2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（沪科版2024）专题8.3 完全平方公式与平方差公式【十大题型】（举一反三）（沪科版2024）（解析版）

专题8.3完全平方公式与平方差公式【十大题型】【沪科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用乘法公式进行简便运算】 2【题型2利用乘法公式求代数式的值】 4【题型3由完全平分式求字母的值】 5【题型4平方差公式的几何背景】 7【题型5完全平方公式的几何背景】 12【题型6乘法公式的应用】 16【题型7乘法公式的证明】 19【题型8由乘法公式求最值】 23【题型9乘法公式的规律探究】 25【题型10乘法公式中的新定义问题】 29知识点：乘法公式1．平方差公式（1）平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特点①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．②右边是相同项的平方减去相反项的平方．③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．【题型1利用乘法公式进行简便运算】【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502−49×51=．【答案】1【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；按照平方差公式将49×51进行转化为50−1×【详解】50====1．故答案为：1．【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：(1)99×101；(2)20012【答案】(1)9999(2)4004000【分析】本题考查平方差公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：原式==10=10000−1=9999；（2）解：原式2001+1=2002×2000=4004000．【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算：201920192【答案】2019.【分析】原式利用数的变形化为平方差公式2020×2018=(2019+1)(2019−1)=2019【详解】解：∵2020×2018=(2019+1)(2019−1)=∴20192019故答案是：2019.【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：1012÷1−1【答案】2023【分析】利用平方差公式将1−1n2【详解】解：1012÷=1012÷1−1=1012÷=1012÷=1012×=2023故答案为：2023．【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将1−1n2【题型2利用乘法公式求代数式的值】【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为．【答案】−12【分析】首先根据题意得出x2−y2=x+yx−y=2y−x【详解】∵x2=2y+5，∴x2−y∵x≠y，而x+yx−y∴x+y=−2，∴x2∴xy=−1，∴x3故答案为：−12.【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2【答案】7【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：∵x+2y=8，x2∴(x+2y)∴x∴xy=7，故答案为：7．【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果a2−2a=1，那么代数式a(a−2)+(a−1)A．−1 B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类项，最后整体代入即可．【详解】解：a(a−2)+==2=2(a当a2原式=2×1+1=3．故选：C．【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2【答案】5【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由a−12≥0，b−22≥0，a2【详解】解：∵a−12≥0，∴a2+1≥2a，b2+4≥4b，当∴a2+1b2+4∵a2∴a=1，b=2，∴ab+故答案为：52【题型3由完全平分式求字母的值】【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q【答案】±4x,4x4，-1，-4x2【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q=±4x;②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【详解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的单项式可以是±4x,4x4,-1，-4x2中任意一个,故答案为：±4x,4x4，-1，-4x2【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2−kx+36是一个完全平方式，则k=【答案】±12【分析】本题主要考查完全平方式，利用完全平方式的结构特征即可求出结果．【详解】解：∵x2即x±62=∴k=±12故答案为：±12．【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2k+1x+16是一个完全平方式，则A．2 B．3或−5 C．1 D．±2【答案】B【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：∵x2∴2k+1解得：k=3或k=−5，故选：B．【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+【答案】1【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：完全平方公式(a+b)2（1）当x4相当于2ab项时，x（2）当x2相当于2ab项时，x（3）当x4与x2相当于a与b，则需要求的是2ab项，则故答案为14【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【题型4平方差公式的几何背景】【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？【答案】(1)14a+b(2)方法一：a+ba−b，方法二：a2【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．（1）根据梯形的面积公式求解即可；（2）方法一：用（1）中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．【详解】（1）解：根据题意得：梯形的面积为a+b×或：a2故答案为：14a+ba−b（2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即14方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，A．4a2−4b2 B．4ab 【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为x，正方形①的边长为y，由图1可得x+y=a，x−y=b，即可得x+yx−y=ab，得到x2−y【详解】解：设正方形②的边长为x，正方形①的边长为y，由图1可得，x+y=a，x−y=b，∴x+yx−y即x2∴S阴影故选：B．【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；【知识应用】（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．

【答案】（1）−3m2；（2）P<Q；（3）【分析】（1）分别用代数式表示图1，图2的面积即可；（2）利用（1）中得到的等式计算P−Q的值即可；（3）分别用代数式表示图3中左图和右图的体积即可．【详解】解：（1）图1中剩余部分的面积为a2图2的面积为a+ba−b所以代数恒等式为a+ba−b（2）∵P=a+2ma−2m，∴P−Q=a+2ma−2m−a+m因为m是不为0的有理数，所以−3m2<0，即P−Q<0（3）图3中左图的体积为x⋅x⋅x−1×1×x=x图3中右图是长为x+1，宽为x，高为x−1的长方体，因此体积为x+1⋅x⋅x−1，所以有【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．【变式4-3】（23-24八年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；（4）结合（3）的公式，计算：①(x−2)(x+2)x②1+1【拓展】直接写出2+12【答案】（1）a2−b2；（2）a+ba−b；（3）a【分析】（1）用大正方形面积减去小正方形面积，即可得到图1中阴影部分的面积；（2）由图1可知，长方形的长为a+b，宽为a−b，即可求出此长方形的面积；（3）根据图1中阴影面积与图2长方形面积相等，结合（1）和（2）的结论，即可得到答案；（4）①利用（3）中的整式乘法的公式直接计算，即可得到答案；②将原式×21−拓展：将原式×2−1变形，再利用（3）中的整式乘法的公式计算，得到结果264，再分析2n【详解】解：（1）由图1可知，阴影部分的面积为a2故答案为：a2（2）由图1可知，长方形的长为a+b，宽为a−b，∴图2中长方形的面积为a+ba−b故答案为：a+ba−b（3）由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等，∴a故答案为：a2（4）①(x−2)(x+2)==x②1+=2=2=2=2=2=2−=2；拓展：2+1========2∵21=2，22=4，23=8，2∴2∵64÷4=16，∴2【点睛】本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．【题型5完全平方公式的几何背景】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．例如：如图1得到a+b2(1)【直接应用】若x+y=3，x2+y(2)【类比应用】若x3−x=1，则(3)【知识迁移】两块完全一样的直角三角板∠AOB=∠COD=90°如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接AC，BD．若AD=16，△AOC和△BOD的面积和S△AOC【答案】(1)2(2)7(3)128【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用：（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式将原式变形为x+3−x（3）设OA=OC=a，OB=OD=b，则a+b=AD=16，S△AOC+S△BOD=【详解】（1）解：xy=1故答案为：2；（2）解：x2故答案为：7；（3）解：设OA=OC=a，OB=OD=b，由题意知，a+b=AD=16，S△AOC∴a2∴ab=1∴S△AOB∴四边形ABCD的面积=S【变式5-1】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（

）A．24 B．29 C．41 D．45【答案】C【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y，根据题意得x+y2=144，x−y2【详解】解：设甲正方形的边长为x，乙正方形的边长为y，则AD=x，EF=y，AE=x+y=12，∴x+y2∴x2∵点H为AE的中点，∴AH=EH=6，∵图2的阴影部分面积为x−y2∴x+y2∴x2∴图1的阴影部分面积为x2故选：C．【变式5-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，不正确的有（

）A．a−b2=28； C．a2+b【答案】D【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，根据拼图得出，a+b2=132，【详解】解：由拼图可知，大正方形的面积的边长为a+b，中间的小正方形的边长为a−b，∴a+b2=132，∴a+b2−a−b∴a2∴4ab=104，∴ab=26，∴a2∵a+b2=132，∴a+ba−b∵a>b，∴a2故选项A、B、C正确，选项D错误，故选：D．【变式5-3】（23-24八年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式2a+ba+b=2a2+3ab+b2

(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；(2)已知等式x+px+q(3)请你设计一个几何图形，并解释：a+ba−b【答案】(1)a+b2(2)见解析；(3)图见解析，解释见解析．【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘以多项式与几何图形的关系；熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）利用正方形的面积公式即可证明．（2）画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可；（3）把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b，宽为a−b的长方形即可．【详解】（1）解：在图2中，大正方形的边长为a+b2组成大正方形的5个部分的面积和为a2所以有a+b2故答案为：a+b2（2）解：如图3所示：

整体大长方形的长为x+p，宽为x+q，组成长方形的4个部分的面积和为x2因此有x+px+q（3）解：如图4，

把边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形后，拼成一个长为a+b，宽为a−b的长方形，因此可以验证a+ba−b【题型6乘法公式的应用】【例6】（23-24八年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是．【答案】7【分析】设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得ab=1，a+b=3，由完全平方公式变形得a2【详解】解：设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得ab=1，a+b=3，由完全平方公式a+b2a2故答案为：7．【点睛】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形和完全平方公式灵活变式应用．【变式6-1】（23-24八年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是八年级四个班的清洁区，其中分给八年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm

(1)分别求出八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积．(2)八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多多少？【答案】(1)八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积均为a+2b(2)多8ab【分析】（1）根据图形可知：八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区为长方形，通过2a−a−2b=a+2b（2）由正方形的面积公式可得到：a+2b2【详解】（1）解：（1）因为2a−a−2b所以八年级（2）班、八年级（3）班的清洁区的面积均为a+2ba−2b（2）因为a+2b2所以八年级（4）班的清洁区的面积比八年级（1）班的清洁区的面积多8ab 【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．【变式6-2】（23-24八年级·浙江温州·期中）学校为迎接艺术节，准备在一个正方形空地ABCD上搭建一个表演舞台，如图所示，正中间是“红五月”三个正方形平台．其中“五”字正方形和“月”字正方形边长均为a米，“红”字正方形边长为b米．Ⅰ号区域布置造型背景，Ⅱ号区域设置为乐队演奏席．(1)用含a，b的代数式表示阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）并化简；(2)若阴影部分的面积（即Ⅰ和Ⅱ面积之和）为288平方米，且a+b=20米，求“红”字正方形边长b的值．【答案】(1)2(2)16【分析】（1）根据题意，分别表示出正方形空地ABCD的面积和“红五月”三个正方形平台的面积，相减即为阴影部分的面积；（2）根据阴影部分的面积求出a2+2ab=144，再根据a+b=20，得到a2+2ab+b【详解】（1）解：由题意可知，正方形空地ABCD的边长为2a+b，∴正方形空地ABCD的面积为2a+b2∵“红五月”三个正方形平台的面积为a2∴阴影部分的面积为2a+b2（2）解：阴影部分的面积为288平方米，∴2a∴a∵a+b=20，∴a+b∴b∵b>0,∴b=16．【点睛】本题考查了正方形的面积公式，列代数式，完全平方公式，平方根知识，根据题意正确得出阴影部分的面积是解题关键．【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·期中）某楼盘推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米（0<b<a）．阴影部分作为入户花园，如图2所示．户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园，如图3所示，设户型一与户型二的主房面积之差为M，入户花园的面积之差为N．请计算M−N．【答案】−2b2【分析】分别计算两种户型的主房面积，相减可得M，再计算两种户型的入户花园的面积，相减可得N，最后计算M−N．【详解】解：（1）∵M＝a2−a（a−b）＝a2−a2＋ab＝ab，N＝（a＋b）2−a2−b（a−b）＝a2＋2ab＋b2−a2−ab＋b2＝ab＋2b2，∴M−N＝ab−（ab＋2b2）＝−2b2．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景和整式的混合运算，正确利用完全平方公式是解题关键．【题型7乘法公式的证明】【例7】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键．根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的如图阴影部分是底为a+b，高为a−b的平行四边形，因此面积为图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的如图阴影部分是长为a+b，宽为a−b的矩形，因此面积为图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的如图阴影部分是底为a+b，高为a2图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a+b2−a−b2’，拼成的如图阴影部分是长为2a，宽为2b的长方形，因此面积为综上所述，能验证平方差公式的有①②③，故选∶C．【变式7-1】（23-24八年级·山西吕梁·期末）初中数学中很多公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，如图，请你利用这个图形的几何意义证明某个数学公式．

(1)利用这个图形可以证明的数学公式是；(2)在证明（1）中数学公式的过程中，渗透的主要数学思想是什么？(3)请你写出完整的证明过程．【答案】(1)平方差公式或(a+b)(a−b)=(2)数形结合(3)证明见解析【分析】本题考查了公式与几何图形的意义，数形结合思想，公式的证明．(1)根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答．(2)根据数形结合思想解答即可．(3)根据面积的意义，证明即可掌握面积法是解题关键．【详解】（1）解：根据题意，得平方差公式或(a+b)(a−b)=a故答案为：平方差公式或(a+b)(a−b)=a（2）解：主要思想是数形结合思想．（3）解：由题意可知：长方形ABCD的长AD=a+b，宽DC=a−b，∴S矩形∵长方形BGHM的长BM=a−b，宽MH=b，∴长方形BGHM与长方形FECD的面积相等，∴S长方形ABCD=S=S正方形AGNF−∵S正方形AGNF=a2，S∴(a+b)(a−b)=

【变式7-2】（23-24八年级·江苏南京·期末）（1）求证：a2（2）已知41×53=2173，证明2173是两个正整数的平方之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是∶（1）利用多项式乘以多项式计算左边，利用完全平方公式计算右边，然后验证即可；（2）把41，53分别写成两个正整数的平方和，然后利用（1）中a2【详解】证明：（1）∵左边=a右边==a∴左边=右边，∴a2（2）∵41=16+25=42+由（1）知：a2∴42或4又41×53=2173，∴2173=43即2173是正整数43，18的平方之和或正整数27，38的平方之和．【变式7-3】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图1，△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、C.实验一：小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形.（1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为，正方形IJKL的面积可表示为(用含a，b的式子表示)（2）请结合图2，用面积法说明a+b2，ab，a−b实验二：小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，a2（3）请你用面积法证明：a2【答案】（1）a+b2，a−b2；（2）【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．（1）直接表示出正方形的面积即可解题；（2）运用两种不同的方法表示正方形的面积，然后整理解题；（3）运用两种不同的方法表示图形的面积，然后整理即可．【详解】解：（1）在图2中，正方形CDEF的面积可表示为a+b2，正方形IJKL的面积可表示为a−b故答案为：a+b2，a−b（2）由图可知：a+b2=8×1（3）选择是图3，正方形的面积为a即a2∴a2【题型8由乘法公式求最值】【例8】（23-24·江苏南通·二模）已知实数a，b满足a2+ab+b2=1，若p=ab+2a+2b【答案】−2【分析】本题考查完全平方公式的运用、平方式的非负性，先利用完全平方公式将已知等式化为ab=a+b2−1，再将p=ab+2a+2b【详解】解：∵a2∴a+b2−ab=1，即∴p=ab+2a+2b==a+b+12−2当a+b+1=0时取等号，∴p的最小值为−2，故答案为：−2．【变式8-1】（23-24八年级·山东威海·期中）当多项式−x2−12【答案】−【分析】将该多项式配方，转化为非负性的形式即可；【详解】解：−∵−∴−当x=−14时，原代数式有最大值，最大值为故答案为：−【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握配完全平方式的方法是解题的关键．【变式8-2】（23-24八年级·江苏常州·期末）已知：x+y＝12，则代数式3x2+y2的最小值为．【答案】108【分析】根据题意把y=12-x代入式子中化简求最值即可．【详解】解：由题意可得：y=12-x，代入式子3x2+y2中，3x2+y2=3x2+（12-x）2=3x2+144-24x+x2=4x2-24x+144=（2x-6）2+108≥108，∴3x2+y2的最小值为108．故答案为：108．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式8-3】（23-24八年级·全国·竞赛）已知实数a,b满足a2−2a+6b=5，则a+3b的最大值为【答案】9【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质．利用配方法和非负数的性质求解即可．【详解】解：∵a2∴a2a−22∵a−2∴2a+3b可得a+3b≤9∴a+3b的最大值为92故答案为：92【题型9乘法公式的规律探究】【例9】（23-24八年级·宁夏银川·期末）观察下列等式，并回答问题．4×1=24×2=34×3=44×4=5……(1)将2024写成两整数平方差的形式：2024=4×______=______−______(2)用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律．(3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．【答案】(1)506，5072，(2)见详解(3)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由见详解【分析】本题考查了实数的规律运算，平方差公式的应用，解题的关键是整理题目给出的规律．（1）根据题意给出的规律即可求出答案；（2）利用平方差公式的应用即可验证；（3）根据题意列出式子即可求证．【详解】（1）解：2024=4×506=507故答案为：506，5072，505（2）由题意可知：4n=(n+1)2−证明：右边=(n+1)（3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下：设相邻的两个整数分别：a，根据题意可知：(a+1)2∵a≥1的整数，∴2a+1为奇数，∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数．【变式9-1】（23-24·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是.【答案】10【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第n个图形需要(2n−1)2【详解】第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9=(2×2−1)第3个图形由25=(2×3−1)……拼成第n−1个图形需要(2n−3)2拼成第n个图形需要(2n−1)2(2n−1)2−解得：n=10；故答案为：10．【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．【变式9-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律：(1)a−ba+ba−baa−ba①a−ban−1+an−2②2−1×③2−1×④2−1×⑤2−1×(2)根据上述规律求22023(3)根据上述规律：29【答案】(1)（1）①an−bn，②22−1，③(2)2(3)342【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键．（1）根据结果的规律得出答案；（2）将22023+2（3）由(a−b)(an−1+an−2b+…+abn−2+bn−1)=an−【详解】（1）解：（1）由上式的规律可得，an①故答案为：an由题干中提供的等式的规律可得，②(2+1)(2−1)=2故答案为：22③(2−1)(2故答案为：23④(2−1)(故答案为：24⑤(2故答案为：2n（2）解：2=(2−1)(=2（3）解：∵(a−b)(a∴取a=2，b=−1，n=10，∴(2+1)(∴=====342．【变式9-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）观察下列各式：152=225，252=625(1)个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律?(2)如果一个两位数的个位数字为5，十位数字为n（1≤n≤9且n为整数），请你借助代数式解释（1）中的规律．(3)如果把三位数595看成十位数字为“59”个位数字为“5”的“两位数”，请利用发现的规律计算5952【答案】(1)末尾的两个数都是25(2)(10n+5)(3)计算过程见解析，结果354025【分析】（1）观察各式，找到规律，即可求解，（2）根据题意得到两位数为：10n+5，将10n+52（3）根据（2）得到的公式代入n=59，即可求解，本题考查了，数字规律探索，完全平方式，解题的关键是：用代数式表示出数字的规律．【详解】（1）解：个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25，（2）解：这个两位数是：10n+5，∵10n+52∴个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数总是25，（3）解：5952故答案为：354025．【题型10乘法公式中的新定义问题】【例10】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式：x+a，x+b，x+c(a，b，c都是非零常数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项式是一组和谐多项