2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题7.4 一元一次不等式（组）的应用【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（原卷版）

专题7.4一元一次不等式（组）的应用【十大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1工程问题】 1【题型2销售利润问题】 2【题型3运输问题】 4【题型4水费电费问题】 5【题型5行程问题】 6【题型6得分问题】 7【题型7古文问题】 8【题型8数字问题】 9【题型9几何问题】 10【题型10方案问题】 12知识点：一元一次不等式（组）的应用（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式（组）；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.【题型1工程问题】【例1】（23-24七年级·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元．(1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？(2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万，该区财政投入额资金不超过7700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围．【变式1-1】（2024七年级·河南·学业考试）为实现“乡村振兴”的战略目标，幸福乡实施了“村村亮化”工程．计划投入40万元分三批次购买甲、乙两种型号的路灯（每种型号的路灯单价不变）安装在村公路两旁．第一批次购买甲型路灯300盏、乙型路灯400盏，共花资金150000元；第二批次购买甲型路灯400盏，乙型路灯300盏，共花资金144000元．(1)求甲、乙两种型号路灯的单价分别是多少元；(2)由于工程的需要，第三批次购买的甲型路灯不能少于350盏，那么第三批次最多能购进乙型路灯多少盏？【变式1-2】（23-24七年级·安徽合肥·期中）为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%．（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案．（3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？【变式1-3】（2024春·广西南宁·七年级统考期末）2022年9月28日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通4号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着4号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现4号线全线贯通运营，目前，地铁4号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆满载运输一次可以运输110吨泥土．(1)求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于163吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？【题型2销售利润问题】【例2】（23-24七年级·甘肃定西·期末）某电器商场销售每台的进价分别为2599元、7300元的A，B两种型号的空调，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量/台销售收入/元A种型号B种型号第一周4336296第二周5555495（进价、售价均保持不变，利润=销售收入−进货成本）(1)求A，B两种型号的空调的销售单价．(2)若该电器商场准备用不多于151182元的金额再采购这两种型号的空调共30台，则B种型号的空调最多能采购多少台？(3)在（2）的条件下，该电器商场销售完这30台空调能否实现利润超过16000元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【变式2-1】（23-24七年级·重庆·期末）小语种文化节展示周，校学生会设计并制作了一定数量的特色文化书签、特色中性笔，在恩来广场举行义卖活动，将获得的所有利润全部捐献给家庭困难的老人．已知每个特色文化书签、每支特色中性笔的成本分别为1元、1.5元，每个特色文化书签比每支特色中性笔售价少1元，并且，当卖出特色文化书签20个和特色中性笔30支时，获得总利润90元．(1)求每个特色文化书签、每支特色中性笔的售价分别为多少元？(2)校学生会同学制作的特色文化书签、特色中性笔的数量之和为900，并且投入的总成本不超过1200元，获得的总利润不少于1648元，请你通过计算说明共有哪几种制作方案？(3)义卖刚开始的半个小时，学生会的同学们发现他们已经获得了150元的利润，但由于销售量较多，同学们只记得售出特色文化书签的数量a个满足40≤a≤50，则a的值可能为多少？说明理由．【变式2-2】（2024春·福建漳州·七年级校考期中）为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．(1)求篮球、足球每个分别是多少元？(2)由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠20%，足球每个优惠10【变式2-3】（23-24七年级·湖北武汉·期末）用1块A型钢板可恰好制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可恰好制成1块C型钢板和3块D型钢板．(1)若需14块C型钢板和12块D型钢板，则恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？(2)现准备购买A、B型钢板共50块，并全部加工成C、D型钢板，要求C型钢板不超过86块，D型钢板不超过90块，求A、B型钢板的购买方案共有多少种？(3)在（2）的条件下，若出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元，则全部售出C、D型钢板可获得的最大利润为_______元．【题型3运输问题】【例3】（23-24七年级·湖南湘西·期末）中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务﹐拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，4辆大型渣土运输车与5辆小型渣土运输车一次共运输土方57吨．(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？(2)该渣土运输公司决定派出大，小两种型号的渣土运输车共10辆参与运输土方，每辆大型渣土车一次需费用200元，每辆小型渣土车一次需费用180元．若运输土方总量不少于65吨，且总费用小于1960元．你作为渣土运输公司的经理，列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？【变式3-1】（23-24七年级·黑龙江鸡西·期末）在今年的新冠疫情期间，政府紧急组织一批物资送往武汉．现已知这批物资中，食品和矿泉水共410箱，且食品比矿泉水多110箱．(1)求食品和矿泉水各有多少箱？(2)现计划租用A、B两种货车共10辆，一次性将所有物资送到群众手中，已知A种货车最多可装食品40箱和矿泉水10箱，B种货车最多可装食品20箱和矿泉水20箱，试通过计算帮助政府设计几种运输方案？(3)在（2）条件下，A种货车每辆需付运费600元，B种货车每辆需付运费450元，政府应该选择哪种方案，才能使运费最少？最少运费是多少？【变式3-2】（2024·四川攀枝花·二模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套(1)求书籍和实验器材各有多少套？(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来【变式3-3】（23-24七年级·重庆·期末）为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，3辆重型卡车与2辆轻型卡车可以一次共同运输800箱：7辆重型卡车与4辆轻型卡车可以一次共同运输1800箱．(1)求1辆重型卡车和1辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？(2)计划用两种类型的货车总共15辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为6000元，每趟每辆轻型货车的费用为4000元．如果要求至少使用7台重型货车，并且总费用不超过78000元，请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？【题型4水费电费问题】【例4】（23-24七年级·江苏镇江·期末）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段来引导市民节约用水：每户居民每月用水不超过15立方米时，按基本价格x元/立方米进行收费；超过15立方米时，加价收费，超过的部分按y元/立方米收费.该市某户居民今年3、4、5月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元)31650420705m不低于36元且不超过95元（1）求x、y的值；（2）求该居民5月份用水量m的范围.【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数．下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单．户名电表号月份用电量（度）金额（元）刘××12054220112刘××12055265139(1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度?(2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？【变式4-2】（广西南宁市兴宁区新兴学校2024年七年级数学中考模拟试卷）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某市的电价标准（每月）.阶梯一户居民每月用电量x（单位：度）电费价格（单位：元/度）一档0＜x≤180a二档180＜x≤280b三档x＞2800.82（1）已知小华家四月份用电200度，缴纳电费105元；五月份用电230度，缴纳电费122.1元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；（2）六月份是用电高峰期，小华家计划六月份电费支出不超过208元，那么小华家六月份最多可用电多少度？【变式4-3】（2024·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收费按阶梯式水价计量：20立方米及以下，按基本水价计收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水价的1.5倍计收，30立方米以上的部分，按基本水价的2倍计收．从2018年7月1日起，该市居民生活用水基本水价将进行调整，收费方式仍按原来阶梯式水价计量．小明读到有关新闻后立刻对他家两个月的水费进行计算，得到下表：请根据以上信息，回答以下问题：月份用水量（立方米）按调整前水价计费（元）若按调整后水价计费（元021645.652.832265.5575.9（1）求本次基本水价调整提幅的百分率？（保留3个有效数字）（2）小明家07年7月的水费是128.25元，该月用水量若按调整后水价计费需缴多少元？（3）小明又上网查了有关资料发现：甲市取水点分散，引水管线合计350千米，而同类城市乙市只有一座水库供水，引水管线合计70千米．若两市每年每千米引水管线的运行成本都为150万元，乙市的现行基本水价为2.35元，甲市共有200万户家庭，乙市共有180万户家庭．若甲乙两市都按平均每户每月用水量为11.21立方米计算，请你确定出甲市的基本水价至少调整为多少时甲市自来水公司的年收入（全市居民总水费﹣引水管线运行成本）不低于乙市？（保留3个有效数字）【题型5行程问题】【例5】（23-24七年级·重庆永川·期末）甲、乙两人共同设计了一条从A地到B地，B地到C地，C地到D地的路线．某一天上午10点，甲骑自行车从A地出发，沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达B地，到达B地的时间是当天中午12点，在B地原地休息30分钟后，以原来的速度沿该路线匀速行驶40千米后恰好到达C地，到达C地后立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．在甲出发x小时后，乙开小汽车从A地出发，沿该路线匀速行驶直接到达C地，到达C地后立即沿该路线匀速行驶5千米恰好到达D地，在D地休息y小时后，立即以原来的速度按原行驶路线匀速行驶返回A地．已知在行驶的过程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙两人行驶的速度；(2)在甲从B地到C地的行驶过程中，若乙与甲第一次相遇，且相遇地点不与B地和C地重合，求x的取值范围；(3)当x=3时，甲、乙两人能否在B地与C地之间（不包括B地与C地）相遇2次？如果能，请求出y的取值范围，如果不能，请说明理由．【变式5-1】（23-24七年级·全国·课后作业）2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件．【变式5-2】（2024春·吉林四平·七年级统考期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时12km【变式5-3】（2024春·江苏连云港·七年级统考期末）有a名居民在排队等候检查．检查开始后，仍有居民继续前来排队检查，设居民按m人/分钟的速度增加，每个窗口的检查速度为n人/分钟．若开放一个检查窗口，则需要25分钟将排队等候检查的居民全部检查完毕；若同时开放两个检查窗口，则需要10分钟将排队等候检查的居民全部检查完毕．(1)若a=100，求m和n的值；(2)根据（1）的结果猜想m与n的数量关系，并说明理由；(3)如果要在5分钟内将排队等候检查的居民全部检查完毕，以便后来的居民能随到随检，则至少要同时开放几个检查窗口？【题型6得分问题】【例6】（23-24七年级·重庆·期中）学校工会举行了一场趣味排球比赛，比赛为单循环制，即所有参赛选手彼此只比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得2分、负者扣1分，平局各得1分．赛后统计结果，发现所有参赛者的得分总和为32分，且平局数至少有5局，那么本次趣味排球赛共有参赛选手人．【变式6-1】（23-24七年级·山东潍坊·期中）小亮和小颖共下了8盘围棋（没有平局），两人商定的规则为：小亮胜一盘记1分，小颖胜一盘记2分．下完第7盘后，小亮得分高于小颖；下完第8盘后，小颖得分高于小亮，小亮最终胜（

）A．2盘 B．3盘 C．4盘 D．5盘【变式6-2】（23-24七年级·河北承德·期末）一次智力测验，共设20道选择题，评分标准为：对1题得a分，答错或不答1题扣b分．下表记录了2名参赛学生的得分情况．参赛学生答对题数答错或不答题数得分甲17379乙11937(1)若参赛学生小亮只答对了16道选择题，则小亮的得分是多少？(2)参赛学生至少要答对几道题，总分才不会低于60分．(3)参赛学生小王获得二等奖（75~85分），请你算算小王答对了几道题？【变式6-3】（23-24七年级·河南郑州·期中）“天空课堂”开课以来，受到广大青少年的喜爱．某校利用课后服务时间开展“追寻‘天宫’”知识竞赛，共有15个班级参加．(1)比赛规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积5分，负一场积3分，某班级在14场比赛中获得总积分54分，该班级胜、负场数分别是多少？(2)比赛中设置了20道多选题，全部选对可得3分，选对但选不全可得2分，其余情况均不得分．某班在一场比赛中，共答对了18道题（选对但选不全的也算在内），其中选对但选不全的题目至少比全部选对的多2道，且多选题所得的总分不少于41分，该班级在这场比赛中多选题最多能得多少分？【题型7古文问题】【例7】（2024七年级·全国·专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：(1)求每头牛、羊各值多少两银子？(2)若某商人准备用50两银子买牛和羊共20只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两可以有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．【变式7-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·阶段练习）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”(1)请你求出上述问题的解；(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求m至少要为多少尺？【变式7-3】（23-24七年级·福建龙岩·期末）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和几只兔？根据以上译文，回答以下问题：(1)笼中鸡、兔各有多少只？(2)若还是94只脚，但不知道头多少个，笼中鸡兔至少30只且不超过32只．鸡每只值80元，兔每只值60元，问这笼鸡兔最多值多少元？最少值多少元？【题型8数字问题】【例8】（23-24七年级·重庆·阶段练习）若一个自然数，其十位数字比个位数字大3，百位数字比十位数字大3，千位数字比百位数字大3，…，这样的数，我们称为“大3数”．例如：52，9630．写出一个两位数，要求既是奇数又是“大3数”．将一个两位的“大3数”，再加上这个“大3数”各位数字之和的2倍，所得的结果能被4整除，求满足条件的两位“大3数”的和．【变式8-1】（23-24七年级·重庆长寿·期末）有一个两位数，其十位数字比个位数字大2，且这个两位数在50和70之间，则这个两位数是．【变式8-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）2024年央视春晚上的扑克牌魔术不仅是一场视觉盛宴，还是数学文化的传播．受此启发，小丽设计了一个魔术：从代表数字1到9的扑克牌中，依次抽出两张牌，记下牌面上的数字．将第一个数乘7后加6，然后乘3，再加上第二个数，最后减去8，得到计算结果．根据计算结果，可以知道抽出两张牌的牌面数字．(1)如果小明依次抽出两张牌的牌面数字是2和5，则计算结果是______；(2)如果小明得到的计算结果是143，求小明抽出两张牌的牌面数字；(3)如果小明得到的计算结果是106，小图思考片刻后，认为小明算错了．你赞成小图的观点吗？请说明理由．【变式8-3】（2024·四川达州·二模）一个正数N的各位数字不全相等，且都不为为0，现要将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为542-245=297，“和数”为：542+245=787，一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1）若它的“和数”是6666，求M的“差数”．【题型9几何问题】【例9】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）【项目式学习】项目主题：数学智慧拼图项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．任务一：观察建模如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（x<y），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组5x=30x+y=16，则：x=，y=任务二：推理分析第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；任务三：设计方案第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中a<b<c且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．【变式9-1】（2024春·江苏淮安·七年级校考期末）已知用于国际比赛的足球场的长在100∼110m之间，宽在64∼75m之间．一个长方形足球场的长为xm，宽为70m，如果它的周长大于350m【变式9-2】（23-24七年级·内蒙古兴安盟·期末）如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒．（1）当x=1时，SΔAQE=平方厘米；当x=32时，（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过14厘米时，求x（3）若ΔAQE的面积为13平方厘米，直接写出x【变式9-3】（23-24七年级·江苏泰州·期中）如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度．（1）设课本的长为acm，宽为bcm，厚为ccm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要