自动控制理论 课件版 6-2学习资料

控制系统的稳定性引言在前面的课程中已经讨论了控制系统的稳定性和劳斯稳定判据。本节介绍判别系统稳定性的另一种方法－－Nyquist稳定判据。应用这个判据，同样不用求解系统闭环特征方程式的根，就能判断系统的稳定性。它是根据系统的开环频率特性曲线来判别闭环系统的稳定性。引言而且，根据开环频率特性曲线还可以直观地了解系统的稳定程度；对于不稳定的系统，能够提示人们改善系统稳定性的方法。Nyquist稳定判据是一种几何判据，它的数学基础是复变函数理论中的映射定理。复平面上的围线映射考虑一个复变函数

S平面上的点,按上式映射到F(S)平面上的相应点;零点将映射到F(S)平面上的原点,极点将映射到F(S)平面上的无限远点,而其它普通点将映射到F(S)平面上除原点外的有限值点。复平面上的围线映射

当动点sl在s平面上顺时针方向绕封闭曲线C一周时,则在F(s)平面上也将映射出一条闭合曲线

。映射定理C的内域中包含的零点数为Z极点数为P变点S沿C顺时针绕一周，顺时针包围原点的次数为N则曲线“包围”点的定义闭环系统稳定的充要条件：为在右半平面的零点数（特征根）。为特征式的零点，即闭环系统的极点。系统稳定的条件Nyquist围线：设有封闭曲线C,它不经过开环传递函数的极点,且顺时针包围了整个S右半平面,称曲线C为Nyquist围线。设特征式在右半平面上的零点数为极点数为将Nyquist围线C从s平面映射到平面得到围线根据映射定理N为曲线顺时针包围原点的次数系统稳定的充要条件为即Go(s)与1＋Go(s)的关系即平面的曲线向左平移1个单位得到平面的曲线Nyquist稳定判据开环稳定的系统，闭环稳定的充分必要条件为Nyqusit曲线不包围（－1，j0）点。开环不稳定的系统，闭环稳定的充分必要条件为Nyquist曲线逆时针包围（－1，j0）点Po次。根据映射定理N为曲线顺时针包围原点的次数即为曲线顺时针包围（－1，j0）点的次数。设特征式在右半平面上的零点数为极点数为（Nyquist围线内部）判别系统稳定与否的条件：1）开环在右半平面的极点个数P；

2）GK(jω)正负全频曲线。稳定判据的推广

(w不在全频率下绘制，只在0+—∞时绘制)射线的定义和正负穿次（包括半穿）的定义；射线：起于（-1，j0）点沿实轴反方向；正穿（逆穿）：ω增大时曲线从上向下穿过射线；负穿（顺穿）：ω增大时曲线从下向上穿过射线。半穿的定义：曲线起于射线或终于射线。P为开环传递函数在右半平面的极点数，

a为矢量当ω

：0+—∞时的正（逆时针）穿次数，

b为矢量当ω

：0+—∞时的负（顺时针）穿次数。稳定判据：P=2(a-b)系统右半平面特征根的确定：Z=P-2(a-b)系统纯虚根的确定：Nyquist曲线过（-1，j0）的次数，通过l次，有2l个纯虚根。基于曲线的对称关系G(jω)平面-1，j0开环有串联积分环节时奈氏判据的应用开环系统中串联有积分环节，即坐标原点处有极点，其开环传递函数可表示为开环幅相频率特性在ω=0处，Gk(jω)→∞，曲线不连续。难以说明是否包围(-1,j0)点。做如图所示处理。将坐标原点处的开环极点划到了左半平面，可视其为稳定根。

mIeR0e0+0-0

也就是说：当s沿无穷小半圆逆时针移动时，即ω由0→0+变化时，Gk(jω)沿无穷大半径的圆弧顺时针移动角：当s沿着小半圆移动时，有s=

ejθ，

0。将s=

ejθ代入到式Gk(s)中，得mIeR0e0+0-0

所以：当开环系统坐标原点处有极点时，需画出ω：0→0+的补充圆弧（称为辅助线）。方法：从与频率0+对应的点开始，顺时针方向补作一个半径为无穷大，圆心角为v×π/2角的大圆弧.例控制系统的相对稳定性系统离开稳定边界的程度说明了系统的相对稳定性；用Nquist曲线与(-1,j0)点的相对位置判断相对稳定性；以稳定裕量（幅值裕量、相角裕量）表示系统的相对稳定性。图：相对稳定性和暂态分量的关系（草图）在Nyquist图上表示:

幅值裕量Kg&相角裕量r

定义两个频率：ωg：相角穿越频率，满足∠Gk(jωg)=(2k+1)πωc：剪切频率，满足A(ωc)=1或L(ωc)=0dB定义稳定裕量：幅值裕量，以Kg表示相角裕量，以r表示r=180°+

Gk(jω)=180°+

(ωc)

如图所示，Kg>1，r>0计算举例在Nyquist图上用Kg&r判断系统相对稳定性Kg>1，Gk(jω)曲线不包围(-1,j0)点，闭环系统稳定；Kg=1，Gk(jω)曲线通过(-1,j0)点，系统临界稳定；Kg<1

，Gk(jω)曲线包围(-1,j0)点，系统不稳定。r>0，

(ωc)>-180°，Gk(jω)曲线不包围(-1,j0)点，系统稳定；r=0，

(ωc)=-180°，Gk(jω)曲线通过(-1,j0)点，系统临界稳定；r<0，

(ωc)<-180°，Gk(jω)曲线包围(-1,j0)点，系统不稳定。系统稳定的情况系统不稳定的情况开环频率特性与闭环时域指标的关系利用系统开环频率特性分析闭环系统的性能时，通常将系统的开环频率特性分成低、中、高三个频段。

低频段表征了系统的稳态性能、

中频段表征了系统的暂态性能、

高频段则反映了系统抗干扰能力。低频段低频段对应的传递函数低频段对数幅频稳定的系统，低频段L(ω)的斜率愈小、位置愈高，对应于系统的v愈大、K愈大。稳态误差愈小。中频段中频段是指L(ω)在剪切频率ωc附近（或0dB线附近）的区段。典型二阶系统的频率指标与时域指标的关系。高频段高频段是指L(ω)曲线在中频段以后的区段这部分特性是由系统中时