重庆市四区联考2025届高三3月月考数学试题试卷

重庆市四区联考2025届高三3月月考数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内所有直线与l异面B．α内只存在有限条直线与l共面C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内存在无数条直线与l相交2．甲、乙、丙三人相约晚上在某地会面，已知这三人都不会违约且无两人同时到达，则甲第一个到、丙第三个到的概率是（）A． B． C． D．3．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A． B．1 C． D．4．已知集合，，若，则（）A．或 B．或 C．或 D．或5．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（）A． B．-2 C． D．26．已知函数，则下列结论错误的是()A．函数的最小正周期为πB．函数的图象关于点对称C．函数在上单调递增D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到7．已知向量，，若，则（）A． B． C．-8 D．88．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度9．已知，则的取值范围是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]10．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)11．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是A．关于直线对称 B．关于点对称C．周期为 D．在上是增函数12．已知抛物线和点，直线与抛物线交于不同两点，，直线与抛物线交于另一点．给出以下判断：①以为直径的圆与抛物线准线相离；②直线与直线的斜率乘积为；③设过点，，的圆的圆心坐标为，半径为，则．其中，所有正确判断的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为__________.14．设，若关于的方程有实数解，则实数的取值范围_____．15．在△ABC中，a＝3，，B＝2A，则cosA＝_____．16．已知非零向量的夹角为，且，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）是数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列中最小的项.18．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表：并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出人，进行体育锻炼体会交流．（i）求这人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，记这人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．参考公式：，其中．临界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63519．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。20．（12分）已知椭圆的短轴长为，左右焦点分别为，，点是椭圆上位于第一象限的任一点，且当时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上点与点关于原点对称，过点作垂直于轴，垂足为，连接并延长交于另一点，交轴于点.（ⅰ）求面积最大值；（ⅱ）证明：直线与斜率之积为定值.21．（12分）在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.求证：平面；求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

通过条件判断直线l与平面α相交，于是可以判断ABCD的正误.【详解】根据直线l不平行于平面α，且l⊄α可知直线l与平面α相交，于是ABC错误，故选D.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.2、D【解析】

先判断是一个古典概型，列举出甲、乙、丙三人相约到达的基本事件种数，再得到甲第一个到、丙第三个到的基本事件的种数，利用古典概型的概率公式求解.【详解】甲、乙、丙三人相约到达的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，其中甲第一个到、丙第三个到有甲乙丙，共1种，所以甲第一个到、丙第三个到的概率是.故选：D【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.3、C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选.4、B【解析】

因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.5、A【解析】

设，用表示出，求出的值即可得出答案.【详解】设由，，.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.6、D【解析】

由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D.【详解】由题知，最小正周期，所以A正确；当时，，所以B正确；当时，，所以C正确；由的图象向左平移个单位，得，所以D错误.故选：D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.7、B【解析】

先求出向量,的坐标，然后由可求出参数的值.【详解】由向量，，则，，又，则，解得.故选：B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.8、A【解析】

根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.【详解】因为，故要得到，只需将向左平移个单位长度.故选：A.【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.9、D【解析】

设，可得，构造（）22，结合，可得，根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设，则，，∴（）2•2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又则[0，2]．故选：D．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10、C【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=+其中.11、D【解析】

当时,,∴f(x)不关于直线对称；当时,,∴f(x)关于点对称；f(x)得周期，当时,,∴f(x)在上是增函数．本题选择D选项.12、D【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用可判断；对于②，设直线的方程为，与抛物线联立，用坐标表示直线与直线的斜率乘积，即可判断；对于③，将代入抛物线的方程可得，，从而，，利用韦达定理可得，再由，可用m表示，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，可得a，即可判断.【详解】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为，则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为，显然，，三点不共线，则．所以①正确．由题意可设直线的方程为，代入抛物线的方程，有．设点，的坐标分别为，，则，．所以．则直线与直线的斜率乘积为．所以②正确．将代入抛物线的方程可得，，从而，．根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．由上，有，，则．所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为，所以．于是，，代入，，得，所以．所以③正确．故选：D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果.【详解】解：由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面积.故答案为：.【点睛】本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力.14、【解析】

先求出，从而得函数在区间上为增函数；在区间为减函数．即可得的最大值为，令，得函数取得最小值，由有实数解，，进而得实数的取值范围．【详解】解：，当时，；当时，；函数在区间上为增函数；在区间为减函数．所以的最大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：．故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题.15、【解析】

由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解．【详解】解：∵a＝3，，B＝2A，∴由正弦定理可得：，∴cosA．故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题．16、1【解析】

由已知条件得出,可得，解之可得答案.【详解】向量的夹角为,且,,可得:,

可得,

解得，

故答案为:1.【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由可得出，两式作差可求得数列的通项公式；（2）求得，利用数列的单调性的定义判断数列的单调性，由此可求得数列的最小项的值.【详解】（1）对任意的，由得，两式相减得，因此，数列的通项公式为；（2）由（1）得，则.当时，，即，；当时，，即，.所以，数列的最小项为.【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列见解析．【解析】

（1）根据所给数据可完成列联表．由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这样不达标人数随之而得，然后计算可得结论；（2）由达标人数中男女生人数比为可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，的可能值为0，1，2，分别计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望．【详解】（1）列出列联表，，所以在犯错误的概率不超过的前提下能判断“课外体育达标”与性别有关．（2）（i）在“锻炼达标”的学生中，男女生人数比为，用分层抽样方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）从参加体会交流的人中，随机选出人发言，人中女生的人数为，则的可能值为，，，则，，，可得的分布列为：可得数学期望．【点睛】本题考查列联表与独立性检验，考查分层抽样，随机变量的概率分布列和期望．主要考查学生的数据处理能力，运算求解能力，属于中档题．19、(1)见证明；(2)【解析】

（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．【详解】(1)当时，，于是，.又因为，当时，且.故当时，，即.所以，函数为上的增函数，于是，.因此，对，；(2)方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，①当时，为上的增函数，注意到，，所以，存在唯一实数，使得成立.于是，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数；所以为函数的极小值点；②当时，在上成立，所以在上单调递增，所以在上没有极值；③当时，在上成立，所以在上单调递减，所以在上没有极值，综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.即在上存在零点.设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.下面证明，当时，函数在上存在极值.事实上，当时，为上的增函数，注意到，，所以，存在唯一实数，使得成立.于是，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数；即为函数的极小值点.综上所述，当时，函数在上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.【解析】

（1）由，解方程组即可得到答案；（2）（ⅰ）设，，则，，易得，注意到，利用基本不等式得到的最大值即可得到答案；（ⅱ）设直线斜率为，直线方程为，联立椭圆方程得到的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.【详解】（1）设，由，得.将代入，得，即，由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，，则，（ⅰ）易知为的中位线，所以，所以，又满足，所以，得，故，当且仅当，即，时取等号，所以面积最大值为.（ⅱ）记直线斜率为，则直线斜率为，所以直线方程为.由，得，由韦达定理得，所以，代入直线方程，得，于是，直线斜率，所以直线与斜率之积为定值.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的最值及定值问题，在解椭圆与直线