山东省潍坊市普通高中2025届高三高考考前质量监测数学试题含解析

山东省潍坊市普通高中2025届高三高考考前质量监测数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则，则（）A． B． C． D．2．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．3．已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（）A． B． C． D．4．的展开式中有理项有（）A．项 B．项 C．项 D．项5．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．+16．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于()A． B． C． D．7．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（）A． B． C． D．8．已知实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（）A．4 B．5 C．6 D．710．己知，，，则（）A． B． C． D．11．已知向量，，则向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．12．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）①②③④⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=）14．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=,那么椭圆的方程是．15．在的展开式中，的系数等于__．16．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中，内角的对边分别为，.（1）求的大小；（2）若，且为的重心，且，求的面积.18．（12分）为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得分，投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得分，放入其它箱子，得分.从所有参赛选手中随机抽取人，将他们的得分按照、、、、分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数；（2）从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手，以表示这名选手中得分不超过分的人数，求的分布列和数学期望.19．（12分）已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）当时，求证：.20．（12分）设（1）证明:当时，；（2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，）21．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：.22．（10分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四个季度）统计制成的频率分布直方图.（1）求直方图中的值，并估计销量的中位数；（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计年的销售量.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案.【详解】，，.，显然.,即，，即.综上，.故选：.本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.2．C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.3．D【解析】

以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．求解平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱，，取中点，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．设，则，．设平面的法向量为，则取，得．设直线与平面所成角为，则，，∴直线与平面所成角的正切值等于故选：D本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.4．B【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.【详解】，，当，，，时，为有理项，共项.故选:B.本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.5．B【解析】

以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，可求出点，则，整理计算可得离心率.【详解】解：以为圆心，以为半径的圆的方程为，联立，取第一象限的解得，即，则，整理得，则（舍去），，.故选：B.本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.6．C【解析】

由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得，解得，所以，所以，故选：C.本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.7．D【解析】

由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案.【详解】由题，得，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，所以函数的最小正周期，则，所以，当时，，所以是函数的一条对称轴，故选：D本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.8．A【解析】

所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：．本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.9．C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得：，故选：C本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程.10．B【解析】

先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断.【详解】因为，，所以，故选：B.本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题.11．A【解析】

先利用向量坐标运算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故选：A本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.12．B【解析】

满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.【详解】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.故选：B.本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．>【解析】

根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.【详解】，故.，.要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得①，由于为互不相等的正实数，故，也即，也即.故答案为：本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.14．【解析】

由题意可设椭圆方程为：∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上∴又，∴，∴椭圆的方程为，故答案为．考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识．15．7【解析】

由题，得，令，即可得到本题答案.【详解】由题，得，令，得x的系数.故答案为：7本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.16．【解析】

由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.【详解】已知定义在上的函数若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，联立可得有两个解，即可设，则，进而且不恒为零，可得在单调递增.由可得时，单调递减；时，单调递增，即在处取得极小值且为作出的图象，可得时，有两个解.故答案为：本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【解析】

（1）利用正弦定理，转化为，分析运算即得解；（2）由为的重心，得到，平方可得解c,由面积公式即得解.【详解】（1）由，由正弦定理得C，即∴∵∴，又∵∴（2）由于为的重心故，∴解得或舍∴的面积为.本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18．（1）所抽取的人中得分落在组和内的人数分别为人、人；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）将分别乘以区间、对应的矩形面积可得出结果；（2）由题可知，随机变量的可能取值为、、，利用超几何分布概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出随机变量的数学期望值.【详解】（1）由题意知，所抽取的人中得分落在组的人数有（人），得分落在组的人数有（人）.因此，所抽取的人中得分落在组的人数有人，得分落在组的人数有人；（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，，，所以，随机变量的分布列为：所以，随机变量的期望为.本题考查利用频率分布直方图计算频数，同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解，考查计算能力，属于基础题.19．（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）根据的导函数进行分类讨论单调性（2）欲证，只需证，构造函数，证明，这时需研究的单调性，求其最大值即可【详解】解：（1）的定义域为，，①当时，由得，由，得，所以在上单调递增，在单调递减；②当时，由得，由，得，或，所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增；③当时，，所以在上单调递增；④当时，由，得，由，得，或，所以在上单调递增，在单调递减，在单调递增.（2）当时，欲证，只需证，令，，则，因存在，使得成立，即有，使得成立.当变化时，，的变化如下：0单调递增单调递减所以.因为，所以，所以.即，所以当时，成立.考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法，难题.20．（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）将代入函数解析式可得，构造函数，求得并令，由导函数符号判断函数单调性并求得最大值，由即可证明恒成立，即不等式得证.（2）对函数求导，变形后讨论当时的函数单调情况：当时，可知满足题意；将不等式化简后构造函数，利用导函数求得极值点与函数的单调性，从而求得最小值为，分别依次代入检验的符号，即可确定整数的最大值；当时不满足题意，因为求整数的最大值，所以时无需再讨论.【详解】（1）证明：当时代入可得，令，，则，令解得，当时，所以在单调递增，当时，所以在单调递减，所以，则，即成立.（2）函数则，若时，当时，，则在时单调递减，所以，即当时成立；所以此时需满足的整数解即可，将不等式化简可得，令则令解得，当时，即在内单调递减，当时，即在内单调递增，所以当时取得最小值，则，，，所以此时满足的整数的最大值为；当时，在时，此时，与题意矛盾，所以不成立.因为求整数的最大值，所以时无需再讨论，综上所述，当时，整数的最大值为.本题考查了导数在证明不等式中的应用，导数与函数单调性、极值、最值的关系和应用，构造函数法求最值，并判断函数值法符号，综合性强，属于难题.21．证明见解析【解析】

由已知，易得，所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸边形的面积为1，所以，所以（由柯西不等式得）（由均值不等式得）本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.22．（1），中位