吉林省抚松五中、长白县实验中学2025届高三下学期期末考试数学试题分类汇编

吉林省抚松五中、长白县实验中学2025届高三下学期期末考试数学试题分类汇编注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，对任意的，，当时，，则下列判断正确的是（）A． B．函数在上递增C．函数的一条对称轴是 D．函数的一个对称中心是2．已知，，，若，则正数可以为（）A．4 B．23 C．8 D．173．已知复数，则对应的点在复平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c5．双曲线x26-y23=1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝A．3 B．2C．3 D．66．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为()A． B． C． D．7．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．复数为纯虚数，则()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i9．如图，正方体中，，，，分别为棱、、、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线10．已知数列an满足：an=2,n≤5a1A．16 B．17 C．18 D．1911．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（）A．64 B．32 C．2 D．412．关于函数有下述四个结论：（）①是偶函数；②在区间上是单调递增函数；③在上的最大值为2；④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.14．已知，且，则__________．15．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为______.16．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.18．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值.19．（12分）设数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.20．（12分）正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.21．（12分）已知数列的各项都为正数，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，其中表示不超过x的最大整数，如，，求数列的前2020项和．22．（10分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期，从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】，又，即，有且仅有满足条件；又，则，，函数，对于A，，故A错误；对于B，由，解得，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，由，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.2、C【解析】

首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；【详解】解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.3、A【解析】

利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.4、A【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、A【解析】

由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y＝±22x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝±答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.6、D【解析】

由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率.【详解】双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2①由，得∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立，∴y1+y2＝②，y1y2＝③，联立①②得，联立①③得，，即：，，解得：，直线的斜率为，故选D．【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．7、A【解析】

根据定义，表示出数列的通项并等于2020.结合的正整数性质即可确定解的个数.【详解】由题意可知首项为2，设第二项为，则第三项为，第四项为，第五项为第n项为且，则，因为，当的值可以为；即有3个这种超级斐波那契数列，故选：A.【点睛】本题考查了数列新定义的应用，注意自变量的取值范围，对题意理解要准确，属于中档题.8、B【解析】

复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出，即得.【详解】∵为纯虚数，∴，解得..故选：.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.9、C【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.【详解】在正方体中，因为，所以平面，故A正确.因为，所以，所以平面故B正确.因为，所以平面，故D正确.因为与相交，所以与平面相交，故C错误.故选：C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.10、B【解析】

由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2，累加法求得a62+【详解】解：an即a1=an⩾6时，a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…，ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时，要使得a1则ak+1则k=17，故选：B．【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.11、A【解析】

根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知：，，故，，.故选：.【点睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.12、C【解析】

根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于，所以为偶函数，故①正确.由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.当时，，且存在，使.所以当时，；由于为偶函数，所以时，所以的最大值为，所以③错误.依题意，，当时，，所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述，正确的结论序号为①④.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.【详解】边长为，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，，，所以到直线最大距离为.故答案为:；.【点睛】本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.14、【解析】试题分析：因,故,所以，,应填.考点：三角变换及运用．15、【解析】

先求得与关于轴对称的函数，将问题转化为与的图象有交点，即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【详解】因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解.时符合题意.时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.16、【解析】

根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.【详解】设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，所以此四棱锥体积为，令，令，易知函数在时取得最大值.故此时底面棱长.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.【详解】（1）设的极坐标为，在中，有，点的轨迹的极坐标方程为；（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，由得：，由得：，，，当，即时，，的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.18、（Ⅰ）直线的直角坐标方程为；曲线的普通方程为；（Ⅱ）.【解析】

（I）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（II）将直线参数方程代入抛物线的普通方程，可得，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.【详解】由可得直线的直角坐标方程为由曲线的参数方程，消去参数可得曲线的普通方程为.易知点在直线上，直线的参数方程为(为参数).将直线的参数方程代入曲线的普通方程，并整理得.设是方程的两根，则有.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.19、（1）（2）见解析【解析】

（1）设数列的公差为，由，得到，再结合题干所给数据得到公差，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用放缩法证明不等式即可；【详解】解：（1）设数列的公差为，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的计算，放缩法证明数列不等式，属于中档题.20、（1）（2）见解析【解析】

（1）因为数列的前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）递推公式变形为，由数列是正项数列，得到，根据数列是等比数列求通项公式；（Ⅱ），根据新