法求概率.

3191

【详解】(1)4的可能取值为10、20、50,其中尸传=10)=7==，P(^=20)=-=-,

6263

尸仁=50)=：.

O

故《的分布列如下:

自102050

P

~236

则数学期望为E(g)=10x」+20XL50x-=20.

236

答案第9页，共15页

(2)采用有放回方式摸球,

每次摸到10元的概率为

每次摸到20元的概率为&=；,

每次摸到50元的概率为P3=J.

事件X包含4种情况：

两次均摸到20元；

一次摸到10元，一次摸到50元;

■次摸到20元，■次摸到50元;

两次均摸到50元.

5

故尸(X)=C；x

12

16.(1)证明见解析

(2)身

【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明即可;

(2)取线段4月的中点为“，连接。以点。为坐标原点，所在的直线分

别为坐标轴建立空间的直角坐标系。-中z,求出直线24的方向向量与平面4co的法向量,

利用空间向量法求解即可.

【详解】(1)在三棱柱NBC-44G中，/C//4G，且/c=4G，

连结ED,在三角形/3C中，因为，£分别为“3,3。的中点，

所以=且。E//NC,

2

又因为尸为4G的中点，可得4尸=DE,且4尸//。£,

答案第10页，共15页

即四边形AfiEF为平行四边形，所以&DHEF,

又斯，平面4cD,D&U平面4°,所以跖//平面4°.

（2）取线段的中点为连接DM,因为侧棱底面43C,且各棱长均相等，

所以直线。两两垂直.

以点。为坐标原点，DM,DA,DC所在的直线分别为坐标轴建立如图所示空间的直角坐标系

D-xyz,

由于/8=2,则。（0,0,0）,4（2,1,0）,C（0,0,^3）,5,（2,-1,0）,5（0,-1,0）,

所以期1=（2,0,0）,=（2,1,0），DC=（0,0,6）,

r/、-DA,=0

设平面45的法向量〃=（x,y,z）,则」,

nDC=0

2%+y=0T/\

所以■,设X=l,贝独=一2,所以〃=（1,一2,0）,

A/3Z=0

I/一►竭•方2x1J5

设直线5片与平面45所成角为凡则sin6=cos（即㈤=_=——,

1\Zl|幽・同2X"+（_2『5

所以直线3月与平面4CD所成角的正弦值为孝.

715

17.（1）极大值-鼻，极小值31n3—

⑵等.

【分析】（1）求出时的函数解析式，再求导，利用导数可得函数的单调性，进而可得

函数的极值；

（2）利用基本不等式结合已知条件可得“，6的值，从而可得〃（x）的解析式，化简

答案第11页，共15页

〃=〃(%)〃(%),利用导数可得其最大值，从而可得用的取值范围，进而可得加的最大值.

【详解】(1)当。=：时，/(x)+3g(x)—4x+31nx,

,.3X2-4X+3(X-1)(X-3)

V=x-4+—=--------=----△----乙,x>0,

xxx

当l<x<3时，»'<0,当x〉3或0cx<1时，歹’>0,

所以>=/(x)+3g(x)在(0,1)单调递增，(1,3)单调递减，(3,+。)单调递增.

7

y=f(x)+3g(x)在x=l处取得极大值/(l)+3g(l)=

y=f(x)+3g(x)在x=3处取得极小值〃3)+3g⑶=31n3-g.

(2)由题意，得〃(x)=2ax+",则〃(x)=2ax+"2,

当且仅当x—隹时，等号成立.

\2a

IS2［1

'V2a,解得'2,

2y/2^b=4［方=4

所以〃(x)=x+上又力(毛)力卜2)2机恒成立,

、

+也+4土+三

xrx2再,

16.x?+x；

=-----F4------

再入2中2

2

16,(x,+x)-2X.X2

—-----F4*------2--------

x{x2xrx2

200

所以〃=XxX2H-----8.

XxX2

^t=XxX2,则［=再/］］再；"2

u=(/)^=t+———8,

因为-“⑴=1寸20＜0，

所以〃=%+：—8在方金［。,］上单调递减.

答案第12页，共15页

289

所以〃2〃

4

289

所以最大的实数〃,=亍

22

瓜呜+>

3]甫

（2）（i）证明见解析；（n）小或

【分析】（1）根据点在椭圆上及三角形面积公式求椭圆参数，即可得方程;

（2）设。（再,%），/：尤=勿+4,联立椭圆方程，并写出对应韦达公式，（I）根

ASPS

据勺尸+与9=0,即可证；（II）由三角形面积相等有,进而得至

QS

3

再确定P为线段4尸的中垂线》=:与椭圆的交点，即可求P的坐标.

4

3133

【详解】⑴由的面积为:，得已2"5=不解得。=1,所以/=1①,

又点不I,3在椭圆c上，所以F_]②,

/+H-

f—422

联立①②解得,2二,所以椭圆C的标准方程为土+匕=L

\b2=343

x=W+4

2

（2）设。（再,弘），P（x2,y2）,l:x=ty+4,联立方程，x?y,

143

消X得：”+4产+247+36=0,直线/与线段/少交于S点，则t<-2,

所以iF，36

MR，

必।%%,y2物%+3（%+%）

（I）因为%尸+左PF=-------------1-------------------------------1----------2------

再一1x2-lWi+3仇+3（%+3）（仇+3）

所以/PFS=NQFS,

你1+3）（仇+3）

答案第13页，共15页

(Il)由%2s=2明得：|0S||/S|=|尸叶网|,即*=不，又NASP=NFSQ.

所以A4